Mürəkkəb faizləri necə hesablamaq olar. Mürəkkəb Faiz Formulu

Daria Nikitina

Oxuma vaxtı: 11 dəqiqə

A A

Mürəkkəb maraq Mənfəət üzrə faizin əsas məbləğə əlavə edildiyi və sonradan yeni mənfəətin yaradılmasında iştirak etdiyi zaman effekti adlandırmaq adətdir.
Mürəkkəb faiz düsturu- bu, kapitallaşma (faiz) nəzərə alınmaqla ümumi məbləğin hesablandığı düsturdur.

Bu məqalədə:

Mürəkkəb faizlərin sadə hesablanması

Mürəkkəb faizlərin hesablanmasını daha yaxşı başa düşmək üçün bir nümunəyə baxaq.
Təsəvvür edək ki, siz banka illik 10 faizlə 10.000 rubl depozit qoymusunuz.
Bir il sonra sənin Bank hesabı məbləğ SUM = 10 000 + 10 000 * 10% = 11 000 rubl olacaq.
Qazancınız 1000 rubl təşkil edir.
Eyni 10 faiz faizlə ikinci il üçün bankda 11.000 rubl buraxmağa qərar verdiniz.
2 ildən sonra bank 11 000 + 11 000 * 10% = 12 100 rubl yığmış olacaq.

Birinci il üçün mənfəət (1000 rubl) əsas məbləğə (10000 rubl) əlavə edildi və ikinci ildə artıq yaranırdı. yeni qazanc. Sonra 3-cü ildə 2-ci ilin mənfəəti əsas məbləğə əlavə olunacaq və özü də yeni mənfəət yaradacaq. Və s.

Bu təsir mürəkkəb faiz adlanır.

Bütün mənfəəti əsas məbləğə əlavə etdikdə və sonra özü yeni mənfəət əldə etdikdə.

Mürəkkəb faiz düsturu:

SUM = X * (1 + %) n

Harada
CƏM— son məbləğ;
X - ilkin məbləğ;
% — faiz dərəcəsi, illik faiz /100;
n — dövrlərin, illərin (ayların, rüblərin) sayı.

Mürəkkəb faizlərin hesablanması: Nümunə 1.
Banka 5 il müddətinə illik 10% ilə 50.000 rubl depozit qoymusunuz. 5 ildən sonra nə qədər pulunuz olacaq? Mürəkkəb faiz düsturu ilə hesablayaq:

SUM = 50,000 * (1 + 10/100) 5 = 80,525,5 rub.

Açdığınız zaman mürəkkəb faiz istifadə edilə bilər müddətli depozit bankda. Şərtlərə görə bank müqaviləsi Faizlər, məsələn, rüblük və ya aylıq hesablana bilər.

Mürəkkəb faizin hesablanması: Nümunə 2.
Aylıq faiz hesablanması ilə illik 10% ilə 12 ay üçün 10.000 rubl qoysanız, yekun məbləğin nə olacağını hesablayaq.

SUM = 10000 * (1+10/100/12) 12 = 11047,13 rub.

Mənfəət:

MƏNFƏT = 11047,13 - 10000 = 1047,13 rubl

Mənfəətlilik (illik faizlə):

% = 1047,13 / 10000 = 10,47 %

Yəni faizlər aylıq hesablandıqda, gəlirlilik faizin bütün dövr üçün bir dəfə hesablanmasından daha yüksək olur.

Əgər qazancınızı geri götürməsəniz, mürəkkəb faizlər işə düşür.

Bank depozitləri üçün mürəkkəb faiz düsturu

Əslində, bank depozitləri ilə bağlı mürəkkəb faiz düsturu yuxarıda təsvir ediləndən bir qədər mürəkkəbdir. Əmanət üzrə faiz dərəcəsi (%) aşağıdakı kimi hesablanır:

% = p * d / y

Harada
səh— əmanət üzrə faiz dərəcəsi (illik faiz / 100),
məsələn, nisbət 10,5% olarsa, o zaman p = 10,5 / 100 = 0,105;
d— nəticələrinə əsasən kapitallaşmanın baş verdiyi dövr (günlərin sayı) (faizlər hesablanır),
məsələn, kapitallaşma aylıqdırsa, o zaman d = 30 günlər
kapitallaşma 3 ayda bir dəfədirsə, o zaman d = 90 günlər;
y— təqvim ilində günlərin sayı (365 və ya 366).

Yəni saymaq olar faiz dərəcəsi müxtəlif depozit dövrləri üçün.

Üçün mürəkkəb faiz düsturu bank depozitləri belə görünür:

SUM = X * (1 + p*d/y) n

Mürəkkəb faizləri hesablayarkən, zaman keçdikcə pul yığılmasının uçqunlara çevrildiyini nəzərə almaq lazımdır. Mürəkkəb faizin cəlbediciliyi budur. Qarlı dağdan yuvarlanmağa başlayan, yumruq boyda kiçik bir qar topu təsəvvür edin. Parça yuvarlanarkən, qar ona hər tərəfdən yapışır və nəhəng bir qar daşı ayağına uçacaq. Eynilə mürəkkəb faizlə. Əvvəlcə mürəkkəb faizin yaratdığı artım demək olar ki, görünməzdir. Ancaq bir müddət sonra o, özünü bütün şöhrəti ilə göstərir. Bunu aşağıdakı nümunədə aydın görmək olar.

Mürəkkəb faizin hesablanması: Nümunə 3.
2 variantı nəzərdən keçirək:
1. Sadə faiz. 15 il ərzində 20% ilə 50.000 rubl investisiya etdiniz. Əlavə töhfələr Yox. Bütün qazancınızı geri götürürsünüz.
2. Mürəkkəb faiz. 15 il ərzində 20% ilə 50.000 rubl investisiya etdiniz. Əlavə ödəniş yoxdur. Hər il faiz gəlirləri əsas məbləğə əlavə olunur.

Başlanğıc məbləği: 50.000 rubl
Faiz dərəcəsi: illik 20%
	Sadə maraq	Mürəkkəb maraq
	məbləğ	Mənfəət bir ildə	məbləğ	Mənfəət bir ildə
1 ildən sonra	60.000 rub.	10.000 rub.	60.000 rub.	10.000 rub.
2 ildən sonra	70.000 rub.	10.000 rub.	72.000 rub.	12.000 rub.
3 il sonra	80.000 rub.	10.000 rub.	86.400 rub.	14.400 rub.
4 ildən sonra	90.000 rub.	10.000 rub.	103 680 rubl	17 280 RUR
5 ildən sonra	100.000 rub.	10.000 rub.	124 416 rubl	20,736 RUR
6 ildən sonra	110.000 rub.	10.000 rub.	149 299 rubl	24,883 RUR
7 ildən sonra	120.000 rub.	10.000 rub.	179 159 rubl	29 860 rubl
8 ildən sonra	130.000 rub.	10.000 rub.	214,991 RUR	35 832 RUB
9 ildən sonra	140.000 rub.	10.000 rub.	257 989 rubl	42 998 RUR
10 ildən sonra	150.000 rub.	10.000 rub.	309 587 rubl	51 598 RUB
11 ildən sonra	160.000 rub.	10.000 rub.	371 504 rubl	61 917 rubl
12 ildən sonra	170.000 rub.	10.000 rub.	445 805 rubl	74 301 rubl
13 ildən sonra	180.000 rub.	10.000 rub.	534 966 rubl	89 161 rubl
14 ildən sonra	190.000 rub.	10.000 rub.	641 959 rubl	106 993 rubl
15 ildən sonra	200.000 rub.	10.000 rub.	770 351 rubl	128 392 rubl
Ümumi mənfəət:	150.000 rub.		720,351 rubl

. Mürəkkəb faizlərin hesablanması üçün əsas sadə faizlərdən fərqli olaraq sabit qalmır Nuh – zaman keçdikcə hər addımda artır. Hesablanmış faizlərin mütləq məbləği artır və proses Borcun həcmi sürətlə artır. ilə artırın mürəkkəb maraq izləyici kimi təmsil oluna bilər sadə layihələrə yatırılan vəsaitlərin yeni yenidən investisiyasıbir hesablama dövrü üçün sent (çalışan dövr ). QoşulunHesablanmış faizlərin onların hesablanması üçün əsas olan məbləğə endirilməsi çox vaxt adlanır. faizlərin kapitallaşdırılması.

Şərt üzrə hesablanmış məbləği hesablamaq üçün düstur tapaq vii ki, faizlər bir dəfə hesablanır və kapitallaşdırılıril (illik faiz). Bu məqsədlə istifadə olunur kompleksə çevrilir kauzantılar. Artım düsturunu yazmaq üçün bunları tətbiq ediriksadə pro ilə artırma düsturunda olduğu kimi eyni qeyd sent:

P - borcun ilkin məbləği (kredit, kredit, kapital) la və s.),

S - kredit müddətinin sonunda hesablanmış məbləğ;

P - müddət, yığılma illərinin sayı,

i - de tərəfindən təqdim edilən illik faiz dərəcəsinin səviyyəsionluq kəsr.

Aydındır ki, birinci ilin sonunda faiz bərabərdir R i , və artan məbləğ olacaq. Sona doğruikinci ildə dəyərinə çatacaq IN son n ilin hesablanmış məbləği olacaq bərabərdir

(4.1)

Eyni dövr üçün faiz dərəcələri ümumiyyətlə aşağıdakı kimidir:

(4.2)

Onların bəziləri faizə faiz yığılmaqla öyrənilir. təşkil edir

(4.3)

Yuxarıda göstərildiyi kimi, mürəkkəb faiz artımı ilə təmsil olunurhəndəsi tərəqqiyə uyğun gələn prosesdir siya, birinci həddi bərabərdir R , və məxrəcdir.Proqresiyanın son müddəti sonunda yığılmış məbləğə bərabərdir kredit müddəti.

Ölçü çağırdı artım çarpanı mürəkkəb faizlə. Bunun mənalarıtam ədədlər üçün çarpan P verilir mürəkkəb cədvəllər faiz.Praktiki hesablamalarda çarpanların hesablamalarının dəqiqliyihesablanmış yuvarlaqlaşdırmanın icazə verilən dərəcəsi ilə müəyyən edilirməbləğlər (son qəpiyə qədər, rubl və s.).

Mürəkkəb sürətlə böyüyən vaxt adətən ölçülür AST kimi/ A ST.

Gördüyünüz kimi, artım çarpanının dəyəri ikidən asılıdır parametrlər - iVə P. Qeyd etmək lazımdır ki, uzun müddətdirartım, nisbətdə kiçik bir dəyişiklik belə nəzərə çarpan təsir göstərirçarpanın dəyəri ilə. Öz növbəsində, çox uzun müddətkiçik olsa belə dəhşətli nəticələrə gətirib çıxarırfaiz dərəcəsi.

Mürəkkəb faiz artımının düsturu alınırillik faiz dərəcəsi və illərlə ölçülən müddət üçün.Bununla belə, digər hesablama dövrlərinə də tətbiq oluna bilər.nia. Bu hallardaibir hesablama dövrü üçün (ay, rüb və s.) dərəcəni bildirir və n – belə dövrlərin sayı. Aktiv misal əgər i– o zaman yarım il üçün tarif P – yarımillərin sayı və s.

(4.1) - (4.3) düsturları faizin üzərinə düşürSentlər borcun əsas məbləğinə tətbiq edildiyi kimi eyni nisbətdə hesablanır. Faiz hesablamalarının şərtlərini mürəkkəbləşdirəkyoldaş Əsas borc üzrə faiz dərəcəsi ilə hesablansınivə faiz üzrə faiz - bu halda dərəcəsi ilə

Kvadrat mötərizədə olan sıra həndəsi rəqəmi təmsil edirbirinci həddi 1-ə və məxrəcə bərabər olan məntiqi irəliləyiş. Nəticədə bizdə var

(4.4)

· Misal 4.1

2. Yaxın təqvim dövrlərində faizlərin hesablanması. Sən Əvvəllər faizlərin hesablanması zamanı təqvim dövrlərinə nisbətən faizlərin hesablanması dövrünün yeri nəzərə alınmırdı. Ancaq çox vaxt kreditin başlanğıc və bitmə tarixləri iki dövrdə olur. Hesablandığı aydındır bütün dövr üçün faiz yalnız sonuncuya aid edilə bilməzonun dövrü. Mühasibat uçotunda, vergidə,nəhayət, ÜST müəssisəsinin maliyyə fəaliyyətinin təhlilində Hesablanmış faizlərin dövrlər üzrə bölüşdürülməsi vəzifəsi yaranır.

Kreditin ümumi müddəti iki dövrə bölünürn 1 Və n 2 . Müvafiq olaraq,

Harada

· Misal 4.2

3. Dəyişən dərəcələr. Düstur sabit qəbul edirbütün faiz hesablama dövrü ərzində dərəcəsi. Pul bazarının qeyri-sabitliyi bizi “klassik” sxemi modernləşdirməyə məcbur edir, məsələn, nümunədən istifadə etməklə. rəylər üzən dərəcələr ( üzən dərəcəsi). Təbii ki, hesablamaGələcək üçün belə dərəcələr çox şərtlidir. Başqa bir şey -faktdan sonra hesablama. Bu vəziyyətdə, həm də xəyanət edərkənmərc ölçüləri müqavilədə müəyyən edilir, ümumi çarpan Artım faktoru əmsalların məhsulu kimi müəyyən edilir, yəni.

(4.5)

dərəcələrin ardıcıl dəyərləri haradadır; - müvafiq dövrlər dərəcələri.

· Misal 4.3

4. İllərin kəsirli sayı üçün faizlərin hesablanması. Çox vaxt son tarixdir faiz hesablanması üçün dah tam ədəd deyil. Bəzi əməliyyatlar üzrə bir sıra kommersiya banklarının qaydalarında faizlər yalnız bütün il və ya digər hesablama dövrləri üçün hesablanır. Dövrün kəsir hissəsi atılır. Əksər hallarda tam müddət nəzərə alınır. Haradaiki üsuldan istifadə edilir. Birinciyə görə, onu adlandıraq ümumi, hesablama düsturla aparılır:

(4.6)

İkinci, iyləmək kölgəli,Metod bütövlükdə faizin hesablanmasını nəzərdə tuturmürəkkəb faiz düsturundan və kəsr hissəsindən istifadə edərək illərin sayı düstura görə termin sadə maraq:

,(4.7)

Harada - kredit müddəti, A- illərin tam sayı,b - ilin fraksiyalı hissəsi.

Bənzər bir üsul dövr olduğu hallarda istifadə olunurHesablama evi yarımillik, rüblük və ya aylıqdır.

Bir hesablama metodunu seçərkən, bir çoxunu nəzərə almalısınızqarışıq metoddan istifadə edən artım sürəti ümumi metoddan istifadə ilə müqayisədə bir qədər böyük olur, çünki P < 1 ədalətlidirnisbətdə

Gördüyüm ən böyük fərqünvanında verilmişdir b = 1/2.

· Misal 4.4

5. Mürəkkəb və sadə faizdən istifadə etməklə artımın müqayisəsi. Hesablama üçün vaxt bazası eyni olsun, faiz dərəcələrinin səviyyəsi eyni olsun, onda:

1) bir ildən az müddətə sadə faiz mürəkkəb faizdən böyükdür

2) bir ildən çox müddətə

3) 1 il müddətində artım amilləri bir-birinə bərabərdir

Sadə mürəkkəb faizdən istifadə edərək mürəkkəbləşdirmə faktorundan istifadə edərək, ilkin məbləği artırmaq üçün lazım olan vaxtı təyin edə bilərsiniz n bir dəfə. Bunun üçün artım əmsallarının dəyərə bərabər olması lazımdır n:

1) sadə maraq üçün

2) mürəkkəb faiz üçün

Kapitalın ikiqat artırılması üçün düsturlar aşağıdakılardır:

Şübhəsiz ki, bank əmanətinin gəlirliliyi ilk növbədə faiz dərəcəsi ilə müəyyən edilir. Axı, hər bir potensial müştərinin diqqət yetirdiyi şey budur. Lakin, əslində, investorun, xüsusən də illik faiz dərəcəsinə deyil, mənfəətin hesablanması metoduna diqqət yetirməsi lazımdır. Axı, içində maliyyə sistemi Bankda iki anlayış var: sadə və mürəkkəb faiz. Və hər bir investor üçün hansı əmanətin onun üçün ən sərfəli olacağını müəyyən etmək üçün sadə və mürəkkəb faizlərin, anlayışların və düsturların nə olduğunu dəqiq bilməlisiniz.

Sadə maraq nədir

Əvvəla, sadə faiz, pul vəsaitlərinin bütün saxlanma müddəti üçün bir bank hesabına əmanət yerləşdirməyə görə mükafatın hesablanmasıdır. Danışsaq sadə sözlərlə, onda sadə faizlər yalnız əmanət müqaviləsinin müddəti bitdikdən sonra hesablanır, illik faiz dərəcəsi ilə müəyyən edilir. Üstəlik, müqavilə avtomatik olaraq növbəti müddətə uzadılırsa, əvvəlki dövr üçün mükafat əmanətin əsas hissəsinə əlavə edilmir.

Sadə bir mənfəət hesablama sisteminin nə olduğunu mümkün qədər dəqiq başa düşmək üçün bir nümunəyə baxaq. Bir il ərzində banka illik 7% ilə 50.000 rubl yerləşdirdiniz. Müqavilənin sonunda qazancınız 50.000 × 0.07 = 3500 rubl olacaq. Müqavilə avtomatik olaraq növbəti müddətə uzadılırsa, qazancınız yenidən 3500 rubl olacaq. Yəni 2 ildən sonra bankdan 50.000+3500+3500=57.000 rubl ala biləcəksiniz.

Vacibdir! Sadə faizin hesablanması düsturu aşağıdakı kimidir: K=D×p. Burada K - mənfəətin məbləği, D - əmanətin əsas hissəsi, p - illik faiz dərəcəsidir (düsturda illik dərəcəsi deyil, 100-ə bölünmüş dərəcəsini göstərmək lazımdır).

Əgər bir ildən az müddətə vəsait yerləşdirirsinizsə, onda illik faiz dərəcəsi 12-yə bölünür və vəsaitin bank hesabında olduğu ayların sayına vurulur. Məsələn, əmanət müddəti 3 aydırsa və faiz dərəcəsi illik 10% təşkil edirsə, onda ümumi mənfəət aşağıdakı kimi hesablanır: 0,1/12×3 = 0,025. Məsələn, 3 ay müddətinə 50.000 rubl yerləşdirmisinizsə, müqavilənin sonunda qazanc aşağıdakı kimi olacaq: 50.000 × 0.025 = 1.250 rubl.

Sadə və mürəkkəb faiz üçün düsturlar

Depozitlər üzrə mürəkkəb faizlər

Sadə faizlə mürəkkəb faiz arasındakı fərq əslində olduqca böyükdür. Depozit məhsulunu seçərkən, yəqin ki, hər kəs kapitallaşma kimi bir konsepsiya haqqında eşitmişdir. Yəni bu, hesablanmış mənfəətin əmanətin gövdəsinə əlavə olunduğu və gələcəkdə yenidən gəlirin yığıldığı bir mənfəət hesablama sxemidir.

Nəzərə alın ki, kapitallaşma müəyyən bir tezlikdə, məsələn, həftədə, ayda, rübdə və ya ildə bir dəfə həyata keçirilir.

Buradan belə nəticəyə gələ bilərik ki, kapitallaşma sadə faizlə müqayisədə daha çox qazanc əldə etməyə imkan verir. Bunu aydın görmək üçün mürəkkəb faizlərin hesablanması düsturuna baxaq və bu belə görünəcək: B=(K×H×P/N)/100, Harada:

• B – hesablanmış mənfəətin məbləği;
• K – depozit orqanı;
• H - illik dərəcəsi;
• P – kapitallaşmanın baş verdiyi günlərin sayı;
• N - bir ildə günlərin sayı.

Mürəkkəb faizlərin necə dəqiq hesablanacağını aydın şəkildə başa düşmək üçün. Sadə bir misala baxaq. Depozit məbləği 50.000 rubl, illik faiz dərəcəsi 7%, kapitallaşma aylıq həyata keçirilir, müqavilə müddəti bir ildir. Depozitdən istifadənin ilk ayı üçün mənfəəti hesablayaq: B=(50000×7×30/365)/100=287,6 rubl – bu, birinci ayın mənfəətidir. Növbəti dövrdə hesablama belə olacaq: B=(50287,6×7×31/365)/100=298,9 rubl.

Yuxarıdakı nümunədən belə nəticəyə gələ bilərik ki, kapitallaşma əvvəlki ilə müqayisədə hər ay daha çox qazanc əldə etməyə imkan verir. Ancaq depozit təklifi seçərkən, faizlərin kapitallaşdırılma tezliyinə diqqət yetirin, nə qədər tez-tez, müştəri daha çox fayda əldə edir.

Fərq nədir

Əslində, əmanətlər üzrə faizlərin hesablanması sistemi çox dəyişir, ilk növbədə ona görə ki, faizlərin kapitallaşdırılması ilə əmanətin faydası sadə sistemlə müqayisədə xeyli yüksək ola bilər. Çünki sadə sistemlə mənfəət arifmetik, mürəkkəb sistemlə isə həndəsi irəliləyişdə artır. Bunu aydın görmək üçün aşağıda sadə faiz sxemi ilə müqayisədə mürəkkəb faiz diaqramı verilmişdir.

Sadə faiz sxeminə qarşı mürəkkəb faiz sxemi

Amma bu məsələdə tələlər də var. Bank əmanətlərinin şərtləri ciddi şəkildə fərdidir, buna görə depozit məhsulu seçərkən, ilk növbədə, müqavilənin bütün müddəti ərzində kapitallaşma dövrlərinin sayına diqqət yetirin. Məsələn, bank bildirir ki, əmanət müqaviləniz faizlərin kapitallaşdırılmasını nəzərdə tutur, lakin bu, hər 6 ayda bir dəfə həyata keçirilir, yəni bankla müqavilə bağladıqdan altı ay sonra ilk gəlirinizi alacaqsınız. Eyni zamanda, siz yalnız 3 ay müddətinə vəsait yerləşdirmək qərarına gəldiniz, müvafiq olaraq, siz vəsaitinizi bankın faizləri kapitallaşdırdığı vaxtdan tez alacaqsınız və bu halda əmanət üzrə sadə faiz hesablamasını seçmək daha məqsədəuyğundur.

Vacibdir! Əksər banklar eyni şeyi təklif edirlər depozit təklifi müştərilərinə müəyyən tezlikdə mənfəət əldə etmək və ya özlərini əmanətin tərkibinə daxil etmək üçün seçim etmək; müvafiq olaraq, müştərinin gəlirini əldə etmək istədiyi sadə və ya mürəkkəb sistemi seçmək imkanı var.

Əslində, sadə və mürəkkəb faiz arasındakı əsas fərqin nə olduğunu başa düşmək olduqca sadədir, lakin nüans ondan ibarətdir ki, banklar müqavilədə sadə və mürəkkəb faiz kimi anlayışları göstərmirlər, hər bir potensial investor bütün şərtlərə diqqət yetirməlidir. müqavilənin. Müqavilədə faizlərin müqavilənin müddəti bitdikdən sonra ödənildiyi göstərilibsə, müvafiq olaraq belə bir müqavilə üzrə kapitallaşma nəzərdə tutulmur.

Mürəkkəb faiz o zaman uzunmüddətli maliyyə-kredit əməliyyatlarında istifadə olunur ki, faizlər keçmiş müddət ərzində hesablandıqdan dərhal sonra vaxtaşırı ödənilmir, lakin borcun məbləğinə əlavə edilir. Hesablanmış faizləri müəyyən etmək üçün əsas olan məbləğə əlavə etmək çox vaxt adlanır kapitallaşma faiz.

Mürəkkəb faiz düsturu

Borcun ilkin məbləği olsunP, onda bir ildən sonra əlavə faizlə borc məbləği olacaqP(1+ i) , 2 il ərzində P(1+ i)(1+ i)= P(1+ i) 2 , vasitəsilə n illər - P(1+ i) n. Beləliklə, mürəkkəb faiz üçün birləşmə düsturunu alırıq

S=P(1+i)n, (19)

Harada S- hesablanmış məbləğ,i- illik mürəkkəb faiz dərəcəsi,n- kredit müddəti, (1+ i) n- artım multiplikatoru.

Praktik hesablamalarda diskret faizlər əsasən istifadə olunur, yəni. bərabər vaxt intervallarında (il, yarımil, rüb və s.) hesablanmış faizlər. Mürəkkəb faiz artımı həndəsi irəliləyiş qanununa görə artımdır, birinci həddi bərabərdirP, və məxrəc (1+ i).

Qeyd edək ki, son tarix nə vaxtn<1 sadə faizdən istifadə etməklə artım mürəkkəb faizdən daha böyük nəticələr verir və nə vaxtn>1 - əksinə. Bunu xüsusi ədədi nümunələrdən istifadə etməklə yoxlamaq asandır. Sadə faizlə hesablanmış məbləğin mürəkkəb faizlə hesablanmış məbləğdən (eyni faiz dərəcələri ilə) ən böyük artıqlığı dövrün orta hissəsində əldə edilir.

Mürəkkəb faiz düsturu
dərəcəsi zamanla dəyişdikdə

Mürəkkəb faiz dərəcəsi zamanla dəyişdikdə, mürəkkəbləşdirmə düsturu aşağıdakı formaya malikdir

(20)

burada i 1, i 2,..., i k - dövrlər ərzində qüvvədə olan faiz dərəcələrinin ardıcıl dəyərləri n 1, n 2,..., nk müvafiq olaraq.

Misal 6.

Müqavilədə deyilir dəyişən dərəcə mürəkkəb faiz, illik 20% üstəgəl ilk iki ildə 10%, üçüncü ildə 8%, dördüncü ildə 5% marja kimi müəyyən edilir. 4 il üçün artım çarpanının dəyərini təyin edin.

Həll.

(1+0,3) 2 (1+0,28)(1+0,25)=2,704

Məbləği ikiqat artırmaq üçün formula

Perspektivlərini qiymətləndirmək üçün kreditor və ya borclu soruşa bilər: kredit məbləği neçə ildən sonra artacaqNmüəyyən faiz dərəcəsi ilə dəfə. Bu, adətən gələcəkdə investisiya imkanlarınızı proqnozlaşdırarkən tələb olunur. Cavabını artım faktorunu dəyərə bərabərləşdirməklə alırıqN:

A) sadə maraq üçün

(1+ nisadə) = N, harada

. (21)

B) mürəkkəb faizlər üçün

(1+ ikompleks) n= N, harada

. (22)

Xüsusilə tez-tez istifadə olunurN=2. Sonra (21) və (22) düsturları ikiqat düsturlar adlanır və aşağıdakı formanı alır:

A) sadə maraq üçün

, (23)

B) mürəkkəb faizlər üçün

. (24)

Əgər düsturdan (23) kobud hesablamalar üçün istifadə etmək asandırsa, onda (24) düstur kalkulyatordan istifadə etməyi tələb edir. Bununla belə, kiçik faiz dərəcələri üçün (məsələn, 10%-dən az), əvəzinə daha sadə təxmindən istifadə etmək olar. Bunu nəzərə alsanız, əldə etmək asandır ln 2  0,7 və ln (1+ i)  i. Sonra

n» 0.7/ i. (25)

Misal 7.

Həll.

a) Sadə maraqla:

illər.

b) Mürəkkəb faiz və dəqiq formula ilə:

İlin.

c) Mürəkkəb faiz və təxmini düsturla:

n» 0.7/ i= 0,7/0,1 = 7 il.

Nəticələr:

1) Sadə və mürəkkəb faiz dərəcələrinin eyni dəyəri tamamilə fərqli nəticələrə gətirib çıxarır.

2) Mürəkkəb faiz dərəcəsinin kiçik dəyərləri üçün dəqiq və təxmini düsturlar demək olar ki, eyni nəticələr verir.

İllərin kəsirli sayı üçün illik faizin hesablanması

Kesirli bir neçə il üçün faizlər müxtəlif yollarla hesablanır:

1) Mürəkkəb faiz düsturundan istifadə etməklə

S=P(1+i)n, (26)

2) Qarışıq metoda əsaslanaraq, ona görə mürəkkəb faizlər bütün il üçün, sadə faizlər isə kəsr ədəd üçün hesablanır.

S=P(1+i) a (1+bi), (27)

Harada n= a+ b, a- illərin tam sayı,b- ilin fraksiyalı hissəsi.

3) Bir sıra kommersiya bankları faizlərin hesablanma müddətindən daha qısa müddətə hesablanmadığı bir qayda tətbiq edirlər, yəni.

S=P(1+i)a. (28)

Nominal və effektiv faiz dərəcələri

Nominal dərəcə . İllik mürəkkəb faiz dərəcəsi belə olsunj, və illik hesablama dövrlərinin sayım. Sonra hər dəfə faiz dərəcəsi hesablanır j/m. Təklif jnominal adlanır. Faizlər aşağıdakı düstura uyğun olaraq nominal dərəcə ilə hesablanır:

S=P(1+j/m)N, (29)

Harada N- hesablama dövrlərinin sayı.

Kreditin müddəti hesablama dövrlərinin kəsirli sayı ilə ölçülürsə, nə vaxtmİldə birdəfəlik faiz hesablanmasında hesablanmış məbləğ bir neçə yolla hesablana bilər ki, bu da müxtəlif nəticələrə gətirib çıxarır:

1) Mürəkkəb faiz düsturundan istifadə

S=P(1+j/m) N/t, (30)

Harada N/ t- faizlərin hesablanması dövrlərinin sayı (bəlkə də kəsr),t- faizlərin hesablanma müddəti,

2) Qarışıq düstura görə

, (31)

Harada a- hesablama dövrlərinin tam sayı (yəni.a= [ N/ t] - bütün kredit müddətinin bölünməsinin tam hissəsiNhesablama dövrü üçünt),

b- hesablama dövrünün qalan fraksiya hissəsi ( b= N/ t- a).

Misal 8.

Kreditin məbləği 20 milyon rubl. 28 ay müddətinə verilir. Nominal dərəcə illik 60% təşkil edir. Faizlər rüblük hesablanır. Hesablanmış məbləği üç vəziyyətdə hesablayın: 1) kəsr hissəyə mürəkkəb faiz hesablandıqda, 2) kəsr hissəyə sadə faiz hesablandıqda, 3) kəsr hissəsi nəzərə alınmadıqda. Nəticələri müqayisə edin.

Həll.

Faizlər rüblük hesablanır. Cəmi kvartallar var.

1) = 73,713 milyon rubl.

2) = 73,875 milyon rubl.

3) S=20(1+0,6/4) 9= 70,358 milyon ovuşdurmaq.

Yığılmış məbləğlərin müqayisəsindən görürük ki, o, ikinci halda ən böyük dəyərinə çatır, yəni. kəsr hissəsinə sadə faiz hesablanarkən.

Effektiv dərəcə illik mürəkkəb faiz dərəcəsinin hansı maliyyə nəticəsi ilə eyni olduğunu göstərirm- dərəcəsi ilə ildə birdəfəlik artımj/ m.

Faiz kapitallaşdırılarsamildə bir dəfə, hər dəfə bir nisbətdəj/ m, onda tərifə əsasən, müvafiq artım amilləri üçün bərabərliyi yaza bilərik:

(1+iuh) n =(1+j/m) mn, (32)

Harada iuheffektiv dərəcədir vəj- nominal. Buradan əldə edirik ki, effektiv və nominal dərəcələr arasındakı əlaqə əlaqə ilə ifadə olunur

(33)

Tərs əlaqə formasına malikdir

j=m[(1+iuh) 1/m -1].(34)

Misal 9.

Əgər bank illik 10% nominal faiz dərəcəsinə əsaslanaraq rüblük faiz alırsa, effektiv faiz dərəcəsini hesablayın.

Həll

iuh=(1+0,1/4) 4 -1=0,1038, yəni. 10,38%.

Misal 10.

İllik 12% effektiv dərəcəsini təmin etmək üçün faiz rüblük hesablandıqda nominal dərəcəsin nə olacağını müəyyənləşdirin.

Həll.

j=4[(1+0,12) 1/4 -1]=0,11495, yəni. 11,495%.

Mürəkkəb faiz dərəcəsi ilə uçot (diskontlaşdırma).

Burada sadə faizlə bağlı olduğu kimi, mühasibat uçotunun iki növü nəzərdən keçiriləcək - riyazi və bank işi.

Riyazi mühasibat uçotu . Bu halda mürəkkəb faizlərin yığılmasının tərs məsələsi həll edilir. Artımın ilkin düsturunu yazaq

S=P(1+i)n

və nisbətən həll edirP

, (35)

Harada

(36)

uçot və ya endirim faktoru.

Əgər faiz hesablanırsamildə bir dəfə alırıq

, (37)

Harada

(38)

endirim faktoru.

Ölçü P, endirimlə əldə edilirS, çağırdı müasir və ya cari dəyər və ya verilmişdir ölçüsü S. Məbləğlər P Və Sməbləğində ödəmə mənasında ekvivalentdirS vasitəsilə nil məbləğinə bərabərdirPhal-hazırda ödənilir.

Fərq D= S- Pçağırdı endirim.

Bank Mühasibatlığı. Bu halda kompleks uçot dərəcəsinin tətbiq olunacağı güman edilir. Kompleks uçot dərəcəsi ilə diskontlaşdırma düstur üzrə həyata keçirilir

P=S(1-dsl) n, (39)

Harada dsl- kompleks illik uçot dərəcəsi.

Bu vəziyyətdə endirim bərabərdir

D=S-P=S-S(1-dsl) n =S.(40)

Mürəkkəb uçot dərəcəsi istifadə edildikdə, diskontlaşdırma prosesi mütərəqqi yavaşlama ilə baş verir, çünki diskont dərəcəsi hər dəfə əvvəlki dövrlə müqayisədə endirim məbləği ilə azaldılmış məbləğə tətbiq olunur.

Nominal və effektiv faiz dərəcələri

Nominal endirim dərəcəsi . Endirimdən istifadə edildiyi hallardamildə bir dəfə istifadə edin nominal diskont dərəcəsi f. Sonra hər dövrdə bərabərdir 1/ milin bir hissəsində diskontlaşdırma kompleks uçot dərəcəsi ilə həyata keçirilirf/ m. Bu mürəkkəb mühasibat uçotu üçün endirim prosesimildə bir dəfə düsturla təsvir edilir

P=S(1-f/m)N, (41)

Harada N - ümumi sayı endirim dövrləri (N= mn).

Endirim bir deyil mildə bir dəfə endirim məbləğini daha tez azaldır.

Effektiv endirim dərəcəsi. Effektiv uçot dərəcəsi mürəkkəb illik uçot dərəcəsi ekvivalenti kimi başa düşülür (b maliyyə nəticələri) nominal, ildə müəyyən sayda endirimlər üçün tətbiq edilirm.

Effektiv uçot dərəcəsinin tərifinə uyğun olaraq, biz onun nominal dərəcə ilə əlaqəsini endirim faktorlarının bərabərliyindən tapacağıq.

(1-f/m) mn =(1-dsl) n,

buradan belə çıxır

dsl=1-(1-f/m) m. (42)

Qeyd edək ki, effektiv uçot dərəcəsi həmişə nominal dərəcədən azdır.

Kompleks endirim dərəcəsi ilə artırın. Artım, endirim dərəcələri üçün tərs problemdir. Mürəkkəb endirim dərəcələri ilə kompaundlaşdırma üçün düsturlar müvafiq diskontlaşdırma düsturlarını (39 və 41) həll etməklə əldə edilə bilər.S. alırıq

-dan P=S(1-d sl) n

, (43)

və dən P= S(1- f/ m) N

. (44)

Misal 11.

Qanun layihəsinə hansı məbləğ daxil edilməlidir, əgər verilmiş faktiki məbləğ 20 milyon rubl olarsa, ödəmə müddəti 2 ildir. Qanun layihəsi 10% mürəkkəb illik uçot dərəcəsi əsasında hesablanır.

Həll.

milyon rubl

Misal 12.

Əvvəlki problemi həll edin, bir şərtlə ki, kompleks uçot dərəcəsi ilə artım ildə bir deyil, 4 dəfə həyata keçirilsin.

Həll.

milyon rubl

Yığım və endirim

Diskret faizlərlə hesablanmış məbləğ düsturla müəyyən edilir

S= P(1+ j/ m) mn,

Harada j- nominal faiz dərəcəsi vəm- illik faiz dövrlərinin sayı.

Daha çox m, faizlərin hesablanması nöqtələri arasındakı vaxt intervalları nə qədər qısa olarsa. Limitdəm® ¥ bizdə var

S= lim P(1+j/m) mn =P lim [(1+j/m) m ] n . (45)

m ® ¥ m ® ¥

Məlumdur ki

lim (1+j/m) m =lim [(1+j/m) m/j ] j =e j ,

m ® ¥ m ® ¥

Harada e- natural loqarifmlərin əsası.

(45) ifadəsindəki bu limitdən istifadə edərək nəhayət əldə edirik ki, faiz dərəcəsində davamlı faiz hesablanması halında yığılmış məbləğj bərabərdir

S= Pe jn. (46)

Davamlı faiz dərəcəsini diskret faiz dərəcələrindən fərqləndirmək üçün o artım tempi adlanır və simvolu ilə işarələnir. d. Sonra

S=Pedn. (47)

Böyümə gücü d təmsil edir nominal dərəcə faizm® ¥ .

Davamlı faiz dərəcələri əsasında diskontlaşdırma düsturdan istifadə etməklə həyata keçirilir

P=Se-dn. (48)

Diskret və davamlı faiz dərəcələri arasında əlaqə

Diskret və davamlı faiz dərəcələri funksional əlaqədədir, bunun sayəsində davamlı faizlərin hesablanmasından diskret faizə və əksinə keçid mümkündür. Bir mərcdən digərinə ekvivalent keçid formulunu müvafiq artım çarpanlarını bərabərləşdirməklə əldə etmək olar.

(1+i) n =edn. (49)

Yazılı bərabərlikdən belə çıxır

d = ln(1+ i) , (50)

i= ed-1 . (51)

Misal 13.

İllik mürəkkəb faiz dərəcəsi 15% təşkil edir ki, bu da ekvivalent artım tempidir,

Həll.

Gəlin düsturdan istifadə edək (50)

d = ln(1+ i)= ln(1+0,15)=0,13976,

olanlar. ekvivalent artım qüvvəsi 13,976% təşkil edir.

Kredit müddətinin və faiz dərəcələrinin hesablanması

Bir sıra praktiki məsələlərdə ilkin ( P ) və final (S ) məbləğlər müqavilə ilə müəyyən edilir və ya ödəniş müddətini, ya da faiz dərəcəsini müəyyən etmək lazımdır, bu halda kreditor üçün bazar göstəriciləri və əməliyyatın gəlirliliyinin xüsusiyyətləri ilə müqayisə ölçüsü kimi xidmət edə bilər. . Göstərilən dəyərlər toplama və ya endirim üçün ilkin düsturlardan asanlıqla tapıla bilər. Əslində hər iki halda tərs məsələ müəyyən mənada həll olunur.

Kredit müddəti

Müqavilənin parametrlərini işləyib hazırlayarkən və istənilən nəticəyə nail olmaq üçün vaxt çərçivəsini qiymətləndirərkən əməliyyatın qalan parametrləri vasitəsilə əməliyyatın müddətini (kredit müddətini) müəyyən etmək lazımdır. Bu məsələni daha ətraflı nəzərdən keçirək.

i.

S=P(1+i)n

bunu izləyir

(52)

loqarifmi istənilən bazaya götürmək olar, çünki o, həm payda, həm də məxrəcdə mövcuddur.

mdüsturdan ildə bir dəfə

S=P(1+j/m) mn

alırıq

(53)

d. Formuladan

P=S(1-d)n

bizdə var (54)

m ildə bir dəfə. From

P=S(1-f/m) mn

formuluna çatırıq

(55)

Daimi böyümə gücü ilə qurulduqda. əsasında

S= Pedn

alırıq

ln( S/ P)= d n. (56)

Faiz dərəcəsinin hesablanması

Yuxarıdakı kimi eyni ilkin düsturlardan biz faiz dərəcələri üçün ifadələr alırıq.

A) Kompleks illik sürətlə artdıqdai. Orijinal böyümə düsturundan

S=P(1+i)n

bunu izləyir

(57)

B) Nominal faiz dərəcəsi ilə artdıqdamdüsturdan ildə bir dəfə

S=P(1+j/m) mn

alırıq (58)

B) Kompleks illik uçot dərəcəsi ilə diskont edildikdəd. Formuladan

P=S(1-d)n

bizdə var (59)

D) Nominal uçot dərəcəsi ilə diskont edilərkənm ildə bir dəfə. From

P=S(1-f/m) mn

formuluna çatırıq

(60)

D) Sabit böyümə qüvvəsi ilə artırdıqda. əsasında

S= Pedn

alırıq

(61)

Faiz və inflyasiya

İnflyasiyanın nəticəsi aşağı düşmədir alıcılıq qabiliyyəti dövr üçün olan pulnindeksi ilə xarakterizə olunurJ n. Alıcılıq qabiliyyəti indeksi qiymət indeksinin əksinə bərabərdirJp, yəni.

J n=1/ Jp. (62)

Qiymət indeksiqiymətlərin müəyyən bir müddət ərzində neçə dəfə artdığını göstərir.

Sadə faizlə artırın

Əgər uzadılırsa n pulun miqdarı ildirS, qiymət indeksi isə bərabərdirJp, onda onun alıcılıq qabiliyyəti nəzərə alınmaqla faktiki artan pul məbləği bərabərdir

C=S/J səh. (63)

Gözlənilən orta illik inflyasiya səviyyəsi (il ərzində qiymət artımını xarakterizə edən) bərabər olsun h . Sonra illik qiymət indeksi olacaq (1+ h).

Artım edilirsə sadə sürətlə zamanınil sonra inflyasiya nisbətində real artım h olacaq

(64)

ümumiyyətlə harada

(65)

və xüsusən də sabit qiymət artımı iləh,

J p =(1+h) n. (66)

Sadə faiz hesablanarkən inflyasiyanı kompensasiya edən faiz dərəcəsi bərabərdir

(67)

Pulun köhnəlməsini kompensasiya etməyin bir yolu, sözdə faiz dərəcəsini artırmaqdır inflyasiya mükafatı. Bu şəkildə tənzimlənən dərəcə deyilir ümumi dərəcəsi. Simvol ilə qeyd edəcəyimiz ümumi nisbətr, ümumi nisbətdə inflyasiyaya uyğunlaşdırılmış artım çarpanının real faiz dərəcəsi üzrə artım multiplikatoruna bərabərliyindən tapılır.

(68)

harada

(69)

Mürəkkəb faizlərin birləşməsi

uzadılmış mürəkkəb faizlə pulun alıcılıq qabiliyyətinin aşağı düşməsi nəzərə alınmaqla (yəni daimi rublla) kredit müddətinin sonuna qədər məbləğ olacaq.

(70)

burada qiymət indeksi inflyasiyanın dəyişkənliyindən və ya sabitliyindən asılı olaraq (65) və ya (66) ifadəsi ilə müəyyən edilir.

Bu zaman pulun alıcılıq qabiliyyətinin aşağı düşməsi məzənnə ilə kompensasiya ediliri= hbərabərliyin təmin edilməsiC= P.

Müraciət edin itkiləri kompensasiya etməyin iki yolu mürəkkəb faizlər hesablandıqda pulun alıcılıq qabiliyyətinin azalmasından.

A) Faiz dərəcəsinin tənzimlənməsi, ona uyğun olaraq artım edilir, məbləğlə inflyasiya mükafatı.İnflyasiya mükafatı ilə artırılan faiz dərəcəsi ümumi dərəcə adlanır. Onu simvolla qeyd edəcəyikr. İllik inflyasiya səviyyəsinin bərabər olduğunu fərz etsəkh, müvafiq artım amillərinin bərabərliyini yaza bilərik

(71)

Harada i- real məzənnə.

Buradan Fisher düsturunu alırıq

r=i+h+ih. (72)

Yəni inflyasiya mükafatı bərabərdirh+ ih.

B) İlkin məbləğin indeksləşdirilməsi P . Bu halda məbləğPəvvəlcədən razılaşdırılmış indeksin hərəkətinə uyğun olaraq düzəliş edilir. Sonra

S=PJ p (1+i) n. (73)

Hər iki halda A) və B) vəziyyətində sonda eyni artım düsturuna (73) çatdığımızı görmək asandır. Burada sağ tərəfdəki ilk iki amil ilkin məbləğin indeksləşdirilməsini, sonuncu ikisi isə faiz dərəcəsinin tənzimlənməsini əks etdirir.

Real faiz dərəcəsinin ölçülməsi

Praktikada biz həm də tərs problemi həll etməliyik - inflyasiya şəraitində real faiz dərəcəsini tapmaq. Artım çarpanları arasındakı eyni əlaqələrdən real nisbəti təyin edən düsturlar əldə etmək asandır.iverilmiş (və ya elan edilmiş) ümumi məzənnə ilə r.

Sadə faiz hesablanarkən illik real faiz dərəcəsi bərabərdir

(74)

Mürəkkəb faiz hesablanarkən real faiz dərəcəsi aşağıdakı ifadə ilə müəyyən edilir

(75)

Nəzəriyyənin praktik tətbiqi

Gəlin müzakirə etdiyimiz nəzəriyyənin bəzi praktik tətbiqlərinə baxaq. Bəzilərinin səmərəliliyinin hesablanmasına dair real məsələlərin həlli zamanı yuxarıda alınan düsturların necə tətbiq olunduğunu göstərək maliyyə əməliyyatları, müxtəlif hesablama üsullarını müqayisə edin.

Valyuta konvertasiyası və faizlərin hesablanması

Valyuta konvertasiyası (mübadilə) və artırılmasını birləşdirməyi nəzərdən keçirək sadə maraq, mövcud olanların birbaşa yerləşdirilməsinin nəticələrini müqayisə edin Pul depozitlərə və ya başqa valyutaya ilkin dəyişdirildikdən sonra. Marağı artırmaq üçün cəmi 4 seçim var:

1. Dönüşüm yoxdur. Valyuta vəsaitləri xarici valyutada depozit kimi yerləşdirilir və sadə faiz düsturu birbaşa tətbiq edilməklə ilkin məbləğ valyuta məzənnəsi ilə artırılır.

2. Dönüşüm ilə. Orijinal Valyuta rubla çevrilir, artım rubl məzənnəsindədir, əməliyyatın sonunda rubl məbləği yenidən orijinal valyutaya çevrilir.

3. Dönüşüm yoxdur. Rubl məbləği rubl əmanəti şəklində yerləşdirilir, ona faiz sadə faiz düsturu ilə rubl məzənnəsi ilə hesablanır.

4. Dönüşüm ilə. Rubl məbləği xarici valyuta depozitinə yatırılan istənilən xüsusi valyutaya çevrilir. Faizlər valyuta məzənnəsi ilə hesablanır. Hesablanmış məbləğ əməliyyatın sonunda yenidən rubla çevrilir.

Konvertasiya olmadan əməliyyatlar çətin deyil. İkiqat konvertasiya ilə hesablama əməliyyatında iki gəlir mənbəyi var: faiz hesablanması və məzənnə dəyişikliyi. Üstəlik, faizin hesablanması qeyd-şərtsiz mənbədir (dərəcə sabitdir, biz hələ inflyasiyanı nəzərə almırıq). Məzənnənin dəyişməsi ya bu və ya digər istiqamətdə ola bilər, həm də mənbə ola bilər əlavə gəlir, itkilərə səbəb olur. Sonra, ikiqat konvertasiyanı təmin edən iki varianta (2 və 4) diqqət yetirəcəyik.

Əvvəlcə aşağıdakı QEYDLƏRİ təqdim edək:

Pv- xarici valyutada depozit məbləği,

P r- rublda depozit məbləği,

S v- xarici valyutada hesablanmış məbləğ;

Sr- rublla hesablanmış məbləğ,

K 0 - əməliyyatın əvvəlindəki məzənnə (valyuta məzənnəsi rublla)

K 1 - əməliyyatın sonundakı məzənnə,

n- əmanət müddəti,

i- rubl məbləğləri üçün hesablama dərəcəsi (onluq kəsr şəklində),

j- konkret valyuta üçün hesablama dərəcəsi.

OPSİYON:CURRENCY ® RUBLES ® RUBLES ® CURRENCY

Əməliyyat üç mərhələdən ibarətdir: valyutanın rubla dəyişdirilməsi, rublun məbləğinin artırılması və rubl məbləğinin yenidən orijinal valyutaya çevrilməsi. Xarici valyutada əməliyyatın sonunda alınan hesablanmış məbləğ olacaq

.

Göründüyü kimi, əməliyyatın üç mərhələsi bu düsturda üç faktor şəklində əks olunub.

İkiqat çevrilmə nəzərə alınmaqla artım çarpanı bərabərdir

,

Harada k= K 1 / K 0 - əməliyyat müddəti ərzində valyuta məzənnəsinin artım tempi.

Böyümə faktoru olduğunu görürükmdərəcəsi ilə xətti bağlıdırivə əməliyyatın sonundakı məzənnə ilə tərsK 1 (və ya məzənnənin artım tempi ilək).

CURRENCY sxeminə uyğun olaraq ikiqat konvertasiya ilə əməliyyatın ümumi gəlirliliyinin asılılığını nəzəri olaraq öyrənək.® RUBLES ® RUBLES ® Yekun və ilkin valyuta məzənnələrinin nisbətindən VALYUTAk .

Bütövlükdə əməliyyatın rentabelliyini xarakterizə edən sadə illik faiz dərəcəsi bərabərdir

.

Gəlin bu düsturda əvvəl yazılmış ifadəni əvəz edəkS v

.

Beləliklə, artımlak gəlirliliki eff asimptotu -1 olan hiperbola boyunca düşür / n . şəkə baxın. 2.

düyü. 2.

Bu əyrinin tək nöqtələrini nəzərdən keçirək. Qeyd edək ki, nə vaxtk =1 əməliyyatın gəlirliliyi rublun məzənnəsinə bərabərdir, yəni.i eff = i . Atk >1 i eff < i , və nə zamank <1 i eff > i . Şəkildə. 1 kritik dəyərdə görünə bilərk , kimi işarə edirikk * , əməliyyatın rentabelliyi (səmərəliliyi) sıfıra bərabər olur. Bərabərlikdəni eff =0 tapırıqk * =1+ ni , bu da öz növbəsində deməkdirK * 1 = K 0 (1+ ni ).

NƏTİCƏ 1: Əgər gözlənilən dəyərlərk və yaK 1 kritik dəyərləri aşsa, əməliyyat açıq-aydın mənfəətsizdir (i eff <0 ).

İndi müəyyən edək əməliyyatın sonunda icazə verilən maksimum məzənnə K 1 , burada səmərəlilik xarici valyutada depozitlər üzrə mövcud dərəcəyə bərabər olacaq və ikiqat konvertasiyadan istifadə heç bir əlavə fayda vermir. Bunu etmək üçün iki alternativ əməliyyat üçün böyümə faktorlarını bərabərləşdirək

.

Yazılı bərabərlikdən belə çıxır

və ya

.

NƏTİCƏ 2: Əgər əməliyyatın sonunda məzənnənin aşağı olacağı gözlənilirsə, rubla konvertasiya yolu ilə valyuta depoziti xarici valyutada depozitdən daha sərfəlidir.maksK 1 .

OPSİYON:RUBL® VALYUTA® VALYUTA® RUBL

İndi orijinal məbləğ rublda olduqda ikiqat konvertasiya ilə seçimi nəzərdən keçirək. Bu halda, əməliyyatın üç mərhələsi yığılmış məbləğ üçün aşağıdakı ifadənin üç faktoruna uyğun gəlir

.

Burada da artım multiplikatoru xətti olaraq məzənnədən, indi isə valyuta faizindən asılıdır. O, həmçinin son məzənnədən xətti asılıdır.

Bu ikiqat çevirmə əməliyyatının effektivliyinin nəzəri təhlilini aparaq və kritik məqamları müəyyən edək.

.

Buradan ifadəni əvəz etməkləS r , alırıq

.

Performans göstəricisindən asılılıqi eff -dank xətti, Şəkildə göstərilmişdir. 3

düyü . 3.

At k=1i eff =j , saat k>1 i eff >j , saat k<1 i eff .

İndi kritik dəyəri tapaqk * , hansındai eff =0 . Bərabər olduğu ortaya çıxır

və ya .

NƏTİCƏ 3: Əgər gözlənilən dəyərlərk və yaK 1 kritik dəyərlərindən azdırsa, əməliyyat açıq-aydın gəlirsizdir (i eff <0 ).

Minimum icazə verilən dəyərk rublla birbaşa depozit kimi eyni gəlirliliyi təmin edən (əməliyyatın bütün dövrü ərzində valyuta məzənnəsinin artım tempi) alternativ əməliyyatlar üçün artım çarpanlarını bərabərləşdirməklə müəyyən edilir (və ya bərabərlikdən)i eff = i )

,

harada min və yamin .

NƏTİCƏ 4: Əgər əməliyyatın sonunda məzənnənin daha yüksək olacağı gözlənilirsə, valyutanın konvertasiyası vasitəsilə rubl məbləğlərinin depozitə qoyulması rubl depozitindən daha sərfəlidir.minK 1 .

İndi valyuta konvertasiyası və artımı birləşdirməyə baxaq mürəkkəb maraq.Özümüzü bir variantla məhdudlaşdıraq.

OPSİYON:VALyuta® RUBL® RUBL® VALYUTAk =1 i uh = i , saatk >1 i uh < i , və nə zamank <1 i uh > i .

Kritik dəyərk , əməliyyatın səmərəliliyi sıfırdır, yəni.i uh =0 ,

kimi müəyyən edilirk * =(1+ i ) n , yəni valyuta məzənnəsinin orta illik artım tempi rublun məzənnəsində illik artım sürətinə bərabərdir: .

NƏTİCƏ 5: Əgər gözlənilən dəyərlərk və yaK 1 kritik dəyərlərindən çox olarsa, ikiqat konvertasiya əməliyyatı açıq şəkildə zərərlidir (i uh <0 ).

Maksimum icazə verilən dəyərk , bu zaman əməliyyatın rentabelliyi məzənnə ilə xarici valyuta vəsaitlərinin birbaşa investisiyasının rentabelliyinə bərabər olacaqdır.

Maliyyə əməliyyatlarının xülasəsi

Maliyyə və ya kredit əməliyyatları investisiyaların və gəlirlərin balansını tələb edir. Balans anlayışı qrafiklə izah edilə bilər.

düyü. 5.

Kreditin məbləği olsunD 0 müddətə verilirT . Bu müddət ərzində, məsələn, borcun ödənilməsi üçün iki aralıq ödəniş edilirR 1 VəR 2 , və müddətin sonunda borcun qalığı ödənilirR 3 , əməliyyatın balansını gətirir.

Zaman intervalındat 1 borc artırD 1 . Bu andat 1 borc qədər azalırK 1 = D 1 - R 1 və s. Əməliyyat kreditorun borcun qalığını alması ilə başa çatırR 3 . Bu zaman borc tam ödənilir.

Buna b növü deyək) maliyyə əməliyyatının təsviri. Balanslaşdırılmış bir əməliyyat mütləq qapalı bir döngəyə malikdir, yəni. son ödəniş borcun qalığını tam əhatə edir. Əməliyyat konturları adətən qismən aralıq ödənişlər vasitəsilə borcun ödənilməsi zamanı istifadə olunur.

Ardıcıl taksit ödənişləri bəzən qısamüddətli öhdəlikləri ödəmək üçün istifadə olunur. Bu halda, faizlərin hesablanması və borc balansının müəyyən edilməsi üçün iki üsul var. Birincisi adlanır aktuar və əsasən son tarixi olan əməliyyatlarda istifadə olunur bir ildən çoxdur. İkinci üsul adlanır tacir qaydası. Adətən kommersiya firmaları tərəfindən son tarixi olan əməliyyatlarda istifadə olunur bir ildən çox deyil.

Şərh: Faizləri hesablayarkən, bir qayda olaraq, adi faizlər zaman dövrlərinin təxmini sayı ilə istifadə olunur.

Aktuar üsul

Aktuar metod borcun faktiki məbləğləri üzrə faizlərin ardıcıl hesablanmasını nəzərdə tutur. Qismən ödəniş ilk növbədə ödəniş tarixində hesablanmış faizlərin ödənilməsinə yönəldilir. Ödəniş məbləği hesablanmış faiz məbləğindən artıq olarsa, fərq borcun əsas məbləğinin ödənilməsinə gedir. Borcun ödənilməmiş qalığı növbəti dövr üçün faizlərin hesablanması üçün əsas rolunu oynayır və s. Əgər hissə-hissə ödəniş hesablanmış faizdən azdırsa, o zaman borc məbləği ilə əvəzləşdirmə aparılmır. Bu qəbz növbəti ödənişə əlavə edilir.

Şəkildə göstərilən hal üçün. 5 b), borc qalığını təyin etmək üçün aşağıdakı hesablama düsturlarını alırıq:

K 1 =D 0 (1+t 1 i)-R 1; K2 =K 1 (1+t 2 i)-R 2; K2 (1+t 3 i)-R 3 =0,

dövrlər haradadırt 1 , t 2 , t 3 - illər və faiz dərəcəsi veriliri - illik.

Tacir Qaydası

Tacir qaydası taksitlərin hesablanmasına başqa bir yanaşmadır. Burada iki mümkün vəziyyət var.

1) Kreditin müddəti artıq olmadıqda, borcun bütün müddət üçün hesablanmış faizləri ilə məbləği tam ödənilənə qədər dəyişməz qalır. Eyni zamanda, qismən ödənişlər müddətin sonuna qədər onlara hesablanmış faizlərlə yığılır.

2) Müddət bir ildən çox olarsa, yuxarıda göstərilən hesablamalar üçün aparılır illik borc müddəti. İlin sonunda hissə-hissə ödənişlərin yığılmış məbləği borc məbləğindən çıxılır. Qalan məbləğ gələn il ödənilir.

Ümumi kredit müddəti iləT £ 1 alqoritmi aşağıdakı kimi yazmaq olar

,

HaradaS - müddətin sonunda borcun qalığı;

D - artan borc məbləği,

K - artan ödənişlər,

Rj - qismən ödəniş məbləği,

t j - ödəniş anından müddətin sonuna qədər olan vaxt intervalı,

m - qismən (aralıq) ödənişlərin sayı.

Dəyişən faktura məbləği və faiz hesablanması

Bankda əmanət hesabı açıldığı və saxlama müddətində hesabın məbləğinin dəyişdiyi bir vəziyyəti nəzərdən keçirək: vəsait çıxarılır, əlavə töhfələr verilir. Sonra bank praktikasında, faiz hesablanarkən, tez-tez sözdə hesablamaq üçün bir hesablama metodundan istifadə olunur. faiz rəqəmləri. Hər dəfə hesabdakı məbləğ dəyişdikdə faiz sayı hesablanırCj ötən dövr ərzindəj , bu müddət ərzində hesabdakı məbləğ düstura uyğun olaraq dəyişməz qaldı

,

Haradat j - müddətij - günlərlə dövr.

Bütün dövr üçün hesablanmış faiz məbləğini müəyyən etmək üçün bütün faiz nömrələri toplanır və onların cəmi sabit bölücüyə bölünür.D :

,

HaradaK - vaxt bazası (ildə günlərin sayı, yəni 360 və ya 365 və ya 366),i - illik sadə faiz dərəcəsi (%).

Hesabı bağlayarkən, sahibi hesabdakı son məbləğə və faiz məbləğinə bərabər bir məbləğ alacaq.

Misal 14.

Fevralın 20-də məbləğində tələb hesabı açılsınP 1 =3000 rubl, əmanət üzrə faiz dərəcəsi idii = illik 20%. Hesaba əlavə töhfə olduR 1 = 2000 rub. və avqustun 15-də edildi. məbləğində hesabdan çıxarılmasıR 2 =-4000 rub. oktyabrın 1-də qeydə alınıb və hesab noyabrın 21-də bağlanıb. Hesabı bağlayarkən əmanətçinin aldığı faizlərin və ümumi məbləğin müəyyən edilməsi tələb olunur.

Həll.

Hesablamanı sxemə görə aparacağıq (360/360). Hesabdakı məbləğin dəyişməz qaldığı üç dövr var: fevralın 20-dən avqustun 15-dək (P 1 =3000, t 1 =10+5*30+15=175), avqustun 15-dən oktyabrın 1-dək (P 2 = P 1 + R 1 =3000+2000=5000 rub.,t 2

Hesab bağlandıqdan sonra ödəniləcək məbləğdir

P 3 +I=1000+447,22=1447 sürtmək. 22 polis.

İndi bu texnikanın sadə faiz düsturu ilə əlaqəsini göstərəcəyik. Yuxarıda göstərilən nümunəni cəbri formada nəzərdən keçirək.

Chesabı bağladıqdan sonra ödənilən məbləği aşağıdakı kimi tapırıq:

Beləliklə, biz belə bir ifadə əldə etmişik ki, ondan belə nəticə çıxır ki, hesaba əlavə olunan və ya hesabdan çıxarılan hər bir məbləğ üçün müvafiq əməliyyat başa çatdığı andan hesab bağlanana qədər faiz hesablanır. Bu sxem Bölmə 6.2-də müzakirə olunan tacir qaydasına uyğundur.

Müqavilənin şərtlərinin dəyişdirilməsi

Praktikada tez-tez müqavilənin şərtlərinin dəyişdirilməsinə ehtiyac var: məsələn, borclu borcun ödənilməsi müddətinin təxirə salınmasını xahiş edə bilər və ya əksinə, onu vaxtından əvvəl ödəmək arzusunu ifadə edə bilər; bəzi hallarda , bir neçə borc öhdəliyinin birləşdirilməsinə (konsolidasiya edilməsinə) ehtiyac yarana bilər və s. Bütün bu hallarda köhnə (əvəz edilmiş) və yeni (əvəz edilmiş) öhdəliklərin maliyyə ekvivalentliyi prinsipi tətbiq edilir. Müqavilənin şərtlərinin dəyişdirilməsi problemlərini həll etmək üçün sözdə ekvivalent tənliyi, burada hər hansı bir vaxta azaldılmış əvəz edilmiş ödənişlərin məbləği eyni tarixə qədər azaldılmış yeni öhdəlik üzrə ödənişlərin məbləğinə bərabərdir. Qısamüddətli müqavilələr üçün sadə faiz dərəcələri, orta və uzunmüddətli müqavilələr üçün isə mürəkkəb dərəcələr tətbiq edilir.

İnsanlar həmişə öz gələcəyini düşünüblər. Onlar çalışıblar və çalışırlar ki, özlərini, övladlarını, nəvələrini maddi sıxıntılardan qorusun, gələcəyə heç olmasa kiçik bir inam adası tiksinlər. Kiçik bank əmanətlərinin köməyi ilə indi onu qurmağa başlamaqla, gələcək sabitliyinizi və müstəqilliyinizi təmin edə bilərsiniz.

Bank əməliyyatlarının əsas prinsipi ondan ibarətdir ki, vəsaitlər yalnız daimi dövriyyədə olduqda arta bilər. Müştərilərin maliyyə xidmətləri sahəsində inamla hərəkət etməsi və müəyyən müddət ərzində onlar üçün faydalı olan şərtləri düzgün seçə bilməsi üçün onlar bir sıra sadə qaydaları bilməlidirlər. Bu məqalə, müəyyən illər ərzində nisbətən az miqdarda ilkin kapitaldan əhəmiyyətli mənfəət əldə etməyə və ya gündəlik ehtiyaclar üçün hesablamaları çıxararaq əmanətdən daha sonra istifadə etməyə imkan verən uzunmüddətli investisiyalara yönəldiləcəkdir.

Mənfəəti düzgün hesablamaq üçün aşağıdakı düsturlar əsasında sadə hesab əməliyyatlarını yerinə yetirmək lazımdır.

Mürəkkəb faiz düsturu (illərlə hesablanır)

Məsələn, siz 100.000.00 rubl depozit qoymağa qərar verdiniz. kapitallaşma nəticəsində əhəmiyyətli dərəcədə artmış 10 il ərzində qənaətdən faydalanmaq üçün illik 11%-lə. Ümumi məbləği hesablamaq üçün mürəkkəb faizlərin hesablanması metodundan istifadə etməlisiniz.

Mürəkkəb faizlərin istifadəsi hər bir dövrün (ilin, rübün, ayın) sonunda hesablanmış mənfəətin depozitlə yekunlaşdırılmasını nəzərdə tutur. Alınan məbləğ mənfəətin sonrakı artması üçün əsasdır.

Mürəkkəb faizi hesablamaq üçün sadə bir düsturdan istifadə edirik:

• S – əmanətin müddəti bitdikdən sonra əmanətçiyə qaytarılmalı olan ümumi məbləğ (“əmanətin orqanı” + faiz);
• P – ilkin depozit məbləği;
• n - vəsaitlərin cəlb edilməsinin bütün dövrü üçün faizlərin kapitallaşdırılması üzrə əməliyyatların ümumi sayı (bu halda bu, illərin sayına uyğundur);
• I – illik faiz dərəcəsi.

Dəyərləri bu düsturla əvəz etdikdə görürük ki:

5 ildən sonra məbləğə bərabər olacaq rub.,

və 10 ildən sonra olacaq sürtmək.

Əgər biz qısa müddət ərzində hesablasaq, onda düsturdan istifadə edərək mürəkkəb faizi hesablamaq daha rahat olardı

• K - cari ildə günlərin sayı,
• J – sonrakı dövrdə bankın hesablanmış faizləri kapitallaşdırdığı günlərin sayı (qalan təyinatlar əvvəlki düsturdakı kimidir).

Ancaq əmanətindən faizləri aylıq götürməyi daha rahat hesab edənlər üçün konsepsiya ilə tanış olmaq daha yaxşıdır. sadə faizlərin hesablanmasını nəzərdə tutan “depozit kapitallaşması”.

Qrafik, 100.000.00 rubl investisiya etsəniz, əmanət üzrə faizlərin kapitallaşdırılması ilə kapitalın necə artacağını göstərir. 10%, 15% və 20% ilə 10 il müddətinə

Mürəkkəb faiz düsturu (aylarla hesablanır)

Müştəri üçün daha sərfəli, faiz dərəcələrini hesablamaq və əlavə etmək üçün başqa bir üsul var - aylıq. Bunun üçün aşağıdakı formula istifadə olunur:

burada n də kapitallaşdırma əməliyyatlarının sayına uyğundur, lakin artıq aylarla ifadə edilir. Burada faiz dərəcəsi əlavə olaraq 12-yə bölünür, çünki bir ildə 12 ay var və biz aylıq faiz dərəcəsini hesablamalıyıq.

Əgər bu düsturdan əmanət rüblük hesablansaydı, onda illik faiz 4-ə bölünərdi və n göstəricisi rüblərin sayına bərabər olardı, əgər faiz yarım ilə hesablansaydı, onda faiz dərəcəsi 2-yə bölünür və n təyinatı yarımillərin sayına uyğun gəlir.

Beləliklə, 100.000.00 rubl məbləğində töhfə vermişik. aylıq faiz kapitallaşması ilə, sonra:

5 ildən sonra (60 ay) depozit məbləği 172.891.57 rubla qədər artacaq, bu da təxminən 10.000 rubl təşkil edir. əmanətin illik kapitallaşdırılması ilə müqayisədə daha çox; sürtmək.

və 10 ildən sonra (120 ay)“Artırılmış” məbləğ 298 914,96 rubl olacaq ki, bu da artıq tam 15 000 rubl təşkil edir. illərlə hesablanmasını nəzərdə tutan mürəkkəb faiz düsturu ilə hesablanmış rəqəmi üstələyir.

sürtmək.

Bu o deməkdir ki, faizlərin aylıq hesablanması zamanı gəlirlilik faizlərin ildə bir dəfə hesablanmasından daha çoxdur. Mənfəət geri alınmazsa, mürəkkəb faiz investorun xeyrinə işləyir.

Bank depozitləri üçün mürəkkəb faiz düsturu

Yuxarıda təsvir edilən mürəkkəb faiz düsturları, çox güman ki, müştərilərin mürəkkəb faizlərin necə hesablandığını başa düşmələri üçün illüstrativ nümunələrdir. Bu hesablamalar bir qədər sadədir bankların faktiki bank depozitlərinə tətbiq etdiyi düstur.

Burada istifadə olunan vahid depozit üçün faiz dərəcəsi əmsalıdır (p). Bu belə hesablanır:

Bank əmanətləri üzrə mürəkkəb faiz (“yığılmış” məbləğ) aşağıdakı düsturla hesablanır:

Buna əsaslanaraq və eyni məlumatları nümunə kimi götürərək, bank metodundan istifadə edərək mürəkkəb faizləri hesablayacağıq.

Əvvəlcə əmanət üçün faiz dərəcəsi əmsalını müəyyənləşdiririk:

İndi məlumatları əsas düsturla əvəz edirik:

sürtmək. – bu, 5 il ərzində “böyümüş” əmanətin məbləğidir*;

sürtmək. – 10 il ərzində*.

*Nümunələrdə verilən hesablamalar təxminidir, çünki onlar sıçrayış illərini və bir ayda müxtəlif gün sayılarını nəzərə almırlar.

Bu iki misaldakı məbləğləri əvvəlkilərlə müqayisə etsək, onlar bir qədər kiçikdir, lakin yenə də faiz kapitallaşmasının faydası göz qabağındadır. Buna görə, uzun müddət banka pul qoymağa qərarlısınızsa, "bankçılıq" düsturundan istifadə edərək mənfəətin ilkin hesablamasını aparmaq daha yaxşıdır - bu, məyusluqların qarşısını almağa kömək edəcəkdir.