Kompletní a redukovaný systém srážek. Vasilisa Yaviks je inteligentní vyhledávač. zítra už je tady! Základní informace z teorie

Jak je uvedeno v §5, vztah srovnatelnosti modulo m má vlastnosti reflexivity, symetrie a tranzitivity; jde tedy o relace ekvivalence vezměte libovolné celé číslo a. Označme o množinu čísel srovnatelnou s modulo m: Nechť. Nech to být teď. A tak dále. Proces bude pokračovat, dokud vytvořené množiny nepokryjí celou množinu celých čísel. V tomto případě vzniká rozdělení množiny Z na množiny a. b, c,..které se nazývají zbytkové třídy modulo m; každé číslo obsažené v kterékoli ze tříd se nazývá zbytek této třídy. Počet tříd zbytků modulo m se rovná m, zbytek dělení celého čísla m nabývá jedné z hodnot m - 2 nebo m - 1, a proto každé z čísel spadá do jedné z tříd 01, jejichž počet je roven m Vezmeme-li jedno číslo z každé třídy zbytků, získáme systém zástupců tříd zbytků nebo úplný systém zbytků modulo m. Systémy zbytků modulo 7: Lemma 3. Čísla xm tvoří úplný systém zbytků modulo m právě tehdy, když jsou párově nesrovnatelné modulo m Potřeba je zřejmá. Pojďme dokázat dostatečnost. Pokud dvě čísla nejsou modulo srovnatelná, pak spadají do různých tříd zbytků. Protože existuje celkem m tříd zbytků a uvažovaná čísla jsou mn, tvoří úplný systém zbytků. Lemma 4. Nechť xm je úplný systém zbytků modulo m, celé číslo a spolu s m, b libovolné celé číslo. Pak čísla axi + 6, ax2 + b, ..axm -f b také tvoří úplný systém zbytků. Soubor redukovaných srážek z různých tříd srážek se nazývá redukovaný systém srážek. Příklad 2. Pro m = 7 může redukovaný systém zbytků vypadat takto: Systémy zbytků Eulerova funkce (p(t) je počet přirozených čísel, která nepřesahují m a jsou vzájemně jednoduchá na m. Např. Je snadné vidět, že je-li p prvočíslo, je zřejmé, že redukovaná soustava zbytků modulo m obsahuje čísla 6. Nechť a je relativně jednoduchá redukovaná soustava zbytků modulo m. axk také tvoří redukovanou soustavu reziduí modulo m 4 Protože čísla o a X( jsou spoluprvní k m, jejich součin ax* má stejnou vlastnost. Podle lemmatu 4 patří čísla ax\, ax2,... k různým. třídy zbytků, a proto na základě předchozího tvoří redukovaný systém zbytků.

Modulo zbytkový kroužek n označují nebo. Jeho multiplikativní grupa, stejně jako v obecném případě skupin invertibilních prvků kruhů, se značí ∗ × × .

Nejjednodušší případ

Chcete-li porozumět struktuře skupiny, můžete zvážit speciální případ , kde je prvočíslo, a zobecnit jej. Zvažme nejjednodušší případ, kdy , to je .

Věta: - cyklická grupa.

Příklad : Zvažte skupinu

= (1,2,4,5,7,8) Generátorem skupiny je číslo 2. ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ Jak vidíme, jakýkoli prvek skupiny může být reprezentován ve tvaru , kde ≤ℓφ . To znamená, že skupina je cyklická.

Obecný případ

Abychom zvážili obecný případ, je nutné definovat primitivní kořen. Primitivní kořenový modulo a prvočíslo je číslo, které spolu se svou třídou zbytku generuje skupinu.

Příklady: 2 11 ; 8 - primitivní kořenový modulo 11 ; 3 není primitivní kořenový modul 11 .

V případě celého modulu je definice stejná.

Struktura grupy je určena následující větou: Jestliže p je liché prvočíslo a l je kladné celé číslo, pak existují primitivní kořeny modulo , tedy cyklická grupa.

Příklad

Daný systém modulo zbytků se skládá z tříd zbytků: . S ohledem na násobení definované pro třídy zbytků tvoří skupinu a jsou také vzájemně inverzní (tj. ⋅ ), a jsou také jejich inverzní.

Struktura skupiny

Zápis znamená "cyklická skupina řádu n".

Struktura skupiny (Z/ n Z) ×

	×	φ	λ	Generátor skupin			×	φ	λ	Generátor skupin			×	φ	λ	Generátor skupin			×	φ	λ	Generátor skupin
1	C 1	1	1	0		33	C 2 × C 10	20	10	2, 10		65	C 4 × C 12	48	12	2, 12		97	C 96	96	96	5
2	C 1	1	1	1		34	C 16	16	16	3		66	C 2 × C 10	20	10	5, 7		98	C 42	42	42	3
3	C 2	2	2	2		35	C 2 × C 12	24	12	2, 6		67	C 66	66	66	2		99	C 2 × C 30	60	30	2, 5
4	C 2	2	2	3		36	C 2 × C 6	12	6	5, 19		68	C 2 × C 16	32	16	3, 67		100	C 2 × C 20	40	20	3, 99
5	C 4	4	4	2		37	C 36	36	36	2		69	C 2 × C 22	44	22	2, 68		101	C 100	100	100	2
6	C 2	2	2	5		38	C 18	18	18	3		70	C 2 × C 12	24	12	3, 69		102	C 2 × C 16	32	16	5, 101
7	C 6	6	6	3		39	C 2 × C 12	24	12	2, 38		71	C 70	70	70	7		103	C 102	102	102	5
8	C 2 × C 2	4	2	3, 5		40	C 2 × C 2 × C 4	16	4	3, 11, 39		72	C 2 × C 2 × C 6	24	6	5, 17, 19		104	C 2 × C 2 × C 12	48	12	3, 5, 103
9	C 6	6	6	2		41	C 40	40	40	6		73	C 72	72	72	5		105	C 2 × C 2 × C 12	48	12	2, 29, 41
10	C 4	4	4	3		42	C 2 × C 6	12	6	5, 13		74	C 36	36	36	5		106	C 52	52	52	3
11	C 10	10	10	2		43	C 42	42	42	3		75	C 2 × C 20	40	20	2, 74		107	C 106	106	106	2
12	C 2 × C 2	4	2	5, 7		44	C 2 × C 10	20	10	3, 43		76	C 2 × C 18	36	18	3, 37		108	C 2 × C 18	36	18	5, 107
13	C 12	12	12	2		45	C 2 × C 12	24	12	2, 44		77	C 2 × C 30	60	30	2, 76		109	C 108	108	108	6
14	C 6	6	6	3		46	C 22	22	22	5		78	C 2 × C 12	24	12	5, 7		110	C 2 × C 20	40	20	3, 109
15	C 2 × C 4	8	4	2, 14		47	C 46	46	46	5		79	C 78	78	78	3		111	C 2 × C 36	72	36	2, 110
16	C 2 × C 4	8	4	3, 15		48	C 2 × C 2 × C 4	16	4	5, 7, 47		80	C 2 × C 4 × C 4	32	4	3, 7, 79		112	C 2 × C 2 × C 12	48	12	3, 5, 111
17	C 16	16	16	3		49	C 42	42	42	3		81	C 54	54	54	2		113	C 112	112	112	3
18	C 6	6	6	5		50	C 20	20	20	3		82	C 40	40	40	7		114	C 2 × C 18	36	18	5, 37
19	C 18	18	18	2		51	C 2 × C 16	32	16	5, 50		83	C 82	82	82	2		115	C 2 × C 44	88	44	2, 114
20	C 2 × C 4	8	4	3, 19		52	C 2 × C 12	24	12	7, 51		84	C 2 × C 2 × C 6	24	6	5, 11, 13		116	C 2 × C 28	56	28	3, 115
21	C 2 × C 6	12	6	2, 20		53	C 52	52	52	2		85	C 4 × C 16	64	16	2, 3		117	C 6 × C 12	72	12	2, 17
22	C 10	10	10	7		54	C 18	18	18	5		86	C 42	42	42	3		118	C 58	58	58	11
23	C 22	22	22	5		55	C 2 × C 20	40	20	2, 21		87	C 2 × C 28	56	28	2, 86		119	C 2 × C 48	96	48	3, 118
24	C 2 × C 2 × C 2	8	2	5, 7, 13		56	C 2 × C 2 × C 6	24	6	3, 13, 29		88	C 2 × C 2 × C 10	40	10	3, 5, 7		120	C 2 × C 2 × C 2 × C 4	32	4	7, 11, 19, 29
25	C 20	20	20	2		57	C 2 × C 18	36	18	2, 20		89	C 88	88	88	3		121	C 110	110	110	2
26	C 12	12	12	7		58	C 28	28	28	3		90	C 2 × C 12	24	12	7, 11		122	C 60	60	60	7
27	C 18	18	18	2		59	C 58	58	58	2		91	C 6 × C 12	72	12	2, 3		123	C 2 x C 40	80	40	7, 83
28	C 2 × C 6	12	6	3, 13		60	C 2 × C 2 × C 4	16	4	7, 11, 19		92	C 2 × C 22	44	22	3, 91		124	C 2 × C 30	60	30	3, 61
29	C 28	28	28	2		61	C 60	60	60	2		93	C 2 × C 30	60	30	11, 61		125	C 100	100	100	2
30	C 2 × C 4	8	4	7, 11		62	C 30	30	30	3		94	C 46	46	46	5		126	C 6 × C 6	36	6	5, 13
31	C 30	30	30	3		63	C 6 × C 6	36	6	2, 5		95	C 2 × C 36	72	36	2, 94		127	C 126	126	126	3
32	C 2 × C 8	16	8	3, 31		64	C 2 × C 16	32	16	3, 63		96	C 2 × C 2 × C 8	32	8	5, 17, 31		128	C 2 × C 32	64	32	3, 127

Aplikace

Na obtížnost, Farma, Hooley, . Waring formuloval Wilsonovu větu a Lagrange to dokázal. Euler navrhl existenci primitivních kořenů modulo prvočíslo. Gauss to dokázal. Artin předložil svou hypotézu o existenci a kvantifikaci prvočísel, modulo, kde dané celé číslo je primitivní kořen. Brouwer přispěl k problému existence množin po sobě jdoucích celých čísel, z nichž každé je k-tou mocninou mod p. Bilharz dokázal analogii Artinovy ​​domněnky. Hooley dokázal Artinovu domněnku za předpokladu platnosti rozšířené Riemannovy hypotézy v algebraických číselných polích.

Poznámky

Literatura

• Ireland K., Rosen M. Klasický úvod do moderní teorie čísel. - M.: Mir, 1987.
• Alferov A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. Cheremushkin A.V. Základy kryptografie. - Moskva: „Helios ARV“, 2002.
• Rostovtsev A.G., Makhovenko E.B. Teoretická kryptografie. - Petrohrad: NPO „Professional“, 2004.

Obvykle jako kompletní systém modulo odpočtů m vezmou se nejmenší nezáporné zbytky

0,1,...,m − 1

nebo absolutně nejmenší srážky sestávající z čísel

,

v případě lich m a čísla

v případě sudého m .

Viz také

Literatura

• I. M. Vinogradov Základy teorie čísel. - M.-L.: Stát. vyd. technická a teoretická literatura, 1952. - 180 s.

Nadace Wikimedia.

2010.

Podívejte se, co je „Úplný systém srážek“ v jiných slovnících:

Modulo m, libovolná sbírka celých čísel obsahující jedno číslo z každé třídy čísel modulo m (dvě celá čísla aab patří do stejné třídy modulo m, pokud a b je dělitelné m; viz Redukce). Jako P. s. PROTI. častěji…… Modulo je libovolná množina celých čísel, která jsou navzájem nesrovnatelná modulo. Obvykle jako P. s. PROTI. modulo nejmenší nezáporné zbytky 0, 1, . . ., m 1 nebo absolutně nejmenší zbytky, skládající se z čísel 0, +1, . . ., V……

Matematická encyklopedie Část úplného systému zbytků (viz Kompletní systém zbytků), sestávající z čísel koprimovaných s modulem m. P.S. PROTI. obsahuje φ(m) čísel [φ(m) počet čísel, která mají prvočíslo m a menší než m]. Jakákoli čísla φ(m), která nejsou srovnatelná modulo ma... ...

Velká sovětská encyklopedie

V teorii čísel, srovnání [objasnit] modulo přirozené číslo n, vztah ekvivalence na množině celých čísel specifikovaných určeným číslem, spojený s dělitelností jím. Faktorový prostor v tomto vztahu se nazývá „kruh“ ... ... Wikipedie

Symetrie sněhové vločky je spojena se skupinou rotací o úhel, který je násobkem 60°. Konečná grupa je algebraická grupa obsahující konečný počet prvků (toto číslo se nazývá její řád). Dále se předpokládá, že skupina je multiplikativní, to znamená operace v ... ... Wikipedii

Funkce k může být reprezentována mocninnou řadou. Eliminuje důležitost třídy A. f. je definován následovně. Za prvé, tato třída je poměrně široká: pokrývá většinu funkcí, se kterými se setkáváme v základních otázkách matematiky a jejích... ... Modulo je libovolná množina celých čísel, která jsou navzájem nesrovnatelná modulo. Obvykle jako P. s. PROTI. modulo nejmenší nezáporné zbytky 0, 1, . . ., m 1 nebo absolutně nejmenší zbytky, skládající se z čísel 0, +1, . . ., V……

I Obsah: I. Základní veřejné školství obecně. II. Základní veřejné vzdělávání v zahraničí: Rakousko-Uhersko, Anglie, Belgie, Bulharsko, Německo, Holandsko, Dánsko, Španělsko, Itálie, Norsko, Portugalsko, Rumunsko, Srbsko, ... ... Encyklopedický slovník F.A. Brockhaus a I.A. Efron

- - narozen 26. května 1799 v Moskvě, v Nemetské ulici ve Skvorcovově domě; zemřel 29. ledna 1837 v Petrohradě. Z otcovy strany patřil Puškin ke staré šlechtické rodině, pocházející podle genealogie z potomka „z ... ... Velká biografická encyklopedie

Soubor uzavřených formulí predikátové logiky 1. stupně. E. t. Th(K) třída K algebraické systémy signatury tzv. množina všech uzavřených formulí logiky predikátů 1. stupně signatury true na všech systémech z třídy K. Pokud třída... ... Modulo je libovolná množina celých čísel, která jsou navzájem nesrovnatelná modulo. Obvykle jako P. s. PROTI. modulo nejmenší nezáporné zbytky 0, 1, . . ., m 1 nebo absolutně nejmenší zbytky, skládající se z čísel 0, +1, . . ., V……

V předchozím odstavci bylo uvedeno, že poměr  m srovnatelnost modulo libovolný m je vztah ekvivalence na množině celých čísel. Tento vztah ekvivalence vyvolává rozdělení množiny celých čísel do tříd prvků navzájem ekvivalentních, tzn. čísla, která při dělení m identické zůstatky. Počet tříd ekvivalence  m(odborníci řeknou - „index ekvivalence  m") je přesně stejný m.

Definice. Libovolné číslo z třídy ekvivalence  m budeme tomu říkat modulo zbytek m. Soubor srážek odebraných po jedné z každé třídy ekvivalence  m, se nazývá kompletní systém modulo zbytků m(v úplném systému srážek je tedy pouze m čísel). Samotné zbytky při dělení m se nazývají nejmenší nezáporné zbytky a samozřejmě tvoří kompletní systém modulo zbytků m. Dedukce ρ se nazývá absolutně nejmenší, jestliže ⎪ ρ ⎪ nejmenší ze zbytkových modulů této třídy.

Příklad: Nech m= 5. Pak:

0, 1, 2, 3, 4 - nejmenší nezáporné zbytky;

2, -1, 0, 1, 2 jsou absolutně nejmenší srážky.

Obě dané sady čísel tvoří kompletní soustavy zbytků modulo 5.

Lemma 1. 1) Jakékoliv m kusy, které nejsou modulově srovnatelné mčísla tvoří kompletní systém modulo zbytků m.

2) Pokud A A m jsou poměrně jednoduché a x prochází kompletním systémem modulo zbytků m, pak hodnoty lineárního tvaru Ax + b, Kde b– libovolné celé číslo, také projít kompletním systémem modulo zbytků m.

Důkaz. Tvrzení 1) je zřejmé. Dokažme tvrzení 2) Čísla Ax+b hladký m věci. Ukažme, že nejsou srovnatelné v modulu m. No ať je to pro někoho jiné x 1 a x 2 z kompletního systému srážek vyplynulo, že sekera 1 + b ≡ sekera 2 + b(mod m). Pak podle vlastností srovnání z předchozího odstavce dostaneme:

sekera 1 ≡ sekera 2 (mod m)

x 1 ≡ x 2 (mod m)

- rozpor se skutečností, že x 1 a x 2 jsou různé a převzaté z úplného systému srážek.

Protože všechna čísla z dané třídy ekvivalence  m jsou získány z jednoho čísla dané třídy sečtením čísla, které je násobkem m, pak všechna čísla z této třídy mají modul m stejný největší společný dělitel. Z některých důvodů je zvýšený zájem o ty odpočty, které mají modul m největší společný dělitel rovný jedné, tzn. zbytky, které jsou koprimem k modulu.

Definice. Redukovaný systém modulových srážek m je soubor všech zbytků z kompletního systému, které jsou souběžné s modulem m.

Redukovaný systém je obvykle vybrán z nejméně nezáporných zbytků. Je jasné, že daný systém modulo zbytků m obsahuje ϕ (m) kusů srážek, kde ϕ (m) – Eulerova funkce – počet čísel menší než m a vzájemně primární s m.

Eulerova funkce.

Eulerova funkce ϕ (A) je počet čísel z řady 0, 1, 2,..., A–1, spolu s A.

Lemma. Nechat

T
když:

konkrétně φ( p α) = p α – pα-1, φ( p) = p–1.

Příklad. Nechat m= 42. Pak je daný systém zbytků:

1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

Lemma 2. 1) Jakékoliv ϕ (m) čísla, která jsou párově nesrovnatelná v modulu m a spolu s modulem tvoří redukovaný systém zbytků modulo m.

2) Pokud d(A, m) = 1 a x prochází redukovaným systémem modulo zbytků m, To Ax také prochází redukovaným systémem modulo zbytků m.

Důkaz. Tvrzení 1) je zřejmé. Dokažme tvrzení 2). Čísla Ax jsou párově nesrovnatelné (to se dokazuje stejným způsobem jako v lemmatu 1 tohoto odstavce), existují přesně ϕ (m) věci. Je také jasné, že všechny jsou relativně prvotřídní vůči modulu, protože d(A, m)=1, d(x,m)=1 ⇒ d(sekera, m)=1. Takže čísla Ax tvoří redukovaný systém zbytků.

Lemma 3. Nechat m 1 , m 2 , ..., m k – jsou párově relativně prvočísla a m 1 m 2 ...m k =M 1 m 1 =M 2 m 2 =...=M k m k , Kde M j =m 1 ...m j -1 m j +1...m k

1) Pokud x 1 , x 2 , ..., x k projít kompletními systémy reziduí modulo m 1 , m 2 , ..., m k M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k projít kompletním systémem modulo odpočtů m = m 1 m 2 ...m k .

2) Pokud ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k projít redukovanými zbytkovými systémy modulo m 1 , m 2 , ..., m k podle toho pak hodnoty lineárního tvaru M 1 ξ 1 +M 2 ξ 2 + ...+M k ξ k projít redukovaným systémem modulo zbytků m = m 1 m 2 ...m k .

Lemma 4. Nechat x 1 , x 2 , ..., x k , x běh dokončen a ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ k , ξ – proběhnout redukovanými systémy reziduí modulo m 1 , m 2 ,...,m k A m=m 1 m 2 ...m k respektive kde (m i m j )=1 na i≠ j. Pak zlomky (x 1 /m 1 +x 2 /m 2 +...+x k /m k } shodují se se zlomky (x/m) a zlomky { ξ 1 /m 1 + ξ 2 /m 2 +...+ ξ k /m k } shodují se se zlomky { ξ /m).

Označme podle ε k k tý kořen m- oh síla jednoty:

Zde k=0,1,...,m-1 – prochází kompletním systémem modulo zbytků m.

Připomínám, že součet ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 všechny kořeny m ta mocnina jedničky je rovna nule pro libovolnou m. Opravdu, nechť ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 = a. Vynásobte tuto částku nenulovým číslem ε 1. Takové násobení geometricky v komplexní rovině znamená otočení správně m-gon, v jehož vrcholech se nacházejí kořeny ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1, do nenulového úhlu 2 π /m. Je jasné, že v tomto případě kořen ε 0 jde do kořene ε 1 , kořen ε 1 jde do kořene ε 2 atd. a kořen ε m-1 jde do kořene ε 0 , tj. součet ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 se nezmění. Máme ε 1 a=a, kde a=0.

Věta 1. Nechat m>0– celé číslo, A Z, x prochází kompletním systémem modulo zbytků m. Pak pokud A násobek m, To

jinak kdy A ne násobek m,

Věta 2. Nechat m>0 je celé číslo, ξ prochází modulo redukovaným systémem zbytků m. Potom (součet primitivních kořenů stupně m):

kde μ( m) – Möbiova funkce.

Kompletní systém srážek. Daný systém srážek. Nejběžnější systémy srážek jsou: nejméně pozitivní, nejméně nezáporné, absolutně nejmenší atd.

Věta 1. Vlastnosti kompletního a redukovaného systému reziduí.

1°. Kritérium pro úplný systém srážek. Jakákoli sbírka m celá čísla, která jsou párově nesrovnatelná v modulu m, tvoří kompletní systém modulo zbytků m.

2°. Pokud čísla x 1 , x 2 , ..., x m– kompletní systém modulo odpočtů m, (A, m) = 1, b je libovolné celé číslo, pak čísla sekera 1 +b, sekera 2 +b, ..., sekera m+b také tvoří kompletní systém modulo odpočtů m.

3°. Kritérium redukovaného systému srážek. Jakákoli kolekce obsahující j( m) celá čísla, která jsou párově nesrovnatelná v modulu m a spolu s modulem, tvoří redukovaný systém modulo zbytků m.

4°. Pokud čísla x 1 , x 2 , ..., x j ( m) – redukovaný systém modulo zbytků m, (A, m) = 1, pak čísla sekera 1 , sekera 2 , ..., a x j ( m) také tvoří redukovaný systém modulo zbytků m.

Věta 2. Eulerova věta.

Pokud čísla A A m tedy relativně prvotřídní A j ( m) º 1 (mod m).

Následek.

1°. Fermatova věta. Li p– prvočíslo a A nedělitelný p, To a p–1 º 1 (mod p).

2°. Zobecněná Fermatova věta. Li p je tedy prvočíslo a p º A(mod p) pro jakékoli AÎ Z .

§ 4. Řešení srovnání s proměnnou

Řešení srovnání. Rovnocennost. Stupeň srovnání.

Teorém. Vlastnosti řešení přirovnání.

1°. Řešením pro srovnání jsou celé třídy zbytků.

2°. (" k)(a k º b k(mod m))Ù k= Þ srovnání º 0 (mod m) a º 0 (mod m) jsou ekvivalentní.

3°. Pokud se obě strany srovnání vynásobí číslem coprime k modulu, pak bude získáno srovnání, které je ekvivalentní původnímu.

4°. Jakékoli srovnání modulo prime p je ekvivalentní srovnání, jehož stupeň nepřesahuje p–1.

5°. Srovnání º 0 (mod p), kde p– prvočíslo, nemá více než n různá řešení.

6°. Wilsonova věta. ( n–1)! º –1 (mod n) Û n prvočíslo.

§ 5. Řešení srovnání prvního stupně

sekera º b(mod m).

Teorém. 1°. Pokud ( A, m) = 1, pak má srovnání řešení, a to jedinečné.

2°. Pokud ( A, m) = d A b nedělitelný d, pak srovnání nemá řešení.

3°. Pokud ( A, m) = d A b děleno podle d, pak srovnání má d různá řešení, která tvoří jednu třídu reziduí modulo.

Způsoby řešení srovnání sekera º b(mod m) v případě, kdy ( A, m) = 1:

1) výběr (výběr prvků kompletního systému srážek);

2) použití Eulerovy věty;

3) použití euklidovského algoritmu;

4) variace koeficientů (použití vlastnosti 2° úplného systému reziduí z věty 2.2);

§ 6. Neurčené rovnice prvního stupně

sekera+podle = C.

Teorém. Rovnice sekera+podle = Cřešitelné tehdy a jen tehdy C (A, b).

V případě ( A, b) = 1 všechna řešení rovnice jsou dána vzorci

tÎ Z , Kde x 0 je nějaké srovnávací řešení

sekera º C(mod b), y 0 = .

Diofantické rovnice.

KAPITOLA 10. Komplexní čísla

Definice soustavy komplexních čísel. Existence soustavy komplexních čísel

Definice soustavy komplexních čísel.

Teorém. Existuje systém komplexních čísel.

Model: R 2 s operacemi

(A, b)+(C, d) = (A+C, b+d), (A, b)×( C, d) = (ac–bd, bc+inzerát),

i= (0, 1) a identifikace A = (A, 0).

Algebraický tvar komplexního čísla

Reprezentace komplexního čísla jako z = A+bi, Kde A, bÎ R , i 2 = –1. Jedinečnost takové reprezentace. Re z jsem z.

Pravidla pro provádění aritmetických operací s komplexními čísly v algebraickém tvaru.

Aritmetický n-rozměrný vektorový prostor C n. Soustavy lineárních rovnic, matice a determinanty nad C .

Získávání druhých odmocnin komplexních čísel v algebraickém tvaru.