اقتصاد ریاضی به عنوان یک مقاله علمی. فرمول های اقتصاد ماهیت اقتصاد ریاضی

آژانس فدرالتوسط آموزش و پرورش

ایالت موسسه آموزشیآموزش عالی حرفه ای

ولادیمیرسکی دانشگاه دولتی

A.A. گالکین

ریاضی

اقتصاد

مورد تایید وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیهبه عنوان کتاب درسی

برای دانشجویان مؤسسات آموزش عالی که در رشته تخصصی "انفورماتیک کاربردی (در اقتصاد)" تحصیل می کنند.

ولادیمیر 2006

UDC 330.45: 519.85 BBK 65 V 631

داوران:

دکترای علوم فنی، استاد سرپرست. گروه سیستم های اطلاعات و کنترل خودکار، دانشگاه ایالتی تولا

V.A. فاتویف

دکترای علوم فنی، استاد سرپرست. گروه سیستم های اطلاعاتی

دانشگاه فنی دولتی Tver

B.V. پالیوخ

دکترای علوم اقتصادی، استاد رئیس. گروه اقتصاد و مدیریت سازمانی

دانشگاه ایالتی ولادیمیر

V.F. آرکیپووا

دکترای علوم فیزیک و ریاضی، استاد سر. گروه جبر و هندسه، دانشگاه ایالتی ولادیمیر

N.I. دوبروین

با تصمیم شورای تحریریه و انتشارات دانشگاه دولتی ولادیمیر منتشر شد

گالکین، A. A.

G16 اقتصاد ریاضی: کتاب درسی / A. A. Galkin; ولادیم. دولت دانشگاه - ولادیمیر: انتشارات ولادیم. دولت Univ., 2006. – 304 p. – شابک 5-89368-624-1.

طیف گسترده ای از مسائل بهینه سازی معمولی ناشی از اقتصاد و الگوریتم هایی که امکان حل این مسائل را فراهم می کند در نظر گرفته شده است. روشی برای رسمی کردن این وظایف و طبقه بندی آنها ارائه شده است. روش‌هایی برای حل مسائل بهینه‌سازی استاتیکی و دینامیکی قطعی ارائه شده‌اند. برای هر نوع مسئله و الگوریتم، مثال‌هایی ارائه می‌شود که تکنیک استفاده عملی از این الگوریتم‌ها و همچنین مجموعه‌ای از مسائل را نشان می‌دهد. تصمیم مستقل.

در نظر گرفته شده برای دانشجویان دانشگاهی که در تخصص 080801 - علوم کامپیوتر کاربردی (در اقتصاد)، و همچنین دانشجویان تمام وقت کارشناسی، کارشناسی ارشد و کارشناسی ارشد رشته های مرتبط، تحصیل می کنند. آموزش از راه دور، افراد دریافت کننده دوم آموزش عالیو همچنین تمرین‌کنندگان.

جدول 80. بیمار. 60. کتابشناسی: 39 عنوان.

در مورد فصل
فهرست اختصارات پذیرفته شده ..................................................... ............................................
پیشگفتار ................................................ .................................................. ...
مقدمه ..................................................... .......................................................... ......................
در مورد کار با کتاب درسی ............................................ ..................................................
فصل 1. بیانیه، رسمی سازی
و طبقه بندی بهینه سازی
وظایف در سیستم های اقتصادی.................................
و رسمی شدن آنها ...................................................... ..........................................
§ 1.2. طبقه بندی مسائل بهینه سازی................................................ .......... ..
فصل 2. مشکلات برنامه نویسی خطی ..................
§ 2.1. مسائل برنامه ریزی خطی عمومی و متعارف.....
§ 2.2. حل گرافیکی مسائل LP ..................................................... ............
§ 2.3. حل جبری مسائل LP.
ماهیت روش سیمپلکس ............................................ ...........................
§ 2.4. یافتن راه حل مرجع اولیه با استفاده از روش
مبنای مصنوعی ................................................ .........................
§ 2.5. مسائل برنامه ریزی خطی دوگانه................................
§ 2.6. مسائل برنامه ریزی خطی عدد صحیح ................................
§ 2.7. یادداشت ها ................................................ ..........................................................
فصل 3. مشکلات حمل و نقل خطی
برنامه نویسی....................................................................
§ 3.1. فرمول بندی مسئله حمل و نقل کلاسیک (TZ).......
§ 3.2. حل مسئله حمل و نقل کلاسیک................................................ ......
§ 3.3. یافتن طرح مرجع اولیه با استفاده از روش
گوشه شمال غربی (MSZU)................................................. ........................
§ 3.4. بهبود طرح حمل و نقل با استفاده از روش بالقوه................................
§ 3.5. مشکلات حمل و نقل غیرکلاسیک ............................................ ......................

§ 3.6. مشکلات انتصاب و توزیع .....................................
مشکلات برای راه حل مستقل ................................................ ......................
فصل 4. مشکلات بهینه سازی ارائه شده
روی نمودارها ..................................................... ..................................................
§ 4.1. مفاهیم اساسی تئوری گراف ............................................ ......................
§ 4.2. مسئله کوتاه ترین مسیر در نمودار ...................................... ......... .......
§ 4.3. مسئله مسیر بحرانی در نمودار ...................................... .............
§ 4.4. مشکل نمودار حداقل طول................................................ ......................
§ 4.5. مسئله حداکثر جریان در یک گراف (شبکه)................................
§ 4.6. مسئله توزیع بهینه یک داده
جریان در شبکه حمل و نقل ...................................... ...........................
سوالات تستی................................................ ..........................................
مشکلات برای راه حل مستقل ................................................ ......................
فصل 5. مشکلات استاتیکی غیرخطی
بهینه سازی ها ...................................... ...................................
§ 5.1. حل تحلیلی مسائل استاتیکی غیرخطی
بهینه سازی ..................................................... ..........................................
§ 5.2. روش های عددی برای حل مسائل تک بعدی
بهینه سازی استاتیک ................................ ...................... ...........................
§ 5.3. روش های عددی برای بهینه سازی بدون محدودیت چند بعدی
با استفاده از مشتقات ................................................ ........ ....
§ 5.4. روش های عددی برای بهینه سازی چند بعدی
بدون استفاده از مشتقات ..................................................... .... ....
§ 5.5. روش های بهینه سازی عددی در حضور قیود......
سوالات تستی................................................ ..........................................
مشکلات برای راه حل مستقل ................................................ ......................
فصل 6. مشکلات دینامیک بهینه
کنترل و دینامیک
برنامه نویسی................................................................
§ 6.1. مفهوم سیستم های دینامیکی کنترل شده ..............................
§ 6.2. فرمول بندی مسئله کلاسیک بهینه
کنترل پویا ................................ ...................... .............
§ 6.3. فرمول بندی مسئله کلاسیک دینامیک
برنامه نویسی (DP) ...................................... .....................
§ 6.4. اصل بهینه بودن آر.بلمن................................................ ........
§ 6.5. ماهیت روش DP................................................ .......................................
§ 6.6. معادله تابعی پایه DP................................................ ......

§ 6.8. مشکل توزیع بهینه مرحله به مرحله وجوه تخصیصی بین بنگاه ها در طول

دوره برنامه ریزی................................................ ..........................................
§ 6.9. مشکل در مورد طرح بهینهتعویض تجهیزات ...................
§ 6.10. وظیفه برنامه ریزی منابع نیروی کار..........
سوالات تستی................................................ ..........................................
مشکلات برای راه حل مستقل ................................................ ......................
فصل 7. مبانی محاسبات تغییرات
و کاربرد آن برای حل مشکلات
بهینه سازی پویا..........................................
§ 7.1. مفاهیم اساسی حساب تغییرات...................................
§ 7.2. مشکلات کلاسیک VI و روابط برای حل آنها..........
§ 7.3. مشخصات مسائل کنترل دینامیکی بهینه
و استفاده از VI ها برای حل آنها ...................................... .........
§ 7.4. روش های تقریبی برای حل مسائل دینامیکی
بهینه سازی با استفاده از VI...................................................... ............
سوالات تستی................................................ ..........................................
فصل 8. اصل حداکثر و کاربرد آن
برای سنتز کنترل های بهینه
در سیستم های پیوسته...................................................
§ 8.1. فرمول بندی اصل حداکثر برای پیوسته
سیستم ها ................................................ .......................................................... .............
§ 8.2. مسئله کلاسیک اویلر................................................ .................................
§ 8.3. مشکل کنترل بهینه با حداقل کردن هزینه
انرژی برای کنترل ................................................... ..........................................
§ 8.4. مشکل کنترل بهینه از نظر سرعت..........
§ 8.5. مسائل مربوط به کنترل یک سیستم دینامیکی خطی
با انتهای راست آزاد ...................................... .............

§ 8.6. مشکل کنترل یک سیستم دینامیکی خطی

با به حداقل رساندن انتگرال درجه دوم تعمیم یافته

§ 9.2. کنترل یک سیستم گسسته خطی با نظم دلخواه با بهینه سازی کل تعمیم یافته

معیار درجه دوم ................................................ ...................
§ 9.3. یافتن کنترل بهینه برای یک گسسته
نمونه اولیه یک سیستم پویا پیوسته ..........................
§ 9.4. مشکل برنامه ریزی تولید
و عرضه محصولات ...................................... .........................
سوالات تستی................................................ ..........................................
مسائل مربوط به راه حل مستقل برای فصل های 7 تا 9 ..............................
نتیجه گیری ................................................ ................................................ ......
برای مطالعه مستقل ...................................... .....................
فهرست کتابشناسی ................................................ .................................
کاربرد................................................ ................................................ ......
نمایه نمادهای اساسی................................................ ......................

فهرست اختصارات پذیرفته شده

TF - تابع هدف ODR - منطقه راه حل های امکان پذیر

LP – برنامه نویسی خطی ZLP – مشکل LP KZLP – ZLP متعارف

TZ - وظیفه حمل و نقل PO - نقاط عزیمت، PN - نقاط مقصد در TZ

MSZU – روش گوشه شمال غربی MZS – روش مقطع طلایی DP – برنامه نویسی پویا VI – محاسبه تغییرات PM – اصل حداکثر. DE - معادله دیفرانسیل

پیشگفتار

در در آمادگي دانشجويان رشته ها و رشته هاي مختلف فني و اقتصادي، مطالعه مدل ها و روش هاي رياضي معمولي براي حوزه موضوعي مربوطه، جايگاه قابل توجهي را به خود اختصاص مي دهد كه با استفاده از اين مدل ها، تبيين رفتار سيستم ها را ممكن مي سازد. در حال بررسی، ویژگی های آنها را ارزیابی کرده و به طور منطقی تصمیمات سازنده، تکنولوژیکی، اقتصادی، سازمانی و غیره اتخاذ کنید.

تسلط بر این مدل‌ها و روش‌ها بر اساس پایه‌ای است که در یک رشته کلاسیک نسبتاً جهانی، که معمولاً «ریاضیات عالی» نامیده می‌شود، گذاشته شده است. دستگاه ریاضی که حل مسائل معمولی و مهم را برای حوزه کاربردی مربوطه ممکن می سازد در رشته های خاص مورد مطالعه قرار می گیرد.

برای دانشجویانی که در رشته تخصصی "انفورماتیک کاربردی (در اقتصاد)" تحصیل می کنند، یکی از این رشته ها "اقتصاد ریاضی" است. مطابق با استاندارد آموزشی دولتی فعلی (SES)، برنامه این رشته شامل حجم زیادی از مطالب آموزشی مربوط به انجام محاسبات ریاضی در زمینه اقتصاد است. این ماده به دو قسمت تقسیم می شود.

در بخش اول به بررسی مشکلات تجزیه و تحلیل مالی می پردازد که در استانداردهای آموزشی دولتی نسل قبل در رشته خاصی - "ریاضیات مالی" در نظر گرفته شده است.

بخش دوم برنامه از نقطه نظر ریاضی شامل مسائل و روش های پیچیده تر مربوط به یافتن بهترین است. راه حل های بهینه برای مسائل مختلف در حوزه اقتصاد کاربردی. پیش از این، دانش آموزان در هنگام مطالعه رشته "نظریه کنترل بهینه در سیستم های اقتصادیاوه".

برنامه درسی رشته "اقتصاد ریاضی" شامل طیف گسترده ای از مسائل بسیار دشوار برای مطالعه است. از آنجایی که زمان اختصاص داده شده برای آموزش کلاسی در این رشته بسیار کم است، معنی خاصکسب می کند کار مستقلدانش آموزان با ادبیات آموزشی

لازم به ذکر است که طی 30 سال گذشته، تک نگاری های مختلف، کتاب های درسی و وسایل کمک آموزشیدر مورد روش های ریاضی مورد استفاده در اقتصاد با این حال، دانش آموزان هنگام کار با آنها با مشکلات جدی مواجه می شوند. اولاً، بسیاری از این کتاب‌ها در حال حاضر عملاً برای دانشجویان غیرقابل دسترس هستند، زیرا یا در کتابخانه‌های دانشگاه در دسترس نیستند یا به صورت تک نسخه در دسترس هستند. ثانیاً، یک کتاب درسی برای مطالعه همه مطالب ارائه شده توسط برنامه کافی نیست و کتاب های مختلف معمولاً از سبک های ارائه متفاوت و نمادهای متفاوت استفاده می کنند. اغلب سطح ارائه مطالب برای یک دانش آموز "واقعی" غیرقابل دسترس است. ثالثاً، هنگام سازماندهی فرآیند آموزشی در رشته هایی با ماهیت ریاضی، اساسی است مهم استدانش‌آموزان مهارت‌های عملی را در استفاده از روش‌های مورد مطالعه کسب کرده‌اند و این نیازمند تکالیفی برای حل مستقل است. اکثر کتاب های درسی در مورد موضوع مورد بررسی حاوی مثال ها و مشکلاتی برای نشان دادن تکنیک به کارگیری روش های ارائه شده هستند، اما برای دادن تکالیف فردی به همه دانش آموزان در یک گروه مطالعاتی معمولی کافی نیستند.

کتاب درسی پیشنهادی برای مطالعه بخش دوم و پیچیده تر رشته "اقتصاد ریاضی" در نظر گرفته شده است که به بررسی مسائل بهینه سازی ناشی از اقتصاد و الگوریتم هایی برای حل آنها می پردازد. با در نظر گرفتن شرایط فوق تهیه شده است.

این کتاب شامل فرمول‌بندی‌هایی از مسائل بهینه‌سازی معمولی است که در آن به وجود می‌آیند حوزه اقتصادی، رسمی سازی آنها انجام شده است، ماهیت روش ها و الگوریتم هایی که انجام راه حل را ممکن می کند، با تصویری از تکنیک این الگوریتم ها در نمونه های خاص. علاوه بر این، برای هر موضوع مجموعه نسبتاً بزرگی از وظایف برای حل مستقل وجود دارد که به هر دانش آموز اجازه می دهد تا تکلیف شخصی خود را انجام دهد.

از طیف عظیمی از مسائل بهینه سازی ممکن و پیشنهاد شده است علم مدرنروش‌های انتخاب شده برای گنجاندن در این کتاب درسی، مسائل قطعی و الگوریتم‌های بهینه‌سازی استاتیکی و دینامیکی است. با توجه به حجم محدود کتاب، مسائل بهینه سازی با عدم قطعیت شامل مسائل و مدل های احتمالی-آماری، فاصله ای، فازی و غیره و همچنین مسائل بهینه سازی برداری در نظر گرفته نشده است.

کتاب شامل نه فصل است. اولین نمونه‌هایی از مسائل بهینه‌سازی با ماهیت اقتصادی را ارائه می‌دهد که تکنیک رسمی‌سازی را نشان می‌دهد، یعنی. با به دست آوردن یک مدل ریاضی از مسئله در حال حل، یک طبقه بندی از مسائل بهینه سازی داده شده است.

فصل های دوم، سوم و چهارم به مسائل بهینه سازی استاتیکی خطی اختصاص دارد. فصل دوم به تشریح مسائل و روش های برنامه ریزی خطی می پردازد، فصل سوم مسائل حمل و نقل را به طور جداگانه مورد بحث قرار می دهد و فصل چهارم مسائل بهینه سازی را که بر روی نمودارها تفسیر می شوند، مورد بحث قرار می دهد. برای هر کار بیشترین روش موثرحل (الگوریتم) و مثالی برای نشان دادن تکنیک استفاده عملی از این الگوریتم آورده شده است. فصل پنجم روش های تحلیلی و عددی برای حل مسائل بهینه سازی استاتیکی غیرخطی در غیاب و وجود محدودیت ها را تشریح می کند.

مسائل بهینه سازی پویا که معمولاً به عنوان مسائل کنترل بهینه شناخته می شوند، در فصل های ششم تا نهم مورد بحث قرار گرفته اند. در فصل ششم آورده شده است ایده کلیدر سیستم های دینامیکی از انواع پیوسته و گسسته، مسئله کلاسیک کنترل بهینه و برنامه ریزی پویا (DP) فرموله شده است، ماهیت DP ترسیم شده است و تکنیک کاربرد عملی آن با استفاده از مثال های مختلف از ماهیت اقتصادی نشان داده شده است. فصل هفتم مبانی حساب تغییرات را تشریح می کند، فصل هشتم اصل حداکثر را برای سیستم های پیوسته توصیف می کند، و فصل نهم سیستم های گسسته را پوشش می دهد. در هر یک از این فصل ها، توجه زیادی به تجزیه و تحلیل مسائل مختلف و مثال هایی که روش شناسی استفاده عملی از روابط محاسبه شده را نشان می دهد، معطوف شده است.

در پایان هر یک از فصل های اول تا ششم، مسائلی برای حل مستقل وجود دارد. در پایان فصل نهم، مسائلی برای حل مستقل ارائه شده است که به روش‌های کنترل دینامیکی بهینه اختصاص دارد.

مشکل خاصی که در حین کار بر روی کتاب مستلزم تلاش قابل توجه نویسنده بود، این بود که برخی از روش ها و الگوریتم ها در ادبیات اصلی به گونه ای ارائه شده است که برای دانشجویان غیر ریاضی، اما اطلاعات و مشخصات اقتصادی بسیار دشوار است. برای درک آنها بنابراین، لازم بود فرصت هایی برای تطبیق مطالب نظری مرتبط با سطح واقعی آموزش دانش آموزانی که کتاب برای آنها طراحی شده است، پیدا شود.

علاوه بر این، نویسنده سعی در ارائه دارد مقدار زیادیوظایف و روش‌های بسیار متفاوتی برای حفظ یک سبک، شخصیت و سیستم ارائه مطالب تا حداکثر ممکن. امیدوارم تا حدودی این امر محقق شده باشد.

در تهیه کتاب از مطالب سخنرانی ها و کلاس های عملی در رشته های "روش های بهینه سازی"، "نظریه کنترل"، "نظریه کنترل بهینه در سیستم های اقتصادی" و "اقتصاد ریاضی" استفاده شده است که نویسنده به مدت 25 سال در ولادیمیر تدریس کرده است. دانشگاه دولتی (VlSU). در این کلاس ها، بیشتر مطالب تئوری و تکالیف برای حل مستقل مورد آزمایش قرار گرفت. نسخه الکترونیکیکتاب درسی در منابع اطلاعاتی کتابخانه الکترونیکی VlSU گنجانده شده است.

علیرغم اینکه این کتاب برای دانشجویان رشته تخصصی «انفورماتیک کاربردی (در اقتصاد)» تهیه شده است، بدون شک می‌تواند برای دانشجویان، دانشجویان کارشناسی ارشد، دانشجویان کارشناسی ارشد و متخصصان سایر رشته‌ها مفید باشد، زیرا مشکلات بهینه‌سازی همه جا مطرح می‌شود. تصادفی نیست که آنها می گویند "هیچ چیز در طبیعت وجود ندارد که در آن نتوان معنای نوعی حداکثر یا حداقل را تشخیص داد."

از همه کسانی که از کتاب استفاده می کنند و نظر خود را در مورد مطالب آن احتمالاً در مورد کاستی ها یا نادرستی ها بیان می کنند سپاسگزار خواهد بود. برای این کار می توانید از ایمیل استفاده کنید: [ایمیل محافظت شده].

کار روی کتاب، با وقفه‌هایی، حدود 10 سال طول کشید، اما اگر کمک‌های سریع و بسیار ماهر در کار بر روی نسخه خطی ارائه شده توسط دانشجوی فارغ‌التحصیل I.V. کمپ. به همین دلیل نویسنده از او تشکر ویژه ای دارد.

اقتصاد ریاضی یک علم نظری و کاربردی است که موضوع آن مدل‌های ریاضی اشیاء اقتصادی و فرآیندها و روش‌های تحقیق آنها است.

پیدایش علوم ریاضی بدون شک با نیازهای علم اقتصاد همراه بود. برای مثال، لازم بود که معلوم شود برای تغذیه یک خانواده چه مقدار زمین با غلات بکارد، چگونه زمین کاشته شده را اندازه گیری کرد و محصول آینده را تخمین زد.

با توسعه تولید و پیچیدگی آن، نیاز اقتصادی به محاسبات ریاضی نیز افزایش یافت. تولید مدرن یک کار کاملاً متعادل برای بسیاری از شرکت ها است که با حل تعداد زیادی از مسائل ریاضی تضمین می شود. این کار توسط ارتش عظیمی از اقتصاددانان، برنامه ریزان و حسابداران اشغال شده است و محاسبات توسط هزاران رایانه الکترونیکی انجام می شود. از جمله این کارها انجام محاسبات برنامه های تولید و تعیین بیشترین آنهاست قرار دادن سودمندپروژه های ساختمانی و انتخاب مقرون به صرفه ترین مسیرهای حمل و نقل و غیره. اقتصاد ریاضی همچنین با یک توصیف ریاضی رسمی از پدیده‌های اقتصادی شناخته شده سر و کار دارد و فرضیه‌های مختلف را در مورد سیستم‌های اقتصادی که با روابط ریاضی مشخص توصیف شده‌اند، آزمایش می‌کند.

بیایید به دو مثال ساده نگاه کنیم که نشان دهنده استفاده از مدل های ریاضی برای این اهداف است.

اجازه دهید عرضه و تقاضای یک محصول به قیمت بستگی داشته باشد. برای تعادل، قیمت در بازار باید به گونه ای باشد که محصول فروخته شود و مازادی نداشته باشد:

. (1)

اما اگر، برای مثال، پیشنهاد با یک بازه زمانی به تاخیر بیفتد، همانطور که در شکل نشان داده شده است. 1 (که منحنی های تقاضا و عرضه را به عنوان تابعی از قیمت نشان می دهد)، در قیمت، تقاضا از عرضه بیشتر است. و از آنجایی که عرضه کمتر از تقاضا است، قیمت افزایش می یابد و محصول به قیمت 1000 فروخته می شود. با این قیمت، عرضه به ; در حال حاضر عرضه بیشتر از تقاضا است و تولیدکنندگان مجبور می شوند کالا را به قیمت 2000 به فروش برسانند که پس از آن عرضه کاهش می یابد و این روند تکرار می شود. نتیجه یک مدل ساده است چرخه اقتصادی. به تدریج، بازار به تعادل می رسد: تقاضا، قیمت و عرضه در سطح تعیین می شود.

برنج. 1 مطابق با حل معادله (1) با روش تقریب های متوالی است که ریشه این معادله را تعیین می کند. قیمت تعادلی و ارزش متناظر عرضه و تقاضا.

بیایید بیشتر در نظر بگیریم مثال پیچیده- "قانون طلایی" پس انداز. مقدار خروجی یک شرکت (به روبل) از محصولات نهایی در یک نقطه از زمان توسط هزینه های کار تعیین می شود که بهره وری آن به نسبت درجه اشباع تجهیزات آن به هزینه های کار بستگی دارد. نماد ریاضی برای این است:

. (2)

محصولات نهایی برای مصرف و انباشت تجهیزات توزیع می شود. اگر سهم خروجی انباشته را با نشان دهیم، آنگاه

در علم اقتصاد به آن نرخ پس انداز می گویند. مقدار آن بین صفر و یک است.

در واحد زمان، حجم تجهیزات با مقدار تجمع تغییر می کند

. (4)

با رشد متعادل اقتصادی، همه اجزای آن با یک نرخ رشد رشد می کنند. طبق فرمول بهره مرکبدریافت می کنیم:

, , , .

اگر مقادیری را معرفی کنیم که مصرف، حجم تجهیزات و خروجی هر کارگر را مشخص می کند، سیستم روابط (2) - (4) به سیستم تبدیل می شود.

, , . (5)

دومین مورد از این روابط، در نرخ رشد و مصرف معین، نسبت سرمایه به نیروی کار را به عنوان نقطه تلاقی منحنی و خط مستقیم در شکل 1 تعیین می کند. 2. این خطوط قطعاً متقاطع خواهند شد، زیرا تابع، اگرچه به صورت یکنواخت، رشد می کند، که به معنای افزایش خروجی با افزایش سطح تجهیزات کار است، اما به طور هموارتر، یعنی. این یک تابع مقعر است. شرایط اخیر نشان دهنده این واقعیت است که افزایش اضافی در تجهیزات به ازای هر کارگر، به دلیل افزایش بار کاری آن، کمتر و کمتر موثر می شود ("قانون کاهش بازده"). خانواده ای از منحنی ها مربوط به مقادیر مختلف نرخ انباشتگی است. طول قطعه، مطابق فرمول (5) برابر با مصرف است. در (نقطه در شکل 2) هیچ مصرفی وجود ندارد - تمام تولید به جمع آوری تجهیزات می رود. اجازه دهید اکنون نرخ انباشت را کاهش دهیم. سپس مصرف (طول) دیگر صفر نخواهد بود، اگرچه نرخ رشد اقتصادی (زاویه شیب خط مستقیم) ثابت می ماند. در نقطه‌ای با اردیتی که مماس منحنی آن موازی با خط مستقیم است، مصرف حداکثر است. این منحنی مربوط به یک منحنی خانواده با نرخ انباشت معین است که "نرخ انباشت طلایی" نامیده می شود.

لئونید ویتالیویچ کانتوروویچ (1912-1986) L. V. Kantorovich ریاضیدان و اقتصاددان شوروی، خالق برنامه ریزی خطی و نظریه برنامه ریزی بهینه اقتصاد سوسیالیستی، آکادمیک، برنده جایزه نوبل است. L. V. Kantorovich در سن پترزبورگ در خانواده یک پزشک به دنیا آمد. توانایی های او به طور غیرمعمول زود ظاهر شد. در سن 4 سالگی، او در هفت سالگی به اعداد چند رقمی مسلط بود و با استفاده از کتاب درسی برادر بزرگترش، در یک دوره شیمی تسلط یافت. در 14 سالگی دانشجوی دانشگاه سن پترزبورگ شد. تا زمانی که از دانشگاه فارغ التحصیل شد، در سال 1930، L. V. Kantorovich قبلاً یک دانشمند مشهور، نویسنده دوازده اثر منتشر شده در مجلات بین المللی ریاضی برجسته بود و در سن 20 سالگی استاد ریاضیات بود. در سال 1935، دانشمند کلاسی از فضاهای تابعی را معرفی و مطالعه کرد که در آن یک رابطه ترتیبی برای مجموعه خاصی از عناصر آنها تعریف شده است. نظریه چنین فضاهایی که فضاهای کانتوروویچ یا -فضاها نامیده می شود، یکی از بخش های اصلی تحلیل عملکردی است. کارهای اخیر مربوط به حل مسئله پیوستار، جایگاه فضاها را در میان اساسی ترین ساختارهای ریاضی مشخص کرده است. L. V. Kantorovich با توانایی شگفت انگیز خود در دیدن هسته اصلی مشکل در یک مشکل خاص متمایز شد و با ایجاد یک نظریه، ارائه کرد. روش کلیراه حل هایی برای دسته وسیعی از مشکلات مشابه این امر به ویژه در آثار او در زمینه ریاضیات محاسباتی آشکار شد اقتصاد ریاضی. در اوایل دهه 30. L. V. Kantorovich یکی از اولین دانشمندان بزرگی بود که به ریاضیات محاسباتی علاقه مند شد. ظاهر مدرن این علم تا حد زیادی توسط آثار او تعیین شد. از جمله آنها می توان به مونوگراف اساسی و کلاسیک "روش های تقریبی تحلیل عالی" اشاره کرد. روش های محاسباتی که نام او را دارند. نظریه عمومیروش های تقریبی، ساخته شده بر اساس تجزیه و تحلیل عملکرد (جایزه دولتی 1949). کار بر روی برنامه نویسی خودکار، که در طلوع عصر کامپیوتر انجام شد و بسیاری را پیش بینی کرد ایده های مدرندر نهایت، تعدادی اختراع در زمینه فناوری کامپیوتر. در سال 1939، بروشور کوچکی "روش های ریاضی سازماندهی و برنامه ریزی تولید" در لنینگراد منتشر شد که در واقع شامل بخش جدیدی از ریاضیات کاربردی بود که بعدها برنامه ریزی خطی نامیده شد (به هندسه مراجعه کنید). دلیل نگارش آن یک کار تولیدی خاص بود. او با درک اهمیت کلیدی مفاهیم تنوع و بهینه در اقتصاد سوسیالیستی، از جمله شاخص های مهمی مانند قیمت، اجاره، کارایی، شروع به توسعه نظریه برنامه ریزی بهینه کرد که متعاقباً جایزه لنین (1965) و نوبل (1975) را دریافت کرد. ) جوایز کتاب "محاسبه اقتصادی بهترین استفاده از منابع" که این نظریه را بیان می کند، در شرایط محاصره لنینگراد نوشته شد و قبلاً در سال 1942 تکمیل شد. دانشمند با درک اهمیت استثنایی این مطالعات، پیگیرانه به دنبال استفاده عملی از نتایج آنها بود. با این حال، این اثر تا سال 1959 منتشر نشد و حتی پس از آن مورد حمله اقتصاددانان سیاسی ارتدکس قرار گرفت. کتاب L. V. Kantorovich دیدگاه یک نسل کامل از اقتصاددانان شوروی را شکل داد. بسیاری از ایده هایی که برای اولین بار در آنجا بیان شد، در دوران پرسترویکا اجرا شدند.

بعد از المپیاد بحث در مورد راه حل مشکلات جالب است.

یک مشکل دشوار در اقتصاد ریاضی مقایسه تئوری و عمل است: اندازه گیری شاخص های اقتصادی بسیار دشوار است - آنها در محیط های آزمایشگاهی اندازه گیری نمی شوند، مشاهدات را می توان بسیار به ندرت انجام داد (سرشماری ها را به خاطر بسپارید!)، آنها در شرایط مختلفو حاوی نادرستی های زیادی است. بنابراین استفاده از تجربیات اندازه گیری انباشته شده در سایر علوم دشوار است و توسعه روش های خاصی مورد نیاز است.

توسعه اقتصاد ریاضی باعث ظهور بسیاری از نظریه های ریاضی شد که تحت نام "برنامه ریزی ریاضی" متحد شدند (می توانید در مورد برنامه ریزی خطی در مقاله "هندسه" بخوانید).

مسائل مربوط به کاربرد روش های ریاضی در اقتصاد در آثار ریاضیدان شوروی L. V. Kantorovich که جوایز لنین و نوبل را دریافت کرد، توسعه یافت.

Magnitogorsk 2005

مجموعه مسائل درس اقتصاد ریاضی. - Magnitogorsk: MaSU، 2005. - 184 p.

این مجموعه مروری بر مقوله‌های کلیدی و مفاد مورد استفاده در درس «اقتصاد ریاضی» ارائه می‌کند. نمونه هایی از حل مسائل معمولی ارائه می شود و سؤالاتی برای خودآزمایی در مورد مطالب مورد مطالعه ارائه می شود. مطالب دستی را می توان در دروس "ریاضیات مالی"، "روش های ریاضی تحلیل مالی"، "مدیریت مالی"، " تحلیل مالی"و غیره

هدف این کار معلمان، دانشجویان فارغ التحصیل و دانشجویان تمام وقت و پاره وقت، محققان و دست اندرکاران متخصص در زمینه مدیریت مالی و پروژه های سرمایه گذاری، کاربرد روش ها و مدل های ریاضی در مطالعه سیستم ها و پدیده های اقتصادی است.

کامپایلرها G.N. چوساویتینا،

V.B. لاپسینا.

 چوساویتینا جی.ن.، لاپسینا وی.ب. 2005

 دانشگاه دولتی مگنیتوگورسک، 2005

مقدمه 5

فصل 1 علاقه ساده 7

1.1. تعیین نرخ و محاسبه سود 7

1.2. ساده نرخ بهره 10

1.3. نرخ تخفیف ساده 21

1.4. بازپرداخت وام و هزینه های استهلاک 32

1.5. محاسبه میانگین ها 41

1.6. پرداخت های ارزی 48

1.7. مالیات بر درآمد 53

1.8. تورم 56

1.9. جایگزینی و تجمیع پرداخت ها 64

فصل 2 بهره مرکب 73

2.1. نرخ بهره مرکب 73

2.2. نرخ تخفیف پیچیده 91

2.3. نرخ مستمر 101

2.4. معادل نرخ 107

2.5. تورم و ترکیب و سود مستمر 112

2.6. جایگزینی پرداخت ها و شرایط پرداخت آنها 125

فصل 3 سالیانه 132

3.1. مستمری دائم 132

3.2. مستمری مستمر و متغیر 148

3.3. ارزش گذاری مستمری با مدت بیش از یک سال 157

مقدمه

"اقتصاد ریاضی" نام رشته ای است که توسط ریاضیدانان ابداع شده است. اقتصاددانان نام دیگری را ترجیح می دهند - "مدل ها و روش های اقتصادی و ریاضی". در برنامه های آموزشیاین نام اغلب در استانداردهای دانشکده های اقتصاد یافت می شود. به نظر ما، این دو نام به طور یکسان محتوای درونی موضوع را که در آن جنبه های اقتصادی و ریاضی به طور هماهنگ ترکیب شده اند، به درستی منتقل می کنند. متأسفانه، در عمل، برنامه دوره EMM&M اغلب به طور کامل از بخش های جداگانه "تحقیق در عملیات و برنامه ریزی ریاضی" تهیه می شود که اولاً قبل از این دوره تکمیل شده است و ثانیاً شامل مدل های ریاضی تصمیم گیری و بهینه سازی است. نه اقتصاد - مدل‌های ریاضی.

اقتصاد ریاضی علمی است که از ریاضیات به عنوان روشی برای مطالعه سیستم ها و پدیده های اقتصادی استفاده می کند.

بنابراین، موضوع مطالعه (یا حوزه موضوعی) اقتصاد ریاضی، اقتصاد است - به عنوان بخشی از وجود یا بخشی از یک منطقه گسترده از فعالیت های انسانی.

مانند سایر علومی که اقتصاد را به طور کلی یا اجزای آن مطالعه می کنند، اقتصاد ریاضی از روش شناسی خاصی استفاده می کند و ویژگی های خاص خود را دارد. ويژگي اقتصاد رياضي، ويژگي روش شناختي آن، اين است كه نه خود اشياء و پديده هاي اقتصادي، بلكه مدل هاي رياضي آنها را مطالعه مي كند. او هدف دریافت استاطلاعات اقتصادی عینی و توسعه توصیه هایی با اهمیت عملی. به طور رسمی، اقتصاد ریاضی را می توان هم به عنوان علوم اقتصادی و هم به عنوان علوم ریاضی طبقه بندی کرد. در حالت اول، باید آن بخش از اقتصاد را درک کرد که مقوله های کمی و کیفی و نیز جنبه های رفتاری موجودیت های اقتصادی را مطالعه می کند. با در نظر گرفتن اقتصاد ریاضی به عنوان یکی از حوزه های ریاضی، می توان آن را به بخش هایی از ریاضیات کاربردی نسبت داد که به مسائل بهینه سازی و مسائل تصمیم گیری می پردازند.

اقتصاد طبق ماهیت خود نزدیکترین علم اجتماعی به ریاضیات است. در حال حاضر در تعریف خود مفهوم اقتصاد، وظایف اصلی آن، می توان مفاهیم و اصطلاحات ریاضی را مشاهده کرد.

در واقع اقتصاد علم اجتماعی استفاده از منابع محدود با هدف به حداکثر رساندن ارضای نیازهای نامحدود مادی جمعیت است. مسائل محوری علم اقتصاد - مدیریت منطقی اقتصاد، توزیع بهینه منابع محدود، مطالعه مکانیسم‌های مدیریت اقتصادی، توسعه روش‌های محاسبات اقتصادی - اساساً مسائلی هستند که در چارچوب علوم ریاضی حل می‌شوند. روش های کمی و کیفی ریاضی بهترین ابزار کمکی برای دستیابی به پاسخ به سؤالات اساسی اقتصاد است:

چه چیزی باید تولید شود (یعنی چه کالاها و خدماتی باید تولید شود و در چه مقداری)؟

کالاها چگونه تولید خواهند شد (یعنی توسط چه کسی و با چه منابعی و با چه فناوری)؟

این کالاها برای چه کسانی در نظر گرفته شده است (یعنی توسط چه کسانی و چگونه این کالاها مصرف می شود)؟

در نهایت، وظیفه تئوری اقتصادی مرتبط با نظام‌مندسازی، تفسیر و تعمیم رفتار مشارکت‌کنندگان اقتصادی در فرآیند تولید، مبادله و مصرف به مسائل ریاضی بهینه‌سازی و تصمیم‌گیری بازمی‌گردد.

با در نظر گرفتن موارد فوق، می توان در مورد وظایف اصلی زیر در اقتصاد ریاضی صحبت کرد:

توسعه مدل های ریاضی اشیاء، سیستم ها و پدیده های اقتصادی (مسائل عمومی و خاص اقتصاد تحت شرایط، پیش نیازها و سطوح مختلف).

مطالعه رفتار مشارکت کنندگان اقتصادی (شرایط وجود راه حل های بهینه و ویژگی های آنها و همچنین روش های محاسبه آنها در مدل های مصرف، شرکت، رقابت کامل و ناقص و غیره).

بررسی مدل های توصیفی اقتصاد (مدل های برنامه ریزی، نهاده- ستانده، اقتصاد در حال گسترش، اقتصاد رفاه و رشد و ...)

تجزیه و تحلیل ارزش های اقتصادیو داده های آماری (کشش، میانگین و مقادیر حدی، تحلیل و پیش بینی رگرسیون و همبستگی عوامل اقتصادیو شاخص ها).

این مجموعه مروری بر مقوله‌های کلیدی و مفاد مورد استفاده در درس «اقتصاد ریاضی» ارائه می‌کند. نمونه هایی از حل مسائل معمولی ارائه می شود و سؤالاتی برای خودآزمایی در مورد مطالب مورد مطالعه ارائه می شود. از مواد راهنما می توان در دروس "ریاضیات مالی"، "روش های ریاضی تحلیل مالی"، "مدیریت مالی"، "تحلیل مالی" و غیره استفاده کرد.

هدف این کار معلمان، دانشجویان فارغ التحصیل و دانشجویان تمام وقت و پاره وقت، محققان و دست اندرکاران متخصص در زمینه مدیریت مالی و پروژه های سرمایه گذاری، کاربرد روش ها و مدل های ریاضی در مطالعه سیستم ها و پدیده های اقتصادی است.

روش های ریاضی در اقتصاد ابزار مهمی برای تحلیل هستند. از آنها در ساخت مدل های نظری استفاده می شود که امکان نمایش اتصالات موجود را در آن فراهم می کند زندگی روزمره. همچنین با استفاده از این روش ها، رفتار واحدهای تجاری و پویایی از شاخص های اقتصادیدر کشور

من می خواهم با جزئیات بیشتر در مورد پیش بینی شاخص های اشیاء اقتصادی که ابزار تئوری تصمیم گیری است صحبت کنم. پیش‌بینی‌های توسعه اقتصادی-اجتماعی هر کشور بر اساس شاخص‌های خاصی (دینامیک تورم، ناخالص) است. محصول داخلیو غیره). شکل‌گیری شاخص‌های مورد انتظار با استفاده از روش‌های کاربردی آمار و اقتصادسنجی مانند تحلیل رگرسیون و همبستگی انجام می‌شود.

زمینه تحقیق "اقتصاد و روش های ریاضی" همواره برای دانشمندان این رشته بسیار جالب بوده است. بنابراین، آکادمیک نمچینوف پنج مورد ریاضی را در برنامه ریزی و پیش بینی شناسایی کرد:

روش مدلسازی ریاضی;

روش ماتریس برداری;

روش تقریب متوالی;

روش ارزیابی اجتماعی بهینه.

یکی دیگر از دانشگاهیان، کانتوروویچ، روش های ریاضی را به چهار گروه تقسیم کرد:

مدل های تعامل بین واحدهای اقتصادی;

مدل های کلان اقتصادیاز جمله مدل های تقاضا و روش تراز.

مدل های بهینه سازی؛

مدلسازی خطی

این سیستم برای تصمیم گیری موثر و صحیح در حوزه اقتصادی استفاده می شود. در این مورد عمدتاً از فناوری مدرن رایانه استفاده می شود.

فرآیند مدل سازی خود باید به ترتیب زیر انجام شود:

1. بیان مشکل. لازم است که مشکل به وضوح فرموله شود، اشیاء مربوط به مشکل حل شده و وضعیتی که در نتیجه حل آن محقق شده است، تعیین شود. در این مرحله است که سوژه ها، اشیا و موقعیت های مربوط به آنها کمی سازی می شود.

2. تجزیه و تحلیل سیستم مشکل. همه اشیا باید با تعریفی از رابطه بین آنها به عناصر تقسیم شوند. در این مرحله است که بهتر است از روش های ریاضی در اقتصاد استفاده شود که به کمک آن ها تجزیه و تحلیل کمی و کیفی خواص عناصر تازه تشکیل شده انجام می شود و در نتیجه نابرابری ها و معادلات خاصی به دست می آید. به عبارت دیگر، سیستمی از شاخص ها به دست می آید.

3. سنتز سیستم یک فرمول ریاضی از یک مسئله است که در طی سازماندهی آن الف مدل ریاضیشی و الگوریتم هایی برای حل مسئله تعیین می شود. در این مرحله این احتمال وجود دارد که مدل های پذیرفته شده مراحل قبل نادرست باشند و برای به دست آوردن نتیجه صحیح باید یک یا حتی دو مرحله به عقب برگردید.

هنگامی که مدل ریاضی شکل گرفت، می توانید برنامه ای را برای حل مسئله در رایانه ایجاد کنید. اگر یک شی نسبتا پیچیده دارید که از تعداد زیادی عنصر تشکیل شده است، باید یک پایگاه داده و ابزارهای موجود برای کار با آن ایجاد کنید.

اگر مسئله به صورت استاندارد باشد، از هر روش ریاضی مناسب در اقتصاد استفاده می شود و به صورت آماده است محصول نرم افزاری.

مرحله نهایی عملیات مستقیم مدل شکل گرفته و به دست آوردن نتایج صحیح است.

روش های ریاضی در اقتصاد باید در یک توالی مشخص و با استفاده از فناوری های نوین اطلاعاتی و محاسباتی مورد استفاده قرار گیرند. فقط در این ترتیب می توان تصمیمات ارادی ذهنی مبتنی بر علاقه و احساسات شخصی را حذف کرد.

آژانس فدرال برای آموزش

دانشگاه فنی دولتی

__________________________________________________________________

گروه سیستم های اطلاعاتی

اقتصاد ریاضی

یادداشت های سخنرانی

برای دانشجویان سال سوم این رشته تخصصی

"انفورماتیک کاربردی (در اقتصاد)"

Tver 2009

1. روش های ارزیابی پروژه های سرمایه گذاری

در حال حاضر در کشورهای پیشرفته اقتصاد بازارهنگام تجزیه و تحلیل پروژه های سرمایه گذاری، تکنیک های تنزیل بر اساس منطق بهره مرکب به طور گسترده مورد استفاده قرار گرفت. بنابراین، این بخش جوهر و مزایای استفاده از این روش ها را ارائه می دهد.

^ 1.1 روش محاسبه ارزش فعلی خالص

ارزش فعلی خالص به عنوان تفاوت محاسبه می شود
جریان‌های درآمد و هزینه‌هایی که به یک نقطه از زمان تنزیل می‌شوند
با توجه به پروژه:

که در آن CF INt جریان نقدی ورودی برای دوره t است.

CF OFt - خروج پول نقدبرای دوره t;

R - نرخ تخفیف؛

N - چرخه عمر پروژه.

در مواردی که سرمایه گذاری یکبار سرمایه گذاری در دوره اولیه باشد، فرمول محاسبه NPV به صورت زیر خواهد بود:

که در آن C 0 سرمایه گذاری در دوره صفر است.

استفاده از این معیار هنگام تصمیم گیری بسیار ساده است. ارزش NPV مثبت میزان درآمدی را که سرمایه گذار بالاتر از سطح مورد نیاز دریافت می کند را نشان می دهد. در صورتی که NPV برابر با صفر باشد، سرمایه گذار نه تنها سرمایه خود را برمی گرداند، بلکه آن را به میزان تعیین شده توسط نرخ تنزیل افزایش می دهد. مقدار NPV منفی حاصل نشان می دهد که پروژه باید رد شود.

لازم به ذکر است که شاخص NPV در طول زمان افزایش می یابد. این ویژگی به شما امکان می دهد مقادیر خالص فعلی پروژه های مختلف را خلاصه کنید، که هنگام تجزیه و تحلیل بهینه بودن یک سبد سرمایه گذاری بسیار مهم است.

^ 1.2 روش محاسبه شاخص بازگشت سرمایه

شاخص سودآوری نسبت سود تنزیل شده و هزینه های پروژه است. به عنوان مثال، در رابطه با سرمایه گذاری های یکباره، محاسبه طبق فرمول انجام می شود:

در شرایطی که مقدار PI> 1 باشد، پروژه سودآور است. اگر PI<1, то от инвестирования следует отказаться. Значение индекса рентабельности, равное единице, говорит о том, что проект и ни прибыльный, и ни убыточный.

مزیت این اندیکاتور نسبت به اندیکاتور NPV نسبی بودن آن است. بنابراین، هنگامی که لازم است یک پروژه از تعدادی پروژه جایگزین که دارای مقادیر NPV تقریباً یکسان هستند، و همچنین هنگام تشکیل یک سبد سرمایه گذاری با حداکثر ارزش کل NPV، استفاده از آن آسان است.

این مشکل زمانی به وجود می آید که چندین پروژه سرمایه گذاری جذاب برای انتخاب وجود داشته باشد، اما به دلیل محدودیت منابع مالی، سرمایه گذار نمی تواند همزمان در همه پروژه ها شرکت کند. سپس PI برای هر پروژه محاسبه می شود و پروژه ها به ترتیب نزولی PI رتبه بندی می شوند. سبد سرمایه گذاری شامل اولین پروژه های m است که در مجموع می توان به طور کامل تامین مالی کرد.

اگر پروژه بعدی قابل تقسیم باشد در آن قسمتی از آن نیز در پرتفوی قرار می گیرد که قابل تامین مالی باشد.

^ 1.3 روش محاسبه نرخ بازگشت سرمایه

نرخ بازده داخلی نرخ بهره ای است که در آن ارزش فعلی خالص پروژه صفر است:

که در آن IRR نرخ بازده (نرخ بازده داخلی) است.

مقدار IRR حداکثر سطح نسبی مجاز هزینه‌ها را نشان می‌دهد که می‌تواند به هر طریقی با پروژه مورد نظر مرتبط شود. به عنوان مثال، اگر یک پروژه به طور کامل از طریق وام تامین شود، ارزش IRR نشان دهنده سقف بالای نرخ سود بانکی است که بالاتر از آن پروژه بی‌سود خواهد بود.

برای تعیین IRR از روش های محاسبه ای یا محاسباتی - گرافیکی استفاده می شود. در حالت اول، جریان‌های نقدی سالانه (با در نظر گرفتن سرمایه‌گذاری‌های سرمایه مورد نیاز) با نرخ‌های تنزیل آزمایشی مختلف در یک درصد افزایش می‌یابد. این باعث ایجاد تعدادی ارزش فعلی خالص متناظر می شود که کوچکترین مقدار مثبت آن نشان دهنده نرخ دقیق بازدهی است که باید در نظر گرفته شود.

استفاده از روش محاسبه-گرافیک به این واقعیت مربوط می شود که نرخ های بازده در سیستم مختصات در امتداد محور عمودی و مقادیر خالص امروزی در امتداد محور افقی رسم می شوند. سپس دو مقدار NPV مربوط به هر دو نرخ بازده محاسبه می شود. یک خط مستقیم بین این دو نقطه رسم می شود که نقطه تلاقی آن با محور عمودی نرخ بازده داخلی تخمین زده شده است. با این حال، باید توجه داشت که مقدار حاصل باید از نظر صفر بررسی شود و در صورت لزوم تنظیمات انجام شود.

^ 1.4 روش برای تعیین دوره بازپرداخت تخفیف

دوره بازپرداخت تنزیل شده به دوره زمانی اطلاق می شود که طی آن سرمایه گذار هزینه های اولیه خود را به طور کامل بازیابی می کند و در عین حال سطح سودآوری لازم را تضمین می کند:

که در آن T دوره بازپرداخت تخفیف شده است.

PV ارزش فعلی سرمایه گذاری است.

این روش یکی از ساده ترین و گسترده ترین است، اما، به عنوان یک قاعده، از آن برای به دست آوردن اطلاعات اضافی در مورد پروژه در مواردی استفاده می شود که نکته اصلی این است که سرمایه گذاری در اسرع وقت پرداخت می شود. علاوه بر این، این روش هنگام تجزیه و تحلیل پروژه‌های با درجه ریسک بالا راحت است، زیرا هر چه دوره بازپرداخت کوتاه‌تر باشد، ریسک پروژه کمتر است.

^ 2. ویژگی های کاربرد روش های ارزیابی پروژه های سرمایه گذاری

روش های شرح داده شده در بالا به طور کامل در هنگام تجزیه و تحلیل پروژه های سرمایه گذاری مستقل معتبر هستند. یعنی معیارهای این روش ها تنها در این صورت با یکدیگر تضادی نخواهند داشت.

هنگام تجزیه و تحلیل پروژه های رقیب، وضعیت متفاوتی پیش می آید که اهمیت در نظر گرفتن آن با تمایل به افزایش رقابت بین شرکت ها به منظور کاهش هزینه پروژه ها با استفاده از ذخایر داخلی شرکت ها تعیین می شود. علاوه بر این، وضعیت مشابهی ممکن است تحت محدودیت های مالی شدید ایجاد شود.

بیایید دو پروژه را در نظر بگیریم که با یکدیگر رقابت می کنند. بیایید ارزش فعلی خالص پروژه ها و همچنین نرخ بازده داخلی آنها را محاسبه کنیم، مشروط بر اینکه نرخ تنزیل آن 11 درصد باشد.

جدول 1

پروژه	СF بر حسب سال (میلیون روبل)					NPV در r=11%	IRR
	0	1	2	3	4
X1	-50	0	0	15	110	33,5	26,7%
X2	-50	40	15	15	20	22,4	35,0%

همانطور که از جدول 1 مشاهده می شود، NPV پروژه X1 33.5 میلیون روبل خواهد بود که به وضوح نسبت به NPV پروژه X2 - 22.4 میلیون روبل ارجحیت دارد. با این حال، اگر روی نرخ بازده داخلی تمرکز کنیم، باید به پروژه X2 با IRR = 35٪ در مقابل 26.7٪ برای پروژه X1 اولویت داده شود. بنابراین، معیارهای NPV و IRR با یکدیگر تعارض دارند، علیرغم این واقعیت که هر دو روش بر اساس یک فرمول هستند.

مشکل پیش آمده را می توان به راحتی حل کرد اگر ماهیت معیار IRR را با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم که محاسبه آن امکان سرمایه گذاری مجدد درآمد میانی پروژه را فراهم می کند و سودآوری برابر با IRR را فراهم می کند. اما آیا واقعاً می توان چنین بازدهی را در صورتی که بازده سرمایه گذاری مجدد کمتر از IRR باشد ارائه کرد؟ همانطور که بررسی بیشتر مثال نشان خواهد داد، خیر.

قدر مطلق درآمد سرمایه گذار در پایان سال چهارم یا به عبارتی ارزش آتی پروژه ها را به شرطی که نرخ سرمایه گذاری مجدد 11 درصد باشد محاسبه کنیم:

FV(X1) = 110+ 15* (1 + 0.11) = 126.65 میلیون روبل،

FV(X2) = 20 + 15*(1 + 0.11) + 15*(1 + 0.11) 2 +40*(1 + 0.11) 3 = 109.84 میلیون روبل.

اجازه دهید سودآوری این عملیات را بر اساس رابطه زیر تعیین کنیم:

تعدادی از محققین، با در نظر گرفتن کاستی های معیار IRR، پیشنهاد کردند که به جای آن از معیار دیگری استفاده کنند - MIRR (IRR اصلاح شده). MIRR بازده مورد انتظار است مشروط بر اینکه تمام درآمد میانی پروژه با نرخ بازده معینی دوباره سرمایه گذاری شود.

جدول 2

همانطور که از جدول 2 مشاهده می شود، استفاده از معیار MIRR تناقض بین شاخص های مطلق و نسبی نتایج اجرای پروژه را برطرف می کند. اکنون این سوال حذف شده است: اولویت باید به پروژه X1 داده شود. علاوه بر این، در آینده هنگام مقایسه دو پروژه رقیب، NPV باید بهترین معیار در نظر گرفته شود.

مثال‌های ارائه‌شده بر اساس تناقض بین معیارهای NPV و IRR هنگام تجزیه و تحلیل پروژه‌هایی با میزان سرمایه‌گذاری یکسان بود. بنابراین لازم است نمونه ای از تحلیل پروژه های رقیب با حجم سرمایه گذاری متفاوت را نیز در نظر گرفت.

جدول 3

پروژه	СF بر حسب سال (میلیون روبل)					NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
	0	1	2	3	4
X3	-5	4,5	2,2	2,5	2,5	4,3	54%	29,82%
X2	-50	40	15	15	20	22,4	35%	21,74%

تجزیه و تحلیل داده های ارائه شده در جدول 3 نشان می دهد که معیارهای IRR و MIRR پروژه X3 را نشان می دهد، در حالی که معیار NPV که در مثال قبلی به عنوان اصلی ترین مورد در نظر گرفته شد، به وضوح در کنار پروژه X2 قرار دارد. یعنی در این شرایط مشکل عدم تناسب پروژه ها (مشکل مقیاس) به وجود آمد. بنابراین، تصمیم نهایی در اینجا تنها پس از تجزیه و تحلیل گنجاندن احتمالی تفاوت بین CFo (ХЗ) و CFo (X2) قابل انجام است. در مثال ما، این تفاوت 45 میلیون روبل است.

بیایید فرض کنیم که ما فرصت سرمایه گذاری این وجوه را به شرح زیر داریم:

جدول 4

پروژه	СF بر حسب سال (میلیون روبل)					NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
	0	1	2	3	4
X4	-45	36	13	13	18	19,3	34%	21,38%

اکنون باید دریابیم که چه چیزی ارجح است - پروژه های X3 و X4 یا پروژه X2؟

جدول 5

پروژه	СF بر حسب سال (میلیون روبل)					NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
	0	1	2	3	4
X3 + X4	-50	40,5	15,2	15,5	20,5	23,7	36%	22,30%
X2	-50	40	15	15	20	22,3	35%	21,74%

با توجه به نتایج منعکس شده در جدول 5، کاملاً مشخص می شود که سرمایه گذار پروژه X2 را به نفع اجرای دو پروژه X3 و X4 رد می کند. لازم به ذکر است که انتخاب نهایی همچنان پروژه X1 خواهد بود:

جدول 6

پروژه	СF بر حسب سال (میلیون روبل)					NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
	0	1	2	3	4
X3 + X4	-50	40,5	15,2	15,5	20,5	23,7	36%	22,30%
X1	-50	0	0	15	110	33,5	26,7%	26,16%

با این حال، ممکن است شرایطی وجود داشته باشد که به غیر از پروژه‌های X3 و X4، دیگر پروژه‌ای با NPV مثبت وجود نداشته باشد. در این مورد، لازم است نه بر روی نرخ بازده، بلکه بر NPV تمرکز کنید.

لازم به ذکر است که مشکل مقیاس می تواند در مورد پیوند NPV – PI نیز ایجاد شود. در این مورد، روش حل مشابه خواهد بود.

بنابراین، می توانیم نتیجه گیری زیر را بگیریم: توصیه می شود پروژه های سرمایه گذاری را با استفاده از چندین روش به طور همزمان تجزیه و تحلیل کنیم، که به ما امکان می دهد اطلاعات مهم بیشتری در مورد آنها به دست آوریم.

^ 3. در نظر گرفتن تورم هنگام تجزیه و تحلیل پروژه ها

تأثیر تورم را می توان با تعدیل سودهای آتی یا نرخ تنزیل با شاخص آن در نظر گرفت. در این مورد، توصیه می شود از وابستگی زیر استفاده کنید:

جایی که r nom نرخ بهره اسمی است.

R واقعی - نرخ بهره واقعی؛

λ نرخ تورم عمومی است.

برای مقادیر کوچک rو λ فرمول (7) را می توان به صورت زیر نوشت:

R nom ≈ r eal + λ (8)

هر دو نرخ بهره اسمی و واقعی می توانند به عنوان نرخ تنزیل استفاده شوند. انتخاب بستگی به نحوه اندازه گیری جریان نقدی پروژه دارد. اگر جریان نقدی به صورت واقعی (به قیمت ثابت) ارائه شود، باید از نرخ بهره واقعی برای تنزیل استفاده شود.

با این حال، استفاده از نرخ های بهره واقعی و محاسبه جریان نقدی در قیمت های ثابت اجازه تورم ساختاری را نمی دهد. در چنین مواردی، محاسبات باید در قیمت های فعلی انجام شود:

با این حال، در مورد دوم، توانایی پیش بینی افزایش قیمت مورد نیاز است.

^ 4. در نظر گرفتن ریسک هنگام تجزیه و تحلیل یک پروژه واحد

تجزیه و تحلیل با در نظر گرفتن ریسک یک پروژه تنها در صورتی انجام می شود که پروژه سرمایه گذاری مستقل باشد. در این مورد، استفاده از دو شاخص کاملاً کافی است: بازده مورد انتظار و انحراف استاندارد (RMS) بازده، که به طور کامل توزیع نرمال را تعیین می کند.

بازده مورد انتظار به صورت زیر محاسبه می شود:

(11)

که در آن R i سودآوری برای سناریوی i است.

P i - احتمال وقوع رویدادها طبق گزینه i-ام.

N تعداد گزینه های در نظر گرفته شده است.

بنابراین، واضح است که بازده مورد انتظار محتمل ترین بازده پروژه است، در حالی که انحراف استاندارد که پراکندگی بازده مورد انتظار را اندازه می گیرد، نشانگر ریسک پروژه است:

هنگام مقایسه ریسک برای دارایی‌ها با بازده مورد انتظار متفاوت، توصیه می‌شود از ضریب تغییرات (یعنی معیار پراکندگی نسبی) استفاده شود:

(13)

بدیهی است که هر چه انحراف معیار و CV بیشتر باشد، خطر بالاتری دارد. به عنوان مثال، داده های نمونه تصادفی ارائه شده در جدول 7 را در نظر بگیرید:

جدول 7

پروژه	آر		CV
X1	12,5%	3,12	0,25
X2	11,0%	3,32	0,30
X3	12,2%	2,68	0,22

در این مثال، پروژه X2 کمترین سود و در عین حال پرخطرترین است، بنابراین باید فوراً رد شود و انتخاب بیشتر به نگرش سرمایه گذار به ریسک بستگی دارد. در صورت منفی بودن پروژه HZ اجرا می شود. اگر سرمایه گذار ریسک گریز باشد، اولویت به پروژه XI داده می شود.

عمل نشان می دهد که سرمایه گذاران در سطح مسئولان شهرداری سعی می کنند حداقل ریسک را انتخاب کنند. بنابراین، در مورد ما، پروژه KhZ برای سرمایه گذاری پذیرفته می شود.

^ 5. در نظر گرفتن ریسک هنگام تجزیه و تحلیل سبد پروژه

به طور معمول، به منظور کاهش بخش غیر سیستماتیک ریسک، از تنوع استفاده می شود که مبتنی بر ایجاد یک پرتفوی موثر با تجزیه و تحلیل همبستگی دارایی های آن است. لازم به ذکر است که هر سرمایه گذاری جدید در اینجا باید با توجه به پرتفوی فعلی در نظر گرفته شود.

اجازه دهید روش محاسبه ریسک یک پرتفوی متشکل از سه پروژه را با استفاده از مثال داده های ارائه شده در جدول 7 و همچنین با این شرط که هر پروژه یک سوم مبلغ سرمایه گذاری شده را دریافت کند، در نظر بگیریم.

بازده پرتفوی به شرح زیر تعیین می شود:

(14)

جایی که R k سودآوری مورد انتظار پروژه k است.

X k سهم وجوه سرمایه گذاری شده در پروژه k است.

M تعداد پروژه های موجود در پورتفولیو است.

در مثال ما:

آر نمونه کارها = 12,5 1 / 3 + 11 1 / 3 + 12,2 1 / 3 = 11,9%.

در مثال ما:

Cov 12 = 7.34 و Cov 13 = – 8,12.

بنابراین بدیهی است که سودآوری پروژه‌های X1 و X2 در یک جهت و سودآوری پروژه‌های X1 و X3 و همچنین X2 و X3 در جهت مخالف تغییر می‌کند. با این حال، از آنجایی که تفسیر مقدار مطلق کوواریانس دشوار است، درجه وابستگی متقابل بین شاخص ها با استفاده از ضریب همبستگی محاسبه می شود:

هنگامی که r = +1، شاخص ها در طول زمان دقیقاً به همان شیوه تغییر می کنند، زمانی که r = -1، یک همبستگی کاملاً منفی نشان می دهد که هیچ رابطه ای وجود ندارد.

در این مثال:

r 12 = 0.71، r 13 = -0.96 و r 23 = -0.6.

بدیهی است که برای کاهش ریسک، ترکیب مجموعه ای از پروژه های X1 و X3 بسیار مناسب است. با این حال، در این مورد، با در نظر گرفتن همبستگی بین پروژه ها، لازم است ریسک پرتفوی خود محاسبه شود:

بیایید ریسک پرتفوی (X1، X3) را تحت شرایط سرمایه گذاری سهم برابر محاسبه کنیم:

.

بنابراین، ریسک پرتفوی ما به طور قابل توجهی کمتر از ریسک های پروژه های جزء آن است و در r< 0 диверсификация всегда будет приводить к подобным результатам. Однако при 0 < r < 1 также можно сократить риск, причем при определенных значениях r риск портфеля может оказаться ниже самого рискованного его актива.

روش گردآوری پورتفولیو از پروژه های متعدد همانند گردآوری پورتفولیوی دو دارایی است.

از کل مجموعه پرتفوی هایی که با ناحیه در شکل 1 نشان داده شده است، باید آن پرتفوی هایی را انتخاب کرد که در خط AB قرار دارند - آنهایی هستند که حداقل ریسک را با بالاترین بازده مورد انتظار ارائه می دهند. علاوه بر این، انتخاب خاص در بین آنها بستگی به نگرش ما به ریسک دارد. از نظر گرافیکی، انتخاب بین ریسک و بازده با منحنی‌های بی‌تفاوتی بیان می‌شود، که مجموعه‌ای منحصربفرد برای هر فرد از نظر ترجیحات آن شخص برای ریسک و بازده وجود دارد.

شکل 1 مسئله انتخاب پرتفوی بهینه.

خط مستقیمی که از نقطه بازده یک دارایی بدون ریسک از نقطه مماس منحنی پرتفوی های احتمالی AB عبور می کند، خط بازار سرمایه (CML) نامیده می شود و منعکس کننده انتخاب در سیستم ریسک بازده است. نقطه C در شکل بنابراین، 1 نشان دهنده ریسک و بازده پرتفوی بازار است. بالاترین سطح مطلوبیت توسط سرمایه گذار در نقطه ای حاصل می شود که منحنی بی تفاوتی ریسک-بازده او خط بازار سرمایه را لمس کند. اگر سرمایه گذار اطمینان را ترجیح دهد، این نقطه در سمت چپ پرتفوی بازار (در سمت چپ C) قرار خواهد گرفت. سرمایه گذار هم در دارایی های بدون ریسک و هم در دارایی های پرریسک سرمایه گذاری می کند و در نتیجه پرتفوی او دارای ریسک پایین و بازده پایین است. اگر سرمایه گذار ریسک گریزتر باشد، نقطه مماس در سمت راست پرتفوی بازار (در سمت راست C) خواهد بود. وجوه در دارایی‌های پرریسک‌تر سرمایه‌گذاری می‌شوند و پرتفوی دارای ریسک و بازده بیشتر است.

مشکل یافتن پرتفوی بهینه متشکل از دارایی های زیادی در اصل می تواند با روش انتخاب حل شود - ما به دنبال پرتفویی با بالاترین بازده مورد انتظار در سطح معینی از ریسک هستیم. با این حال، در عمل، حل مشکل تخصیص سرمایه با استفاده از نسخه درجه دوم برنامه ریزی خطی توصیه می شود.

اجازه دهید سهم i-امین دارایی در پرتفوی را بر اساس هزینه تعیین کنیم:

که در آن CF OFt max حداکثر اندازه مجاز برنامه سرمایه گذاری برای دوره t است.

بیایید خلاصه شاخص ریسک را در نظر بگیریم:

تابع هدف (20) که ریسک سبد نهایی را به حداقل می رساند، که در آن معیار مشارکت در سبد، متغیر باینری X i است که مقدار واحد آن نشان دهنده ورود iمین پروژه به پورتفولیو است. مقدار صفر نشان دهنده امتناع پروژه i از سرمایه گذاری است، به صورت زیر است:

با محدودیت:

که در آن NPV حداقل اندازه حداقل ارزش خالص فعلی قابل قبول پورتفولیو است.

Tn - دوره اولیه برنامه سرمایه گذاری؛

Tk - دوره نهایی برنامه سرمایه گذاری؛

V k - بردار پروژه های رقیب.

V - مجموعه ای از بردارهای پروژه های رقیب.

N l - تعداد پروژه های پورتفولیوی قبلی که T k آن بیش از T n از نمونه کارها است.

بدیهی است که هنگام محاسبه تابع هدف (20)، تنها بخشی از ماتریس واریانس-کوواریانس (19) استفاده می‌شود که روی قطر اصلی و زیر آن قرار دارد، که ناشی از استفاده از یک شرط محدود کننده در یک حلقه تو در تو است. ستون ها، و از آنجایی که برای هر جفت پروژه ممکن دو کوواریانس وجود دارد، یک ضریب دو برابری برای مقادیر حلقه تودرتو معرفی می شود.

بنابراین، مسئله بهینه‌سازی این است که تعیین کنیم کدام پروژه‌ها باید برای سرمایه‌گذاری پذیرفته شوند تا میزان درآمد مورد انتظار و سطح ریسک به طور بهینه با اهداف سرمایه‌گذار مطابقت داشته باشد، اهدافی که توسط جهت تابع هدف و مجموعه‌ای از محدودیت‌ها تعیین می‌شوند:

1. ریسک، اندازه گیری شده توسط واریانس پورتفولیو (RMS)، به حداقل می رسد.

۲- درآمد حاصل از پرتفوی معادل شاخص افزایشی خالص ارزشهای مورد انتظار امروز پروژه های پذیرفته شده نباید کمتر از مقدار مورد نیاز تعیین شده توسط ارزش تنزیل شده به دوره سرمایه گذاری اولیه باشد.

3. مجموع حجم سرمایه گذاری های سالانه نمی تواند از حدود وجوه موجود (تخصیص یافته) که برای یک دوره زمانی معین به طور جداگانه برای هر سال برنامه سرمایه گذاری ایجاد شده است تجاوز کند.

4. فقط یکی از پروژه هایی که نماینده همان گروه از پروژه های رقیب است می تواند در پورتفولیو گنجانده شود.

5. تدوین یک سبد جدید با در نظر گرفتن گنجاندن اجباری در ترکیب آن از پروژه های سبد قبلی انجام می شود که دوره تکمیل برنامه سرمایه گذاری برای آنها از دوره شروع برنامه سرمایه گذاری بیشتر است. نمونه کارها جدید

6. پروژه های مورد بررسی مشمول پراکندگی نمی شوند.

مشکل توصیف شده شامل تعدادی محدودیت به شکل نابرابری است که عمدتاً محدودیت هایی را برای سرمایه گذاری در جهت های خاص تعیین می کند. در غیر این صورت، نمی توان تضمین کرد که راه حل به دست آمده در مرز کارایی خواهد بود. با انجام این کار، ممکن است در نهایت با پرتفوی پرریسک‌تری مواجه شویم، اما مجبور نخواهیم بود از تمام پول خود استفاده کنیم و/یا می‌توانیم بازده بالاتری کسب کنیم.

محاسبه و خروجی مشخصات نمونه کارها:

بسیاری از پروژه های منتخب:

ارزش خالص پرتفوی مورد انتظار امروز:

بازده مورد انتظار پرتفوی:

ریسک پرتفوی پروژه:

صرفه جویی در منابع مالی:

تعاریف مختلفی از مفهوم "ریسک" وجود دارد ، بنابراین با تعمیم موارد فوق ، با ریسک وضعیتی را درک خواهیم کرد که در آن چندین نتیجه ممکن از اقدامات خاص وجود دارد و همچنین داده های لازم از دوره های گذشته وجود دارد که این امکان را فراهم می کند. برای محاسبه برخی وابستگی ها برای پیش بینی نتایج احتمالی آینده.

مدل CAPM (مدل قیمت گذاری دارایی های سرمایه ای)، توسعه یافته توسط W. Sharp، که به طور گسترده برای گردآوری پرتفوی استفاده می شود، بر این واقعیت استوار است که مهم است که فقط ریسک سیستماتیک هر دارایی جداگانه در نظر گرفته شود. با این حال، آثار G. Markowitz اهمیت در نظر گرفتن ریسک عمومی را به عنوان یک کل ثابت کرده است. بنابراین، ادله قبلی دقیقاً بر این فرض استوار بود.

ریسک سیستماتیک ناشی از عواملی مانند تورم است. بحران اقتصادی، سایر عوامل کلی بازار.

وجود ریسک غیرسیستماتیک با رویدادهای تصادفی مرتبط با دارایی ها یا شرکت های خاص مرتبط است.

کتابشناسی

1. 
   بارد وی.اس. مجموعه مالی و سرمایه گذاری: تئوری و عمل در زمینه اصلاح اقتصاد روسیه. - م: امور مالی و آمار، 1377. - 304 ص.
2. 
   بوگاتین یو.و.، شواندار وی. تحلیل سرمایه گذاری: کتاب درسی برای دانشجویان دانشگاه، آموزش اقتصاد. Bogatin Yu.V., Shvandar V.A.. - M.: UNITI, 2000. - 286 p.
3. 
   بوگاتین یو.و.، شواندار وی. ارزیابی اثربخشی کسب و کار و سرمایه گذاری: کتاب درسی برای دانشگاه های کارشناسی، آموزش در اقتصاد - M: مالی، UNITY-DANA، 1999. - 256 ص.
4. 
   بوچاروف V.V. مدیریت سرمایه گذاری: کتاب درسی. - سن پترزبورگ و دیگران: پیتر، 2000. - 152 ص. - دوره کوتاه
5. 
   Brodsky M.N.، Brodsky G.M. حقوق و اقتصاد: مشاوره سرمایه گذاری; دانشگاه ایالتی اقتصاد و دارایی سنت پترزبورگ آکادمی بین المللی امنیت ملی ایالات متحده. - سن پترزبورگ، 1999. - 488 ص.
6. 
   واخرین پی.ای. سازماندهی و تامین مالی سرمایه گذاری ها: (مجموعه وظایف عملی و موقعیت های خاص): کتاب درسی. - م.: مرکز اطلاع رسانی و اجرا "بازاریابی"، 1378. - 149 ص.
7. 
   ایگوشین N.V. سرمایه گذاری سازمان مدیریت و تامین مالی: کتاب درسی برای دانشگاه ها، آموزش در اقتصاد - M: مالی، یونیتی، 1999. - 414 ص.
8. 
   کووالف V.V. تجزیه و تحلیل سرمایه گذاری. - چاپ دوم، اصلاح و تکمیل - م.: امور مالی و آمار، 1997. - 511 ص.
9. 
   کولماف V.A. اقتصاد ریاضی. - م.: امور مالی و آمار، 2003. - 206 ص.
10. 
    Krushwitz L. مبانی نئوکلاسیک نظریه مالی: کتاب درسی برای دانشگاه ها: ترجمه از آلمانی.. - سنت پترزبورگ. و دیگران: پیتر، 2000. - 381 ص. - دوره پایه
11. 
    Limitovsky M.A. مبانی ارزیابی سرمایه گذاری و تصمیمات مالی. - چاپ سوم، اضافی و تجدید نظر شده.. - م.: دکا، 1998. - 231 ص.
12. 
    ارزیابی اثربخشی سرمایه گذاری های یک شرکت: توصیه های روش شناختی برای نوشتن اقتصاد سازمانی بخش هایی از پروژه دیپلم توسط دانشجویان فنی. متخصص. دانشگاه فنی دولتی Tver، گروه اقتصاد و مدیریت. pr-vom؛ گردآوری شده توسط V.A Nikolskaya، A.G. Bokicheva. - Tver, 2000. - 12 p.
13. 
    سلمانوف O.N. اقتصاد ریاضی با استفاده از Mathcad و Excel. BHV-Petersburg, 2003. – 464 p.
14. 
    سرگیف I.V.، Veretennikova I.I. سازماندهی و تامین مالی سرمایه گذاری ها: کتاب درسی برای دانشجویانی که در رشته های اقتصاد و تخصص تحصیل می کنند. سرگئیف I.V.، Veretennikova I.I - M.: امور مالی و آمار، 2000. - 271 p.
15. 
    هولت آر.ان.، بارنز اس.بی. برنامه ریزی سرمایه گذاری: [کتاب درسی]: ترجمه از انگلیسی - M.: Acad.nar.khoz-va: Delo, 1994. - 118 p.
16. 
    Chetyrkin E.M. تحلیل مالی سرمایه گذاری های صنعتی؛ آکادمیسین اقتصاد ملی تحت دولت فدراسیون روسیه. - م.: دلو، 1998. - 255 ص.
17. 
    شارپ دبلیو اف، الکساندر جی.دی. سرمایه گذاری: ترجمه از انگلیسی; تهیه شده با کمک مالی صندوق ملی آموزش پرسنل مالی و مدیریتی در چارچوب برنامه "بانکداری" آن. - M.: INFRA-M، 1997. - 1024 p.

پشتیبانی نرم افزاری و اطلاعاتی

1. 
   Microsoft Office 2000: Microsoft Excel.
2. 
   موناکوف A.V. روش های ریاضی تحلیل اقتصادی. // www. فروشگاه من. ru.
3. 
   کولماف V.A. کتاب درسی اقتصاد ریاضی. // www. هوگاهوگا. ru.