نحوه محاسبه سود مرکب فرمول بهره مرکب

داریا نیکیتینا

زمان مطالعه: 11 دقیقه

A A

بهره مرکبمرسوم است که زمانی که سود سود به مبلغ اصلی اضافه می شود و متعاقباً در ایجاد سود جدید شرکت می کند، اثر را نامگذاری می کنند.
فرمول بهره مرکب- این فرمولی است که با آن کل مبلغ با در نظر گرفتن سرمایه (بهره) محاسبه می شود.

در این مقاله:

محاسبه ساده بهره مرکب

برای درک بهتر محاسبه بهره مرکب، اجازه دهید به یک مثال نگاه کنیم.
بیایید تصور کنیم که شما 10،000 روبل در سال 10 درصد در بانک سپرده گذاری کرده اید.
یک سال بعد از شما حساب بانکیمبلغ SUM = 10000 + 10000 * 10% = 11000 روبل خواهد بود.
سود شما 1000 روبل است.
تصمیم می گیرید برای سال دوم 11000 روبل با همان سود 10 درصد در بانک بگذارید.
پس از 2 سال، بانک 11000 + 11000 * 10% = 12100 روبل انباشته خواهد شد.

سود سال اول (1000 روبل) به مبلغ اصلی (10000 روبل) اضافه شد و در سال دوم در حال تولید بود. سود جدید. سپس در سال سوم، سود سال دوم به مبلغ اصلی اضافه می شود و خود سود جدیدی ایجاد می کند. و غیره.

این اثر بهره مرکب نامیده می شود.

زمانی که تمام سود به مبلغ اصلی اضافه می شود و سپس خود سود جدیدی تولید می کند.

فرمول بهره مرکب:

SUM = X * (1 + %) n

کجا
جمع- مبلغ نهایی;
X - مقدار اولیه؛
% — نرخ بهره، درصد در سال /100;
n - تعداد دوره ها، سال ها (ماه ها، سه ماهه ها).

محاسبه بهره مرکب: مثال 1.
شما 50000 روبل با 10٪ در سال به مدت 5 سال در بانک سپرده گذاری کردید. 5 سال دیگر چقدر پول خواهید داشت؟ بیایید با استفاده از فرمول بهره مرکب محاسبه کنیم:

مجموع = 50000 * (1 + 10/100) 5 = 80،525.5 روبل.

سود مرکب را می توان هنگام باز کردن استفاده کرد سپرده مدت داردر بانک طبق شرایط قرارداد بانکیبهره می تواند تعلق گیرد، به عنوان مثال، سه ماهه یا ماهانه.

محاسبه بهره مرکب: مثال 2.
بیایید محاسبه کنیم اگر 10000 روبل برای 12 ماه با 10٪ در سال با سود تعهدی ماهانه قرار دهید، مقدار نهایی چقدر خواهد بود.

مجموع = 10000 * (1+10/100/12) 12 = 11047.13 روبل.

سود بالغ بر:

سود = 11047.13 - 10000 = 1047.13 روبل

سودآوری (بر حسب درصد در سال):

% = 1047,13 / 10000 = 10,47 %

یعنی وقتی تعهدی ماهانهبازده بهره بیشتر از زمانی است که بهره برای کل دوره یک بار محاسبه شود.

اگر سود خود را برداشت نکنید، سود مرکب وارد عمل می شود.

فرمول سود مرکب برای سپرده های بانکی

در واقع، فرمول بهره مرکب در رابطه با سپرده های بانکی تا حدودی پیچیده تر از آنچه در بالا توضیح داده شد است. نرخ سود سپرده (%) به شرح زیر محاسبه می شود:

% = p * d / y

کجا
ص- نرخ بهره (درصد در سال / 100) سپرده،
به عنوان مثال، اگر نرخ 10.5٪ باشد، پس p = 10.5 / 100 = 0.105;
د- دوره (تعداد روز) بر اساس نتایج حاصل از سرمایه گذاری (بهره تعلق می گیرد)،
به عنوان مثال، اگر سرمایه گذاری ماهانه است، پس d = 30روز
اگر سرمایه گذاری هر 3 ماه یک بار باشد، پس d = 90روز؛
y- تعداد روزهای یک سال تقویمی (365 یا 366).

یعنی می توانید حساب کنید نرخ بهرهبرای دوره های مختلف سپرده

فرمول بهره مرکب برای سپرده های بانکیبه نظر می رسد این است:

SUM = X * (1 + p*d/y)n

هنگام محاسبه سود مرکب، باید این واقعیت را در نظر بگیرید که با گذشت زمان، انباشت پول به بهمن تبدیل می شود. این جذابیت بهره مرکب است. یک توپ کوچک از برف به اندازه یک مشت را تصور کنید که شروع به غلتیدن از یک کوه برفی کرد. در حالی که توده در حال غلتیدن است، برف از هر طرف به آن می چسبد و یک سنگ برفی بزرگ به سمت پا پرواز می کند. سود مرکب هم همینطور. در ابتدا، افزایش ایجاد شده توسط بهره مرکب تقریباً نامرئی است. اما پس از مدتی او با تمام شکوه خود را نشان می دهد. این را می توان به وضوح در مثال زیر مشاهده کرد.

محاسبه بهره مرکب: مثال 3.
بیایید 2 گزینه را در نظر بگیریم:
1. علاقه ساده. شما 50000 روبل به مدت 15 سال با 20% سرمایه گذاری کردید. کمک های اضافیخیر شما تمام سودها را برداشت می کنید.
2. بهره مرکب. شما 50000 روبل به مدت 15 سال با 20% سرمایه گذاری کردید. هیچ هزینه اضافی وجود ندارد. هر سال سود بهره به مبلغ اصلی اضافه می شود.

مبلغ شروع: 50000 روبل
نرخ بهره: 20 درصد در سال
	علاقه ساده	بهره مرکب
	مجموع	سود در سال	مجموع	سود در سال
بعد از 1 سال	60000 روبل.	10000 روبل.	60000 روبل.	10000 روبل.
بعد از 2 سال	70000 روبل.	10000 روبل.	72000 روبل.	12000 روبل.
بعد از 3 سال	80000 روبل.	10000 روبل.	86400 روبل.	14400 روبل.
بعد از 4 سال	90000 روبل.	10000 روبل.	103680 روبل	17280 روبل
در 5 سال	100000 روبل.	10000 روبل.	124416 روبل	20,736 روبل
بعد از 6 سال	110000 روبل.	10000 روبل.	149299 روبل	24883 RUR
بعد از 7 سال	120000 روبل.	10000 روبل.	179159 روبل	29860 روبل
بعد از 8 سال	130000 روبل.	10000 روبل.	RUR 214,991	35832 روبل
بعد از 9 سال	140000 روبل.	10000 روبل.	257989 روبل	42998 روبل
در 10 سال	150000 روبل.	10000 روبل.	309587 روبل	51598 روبل
بعد از 11 سال	160000 روبل.	10000 روبل.	371504 روبل	61917 روبل
بعد از 12 سال	170000 روبل.	10000 روبل.	445805 روبل	74301 روبل
بعد از 13 سال	180000 روبل.	10000 روبل.	534966 روبل	89161 روبل
بعد از 14 سال	190000 روبل.	10000 روبل.	641959 روبل	106993 روبل
بعد از 15 سال	200000 روبل.	10000 روبل.	770351 روبل	128392 روبل
سود کل:	150000 روبل.		720351 روبل

. مبنای محاسبه بهره مرکب، بر خلاف سودهای ساده، ثابت نمی ماند نوح - با هر قدم در زمان افزایش می یابد. مقدار مطلق بهره انباشته افزایش می یابد و این روندمیزان بدهی با سرعت فزاینده ای در حال افزایش است. افزایش توسط بهره مرکبرا می توان به عنوان یک دنبال کننده نشان داد سرمایه گذاری مجدد جدید وجوه سرمایه گذاری شده در پروژه های سادهسنت برای یک دوره تعهدی (دوره اجرا ). بپیوندیدکاهش بهره تعلق گرفته به مقداری که مبنای محاسبه آنها بوده است اغلب نامیده می شود سرمایه گذاری بهره

بیایید یک فرمول برای محاسبه مقدار انباشته شده در شرایط پیدا کنیم vii این که بهره تعلق می گیرد و یک بار سرمایه گذاری می شودسال (بهره سالانه). برای این منظور استفاده می شود پیچیده شدن کاپسوندها برای نوشتن فرمول رشد، آن ها را اعمال می کنیمهمان نمادی که در فرمول افزایش با ساده proسنت:

پ - مبلغ اولیه بدهی (وام، اعتبار، سرمایه)لا و ​​غیره)

اس - مبلغ تعلق گرفته در پایان مدت وام،

n - مدت، تعداد سال های انباشت،

من - سطح نرخ بهره سالانه ارائه شده توسط دکسر اعشاری

بدیهی است در پایان سال اول سود برابر است آر من , و مقدار افزایش یافته خواهد بود. به سمت پایاندر سال دوم به ارزش خواهد رسید درپایان n سال مبلغ تعهدی خواهد بودبرابر با

(4.1)

نرخ بهره برای مدت مشابه به طور کلی به شرح زیر است:

(4.2)

برخی از آنها با انباشت بهره در سود آموخته می شوند. به میزان

(4.3)

همانطور که در بالا نشان داده شد، رشد بهره مرکب توسط نشان داده می شودفرآیندی است که با پیشرفت هندسی مطابقت دارد سیا که اولین جمله آن برابر است با آر , و مخرج است .آخرین ترم پیشرفت برابر با مقدار انباشته در پایان استمدت وام

اندازه تماس گرفت ضریب افزایشی با بهره مرکب معانی اینضریب برای اعداد صحیح n داده می شوند جداول پیچیده درصددقت محاسبات ضریب در محاسبات عملیتعیین شده توسط درجه مجاز گرد کردن جمع شدهمبالغ (تا آخرین پنی، روبل و غیره).

زمان رشد با سرعت پیچیده معمولا اندازه گیری می شودسیا مانند AST/ الف ST.

همانطور که می بینید، مقدار ضریب رشد به دو بستگی داردپارامترها - منو صلازم به ذکر است که برای مدت طولانیافزایش، حتی یک تغییر کوچک در نرخ تاثیر قابل توجهی داردبا مقدار ضریب. به نوبه خود، مدت زمان بسیار طولانیمنجر به نتایج وحشتناک حتی با کوچک می شودنرخ بهره

فرمول رشد بهره مرکب به دست می آیدبرای نرخ بهره سالانه و مدت اندازه گیری شده در سال.با این حال، می تواند برای سایر دوره های تعهدی نیز اعمال شود.نیا در این مواردمنبه معنای نرخ برای یک دوره تعهدی (ماه، سه ماهه و غیره) و n - تعداد این دوره ها روشنبه عنوان مثال اگر من- پس از آن، برای نیم سال امتیاز دهید n – تعداد نیم سالو غیره

فرمول های (4.1) - (4.3) این سود را در نظر می گیرندسنت با همان نرخی که به مبلغ اصلی بدهی اعمال می شود محاسبه می شود. بیایید شرایط محاسبات بهره را پیچیده کنیمرفیق اجازه دهید سود اصل به نرخ محاسبه شودمنو بهره در بهره -- در نرخ در این مورد

سری در پرانتز نشان دهنده هندسی استیک پیشرفت منطقی با جمله اول برابر با 1 و مخرج.در نتیجه داریم

(4.4)

· مثال 4.1

2. محاسبه سود در دوره های تقویم مجاور. شما پیش از این، هنگام محاسبه بهره، محل دوره تعهدی بهره نسبت به دوره های تقویم در نظر گرفته نمی شد. با این حال، اغلب تاریخ شروع و پایان وام در دو دوره است. مشخص است که تعلق گرفته است برای کل دوره، سود را نمی توان تنها به آخرین دوره نسبت داددوره او در حسابداری، مالیات،در نهایت، در تجزیه و تحلیل فعالیت های مالی شرکت WHOوظیفه توزیع سود انباشته در طول دوره ها مطرح می شود.

کل مدت وام به دو دوره تقسیم می شودn 1 و n 2 . به ترتیب،

کجا

· مثال 4.2

3. نرخ های متغیر. فرمول یک ثابت فرض می کندنرخ بهره در کل دوره تعهدی. بی ثباتی بازار پولی ما را مجبور می کند که طرح "کلاسیک" را به عنوان مثال با استفاده از مثال مدرن کنیم. نظرات نرخ های شناور ( شناور نرخ). به طور طبیعی، محاسبهبرای آینده در چنین نرخ هایی بسیار مشروط است. چیز دیگر -محاسبه بعد از واقعیت در این مورد، و همچنین هنگام خیانتاندازه شرط در قرارداد ثابت شده است، ضریب کل ضریب رشد به عنوان حاصل ضرب ضرایب تعریف می شود، یعنی.

(4.5)

مقادیر متوالی نرخ ها کجا هستند. - دوره هایی که در طی آن مربوطهنرخ ها

· مثال 4.3

4. محاسبه بهره برای تعداد کسری سال. اغلب ضرب الاجل است dah برای محاسبه بهره یک عدد صحیح نیست. در قوانین تعدادی از بانک های تجاری برای برخی از عملیات بهره فقط برای تعداد کامل سال یا سایر دوره های تعهدی محاسبه می شود. قسمت کسری دوره کنار گذاشته می شود. در بیشتر موارد، مدت کامل در نظر گرفته می شود. در عین حالدو روش استفاده می شود. با توجه به اول، آن را نامگذاری کنیم عمومی،محاسبه طبق فرمول انجام می شود:

(4.6)

دوم، sme سایه دار،این روش شامل محاسبه سود در کل استتعداد سال با استفاده از فرمول بهره مرکب و بخش کسری اصطلاح طبق فرمول علاقه ساده:

,(4.7)

کجا - مدت وام، الف- عدد صحیح سالب - بخش کسری از سال

روش مشابهی در مواردی که پریود است استفاده می شودخانه تعهدی شش ماهه، سه ماهه یا ماهانه است.

هنگام انتخاب روش محاسباتی، باید این موارد را در نظر داشته باشیدنرخ رشد با استفاده از روش مخلوط کمی بزرگتر از استفاده از روش عمومی است، زیرا برای n < 1 منصفانه استدر نسبت

بزرگترین تفاوتی که میبینمداده شده در ب = 1/2.

· مثال 4.4

5. مقایسه رشد با بهره مرکب و ساده. بگذارید مبنای زمانی برای اقلام تعهدی یکسان باشد، سطح نرخ های بهره یکسان است، سپس:

1) برای مدت کمتر از یک سال، سود ساده بیشتر از بهره مرکب است

2) برای مدت بیش از یک سال

3) برای یک دوره 1 ساله عوامل رشد با یکدیگر برابر هستند

با استفاده از ضریب ترکیب با بهره مرکب ساده، می توانید زمان لازم برای افزایش مقدار اولیه را تعیین کنید n یک بار برای این کار لازم است که ضرایب افزایش برابر با مقدار باشد n:

1) برای علاقه ساده

2) برای بهره مرکب

فرمول های دو برابر شدن سرمایه عبارتند از:

بدون شک سودآوری سپرده بانکی در درجه اول با نرخ سود تعیین می شود. به هر حال، این همان چیزی است که هر مشتری بالقوه روی آن تمرکز می کند. اما، در واقع، سرمایه گذار به ویژه نیاز دارد که به نرخ بهره سالانه توجه نکند، بلکه به روش محاسبه سود توجه کند. پس از همه، در سیستم مالیبانک دو مفهوم دارد: سود ساده و مرکب. و برای هر سرمایه‌گذار باید دقیقاً بدانید که سود ساده و مرکب چیست، مفاهیم و فرمول‌ها چیست تا مشخص شود کدام سپرده برای او سودآورتر خواهد بود.

بهره ساده چیست

اول از همه، سود ساده عبارت است از تعلق پاداش برای سپرده گذاری در حساب بانکی برای کل دوره ذخیره وجوه. اگر صحبت کنیم به زبان سادهپس از انقضای قرارداد سپرده سود ساده تعلق می گیرد و با نرخ سود سالانه تعیین می شود. علاوه بر این، اگر قرارداد به طور خودکار برای دوره بعدی تمدید شود، پاداش دوره قبل به بدنه سپرده اضافه نمی شود.

برای اینکه بفهمیم یک سیستم محاسبه سود ساده چیست، بیایید به یک مثال نگاه کنیم. شما 50000 روبل با 7% در سال برای یک سال در بانک قرار دادید. در پایان قرارداد، سود شما 50000 × 0.07 = 3500 روبل خواهد بود. اگر قرارداد به طور خودکار برای دوره بعدی تمدید شود، سود شما دوباره 3500 روبل خواهد بود. یعنی بعد از 2 سال می توانید 50000+3500+3500=57000 روبل از بانک دریافت کنید.

مهم! فرمول محاسبه سود ساده به صورت زیر است: K=D×p. در جایی که K مقدار سود است، D بدنه سپرده، p نرخ بهره سالانه است (در فرمول شما باید نه نرخ سالانه، بلکه نرخ تقسیم بر 100 را نشان دهید).

اگر وجوهی را برای مدت کمتر از یک سال قرار دهید، نرخ سود سالانه بر 12 تقسیم می شود و در ماه هایی که وجوه در حساب بانکی بوده ضرب می شود. به عنوان مثال، اگر دوره سپرده گذاری 3 ماهه و نرخ سود آن 10% در سال باشد، سود کل به صورت زیر محاسبه می شود: 0.025 = 0.1/12×3. به عنوان مثال، اگر برای یک دوره 3 ماهه 50000 روبل قرار دهید، سود در پایان قرارداد به شرح زیر خواهد بود: 50000 × 0.025 = 1250 روبل.

فرمول های سود ساده و مرکب

سود مرکب سپرده ها

تفاوت بین سود ساده و بهره مرکب در واقع بسیار زیاد است. هنگام انتخاب یک محصول سپرده، احتمالاً همه درباره مفهومی به عنوان سرمایه شنیده اند. یعنی این یک طرح تعهدی سود است که در آن سود تعهدی به بدنه سپرده اضافه می شود و در آینده مجدداً بر آن درآمد تعلق می گیرد.

لطفاً توجه داشته باشید که سرمایه گذاری در یک فرکانس مشخص انجام می شود، به عنوان مثال، یک بار در هفته، یک ماه، یک چهارم یا یک سال.

از این نتیجه می‌توان نتیجه گرفت که سرمایه‌گذاری به شما امکان می‌دهد در مقایسه با بهره ساده، سود بیشتری کسب کنید. برای مشاهده واضح این موضوع، اجازه دهید به فرمول محاسبه بهره مرکب نگاه کنیم، و به شکل زیر خواهد بود: B=(K×H×P/N)/100، کجا:

• ب – مقدار سود تعلق گرفته؛
• K - بدن سپرده؛
• H – نرخ سالانه;
• P - تعداد روزهایی که در طی آن استفاده از حروف بزرگ اتفاق می افتد.
• N - تعداد روزهای یک سال.

برای درک واضح نحوه محاسبه بهره مرکب. بیایید به یک مثال ساده نگاه کنیم. مبلغ سپرده 50000 روبل است، نرخ بهره در سال 7٪ است، سرمایه گذاری ماهانه انجام می شود، مدت قرارداد یک سال است. بیایید سود ماه اول استفاده از سپرده را محاسبه کنیم: B=(50000×7×30/365)/100=287.6 روبل - این سود برای ماه اول است. در دوره بعدی، محاسبه به این صورت خواهد بود: B=(50287.6×7×31/365)/100=298.9 روبل.

از مثال بالا می توان نتیجه گرفت که سرمایه گذاری به شما امکان می دهد هر ماه سود بیشتری نسبت به قبلی دریافت کنید. اما هنگام انتخاب یک پیشنهاد سپرده، حتماً به تعداد دفعات سرمایه گذاری توجه داشته باشید، هر چه بیشتر مشتری سود بیشتری دریافت کند.

چه فرقی دارد

در واقع، سیستم محاسبه سود سپرده ها بسیار متفاوت است، در درجه اول به این دلیل که با سرمایه گذاری سود، سود سپرده می تواند به طور قابل توجهی بیشتر از یک سیستم ساده باشد. زیرا با یک سیستم ساده، سود در پیشرفت حسابی رشد می کند و با یک سیستم پیچیده، در پیشرفت هندسی. برای مشاهده واضح این موضوع، در زیر نمودار بهره مرکب در مقایسه با طرح بهره ساده ارائه شده است.

طرح بهره مرکب در مقابل طرح بهره ساده

اما در این زمینه ایراداتی نیز وجود دارد. شرایط سپرده های بانکی کاملاً فردی است، بنابراین هنگام انتخاب یک محصول سپرده، اول از همه، به تعداد دوره های سرمایه گذاری در کل مدت قرارداد توجه کنید. به عنوان مثال، بانک نشان می دهد که در قرارداد سپرده شما سرمایه گذاری سود پیش بینی شده است، اما هر 6 ماه یک بار انجام می شود، یعنی شش ماه پس از انعقاد قرارداد با بانک، اولین درآمد خود را دریافت خواهید کرد.

در همان زمان، تصمیم گرفتید وجوه را فقط برای 3 ماه قرار دهید، بر این اساس، وجوه خود را زودتر از سرمایه گذاری بانک دریافت خواهید کرد و در این صورت بهتر است یک محاسبه ساده سود سپرده را انتخاب کنید. مهم! اکثر بانک ها همین را ارائه می دهندپیشنهاد سپرده

به مشتریان خود برای انتخاب سود با فرکانس معین یا گنجاندن خود در بدنه سپرده بر این اساس، مشتری این فرصت را دارد که انتخاب کند که چه سیستمی، ساده یا پیچیده، مایل به دریافت درآمد خود است.

در واقع، درک تفاوت اساسی بین سود ساده و مرکب بسیار ساده است، اما نکته ظریف این است که بانک ها مفاهیمی مانند سود ساده و مرکب را در توافقنامه ذکر نمی کنند از توافقنامه . اگر در توافقنامه قید شده باشد که پس از انقضای قرارداد، بهره پرداخت می شود، بر این اساس، سرمایه تحت چنین قراردادی ارائه نمی شود. سود مرکب در عملیات مالی و اعتباری بلندمدت در صورتی استفاده می شود که سود بلافاصله پس از انباشت آن در دوره گذشته به صورت دوره ای پرداخت نشود، اما به مبلغ بدهی اضافه شود. افزودن سود تعلق گرفته به مبلغی که مبنای تعیین آن بوده است اغلب نامیده می شودحروف بزرگ

درصد

فرمول بهره مرکبپبگذارید مبلغ اولیه بدهی باشدپ(1+ من) ، پس از یک سال میزان بدهی با سود اضافه خواهد شد پ(1+ من)(1+ من)= پ(1+ من) 2 ، در 2 سال n، از طریق پ(1+ من) سال -. بنابراین، فرمول ترکیب را برای بهره مرکب به دست می آوریم

S=P(1+i)n, (19)

کجا اس- مبلغ تعلق گرفته،من- نرخ بهره مرکب سالانه،n- مدت وام، (1+ من) سال -- ضریب رشد

در محاسبات عملی عمدتاً از درصدهای گسسته استفاده می شود. بهره در فواصل زمانی مساوی (سال، نیم سال، سه ماهه و غیره) تعلق می گیرد. رشد بهره مرکب رشدی مطابق قانون پیشرفت هندسی است که جمله اول آن برابر است باپ، و مخرج (1+ من).

توجه داشته باشید که زمانی که مهلتn<1 رشد با استفاده از بهره ساده نتایج بیشتری نسبت به بهره مرکب می دهد و چه زمانیn>1 - برعکس تأیید این موضوع با استفاده از مثال‌های عددی خاص آسان است. بیشترین مازاد مبلغ انباشته شده با بهره ساده نسبت به مبلغ انباشته شده با بهره مختلط (با همان نرخ های بهره) در نیمه دوره به دست می آید.

فرمول بهره مرکب
زمانی که نرخ در طول زمان تغییر می کند

در صورتی که نرخ بهره مرکب در طول زمان تغییر کند، فرمول ترکیب به شکل زیر است

(20)

جایی که i 1, i 2,..., i k - مقادیر متوالی نرخ های بهره در طول دوره ها n 1، n 2،...، nk به ترتیب.

مثال 6.

در قرارداد آمده است نرخ متغیربهره مرکب، به عنوان 20٪ در سال به اضافه حاشیه 10٪ در دو سال اول، 8٪ در سال سوم، 5٪ در سال چهارم تعریف شده است. مقدار ضریب رشد را برای 4 سال تعیین کنید.

راه حل.

(1+0,3) 2 (1+0,28)(1+0,25)=2,704

فرمول دو برابر کردن مقدار

برای ارزیابی چشم اندازهای خود، یک طلبکار یا بدهکار ممکن است بپرسد: در چند سال مبلغ وام افزایش می یابدنبار با نرخ بهره معین این معمولاً هنگام پیش‌بینی فرصت‌های سرمایه‌گذاری در آینده مورد نیاز است. با معادل سازی ضریب رشد با مقدار به جواب می رسیمن:

الف) برای علاقه ساده

(1+ niساده) = ن، کجا

. (21)

ب) برای بهره مرکب

(1+ منمجتمع) سال -= ن، کجا

. (22)

به خصوص اغلب استفاده می شودن=2. سپس فرمول های (21) و (22) را فرمول های مضاعف می نامند و به شکل زیر هستند:

الف) برای علاقه ساده

, (23)

ب) برای بهره مرکب

. (24)

اگر استفاده از فرمول (23) برای محاسبات تقریبی آسان است، فرمول (24) نیاز به استفاده از ماشین حساب دارد. با این حال، برای نرخ های بهره کوچک (مثلاً کمتر از 10٪)، می توان به جای آن از یک تقریب ساده تر استفاده کرد. اگر این را در نظر بگیرید به راحتی بدست می آید ln 2  0.7 و ln (1+ i)  i. سپس

n» 0.7/ من. (25)

مثال 7.

راه حل.

الف) با علاقه ساده:

سال

ب) با بهره مرکب و فرمول دقیق:

سالها

ج) با بهره مرکب و فرمول تقریبی:

n» 0.7/ من= 0.7/0.1 = 7 سال.

نتیجه گیری:

1) یکسان بودن نرخ بهره ساده و مرکب به نتایج کاملاً متفاوتی منجر می شود.

2) برای مقادیر کوچک نرخ بهره مرکب، فرمول های دقیق و تقریبی نتایج تقریباً یکسانی به دست می دهند.

محاسبه بهره سالانه برای تعداد کسری سال

برای تعداد کسری سال، بهره به روش های مختلفی محاسبه می شود:

1) با استفاده از فرمول بهره مرکب

S=P(1+i)n, (26)

2) بر اساس روش ترکیبی که بر اساس آن بهره مرکب برای تعداد سال کامل و بهره ساده برای یک عدد کسری محاسبه می شود.

S=P(1+i) a (1+bi), (27)

کجا n= الف+ ب, الف- عدد صحیح سالب-بخش کسری از سال

3) تعدادی از بانک های تجاری قاعده ای را اعمال می کنند که بر اساس آن سود برای دوره های زمانی کوتاه تر از دوره تعهدی تعلق نمی گیرد، یعنی.

S=P(1+i) a. (28)

نرخ بهره اسمی و موثر

نرخ اسمی . بگذارید نرخ بهره مرکب سالانه باشدj، و تعداد دوره های تعهدی در سالمتر. سپس هر بار سود به نرخ محاسبه می شود j/m. مناقصه jاسمی نامیده می شود. سود به نرخ اسمی طبق فرمول محاسبه می شود:

S=P(1+j/m) N, (29)

کجا ن- تعداد دوره های تعهدی

اگر مدت وام با تعداد کسری از دوره های تعهدی اندازه گیری شود، پس چه زمانیمتردر یک محاسبه یکباره سود در سال، مبلغ تعهدی را می توان به روش های مختلفی محاسبه کرد که منجر به نتایج متفاوتی می شود:

1) با استفاده از فرمول بهره مرکب

S=P(1+j/m) N/تی, (30)

کجا ن/ تی- تعداد (احتمالاً کسری) دوره‌های محاسبه بهره،تی- دوره تعهدی بهره،

2) طبق فرمول مخلوط

, (31)

کجا الف- تعداد صحیح دوره های تعهدی (به عنوان مثالالف= [ ن/ تی] - بخش صحیح از تقسیم کل مدت وامنبرای دوره تعهدیتی),

ب- بخش کسری باقی مانده از دوره تعهدی ( ب= ن/ تی- الف).

مثال 8.

اندازه وام 20 میلیون روبل. به مدت 28 ماه اعطا شد. نرخ اسمی 60 درصد در سال است. سود هر سه ماهه محاسبه می شود. مبلغ انباشته را در سه حالت محاسبه کنید: 1) زمانی که سود مرکب از قسمت کسری اخذ می شود، 2) زمانی که سود ساده از قسمت کسری اخذ می شود، 3) زمانی که جزء کسری نادیده گرفته می شود. نتایج را مقایسه کنید

راه حل.

سود هر سه ماهه محاسبه می شود. در مجموع ربع وجود دارد.

1) = 73.713 میلیون روبل.

2) = 73.875 میلیون روبل.

3) S=20(1+0.6/4) 9= 70,358 میلیون مالیدن

از مقایسه مقادیر انباشته شده می بینیم که در حالت دوم به بیشترین مقدار خود می رسد، یعنی. هنگام محاسبه سود ساده در قسمت کسری.

نرخ موثرنشان می دهد که چه نرخ بهره مرکب سالانه همان نتیجه مالی را می دهدمتر- افزایش یک بار در سال به نرخj/ متر.

اگر سود سرمایه ای باشدمتریک بار در سال، هر بار به یک نرخj/ متر، پس طبق تعریف، می توانیم برابری ضرایب افزایشی مربوطه را بنویسیم:

(1+iاوه) n =(1+j/m) mn, (32)

کجا مناوهنرخ موثر است وj- اسمی از این نتیجه به دست می آید که رابطه بین نرخ موثر و اسمی با رابطه بیان می شود

(33)

رابطه معکوس شکل دارد

j=m[(1+iاوه) 1/m -1].(34)

مثال 9.

محاسبه کنید نرخ موثربهره، در صورتی که بانک به صورت سه ماهه، بر اساس نرخ اسمی 10 درصد در سال، سود دریافت کند.

راه حل

مناوه=(1+0.1/4) 4 -1=0.1038، یعنی. 10.38 درصد.

مثال 10.

برای اطمینان از نرخ موثر 12 درصد در سال، تعیین کنید که نرخ اسمی باید در هنگام محاسبه سود هر سه ماهه چقدر باشد.

راه حل.

j=4[(1+0.12) 1/4 -1]=0.11495، یعنی. 11.495٪.

حسابداری (تخفیف) با نرخ بهره مرکب

در اینجا، مانند مورد سود ساده، دو نوع حسابداری در نظر گرفته خواهد شد - ریاضی و بانکی.

حسابداری ریاضی . در این صورت مسئله معکوس انباشت بهره مرکب حل می شود. بیایید فرمول اولیه افزایش را بنویسیم

S=P(1+i)n

و آن را به طور نسبی حل کنیدپ

, (35)

کجا

(36)

فاکتور حسابداری یا تخفیف

در صورت اخذ سودمتریک بار در سال، ما دریافت می کنیم

, (37)

کجا

(38)

فاکتور تخفیف

اندازه پ، با تخفیف به دست می آیداس، تماس گرفت مدرنیا ارزش فعلییا داده شده است اندازه اس. مبالغ پو اسمعادل به این معنا که پرداخت در مبلغاساز طریق nسال معادل مبلغ استپدر حال حاضر پرداخت می شود.

تفاوت D= اس- پتماس گرفت تخفیف.

حسابداری بانکی. در این حالت فرض بر این است که از یک نرخ تنزیل پیچیده استفاده خواهد شد. تنزیل با نرخ تخفیف پیچیده طبق فرمول انجام می شود

P=S(1-dsl) n, (39)

کجا دsl- نرخ تنزیل پیچیده سالانه.

تخفیف در این مورد برابر است با

D=S-P=S-S(1-dsl) n = S.(40)

هنگام استفاده از یک نرخ تنزیل پیچیده، فرآیند تنزیل با کاهش تدریجی انجام می شود، زیرا نرخ تنزیل هر بار به مبلغی اعمال می شود که نسبت به دوره قبل با مقدار تخفیف کاهش یافته است.

نرخ بهره اسمی و موثر

نرخ تخفیف اسمی . در مواردی که از تخفیف استفاده می شودمترسالی یکبار استفاده کنید نرخ تخفیف اسمی f. سپس در هر دوره برابر با 1/ متربخشی از سال، تخفیف با نرخ تنزیل پیچیده انجام می شودf/ متر. فرآیند تخفیف برای این حسابداری پیچیدهمتریک بار در سال با فرمول توصیف می شود

P=S(1-f/m)N, (41)

کجا ن - تعداد کلدوره های تخفیف (ن= دقیقه).

تخفیف یکی نیست اما متریک بار در سال مقدار تخفیف را سریعتر کاهش می دهد.

نرخ تنزیل موثر. نرخ تنزیل موثر به عنوان معادل نرخ تنزیل مرکب سالانه (با نتایج مالی) اسمی، اعمال شده برای تعداد معینی از تخفیف در سالمتر.

مطابق با تعریف نرخ تنزیل موثر، رابطه آن را با نرخ اسمی از برابری عوامل تنزیل خواهیم یافت.

(1-f/m) mn =(1-dsl) n,

که از آن نتیجه می شود که

دsl=1-(1-f/m) متر. (42)

توجه داشته باشید که نرخ تنزیل موثر همیشه کمتر از نرخ اسمی است.

افزایش با نرخ تخفیف پیچیده. افزایش مشکل معکوس برای نرخ های تنزیل است. فرمول های ترکیب با نرخ های تنزیل پیچیده را می توان با حل فرمول های مربوطه برای تنزیل (39 و 41) با توجه بهاس. می گیریم

از P=S(1-d sl) n

, (43)

و از پ= اس(1- f/ متر) ن

. (44)

مثال 11.

چه مبلغی باید در صورتحساب وارد شود، اگر مبلغ واقعی صادر شده 20 میلیون روبل باشد، دوره بازپرداخت 2 سال است. این صورت حساب بر اساس نرخ تنزیل مرکب سالانه 10 درصد محاسبه می شود.

راه حل.

میلیون روبل

مثال 12.

مشکل قبلی را حل کنید، مشروط بر اینکه افزایش با نرخ تنزیل پیچیده نه یک بار، بلکه 4 بار در سال انجام شود.

راه حل.

میلیون روبل

انباشت و تخفیف

مقدار انباشته شده در درصدهای گسسته با فرمول تعیین می شود

اس= پ(1+ j/ متر) دقیقه,

کجا j- نرخ بهره اسمی ومتر- تعداد دوره های بهره در سال.

هر چه بیشتر متر، فواصل زمانی بین نقاط اقلام تعهدی کمتر است. در حد درمتر® ¥ ما داریم

S= lim P(1+j/m) mn =P lim [(1+j/m) m ] n . (45)

متر ® ¥ متر ® ¥

معلوم است که

lim (1+j/m) m =lim [(1+j/m) m/j ] j =e j

متر ® ¥ متر ® ¥

کجا ه- پایه لگاریتم های طبیعی.

با استفاده از این حد در بیان (45)، در نهایت به این نتیجه می رسیم که مقدار انباشته در مورد اقلام تعهدی بهره مستمر به نرخjبرابر با

اس= Pe jn. (46)

برای تشخیص نرخ بهره مستمر از نرخ بهره گسسته، نرخ رشد نامیده می شود و با نماد نشان داده می شود.د سپس

S=Peدسال -. (47)

قدرت رشدد نشان می دهد نرخ اسمیدرصد درمتر® ¥ .

تنزیل بر اساس نرخ بهره مستمر با استفاده از فرمول انجام می شود

P=Se-دn. (48)

رابطه بین نرخ بهره گسسته و مستمر

نرخ بهره گسسته و مستمر در یک رابطه عملکردی قرار دارند که به لطف آن می توان از محاسبه بهره پیوسته به سود گسسته و بالعکس گذر کرد. فرمول انتقال معادل از یک شرط به شرط دیگر را می توان با معادل سازی ضریب افزایش مربوطه به دست آورد.

(1+i) n =eدسال -. (49)

از برابری نوشتاری چنین بر می آید که

د = ln(1+ من) , (50)

من= هد-1 . (51)

مثال 13.

نرخ بهره مرکب سالانه 15 درصد است که معادل نرخ رشد است.

راه حل.

بیایید از فرمول (50) استفاده کنیم

د = ln(1+ من)= ln(1+0,15)=0,13976,

آن ها نیروی رشد معادل 13.976٪ است.

محاسبه مدت وام و نرخ بهره

در تعدادی از مسائل عملی، اولیه ( P ) و نهایی (S ) مبالغ توسط قرارداد مشخص شده است و باید مدت پرداخت یا نرخ بهره تعیین شود که در این مورد می تواند به عنوان معیاری برای مقایسه با شاخص های بازار و ویژگی های سودآوری عملیات برای وام دهنده باشد. . مقادیر مشخص شده را می توان به راحتی از فرمول های اولیه برای انباشت یا تخفیف یافت. در واقع، در هر دو مورد، مشکل معکوس به معنای خاصی حل می شود.

مدت وام

هنگام توسعه پارامترهای توافق و ارزیابی چارچوب زمانی برای دستیابی به نتیجه مطلوب، لازم است مدت زمان معامله (مدت وام) از طریق پارامترهای باقیمانده معامله تعیین شود. بیایید این موضوع را با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم.

من.

S=P(1+i)n

به دنبال آن است

(52)

که در آن لگاریتم را می توان به هر پایه ای برد، زیرا هم در صورت و هم در مخرج وجود دارد.

متریک بار در سال از فرمول

S=P(1+j/m) دقیقه

دریافت می کنیم

(53)

د. از فرمول

P=S(1-d)n

ما داریم (54)

متریک بار در سال از

P=S(1-f/m) دقیقه

به فرمول می رسیم

(55)

هنگامی که با نیروی رشد ثابت ساخته می شود. بر اساس

اس= پدسال -

دریافت می کنیم

ln( اس/ پ)= د n. (56)

محاسبه نرخ بهره

از همان فرمول های اولیه فوق، عباراتی برای نرخ بهره به دست می آوریم.

الف) هنگام افزایش با نرخ پیچیده سالانهمن. از فرمول اصلی رشد

S=P(1+i)n

به دنبال آن است

(57)

ب) هنگام افزایش با نرخ بهره اسمیمتریک بار در سال از فرمول

S=P(1+j/m) دقیقه

دریافت می کنیم (58)

ب) وقتی با نرخ تنزیل پیچیده سالانه تنزیل شودد. از فرمول

P=S(1-d)n

ما داریم (59)

د) هنگام تنزیل با نرخ تنزیل اسمیمتریک بار در سال از

P=S(1-f/m) دقیقه

به فرمول می رسیم

(60)

د) هنگام افزایش با نیروی رشد ثابت. بر اساس

اس= پدسال -

دریافت می کنیم

(61)

بهره و تورم

پیامد تورم سقوط است قدرت خریدپول، که برای دورهnبا شاخص مشخص می شودJ n. شاخص قدرت خرید برابر با متقابل شاخص قیمت استJp، یعنی

J n=1/ Jp. (62)

شاخص قیمتنشان می دهد که قیمت ها در یک بازه زمانی مشخص چند برابر افزایش یافته است.

با بهره ساده افزایش دهید

اگر تمدید شود n سال مقدار پول استاس، و شاخص قیمت برابر است باJp، سپس مقدار واقعی افزایش یافته پول با در نظر گرفتن قدرت خرید آن برابر است

C=S/Jp. (63)

متوسط ​​نرخ تورم سالانه مورد انتظار (که مشخصه افزایش قیمت ها در طول سال است) برابر باشدساعت . سپس شاخص قیمت سالانه خواهد بود (1+ ساعت).

اگر افزایش انجام شود با نرخ سادهبرایnسال، سپس افزایش واقعی در نرخ تورم h خواهد بود

(64)

به طور کلی کجا

(65)

و به ویژه با نرخ ثابت رشد قیمتساعت,

J p =(1+h) n. (66)

نرخ بهره ای که در هنگام محاسبه سود ساده تورم را جبران می کند برابر است با

(67)

یکی از راه های جبران کاهش ارزش پول، افزایش نرخ بهره به اصطلاح است حق بیمه تورمنرخ تنظیم شده به این ترتیب نامیده می شود نرخ ناخالص. نرخ ناخالص که با نماد نشان خواهیم دادr، از برابری ضریب افزایش تعدیل شده با تورم در نرخ ناخالص به ضریب افزایش در نرخ بهره واقعی بدست می آید.

(68)

کجا

(69)

ترکیب بهره مرکب

تمدید شد با بهره مرکبمبلغ تا پایان مدت وام، با در نظر گرفتن کاهش قدرت خرید پول (یعنی به روبل ثابت) خواهد بود.

(70)

که در آن شاخص قیمت با عبارت (65) یا (66) بسته به نوسان یا ثبات نرخ تورم تعیین می شود.

در این صورت کاهش قدرت خرید پول با نرخ جبران می شودمن= ساعتتضمین برابریسی= پ.

درخواست کنید دو راه برای جبران ضرر و زیاناز کاهش قدرت خرید پول هنگام محاسبه بهره مرکب.

الف) تعدیل نرخ بهره، که بر اساس آن افزایش به میزان حق بیمه تورمنرخ بهره افزایش یافته توسط حق بیمه تورم، نرخ ناخالص نامیده می شود. ما آن را با نماد نشان خواهیم دادr. با فرض اینکه نرخ تورم سالانه برابر است باساعت، می توانیم برابری ضرایب افزایشی مربوطه را بنویسیم

(71)

کجا من - نرخ واقعی.

از اینجا به فرمول فیشر می رسیم

r=i+h+ih. (72)

یعنی حق بیمه تورم برابر است باساعت+ آه.

ب) نمایه سازی مبلغ اصلی پ . در این مورد مقدارپبا توجه به حرکت یک شاخص از پیش توافق شده تنظیم می شود. سپس

S=PJ p (1+i) n. (73)

به راحتی می توان دریافت که در هر دو حالت A) و B) در نهایت به فرمول رشد یکسانی می رسیم (73). در آن، دو عامل اول در سمت راست نمایه سازی مبلغ اصلی را نشان می دهد و دو عامل آخر نشان دهنده تعدیل نرخ بهره است.

اندازه گیری نرخ بهره واقعی

در عمل، ما همچنین باید مشکل معکوس را حل کنیم - یافتن نرخ بهره واقعی در شرایط تورم. از روابط یکسان بین ضرایب افزایشی، به راحتی می توان فرمول هایی را استخراج کرد که نرخ واقعی را تعیین می کندمنبا نرخ ناخالص معین (یا اعلام شده). r

هنگام محاسبه سود ساده، نرخ بهره واقعی سالانه برابر است با

(74)

هنگام محاسبه بهره مرکب، نرخ بهره واقعی با عبارت زیر تعیین می شود

(75)

کاربردهای عملی نظریه

بیایید به برخی از کاربردهای عملی نظریه ای که در مورد آن بحث کردیم نگاه کنیم. اجازه دهید نشان دهیم که چگونه فرمول‌های به‌دست‌آمده در بالا هنگام حل مسائل واقعی محاسبه بازده برخی از آنها اعمال می‌شوند. تراکنش های مالی، روش های مختلف محاسبه را با هم مقایسه کنید.

تبدیل ارز و محاسبه بهره

بیایید ترکیب تبدیل ارز (تبادله) و افزایش را در نظر بگیریم علاقه ساده، نتایج حاصل از قرارگیری مستقیم موجود را مقایسه کنید پول نقدبه سپرده گذاری یا پس از مبادله اولیه برای ارز دیگر. در مجموع 4 گزینه برای افزایش علاقه وجود دارد:

1. بدون تبدیل وجوه ارزی به عنوان سپرده ارزی قرار می گیرد و با اعمال مستقیم فرمول سود ساده، مبلغ اولیه به نرخ ارز افزایش می یابد.

2. با تبدیل. اصل ارزبه روبل تبدیل می شوند، افزایش به نرخ روبل است، در پایان عملیات مبلغ روبل به ارز اصلی تبدیل می شود.

3. بدون تبدیل مبلغ روبل به صورت سپرده روبلی قرار می گیرد که با استفاده از فرمول سود ساده، سود به نرخ روبل تعلق می گیرد.

4. با تبدیل. مبلغ روبل به هر ارز خاصی تبدیل می شود که در یک سپرده ارز خارجی سرمایه گذاری می شود. سود به نرخ ارز محاسبه می شود. مبلغ جمع شده در پایان عملیات دوباره به روبل تبدیل می شود.

معاملات بدون تبدیل دشوار نیست. در عملیات تعهدی با تبدیل مضاعف، دو منبع درآمد وجود دارد: اقلام تعهدی بهره و تغییرات نرخ ارز. علاوه بر این، اقلام تعهدی بهره یک منبع بدون قید و شرط است (نرخ ثابت است، ما هنوز تورم را در نظر نمی گیریم). تغییر در نرخ ارز می تواند در یک جهت یا جهت دیگر باشد و می تواند هر دو منبع باشد درآمد اضافی، و منجر به زیان می شود. در مرحله بعد، ما به طور خاص بر روی دو گزینه (2 و 4) تمرکز خواهیم کرد که تبدیل مضاعف را فراهم می کنند.

اجازه دهید ابتدا NOTATION زیر را معرفی کنیم:

Pv- مبلغ سپرده ارزی

پی آر- مبلغ سپرده به روبل،

Sv- مبلغ تعلق گرفته به ارز خارجی،

پدر- مبلغ تعلق گرفته به روبل،

ک 0 - نرخ ارز در ابتدای عملیات (نرخ ارز به روبل)

ک 1 - نرخ ارز در پایان معامله،

n- مدت سپرده گذاری

من- نرخ تعهدی برای مقادیر روبل (به صورت کسری اعشاری)،

j- نرخ تعهدی برای یک ارز خاص.

OPTION:CURRENCY ® RUBLES ® RUBLES ® CURRENCY

این عملیات شامل سه مرحله است: مبادله ارز با روبل، افزایش مبلغ روبل و تبدیل مبلغ روبل به ارز اصلی. مبلغ تعهدی دریافتی در پایان معامله به صورت ارزی خواهد بود

.

همانطور که مشاهده می کنید، سه مرحله عملیات در قالب سه عامل در این فرمول منعکس شده است.

ضریب رشد با در نظر گرفتن تبدیل مضاعف برابر است با

,

کجا ک= ک 1 / ک 0 - نرخ رشد نرخ ارز در طول دوره عملیات.

می بینیم که عامل رشد استمتربه صورت خطی با نرخ مرتبط استمنو معکوس با نرخ ارز در پایان معاملهک 1 (یا با نرخ رشد نرخ ارزک).

اجازه دهید وابستگی کل سودآوری یک عملیات با تبدیل مضاعف را طبق طرح ارز به صورت نظری مطالعه کنیم.® RUBLES ® RUBLES ® ارز از نسبت نرخ مبادله نهایی و اولیهک .

نرخ بهره سالانه ساده، که سودآوری عملیات را به عنوان یک کل مشخص می کند، برابر است

.

اجازه دهید در این فرمول عبارت نوشته شده قبلی را جایگزین کنیمSv

.

بنابراین، با افزایشک سودآوریمن eff در امتداد هذلولی با مجانب -1 می افتد / n . شکل را ببینید. 2.

برنج. 2.

اجازه دهید نقاط منفرد این منحنی را بررسی کنیم. توجه داشته باشید که وقتیک =1 سودآوری عملیات برابر با نرخ روبل است، یعنی.من eff = من . درک >1 من eff < من ، و چه زمانیک <1 من eff > من . در شکل 1 را می توان با مقداری بحرانی مشاهده کردک ، که ما آن را نشان می دهیمک * ، سودآوری (بازده) عملیات صفر می شود. از برابریمن eff =0 ما آن را پیدا می کنیمک * =1+ ni ، که به نوبه خود به معنایک * 1 = ک 0 (1+ ni ).

نتیجه گیری 1: اگر مقادیر مورد انتظار باشدک یاک 1 از مقادیر بحرانی آنها فراتر رود، در این صورت عملیات به وضوح بی سود است (من eff <0 ).

حالا بیایید تعریف کنیم حداکثر نرخ مجاز ارز در پایان معامله ک 1 ، که در آن بازده برابر با نرخ موجود سپرده های ارزی خواهد بود و استفاده از تبدیل مضاعف سود اضافی را به همراه ندارد. برای انجام این کار، بیایید عوامل رشد را برای دو عملیات جایگزین برابر کنیم

.

از برابری نوشتاری چنین بر می آید که

یا

.

نتیجه 2: سپرده ارزی از طریق تبدیل به روبل سود بیشتری نسبت به سپرده ارزی دارد اگر انتظار می رود نرخ ارز در پایان معامله کمتر باشد.حداکثرک 1 .

گزینه: روبل® ارز® ارز® روبل

اجازه دهید اکنون گزینه ای را با تبدیل مضاعف در نظر بگیریم، زمانی که مبلغ اصلی به روبل است. در این حالت، سه مرحله عملیات با سه عامل عبارت زیر برای مقدار انباشته مطابقت دارد

.

در اینجا نیز ضریب افزایش به صورت خطی به نرخ بستگی دارد، اما اکنون به نرخ بهره ارز خارجی بستگی دارد. همچنین به صورت خطی به نرخ ارز نهایی بستگی دارد.

اجازه دهید یک تحلیل نظری از اثربخشی این عملیات تبدیل مضاعف انجام دهیم و نقاط بحرانی را تعیین کنیم.

.

از اینجا، جایگزینی عبارت برایپدر ، دریافت می کنیم

.

وابستگی شاخص عملکردمن eff ازک خطی، در شکل نشان داده شده است. 3

برنج . 3.

در k=1 i eff =j , در k> 1 i eff > j , در ک<1 من eff .

اجازه دهید اکنون ارزش بحرانی را پیدا کنیمک * ، که در آنمن eff =0 . برابر می شود

یا .

نتیجه 3: اگر مقادیر مورد انتظار باشدک یاک 1 کمتر از مقادیر بحرانی آن است، بنابراین عملیات به وضوح بی‌سود است (من eff <0 ).

حداقل مقدار مجازک (نرخ رشد نرخ ارز برای کل دوره عملیات) که سودآوری یکسانی را به عنوان سپرده مستقیم به روبل فراهم می کند، با معادل سازی ضریب افزایش برای عملیات جایگزین (یا از برابری) تعیین می شود.من eff = من )

,

کجا دقیقه یادقیقه .

نتیجه گیری 4: سپرده گذاری مبالغ روبلی از طریق تبدیل ارز سودآورتر از سپرده روبلی است اگر انتظار می رود نرخ مبادله در پایان معامله بالاتر باشد.دقیقهک 1 .

حالا بیایید ترکیب تبدیل ارز و افزایش را بررسی کنیم بهره مرکببیایید خودمان را به یک گزینه محدود کنیم.

گزینه: ارز® روبل® روبل® ارزک =1 من اوه = من ، درک >1 من اوه < من ، و چه زمانیک <1 من اوه > من .

ارزش بحرانیک ، که در آن بازده عملیات صفر است، یعنی.من اوه =0 ,

به عنوان تعریف شده استک * =(1+ من ) n ، به این معنی که میانگین نرخ رشد سالانه نرخ ارز برابر با نرخ رشد سالانه به نرخ روبل است: .

نتیجه گیری 5: اگر مقادیر مورد انتظار باشدک یاک 1 بیش از مقادیر بحرانی آن، عملیات تبدیل مضاعف مورد نظر به وضوح بی‌سود است (من اوه <0 ).

حداکثر مقدار مجازک که در آن سود عملیات برابر با سود سرمایه گذاری مستقیم وجوه ارزی به نرخ خواهد بود.

طرح کلی معاملات مالی

عملیات مالی یا اعتباری به تعادل سرمایه گذاری و بازده نیاز دارد. مفهوم تعادل را می توان در یک نمودار توضیح داد.

برنج. 5.

اجازه دهید مبلغ وامD 0 برای یک دوره صادر شده استتی . در این مدت، به عنوان مثال، دو پرداخت موقت برای بازپرداخت بدهی انجام می شودآر 1 وآر 2 ، و در پایان مدت مانده بدهی پرداخت می شودآر 3 ، تعادل عملیات را به ارمغان می آورد.

با فاصله زمانیتی 1 بدهی افزایش می یابدD 1 . در حال حاضرتی 1 بدهی کاهش می یابدک 1 = D 1 - آر 1 و غیره عملیات با دریافت مانده بدهی توسط طلبکار به پایان می رسدآر 3 . در این مرحله، بدهی به طور کامل بازپرداخت می شود.

بیایید آن را نوع b) بنامیم طرح کلی یک تراکنش مالی. یک عملیات متعادل لزوما دارای یک حلقه بسته است، یعنی. آخرین پرداخت به طور کامل مانده بدهی را پوشش می دهد. طرح کلی تراکنش معمولاً هنگام بازپرداخت بدهی از طریق پرداخت های موقت جزئی استفاده می شود.

گاهی اوقات از پرداخت اقساط متوالی برای پرداخت تعهدات کوتاه مدت استفاده می شود. در این حالت دو روش برای محاسبه سود و تعیین مانده بدهی وجود دارد. اولی نام دارد اکچوئریو عمدتا در معاملات با مهلت استفاده می شود بیش از یک سال. روش دوم نامیده می شود قانون تاجر. معمولاً توسط شرکت های تجاری در معاملات با ضرب الاجل استفاده می شود یک سال بیشتر نیست.

نظر: هنگام محاسبه سود، به عنوان یک قاعده، بهره معمولی با تعداد تقریبی روز از دوره های زمانی استفاده می شود.

روش اکچوئری

روش اکچوئری شامل محاسبه متوالی بهره بر روی مقادیر واقعی بدهی است. پرداخت جزئی در درجه اول برای بازپرداخت سود تعلق گرفته در تاریخ پرداخت انجام می شود. اگر مبلغ پرداختی بیش از میزان سود تعلق گرفته باشد، مابه التفاوت به بازپرداخت مبلغ اصلی بدهی می رود. مانده بدهی به عنوان مبنایی برای محاسبه بهره برای دوره بعدی و غیره عمل می کند. در صورتی که پرداخت جزئی کمتر از سود تعلق گرفته باشد، در مقابل مبلغ بدهی جبرانی صورت نمی گیرد. این رسید به پرداخت بعدی اضافه می شود.

برای مورد نشان داده شده در شکل. 5 ب) فرمول های محاسباتی زیر را برای تعیین مانده بدهی بدست می آوریم:

K 1 = D 0 (1 + t 1 i) -R 1; K2 =K 1 (1 + t 2 i) -R 2; K2 (1+t 3 i)-R 3 =0،

دوره های زمانی کجا هستندتی 1 , تی 2 , تی 3 - در سال داده می شود، و نرخ بهرهمن - سالانه

قانون بازرگان

قانون تاجر رویکرد دیگری برای محاسبه اقساط است. در اینجا دو حالت ممکن وجود دارد.

1) اگر مدت وام تجاوز نکند، مقدار بدهی با بهره تعلق گرفته برای کل دوره بدون تغییر تا زمان بازپرداخت کامل باقی می ماند. در عین حال، پرداخت های جزئی با بهره تعلق گرفته بر آنها تا پایان دوره انباشته می شود.

2) در صورتی که مدت زمان بیش از یک سال باشد، محاسبات فوق برای آن انجام می شود سالانهدوره بدهی در پایان سال، مبلغ انباشته پرداخت های جزئی از مبلغ بدهی کسر می شود. موجودی در سال آینده بازپرداخت می شود.

با کل مدت وامتی £ 1 الگوریتم را می توان به صورت زیر نوشت

,

کجااس - مانده بدهی در پایان دوره،

D - افزایش میزان بدهی

ک - افزایش میزان پرداخت ها،

Rj - مبلغ پرداخت جزئی،

تی جی - فاصله زمانی از لحظه پرداخت تا پایان دوره،

متر - تعداد پرداخت های جزئی (مواسطه).

متغیر مبلغ فاکتور و محاسبه سود

بیایید وضعیتی را در نظر بگیریم که در آن یک حساب پس انداز در بانک باز می شود و مبلغ حساب در طول دوره ذخیره سازی تغییر می کند: وجوه برداشت می شود، کمک های اضافی انجام می شود. سپس در عمل بانکی، هنگام محاسبه سود، اغلب از یک روش محاسبه برای محاسبه به اصطلاح استفاده می شود. اعداد درصد. هر بار که مبلغ در حساب تغییر می کند، یک عدد درصد محاسبه می شودCj در طول دوره گذشتهj ، که طی آن مبلغ در حساب طبق فرمول بدون تغییر باقی ماند

,

کجاتی جی - مدتj - دوره در روز.

برای تعیین میزان بهره تعلق گرفته برای کل دوره، تمام اعداد بهره جمع شده و مجموع آنها بر یک مقسوم علیه ثابت تقسیم می شود.D :

,

کجاک - پایه زمانی (تعداد روزهای یک سال، یعنی 360 یا 365 یا 366)،من - نرخ بهره ساده سالانه (بر حسب درصد).

هنگام بستن حساب، مالک مبلغی معادل آخرین مبلغ حساب به اضافه مبلغ سود دریافت می کند.

مثال 14.

بگذارید یک حساب تقاضا در 20 فوریه به مبلغ افتتاح شودپ 1 = 3000 روبل، نرخ سود سپرده بودمن = 20% در سال کمک اضافی به حساب بودآر 1 = 2000 روبل. و در 15 آگوست انجام شد. برداشت از حساب به مبلغآر 2 =-4000 روبل. در 1 اکتبر ثبت شد و حساب در 21 نوامبر بسته شد. تعیین میزان سود و کل مبلغ دریافتی سپرده گذار هنگام بستن حساب الزامی است.

راه حل.

ما محاسبه را طبق طرح (360/360) انجام خواهیم داد. سه دوره وجود دارد که طی آن مبلغ در حساب بدون تغییر باقی مانده است: از 20 فوریه تا 15 اوت (پ 1 =3000, تی 1 =10+5*30+15=175)، از 15 آگوست تا 1 اکتبر (پ 2 = پ 1 + آر 1 =3000+2000=5000 روبل.،تی 2

مبلغ قابل پرداخت در هنگام بسته شدن حساب است

P 3 +I=1000+447.22=1447 مالیدن. 22 پلیس.

اکنون ارتباط این تکنیک را با فرمول بهره ساده نشان خواهیم داد. اجازه دهید مثال ارائه شده در بالا را به شکل جبری در نظر بگیریم.

سیما مبلغ پرداختی پس از بستن حساب را به شرح زیر می یابیم:

بنابراین، عبارتی به دست آورده ایم که از آن نتیجه می شود که به ازای هر مبلغ اضافه یا برداشت شده از حساب، از لحظه انجام تراکنش مربوطه تا بسته شدن حساب، سود دریافت می شود. این طرح مطابق با قانون بازرگانی است که در بخش 6.2 مورد بحث قرار گرفت.

تغییر مفاد قرارداد

در عمل، اغلب نیاز به تغییر شرایط قرارداد وجود دارد: به عنوان مثال، بدهکار ممکن است درخواست به تعویق انداختن دوره بازپرداخت بدهی کند یا برعکس، در برخی موارد تمایل خود را برای بازپرداخت آن پیش از موعد اعلام کند ، ممکن است نیاز به ترکیب (ادغام) چندین تعهد بدهی در یک و غیره وجود داشته باشد. در تمامی این موارد، اصل هم ارزی مالی تعهدات قدیمی (جایگزین شده) و جدید (جایگزین شده) اعمال می شود. برای حل مشکلات تغییر مفاد قرارداد به اصطلاح معادله هم ارزی، که در آن مبلغ پرداخت های جایگزین کاهش یافته به هر نقطه از زمان برابر است با مبلغ پرداختی تحت تعهد جدید کاهش یافته تا همان تاریخ. برای قراردادهای کوتاه مدت، نرخ بهره ساده و برای قراردادهای میان مدت و بلندمدت، نرخ مرکب اعمال می شود.

مردم همیشه به آینده خود فکر کرده اند. آنها تلاش کردند و می کوشند از خود و فرزندان و نوه هایشان در برابر ناملایمات مالی محافظت کنند و حداقل جزیره کوچکی از اعتماد را در آینده ایجاد کنند. با شروع ساخت آن از هم اکنون با کمک سپرده های کوچک بانکی، می توانید ثبات و استقلال آینده خود را تضمین کنید.

اصل اساسی عملیات بانکی این است که وجوه فقط زمانی افزایش می یابد که در گردش ثابت باشند. برای اینکه مشتریان با اطمینان در زمینه خدمات مالی حرکت کنند و بتوانند شرایطی را که در یک دوره زمانی معین برای آنها مفید است را به درستی انتخاب کنند، باید تعدادی قانون ساده را بدانند. این مقاله روی سرمایه‌گذاری‌های بلندمدت تمرکز می‌کند که به شما امکان می‌دهد از مقدار نسبتاً کمی سرمایه اولیه در طی چند سال معین سود قابل توجهی دریافت کنید یا از سپرده بیشتر استفاده کنید و اقلام تعهدی را برای نیازهای روزمره برداشت کنید.

برای محاسبه صحیح سود، باید عملیات ساده حسابی را بر اساس فرمول های زیر انجام دهید.

فرمول بهره مرکب (محاسبه بر حسب سال)

به عنوان مثال، شما تصمیم به واریز 100000 روبل دارید. 11 درصد در سال، به منظور استفاده از پس انداز در 10 سال، که در نتیجه سرمایه گذاری رشد قابل توجهی داشته است. برای محاسبه مبلغ کل باید از روش محاسبه بهره مرکب استفاده کنید.

استفاده از سود مرکب به این معنی است که در پایان هر دوره (سال، سه ماهه، ماه) سود تعهدی با سپرده جمع می شود. مبلغ دریافتی مبنای افزایش بعدی سود است.

برای محاسبه بهره مرکب از یک فرمول ساده استفاده می کنیم:

• S - کل مبلغ ("بدنه" سپرده + سود) که باید پس از انقضای سپرده به سپرده گذار بازگردانده شود.
• P - مبلغ سپرده اولیه؛
• n تعداد کل معاملات برای سرمایه گذاری بهره برای کل دوره جمع آوری وجوه است (در این مورد با تعداد سال ها مطابقت دارد).
• I - نرخ بهره سالانه.

با جایگزین کردن مقادیر به این فرمول، می بینیم که:

بعد از 5 سال مقدار برابر خواهد شد مالش.،

و 10 سال دیگر خواهد شد مالیدن

اگر ما در یک دوره کوتاه محاسبه می‌کردیم، محاسبه بهره مرکب با استفاده از فرمول راحت‌تر بود

• K - تعداد روزهای سال جاری،
• J - تعداد روزهای دوره پس از آن که بانک سود تعلق گرفته را سرمایه گذاری می کند (تعیین های باقی مانده مانند فرمول قبلی است).

اما برای کسانی که برداشت سود ماهانه از سپرده خود را راحت تر می دانند، بهتر است با این مفهوم آشنا شوند "سرمایه سپرده"، که دلالت بر محاسبه سود ساده دارد.

نمودار نشان می دهد که اگر 100,000 روبل سرمایه گذاری کنید، چگونه سرمایه با سرمایه گذاری سود سپرده رشد می کند. به مدت 10 سال در 10٪، 15٪ و 20٪

فرمول بهره مرکب (محاسبه شده بر حسب ماه)

روش دیگری برای محاسبه و اضافه کردن نرخ بهره - ماهانه - برای مشتری مفیدتر است. برای این کار از فرمول زیر استفاده می شود:

که در آن n نیز با تعداد عملیات بزرگ‌سازی مطابقت دارد، اما قبلاً بر حسب ماه بیان می‌شود. نرخ بهره در اینجا علاوه بر این بر 12 تقسیم می شود زیرا در سال 12 ماه وجود دارد و ما باید نرخ بهره ماهانه را محاسبه کنیم.

اگر از این فرمول برای محاسبه سپرده به صورت سه ماهه استفاده می شد، سود سالانه بر 4 تقسیم می شد و شاخص n برابر با تعداد سه ماهه می شد و اگر سود به صورت نیم ساله محاسبه می شد، آنگاه نرخ سود محاسبه می شد. تقسیم بر 2، و تعیین n با تعداد نیم سال مطابقت دارد.

بنابراین، اگر ما به مبلغ 100000.00 روبل مشارکت داشته باشیم. با سود ماهانه، سپس:

در 5 سال (60 ماه)مبلغ سپرده به 172891.57 روبل افزایش می یابد که تقریباً 10000 روبل است. بیشتر از سرمایه گذاری سالانه سپرده؛ مالیدن

و بعد از 10 سال (120 ماه)مقدار "افزایش یافته" 298914.96 روبل خواهد بود که در حال حاضر 15000 روبل کامل است. بیشتر از رقم محاسبه شده با استفاده از فرمول بهره مرکب است که محاسبه را در سال فراهم می کند.

مالیدن

این بدان معنی است که سودآوری زمانی که سود به صورت ماهانه محاسبه می شود بیشتر از زمانی است که سود یک بار در سال محاسبه می شود. و اگر سود برداشت نشود، سود مرکب به نفع سرمایه گذار است.

فرمول سود مرکب برای سپرده های بانکی

فرمول های بهره مرکب که در بالا توضیح داده شد به احتمال زیاد نمونه های گویا برای مشتریان برای درک نحوه محاسبه بهره مرکب هستند. این محاسبات تا حدودی ساده تر از این است فرمول اعمال شده توسط بانک ها برای سپرده های واقعی بانکی

واحد مورد استفاده در اینجا ضریب نرخ سود سپرده (p) است. به این صورت محاسبه می شود:

سود مرکب (مبلغ "انباشته") برای سپرده های بانکی با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

بر اساس آن و مثال زدن همین داده ها، سود مرکب را به روش بانکی محاسبه می کنیم.

ابتدا ضریب نرخ سود سپرده را تعیین می کنیم:

اکنون داده ها را به فرمول اصلی جایگزین می کنیم:

مالیدن - این مقدار سپرده ای است که در طی 5 سال "رشد" کرده است *؛

مالیدن - ظرف 10 سال *.

*محاسبات ارائه شده در مثال ها تقریبی است، زیرا سال های کبیسه و تعداد روزهای مختلف در ماه را در نظر نمی گیرند.

اگر مبالغ این دو نمونه را با نمونه های قبلی مقایسه کنیم، تا حدودی کوچکتر هستند، اما همچنان سود سرمایه گذاری سود مشهود است. بنابراین، اگر مصمم هستید که برای مدت طولانی پول را در بانک بگذارید، بهتر است با استفاده از فرمول "بانکداری" یک محاسبه اولیه سود انجام دهید - این به شما کمک می کند از ناامیدی جلوگیری کنید.