اقتصاد ریاضی. مجموعه مسائل درس اقتصاد ریاضی. سایر فرمول های اقتصاد کلان

هدف اصلی اقتصاد است- تامین کالاهای مصرفی جامعه. الگوهای کمی پایدار در اقتصاد وجود دارد، بنابراین توصیف ریاضی رسمی آنها امکان پذیر است.

شیء مطالعه کردن رشته تحصیلی- اقتصاد و تقسیمات آن

مورد - مدل های ریاضی اشیاء اقتصادی.

روش - تحلیل سیستمی اقتصاد به عنوان یک سیستم پویا پیچیده.

مدل - این یک شی است که جایگزین اصلی می شود، مهمترین ویژگی ها و ویژگی های اصلی را برای این مطالعه نشان می دهد.

مدلی که مجموعه ای از روابط ریاضی است، ریاضی نامیده می شود.

عناصر شبیه سازی

سیستم - مجموعه ای از عناصر به هم پیوسته است که به طور مشترک اهداف خاصی را تحقق می بخشد.

ابر سیستم - محیط پیرامون سیستمی که سیستم در آن کار می کند.

زیر سیستم - زیرمجموعه ای از عناصر که اهداف منطبق با اهداف سیستم را اجرا می کنند (یک زیر سیستم می تواند بخشی از اهداف سیستم را اجرا کند).

سیستم اقتصادی: تخصیص منابع، تولید محصولات، توزیع کالاهای مصرفی و انجام انباشت.

ابر سیستم اقتصاد ملی - طبیعت، اقتصاد جهانیو جامعه

زیر سیستم های اصلی اقتصاد- تولید و مالی - اعتباری.

ویژگی های اقتصاد به عنوان یک هدف از مدل سازی

مدل های مشابه با مدل های فنی در اقتصاد غیرممکن است، زیرا نمی توان ساخت کپی دقیق، اقتصاد و از این کپی برای کار کردن گزینه های سیاست اقتصادی استفاده کنید.

در اقتصاد، امکانات برای آزمایش محدود است، زیرا تمام اجزای آن به شدت با یکدیگر مرتبط هستند.

آزمایش های مستقیم با اقتصاد هم جنبه های مثبت و هم منفی دارند.

جنبه مثبت- نتایج کوتاه مدت سیاست اقتصادی در حال پیگیری بلافاصله قابل مشاهده است.

طرف منفی- پیش بینی مستقیم پیامدهای میان مدت و بلندمدت تصمیمات غیرممکن است.

بنابراین، به منظور توسعه تصمیمات اقتصادی صحیح، لازم است هم تمام تجربیات گذشته و هم نتایج به دست آمده در محاسبات با استفاده از مدل های ریاضی مناسب برای وضعیت اقتصادی معین در نظر گرفته شود.

توسعه مدل های ریاضی کار فشرده است، اما بسیار امیدوار کننده است. بنابراین، مدل کینز، منعکس کننده احتمالات است اقتصاد بازارسازگاری با تأثیرات آزاردهنده، تحت تأثیر بحران 1929-1933 ساخته شد. با این حال، استفاده از این مدل برای غلبه بر بحران پس از جنگ در آلمان و ژاپن بسیار موفق بود و "معجزه اقتصادی" نامیده شد.

بیایید ساختار اقتصاد را به عنوان یک هدف از مدل سازی ریاضی در نظر بگیریم

اقتصاد - سیستم پیچیده، متشکل از سلول های تولیدی و غیرتولیدی (مالی) (واحدهای اقتصادی) که در ارتباط تولیدی، فناوری و (یا) سازمانی و اقتصادی با یکدیگر هستند.

در رابطه با نظام اقتصادی، هر یک از اعضای جامعه نقش دوگانه ای ایفا می کنند: از یک سو به عنوان مصرف کننده و از سوی دیگر به عنوان کارگر.

علاوه بر نیروی کار، منابع مادیهستند منابع طبیعیو وسایل تولید

همه بخش های تولید مواد ناخالص ایجاد می کنند محصول داخلی(GDP).

در طبیعیشکل تولید ناخالص داخلی - ابزار کار و کالاهای مصرفی،

به شکل ارزش - صندوقی برای جبران خسارت دفع دارایی های ثابت (صندوق استهلاک) و ارزش جدید ایجاد شده (درآمد ملی).

در حال انجام است ایجاد تولید ناخالص داخلییک محصول میانی تولید و دوباره مصرف می شود.

توسط موادترکیب، یک محصول میانی اشیایی از کار است که برای مصرف فعلی تولید استفاده می شود، ارزش آنها به طور کامل به هزینه وسایل کار یا کالاهای مصرفی شامل تولید ناخالص داخلی منتقل می شود.

استفاده از ریاضیات در اقتصاد اجازه می دهد:

1. مهمترین ارتباطات متغیرها و اشیاء اقتصادی را برجسته کرده و رسماً توصیف کنید.

2. کسب دانش جدید در مورد شی؛

3. نوع وابستگی عوامل و پارامترهای متغیرها را ارزیابی کنید، نتیجه گیری کنید.

یک مدل اقتصادی-ریاضی چیست؟

این یک توصیف رسمی ساده شده است پدیده های اقتصادی.

مدل ریاضی یک شی اقتصادی نمایش آن در قالب مجموعه ای از معادلات، نابرابری ها، روابط منطقی و نمودارها است.

مدل‌ها شناسایی ویژگی‌های عملکرد یک شی اقتصادی را ممکن می‌سازند و بر این اساس، رفتار شی را در آینده با تغییر پارامترها پیش‌بینی می‌کنند.

مراحل ساخت یک مدل:

1. موضوع و اهداف تحقیق تدوین شده است.

2. در سیستم اقتصادی، عناصر ساختاری یا عملکردی شناسایی می شوند که با این هدف مطابقت دارند.

3. مهمترین آنها شناسایی شده است ویژگی های کیفیاین عناصر؛

4. روابط بین عناصر به صورت شفاهی و کیفی توصیف می شود.

5. نام های نمادین برای ویژگی های یک شی اقتصادی معرفی شده و روابط بین آنها فرموله می شود.

6. محاسبات با استفاده از مدل انجام شده و نتایج تجزیه و تحلیل می شوند.

ساختار مدل:

برای ساخت مدل نیاز به تعیین متغیرها و پارامترهای برون زا و درون زا است.

متغیرهای برون زا– خارج از مدل مشخص شده اند، یعنی. در زمان محاسبات شناخته شده است.

متغیرهای درون زا- در طول محاسبات با استفاده از مدل تعیین می شوند.

گزینه ها ضرایب معادلات هستند.

کلاس های مدل های اقتصادی و ریاضی

مدل های اقتصادی و ریاضی به دسته های زیر تقسیم می شوند:

1. بر اساس سطح تعمیم

الف اقتصاد کلان - اقتصاد را به عنوان یک کل توصیف کنید و شاخص های کل را به هم مرتبط کنید: تولید ناخالص داخلی، مصرف، سرمایه گذاری، اشتغال. ماکرومدل ها عملکرد و توسعه کل سیستم اقتصادی یا زیرسیستم های نسبتاً بزرگ آن را منعکس می کنند. در مدل های کلان، سلول های اقتصادی غیرقابل تقسیم در نظر گرفته می شوند.

ب اقتصاد خرد - تعامل اجزای ساختاری و عملکردی اقتصاد را توصیف می کند. Micromodels - عملکرد واحدهای تجاری و انجمن های آنها. در میکرومدل ها، یک واحد اقتصادی را می توان به عنوان یک سیستم پیچیده در نظر گرفت.

2. بر اساس سطح انتزاع

الف نظری - به شما امکان می دهد با استنباط از مکان های رسمی، ویژگی های کلی اقتصاد را مطالعه کنید. برای مطالعه ویژگی های کلی اقتصاد و عناصر آن (مدل های تقاضا و عرضه) استفاده می شود.

ب کاربردی - امکان ارزیابی پارامترهای عملکرد یک واحد اقتصادی خاص و ایجاد توصیه هایی برای تصمیم گیری. برای ارزیابی پارامترهای اشیاء اقتصادی خاص استفاده می شود. این شامل مدل های اقتصادسنجی است که از روش های آمار ریاضی استفاده می کنند.

3. مدل های تعادل و رشد

الف تعادل – مدل های توصیفی (توصیفی). آنها وضعیتی از اقتصاد را توصیف می کنند که برآیند تمام نیروهایی که تلاش می کنند اقتصاد را از این حالت خارج کنند صفر باشد. مثال - مدل لئونتیف (ورودی-خروجی)،

ب مدل های رشد برای تعیین چگونگی توسعه یک اقتصاد تحت معیارهای خاص طراحی شده اند. مثال - مدل سولو، ساموئلسون هیکس

4. با در نظر گرفتن عامل زمان.

الف استاتیک - وضعیت یک جسم را در یک لحظه یا دوره زمانی خاص توصیف می کند.

ب پویا - شامل روابط متقابل متغیرها در طول زمان است. معمولاً از دستگاه معادلات دیفرانسیل استفاده می شود.

5. با در نظر گرفتن عامل شانس.

الف قطعی - فرض کنید ارتباطات عملکردی دقیق بین متغیرهای مدل.

ب تصادفی - اجازه تأثیرات تصادفی روی شاخص ها را می دهد و از نظریه احتمال و آمار ریاضی استفاده می کند.

سوالات آزمون

1. مدلسازی اقتصادی-ریاضی چیست؟ جای او در است تحلیل اقتصادیو پیش بینی

2. مراحل مدلسازی عوامل مدل

3. کلاس های مدل های اقتصادی و ریاضی.

ژانر:اقتصاد

ناشر:"UNITY-DANA"

قالب: DjVu

کیفیت:صفحات اسکن شده

تعداد صفحات: 399

توضیحات:این کتاب بر اساس تجربه چندین ساله گروه ریاضیات کاربردی دانشگاه دولتی مدیریت در ارائه دوره های سخنرانی در مورد کاربرد روش ها و مدل های ریاضی برای تحقیقات اقتصادی است: اقتصاد ریاضی"(مدیریت - 061100)، "روش ها و مدل های ریاضی برای تحلیل اقتصادی" ( سیستم های اطلاعاتیدر مدیریت - 071900)، "روش های ریاضی برای تحقیقات اقتصادی" (اقتصاد ملی - 060700)، "دینامیک سیستم های اقتصادی" (اقتصاد ملی - 060700) و غیره.
کتاب درسی مطابق با برنامه های این رشته ها تهیه شده است و می تواند به عنوان پشتیبان ریاضی برای دروس «اقتصاد کلان»، «اقتصاد خرد» استفاده شود و همچنین برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی، دانشجویان کارشناسی ارشد و گروه های تحصیلات تکمیلی اقتصاد مفید خواهد بود. .
کتاب با استفاده از ادبیات داخلی و خارجی اقتصاد ریاضی تهیه شده است. در مقایسه با نسخه اول، کتاب درسی به طور قابل توجهی گسترش یافته و تجدید نظر شده است: پویایی های اقتصادی را با جزئیات بسیار بیشتری منعکس می کند و مدل های پیش بینی را ارائه می دهد. بحران های ارزیو ریسک های مالیو همچنین نتایج جدیدی را که نویسنده با استفاده از مدل اقتصادی سه بخشی به دست آورده است، ارائه می کند.
هدف کتاب این است که به خواننده این فرصت را بدهد تا به اقتصاد از دریچه چشم محققی که سعی در درک و رسمیت بخشیدن به انگیزه‌های رفتار مصرف‌کنندگان، تولیدکنندگان، سرمایه‌گذاران و دولت به‌عنوان سازمانی که نماینده کل جامعه است، بنگرد. بنابراین سعی در آشتی دادن و هدایت منافع مختلف واحدهای اقتصادی در جهتی خلاقانه است.
"اقتصاد ریاضی" بر مطالعه سیستماتیک اقتصاد با استفاده از مدل های ریاضی در سطوح کلان و خرد و همچنین در زمینه مهمترین آنها متمرکز است. زیر سیستم های عملکردیاقتصاد (تولیدی و مالی- اعتباری).
این کتاب شامل دوازده فصل است که در سه بخش «مدل‌های ریاضی اقتصاد کلان»، «مدل‌های ریاضی اقتصاد خرد»، «مدل‌های ریاضی تحلیل، پیش‌بینی و تنظیم اقتصاد» تشکیل شده است. هر فصل با مثال ها، سوالات و مسائل ارائه شده است. پاراگراف ها، مثال ها، جداول و شکل ها دارای شماره گذاری دو مرحله ای (شماره فصل و شماره پاراگراف (مثال، جدول، شکل) در فصل هستند و فرمول ها دارای شماره گذاری سه مرحله ای هستند (تعداد فرمول در پاراگراف اضافه می شود). .
برای راحتی خوانندگان، ابتدا و انتهای نتیجه‌گیری‌ها، برهان‌ها و استدلال‌هایی که منجر به نتایج معین می‌شود با مربع‌های خالی (نه سیاه‌شده) و پر (□ و ■) و ابتدا و انتهای مثال‌ها با خالی و پر مشخص می‌شوند. دایره ها (O و ) به ترتیب.
حداکثر نماد نزدیک به آنچه در اقتصاد ریاضی ایجاد شده است و در متن توضیح داده شده است. به عنوان یک قاعده، حروف بزرگ نشان دهنده شاخص ها و ماتریس های مطلق هستند و حروف کوچک نشان دهنده شاخص های نسبی، بردارها، عناصر بردارها و ماتریس هایی با شاخص های مربوطه هستند.
نویسنده از منتقدان - رئیس - صمیمانه تشکر می کند. گروه اقتصاد شرکت های تولیدیآکادمی اقتصاد روسیه به نام. G. V. Plekhanova، دکترای اقتصاد. علوم، پروفسور O.I. ولکوف، سر گروه تحقیقات عملیات، موسسه دولتی الکترونیک و ریاضیات مسکو (دانشگاه فنی)، دکترای فیزیک و ریاضیات، علوم، پروفسور. به A. Kashtanov، و همچنین به کارکنان گروه ریاضیات کاربردی و دانشجویان دانشگاه دولتی مدیریت که در تایپ کامپیوتری نسخه خطی شرکت کردند - L.V. سینکوا، ن.بالایکینا، او. سادوونیکوا. مدل های ریاضی اقتصاد کلان
فصل 1. مدل های ایستا اقتصاد کلان
1.1. توابع تولید کلان اقتصادی
1.2. مدل لئونتیف
فصل 2. مدل های دینامیکی خطی اقتصاد کلان با زمان گسسته
2.1. اقتصاد به عنوان یک سیستم پویا
مدل پویا کینز
مدل ساموئلسون هیکس
2.2. مدل پویا لئونتیف
2.3. مدل نیومن
فصل 3. مدل های دینامیکی خطی اقتصاد کلان با زمان پیوسته
3.1. روش های ریاضی برای مطالعه سیستم های پویا اقتصادی
3.1.1. عنصر دینامیکی خطی
3.1.2. کاریکاتوریست
3.1.3. شتاب دهنده
3.1.4. پیوند اینرسی
3.1.5. اقتصاد در قالب مدل پویا کینز به عنوان یک پیوند اینرسی
3.1.6. تابع انتقال
3.1. 7. پیوند نوسانی
3.1.8. اقتصاد در قالب مدل ساموئلسون هیکس به عنوان پیوند دینامیکی خطی مرتبه دوم
3.1.9. ویژگی های پیوند پویا
3.2. تجزیه و تحلیل و سنتز سیستم های پویا، فرآیندهای گذرا در آنها
3.2.1. عملکرد انتقال اتصال سریال
3.2.2. تابع انتقال موازی
3.2.3. عملکرد انتقال حلقه بسته با بازخورد
3.2.4. معرفی ضریب به مدار بازخوردبا مدل پویا کینز
3.2.5. معرفی یک شتاب دهنده به حلقه بازخورد مثبت با مدل پویا کینز
3.2.5. پایداری سیستم های دینامیکی خطی
3.2. 7. شرایط ثبات اقتصادی در قالب مدل ساموئلسون هیکس
3.3. سیستم‌های دینامیکی به هم پیوسته خطی
اقتصاد در قالب یک تعادل بین بخشی پویا به عنوان یک سیستم دینامیکی خطی چندگانه مرتبط
3.4. سیستم های دینامیکی غیرخطی چرخه های بازار در اقتصاد
3.4.1. مدل دینامیکی غیرخطی کینز
3.4.2. چرخه های بازار در اقتصاد
3.5. کنترل بهینه سیستم های دینامیکی
3.5.1. اصل حداکثری پونتریاگین
3.5.2. شرایط لازم برای بهینه بودن (اصل حداکثر)
فصل 4. مدل‌های دینامیکی غیرخطی بخش کوچک اقتصاد کلان
4.1. مدل سولو
4.1.1. رژیم گذار در مدل سولو
4.1.2. قانون طلایی پس انداز
4.1.3. سود، در مصرف فعلی - ضرر، در کوتاه مدت
4.2. حسابداری تاخیرها در هنگام معرفی وجوه
4.3. مدل تک بخشی رشد اقتصادی بهینه
4.4. مدل اقتصادی سه بخشی
4.5. توابع تولید بخش های اقتصاد روسیه
4.6. مدل سازی رکود و رشد متوازن اقتصادی
4.6.1. رکود
4.6.2. رشد اقتصادی متوازن
4.7. مطالعه حالت های پایدار متعادل
4.7.1. قانون طلایی برای تخصیص نیروی کار و سرمایه گذاری بین بخش ها
4.7.3. راه جایگزینتعیین بهینه فناوری
بخش دوم. مدل های ریاضی اقتصاد خرد
فصل 5. الگوهای رفتار مصرف کننده
5.1. ترجیحات مصرف کننده و عملکرد مطلوب او
مدل رفتار مصرف کننده
5.2. معادله اسلوتسکی
5.2.1. تغییر در تقاضا زمانی که قیمت با جبران افزایش می یابد
5.2.2. تغییر در تقاضا با تغییر در درآمد
فصل 6. مدل های رفتار تولیدکنندگان
6.1. مدل شرکت
6.1. 1 واکنش سازنده به تغییر در قیمت انتشار
61.2. واکنش تولیدکننده به تغییرات قیمت منابع
6.2. رفتار شرکت ها در بازارهای رقابتی
6.2.1. تعادل کورنو
فصل 7. مدل های تعامل بین مصرف کنندگان و تولیدکنندگان
7.1. مدل هایی برای ایجاد قیمت های تعادلی
7.1.1. مدل وب مانند
7.1. 2. مدل ایوانز
7.2. مدل والراس
بخش سوم. مدل های تحلیل، پیش بینی و مقررات اقتصادی
فصل 8. مدل های ریاضی اقتصاد بازار
8.1. مدل کلاسیکاقتصاد بازار
8.1.1. بازار کار
8.1.2. بازار پول
8.2. مدل کینز
8.3. مدل های ریاضی بازار مالی
8.3.1. معاملات مالی
8.3.2. ریسک مالی
8.3.3. تعادل در بازار اوراق بهادار
8.4. پیش بینی بحران های ارزی و ریسک های مالی
8.4.1. مدل پیش بینی ریسک مالی
8.4.2. پیش بینی بحران ارزی
فصل 9. مدل سازی تورم
9.1. ماهیت تورم
9.2. بررسی تورم با استفاده از مدل اقتصادی سه بخشی
9.2.1. نیم دور اول تورم
9.2.2. نیمه دوم تورم
9.3. شرایط پیدایش و خودپایداری تورم
9.4. تاثیر تورم بر تولید
فصل 10. مدل های ریاضی مقررات دولتیاقتصاد
10.1. نقش و کارکرد مالیات در جامعه
10.2. مالیات در اقتصاد سه بخشی
10.3. تاثیر افزایش مالیات بر تولید و مصرف
فصل 11. مدل سازی تجارت خارجی
11.1. مدل اقتصاد سه بخش باز
11.2. شرایط امکان و امکان سنجی ورود اقتصاد ملی به بازار جهانی
11.2.1. ورود به بازار جهانی همزمان با تثبیت سهم منابع ورودی به بخش سرمایه‌آفرین
11.3. قانون طلایی تجارت خارجی
11.3.1. قانون طلایی تخصیص منابع
11.4. تاثیر تجارت خارجی بر اقتصاد ملی
11.4.1. توزیع مجدد منابع بین بخش مادی و مصرف کننده
11.4.2. توزیع مجدد منابع بین بخش های مادی و سرمایه آفرین
فصل 12. مدل سازی هدف توسعه اجتماعی
12.1. نظریه ریاضی انتخاب عمومی
12.2. مدل های همکاری و رقابت
12.2.1. بازی های Co-op
12.2.2. همکاری و رقابت در اقتصاد سه بخشی
12.3. الگوبرداری از پیشرفت علمی و فناوری
12.3.1. مدل های تکاملی پیشرفت علمی و فناوری
12.3.2. مدل تغییرات تکنولوژیکی
12.3.3. مدل تسلیح مجدد اقتصاد سه بخشی
پیوست 1. ویژگی های یک ماتریس هزینه مستقیم تجزیه ناپذیر
پیوست 2. معادلات دیفرانسیل خطی و سیستم های معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت
ضمیمه 3. مطالعه عباراتی که رفتار اقتصاد سه بخشی را در حالت ساکن تعیین می کند
پیوست 4. رشد متعادل بهینه در اقتصاد سه بخشی
پیوست 5. شرایط کوهن تاکر
ادبیات

اقتصاد ریاضی یک علم نظری و کاربردی است که موضوع آن مدل‌های ریاضی اشیاء اقتصادی و فرآیندها و روش‌های تحقیق آنها است.

پیدایش علوم ریاضی بدون شک با نیازهای علم اقتصاد همراه بود. برای مثال، لازم بود که معلوم شود برای تغذیه یک خانواده چه مقدار زمین با غلات بکارد، چگونه زمین کاشته شده را اندازه گیری کرد و محصول آینده را تخمین زد.

با توسعه تولید و پیچیدگی آن، نیاز اقتصادی به محاسبات ریاضی نیز افزایش یافت. تولید مدرن یک کار کاملاً متعادل برای بسیاری از شرکت ها است که با حل تعداد زیادی از مسائل ریاضی تضمین می شود. این کار توسط ارتش عظیمی از اقتصاددانان، برنامه ریزان و حسابداران اشغال شده است و محاسبات توسط هزاران رایانه الکترونیکی انجام می شود. از جمله این کارها انجام محاسبات برنامه های تولید و تعیین بیشترین آنهاست قرار دادن سودمندپروژه های ساختمانی و انتخاب مقرون به صرفه ترین مسیرهای حمل و نقل و غیره. اقتصاد ریاضی همچنین با یک توصیف ریاضی رسمی از پدیده های اقتصادی شناخته شده سر و کار دارد و فرضیه های مختلف را آزمایش می کند. سیستم های اقتصادی، با روابط ریاضی خاصی توصیف می شود.

بیایید به دو مثال ساده نگاه کنیم که نشان دهنده استفاده از مدل های ریاضی برای این اهداف است.

اجازه دهید تقاضای S و عرضه D یک محصول به قیمت P بستگی داشته باشد. برای تعادل، قیمت در بازار باید به گونه ای باشد (P *) که محصول فروخته شود و مازادی وجود نداشته باشد:

D(P *) = S(P *). (1)

اما اگر، برای مثال، پیشنهاد با یک بازه زمانی به تاخیر بیفتد، همانطور که در شکل نشان داده شده است. 1 (که منحنی های عرضه و تقاضا را به عنوان تابعی از قیمت نشان می دهد)، در قیمت P 0 تقاضا S 0 از عرضه D 0 بیشتر است. و از آنجایی که عرضه کمتر از تقاضا است، قیمت افزایش می یابد و محصول به قیمت P 1 > P 0 فروخته می شود. در این قیمت، عرضه به مقدار S 1 افزایش می یابد. اکنون عرضه بیشتر از تقاضا است و تولیدکنندگان مجبور هستند کالا را با قیمت P2 بفروشند< Р 1 , после чего предложение падает и процесс повторяется. Получилась простая модель چرخه اقتصادی. به تدریج، بازار به تعادل می رسد: تقاضا، قیمت و عرضه در سطح S *، P *، D * تنظیم می شود.

برنج. 1 مطابق با حل معادله (1) با روش تقریب های متوالی است که ریشه این معادله را تعیین می کند. قیمت تعادلی P * و مقدار متناظر عرضه و تقاضا S *، D *.

بیایید بیشتر در نظر بگیریم مثال پیچیده- "قانون طلایی" پس انداز. مقدار خروجی یک شرکت (به روبل) محصولات نهایی Yt در زمان t توسط هزینه های نیروی کار L t تعیین می شود که بهره وری آن بستگی به نسبت درجه اشباع تجهیزات آن Kt به هزینه های کار دارد. نماد ریاضی برای این است:

Y t = f (K t / L t) L t . (2)

محصول نهایی برای مصرف C t و انباشت تجهیزات توزیع می شود. اگر سهم خروجی انباشته شدن را با s نشان دهیم، آنگاه

C t = (l - s)Y t . (3)

در علم اقتصاد به s نرخ انباشتگی گفته می شود. مقدار آن بین صفر و یک است.

در واحد زمان، حجم تجهیزات با مقدار تجمع تغییر می کند

K t+1 - K t = sY t. (4)

با رشد متعادل اقتصادی، همه اجزای آن با نرخ رشد یکسان λ رشد می کنند. با استفاده از فرمول بهره مرکب به دست می آوریم:

Y t = (1 + λ) t Y، L t = (1 + λ) t L، K t = (1 + λ) t K، C t = (1 + λ) t C.

اگر مقادیری را که مشخص کننده مصرف c = C/L، حجم تجهیزات R = K/L و خروجی y = Y/L برای هر کارگر معرفی می‌کنند، سیستم روابط (2)-(4) به سیستم تبدیل می‌شود.

y=f(R)، λR=sf(R)، c=f(R) - sf(R). (5)

دومین مورد از این روابط، برای نرخ رشد معین λ و مصرف s، نسبت سرمایه به کار R را به عنوان نقطه تقاطع منحنی y = sf(R) و خط مستقیم y = λR در شکل را تعیین می کند. 2. این خطوط لزوماً قطع خواهند شد، زیرا تابع f(R) اگرچه به صورت یکنواخت، رشد می کند، که به معنای افزایش خروجی با افزایش سطح کار R است، اما بیشتر و بیشتر به صورت توخالی، یعنی تابع مقعر است. شرایط اخیر نشان دهنده این واقعیت است که افزایش اضافی در تجهیزات به ازای هر کارگر، به دلیل افزایش حجم کاری آن، کمتر و کمتر موثر می شود ("قانون کاهش بازده"). خانواده منحنی ها y = sf(R) مربوط به مقادیر مختلف نرخ انباشت S است. طول f(R) - sf(R) قطعه AB، مطابق فرمول (5) برابر است با مصرف c. در s = 1 (نقطه A 0 در شکل 2) هیچ مصرفی وجود ندارد - تمام تولید به جمع آوری تجهیزات می رود. اجازه دهید اکنون نرخ انباشت s را کاهش دهیم. سپس مصرف c (طول AB) دیگر صفر نخواهد بود، اگرچه نرخ رشد λ اقتصاد (زاویه شیب خط مستقیم OB) ثابت می ماند. در نقطه ای با اردین R *، که مماس منحنی y = f(R) موازی با خط مستقیم y = λR است، مصرف c * حداکثر است. این منحنی با منحنی خانواده y = s * f(R) با نرخ انباشت معین s * مطابقت دارد که "نرخ انباشت طلایی" نامیده می شود.

یک مشکل دشوار در اقتصاد ریاضی مقایسه تئوری و عمل است: شاخص های اقتصادیاندازه گیری بسیار دشوار است - آنها در محیط های آزمایشگاهی اندازه گیری نمی شوند، مشاهدات را می توان بسیار به ندرت انجام داد (سرشماری ها را به خاطر بسپارید!)، آنها در آزمایشگاه انجام می شوند. شرایط مختلفو حاوی نادرستی های زیادی است. بنابراین استفاده از تجربیات اندازه گیری انباشته شده در سایر علوم دشوار است و توسعه روش های خاصی مورد نیاز است.

توسعه اقتصاد ریاضی باعث ظهور بسیاری از نظریه های ریاضی شد که تحت نام "برنامه ریزی ریاضی" متحد شدند (می توانید در مورد برنامه ریزی خطی در مقاله "هندسه" بخوانید).

مسائل مربوط به کاربرد روش های ریاضی در اقتصاد در آثار ریاضیدان شوروی L. V. Kantorovich که جوایز لنین و نوبل را دریافت کرد، توسعه یافت.

قبل از هر چیز لازم است فرمول هایی در علم اقتصاد که به عرضه و تقاضا مربوط می شود را در نظر گرفت. معادله تابع تقاضا را می توان به صورت فرمول زیر نمایش داد:

y=k*x+b

تابع تقاضا به شکل زیر است:

QD= k*P+b

تابع پیشنهاد:

Qs= k*P+b

اگر شاخص‌های کشش را در نظر بگیریم، می‌توانیم فرمول‌هایی را در علم اقتصاد شناسایی کنیم که کشش قیمتی تقاضا را تعیین می‌کنند:

EDP= ΔQD (%): ΔP (%)

EDP= (Q2 –Q1)/(Q2 + Q1): (P2 –P1)/(P2 + P1)

فرمول دوم محاسبه است نقطه میانی، در اینجا مقدار P1 قیمت محصول قبل از تغییر، P2 قیمت محصول پس از تغییر، Q1 تقاضا قبل از تغییر قیمت، Q2 تقاضا پس از تغییر قیمت است.

فرمول ضریب کشش تقاضا به شکل کلی:

EDI= (Q2 –Q1)/ Q1: (P2 –P1)/ P1

فرمول های اقتصاد کلان

فرمول های اقتصاد شامل فرمول های اقتصاد خرد (عرضه و تقاضا، هزینه های شرکت و غیره) و همچنین فرمول های اقتصاد کلان است. فرمول مهم در اقتصاد کلان، فرمول محاسبه مقدار پول مورد نیاز در گردش است:

CD = ∑ CT – K + SP – VP / CO

سی دی - مقدار پول در گردش،

CT - مجموع قیمت کالاها؛

K - کالاهایی که به صورت اعتباری فروخته می شوند.

SP - پرداخت های فوری؛

VP - پرداخت های قابل لغو متقابل تحت معاملات مبادله ای؛

CO - نرخ گردش سالانه واحد پولی.

برای تعیین حجم پول در گردش، باید از فرمول زیر استفاده کنید:

M = P * Q / V

اینجا M - عرضه پول، که در گردش است;

V - سرعت گردش پول.

P - میانگین قیمت محصولات؛

Q مقدار محصولات تولید شده با قیمت ثابت است.

معادله مبادله را می توان با برابری زیر نشان داد:

M*V = P*Q

این معادله منعکس کننده برابری کل هزینه ها به لحاظ پولی و بهای تمام شده کالاها و خدماتی است که در کشور تولید می شود.

سایر فرمول های اقتصاد کلان

بیایید چند فرمول دیگر را در اقتصاد در نظر بگیریم که در میان آنها فرمول محاسبه درآمد واقعی جایگاه مهمی را اشغال می کند:

RD = ND / CPI * 100٪

در اینجا RD درآمد واقعی است،

ND - درآمد اسمی،

CPI - شاخص شاخص قیمت مصرف کننده.

فرمول محاسبه شاخص قیمت مصرف کننده با عبارت زیر نمایش داده می شود:

CPI = STTG / STBG

STTG - هزینه سبد مصرف کنندهامسال،

STBG - در سال پایه.

مطابق با شاخص شاخص قیمت، نرخ تورم را می توان با استفاده از فرمول مناسب تعیین کرد:

TI = (CPI1 - CPI0) / CPI0 * 100٪

با توجه به نرخ تورم، می توان چندین نوع را تشخیص داد:

1. تورم خزندهبا افزایش قیمت تا 5 درصد در سال،

2. تورم متوسطتا 10% در سال،

3. تورم گیج کننده با افزایش قیمت 200-200 درصد در سال،

4. ابر تورم با افزایش قیمت فاجعه بار بیش از 200 درصد در سال.

فرمول های محاسبه سود

محاسبات اقتصادی اغلب نیاز به محاسبات مورد علاقه دارند. فرمول های اقتصاد شامل محاسبات پیچیده و علاقه ساده. فرمول محاسبه سود ساده به شرح زیر است:

C = P * (1 + in/360)

در اینجا P مقدار بدهی، از جمله بهره است.

ج - مبلغ کل وام؛

n - تعداد روز؛

من - بهره سالانهدر سهام

فرمول محاسبه بهره مرکببه نظر می رسد این است:

C = P (1 + in/360)k

K - تعداد سالها.

فرمول محاسبه بهره مرکب که طی چندین سال محاسبه می شود:

C = P (1+i)k

فرمول بیکاری، اشتغال و تولید ناخالص ملی

UB = تعداد بیکاران/HRS * 100%

در اینجا NHR تعداد نیروهای کار است.

فرمول محاسبه نرخ اشتغال به شرح زیر است:

UZ = تعداد کارمندان / HR * 100٪

فرمول محاسبه ناخالص محصول ملیبه این صورت محاسبه می شود:

GNP = % + ZP + Tr + KNal – ChS + R + Am + DS

در اینجا T شرکت های بزرگ هستند،

Knal - مالیات های غیر مستقیم،

اورژانس - یارانه خالص،

R – اجاره،

Am – مقدار استهلاک،

DS - درآمد حاصل از دارایی.

فرمول محاسبه GNP مطابق با هزینه ها:

GNP = LPR + GZ + HFVI - CHI

محاسبه درآمد، سود و هزینه

فرمول های اقتصاد هنگام محاسبه درآمد و سود:

TR = P*Q

سود = TR – TC

فرمول محاسبه میانگین هزینه کل به صورت زیر است:

AC = AFC + AVC یا

AC = TC/Q

TC = TFC + TVC

فرمول محاسبه میانگین هزینه های ثابت

آژانس فدرال آموزش

ایالت موسسه آموزشیآموزش عالی حرفه ای

دانشگاه ایالتی ولادیمیر

A.A. گالکین

ریاضی

اقتصاد

مورد تایید وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیهبه عنوان کتاب درسی

برای دانشجویان آموزش عالی موسسات آموزشیدانشجویان در حال تحصیل در رشته تخصصی "انفورماتیک کاربردی (در اقتصاد)"

ولادیمیر 2006

UDC 330.45: 519.85 BBK 65 V 631

داوران:

دکترای علوم فنی، استاد سرپرست. گروه سیستم های اطلاعات و کنترل خودکار، دانشگاه ایالتی تولا

V.A. فاتویف

دکترای علوم فنی، استاد سرپرست. گروه سیستم های اطلاعاتی

دانشگاه فنی دولتی Tver

B.V. پالیوخ

دکترای علوم اقتصادی، استاد رئیس. گروه اقتصاد و مدیریت سازمانی

دانشگاه ایالتی ولادیمیر

V.F. آرکیپووا

دکترای علوم فیزیک و ریاضی، استاد سر. گروه جبر و هندسه، دانشگاه ایالتی ولادیمیر

N.I. دوبروین

با تصمیم شورای تحریریه و انتشارات دانشگاه دولتی ولادیمیر منتشر شد

گالکین، A. A.

G16 اقتصاد ریاضی: کتاب درسی / A. A. Galkin; ولادیم. دولت دانشگاه - ولادیمیر: انتشارات ولادیم. دولت Univ., 2006. – 304 p. – شابک 5-89368-624-1.

طیف گسترده ای از مسائل بهینه سازی معمولی ناشی از اقتصاد و الگوریتم هایی که امکان حل این مسائل را فراهم می کند در نظر گرفته شده است. روشی برای رسمی کردن این وظایف و طبقه بندی آنها ارائه شده است. روش‌هایی برای حل مسائل بهینه‌سازی استاتیکی و دینامیکی قطعی ارائه شده‌اند. برای هر نوع مسئله و الگوریتم، مثال‌هایی ارائه می‌شود که تکنیک استفاده عملی از این الگوریتم‌ها و همچنین مجموعه‌ای از مسائل را نشان می‌دهد. تصمیم مستقل.

در نظر گرفته شده برای دانشجویان دانشگاهی که در تخصص 080801 - علوم کامپیوتر کاربردی (در اقتصاد)، و همچنین دانشجویان تمام وقت کارشناسی، کارشناسی ارشد و کارشناسی ارشد رشته های مرتبط، تحصیل می کنند. آموزش از راه دور، افراد دریافت کننده دوم آموزش عالیو همچنین تمرین‌کنندگان.

جدول 80. بیمار. 60. کتابشناسی: 39 عنوان.

§ 6.8. مشکل توزیع بهینه مرحله به مرحله وجوه تخصیصی بین بنگاه ها در طول

§ 8.6. مشکل کنترل یک سیستم دینامیکی خطی

با به حداقل رساندن انتگرال درجه دوم تعمیم یافته

§ 9.2. کنترل یک سیستم گسسته خطی با نظم دلخواه با بهینه سازی کل تعمیم یافته

فهرست اختصارات پذیرفته شده

TF - تابع هدف ODR - منطقه راه حل های امکان پذیر

LP – برنامه نویسی خطی ZLP – مشکل LP KZLP – ZLP متعارف

TZ - وظیفه حمل و نقل PO - نقاط عزیمت، PN - نقاط مقصد در TZ

MSZU – روش گوشه شمال غربی MZS – روش مقطع طلایی DP – برنامه نویسی پویا VI – محاسبه تغییرات PM – اصل حداکثر. DE - معادله دیفرانسیل

پیشگفتار

در در آمادگي دانشجويان رشته ها و رشته هاي مختلف فني و اقتصادي، مطالعه مدل ها و روش هاي رياضي معمولي براي حوزه موضوعي مربوطه، جايگاه قابل توجهي را به خود اختصاص مي دهد كه با استفاده از اين مدل ها، تبيين رفتار سيستم ها را ممكن مي سازد. در حال بررسی، ویژگی های آنها را ارزیابی کرده و به طور منطقی تصمیمات سازنده، تکنولوژیکی، اقتصادی، سازمانی و غیره اتخاذ کنید.

تسلط بر این مدل‌ها و روش‌ها بر اساس پایه‌ای است که در یک رشته کلاسیک نسبتاً جهانی، که معمولاً «ریاضیات عالی» نامیده می‌شود، گذاشته شده است. دستگاه ریاضی که حل مسائل معمولی و مهم را برای حوزه کاربردی مربوطه ممکن می سازد در رشته های خاص مورد مطالعه قرار می گیرد.

برای دانشجویانی که در رشته تخصصی "انفورماتیک کاربردی (در اقتصاد)" تحصیل می کنند، یکی از این رشته ها "اقتصاد ریاضی" است. مطابق با استاندارد آموزشی دولتی فعلی (SES)، برنامه این رشته شامل حجم زیادی از مطالب آموزشی مربوط به انجام محاسبات ریاضی در زمینه اقتصاد است. این ماده به دو قسمت تقسیم می شود.

در بخش اول به بررسی مشکلات می پردازد تحلیل مالی، که در استانداردهای آموزشی دولتی نسل گذشته در یک رشته خاص - "ریاضیات مالی" در نظر گرفته شده است.

بخش دوم برنامه از نقطه نظر ریاضی شامل مسائل و روش های پیچیده تر مربوط به یافتن بهترین است. راه حل های بهینه برای مسائل مختلف در حوزه اقتصاد کاربردی. پیش از این، دانش آموزان هنگام مطالعه رشته "نظریه کنترل بهینه در سیستم های اقتصادی" به این مطالب تسلط داشتند.

برنامه درسی رشته "اقتصاد ریاضی" شامل طیف گسترده ای از مسائل بسیار دشوار برای مطالعه است. از آنجایی که زمان اختصاص داده شده برای آموزش کلاسی در این رشته بسیار کم است، معنی خاصکسب می کند کار مستقلدانش آموزان با ادبیات آموزشی

لازم به ذکر است که طی 30 سال گذشته، تک نگاری های مختلف، کتاب های درسی و وسایل کمک آموزشیدر مورد روش های ریاضی مورد استفاده در اقتصاد با این حال، دانش آموزان هنگام کار با آنها با مشکلات جدی مواجه می شوند. اولاً، بسیاری از این کتاب‌ها در حال حاضر عملاً برای دانشجویان غیرقابل دسترس هستند، زیرا یا در کتابخانه‌های دانشگاه در دسترس نیستند یا به صورت تک نسخه در دسترس هستند. ثانیاً، یک کتاب درسی برای مطالعه همه مطالب ارائه شده توسط برنامه کافی نیست و کتاب های مختلف معمولاً از سبک های ارائه متفاوت و نمادهای متفاوت استفاده می کنند. اغلب سطح ارائه مطالب برای یک دانش آموز "واقعی" غیرقابل دسترس است. ثالثاً، هنگام سازماندهی فرآیند آموزشی در رشته هایی با ماهیت ریاضی، اساسی است مهم استدانش‌آموزان مهارت‌های عملی را در استفاده از روش‌های مورد مطالعه کسب کرده‌اند و این نیازمند تکالیفی برای حل مستقل است. اکثر کتاب های درسی در مورد موضوع مورد بررسی حاوی مثال ها و مشکلاتی برای نشان دادن تکنیک به کارگیری روش های ارائه شده هستند، اما برای دادن تکالیف فردی به همه دانش آموزان در یک گروه مطالعاتی معمولی کافی نیستند.

کتاب درسی پیشنهادی برای مطالعه بخش دوم و پیچیده تر رشته "اقتصاد ریاضی" در نظر گرفته شده است که به بررسی مسائل بهینه سازی ناشی از اقتصاد و الگوریتم هایی برای حل آنها می پردازد. با در نظر گرفتن شرایط فوق تهیه شده است.

این کتاب شامل فرمول‌بندی‌هایی از مسائل بهینه‌سازی معمولی است که در آن به وجود می‌آیند حوزه اقتصادی، رسمی سازی آنها انجام شده است، ماهیت روش ها و الگوریتم هایی که انجام راه حل را ممکن می کند، با تصویری از تکنیک این الگوریتم ها در نمونه های خاص. علاوه بر این، برای هر موضوع مجموعه نسبتاً بزرگی از وظایف برای حل مستقل وجود دارد که به هر دانش آموز اجازه می دهد تا تکلیف شخصی خود را انجام دهد.

از طیف عظیمی از مسائل بهینه سازی ممکن و پیشنهاد شده است علم مدرنروش‌های انتخاب شده برای گنجاندن در این کتاب درسی، مسائل قطعی و الگوریتم‌های بهینه‌سازی استاتیکی و دینامیکی است. با توجه به حجم محدود کتاب، مسائل بهینه سازی با عدم قطعیت شامل مسائل و مدل های احتمالی-آماری، فاصله ای، فازی و غیره و همچنین مسائل بهینه سازی برداری در نظر گرفته نشده است.

کتاب شامل نه فصل است. اولین نمونه‌هایی از مسائل بهینه‌سازی با ماهیت اقتصادی را ارائه می‌دهد که تکنیک رسمی‌سازی را نشان می‌دهد، یعنی. دریافت مدل ریاضیمسئله ای که باید حل شود، طبقه بندی مسائل بهینه سازی ارائه شده است.

فصل های دوم، سوم و چهارم به مسائل بهینه سازی استاتیکی خطی اختصاص دارد. فصل دوم به تشریح مسائل و روش های برنامه ریزی خطی می پردازد، فصل سوم مسائل حمل و نقل را به طور جداگانه مورد بحث قرار می دهد و فصل چهارم مسائل بهینه سازی را که بر روی نمودارها تفسیر می شوند، مورد بحث قرار می دهد. برای هر کار بیشترین روش موثرحل (الگوریتم) و مثالی برای نشان دادن تکنیک استفاده عملی از این الگوریتم آورده شده است. فصل پنجم روش های تحلیلی و عددی برای حل مسائل بهینه سازی استاتیکی غیرخطی در غیاب و وجود محدودیت ها را تشریح می کند.

مسائل بهینه سازی پویا که معمولاً به عنوان مسائل کنترل بهینه شناخته می شوند، در فصل های ششم تا نهم مورد بحث قرار گرفته اند. در فصل ششم آورده شده است ایده کلیدر سیستم های دینامیکی از انواع پیوسته و گسسته، مسئله کلاسیک کنترل بهینه و برنامه ریزی پویا (DP) فرموله شده است، ماهیت DP ترسیم شده است و تکنیک کاربرد عملی آن با استفاده از مثال های مختلف از ماهیت اقتصادی نشان داده شده است. فصل هفتم مبانی حساب تغییرات را تشریح می کند، فصل هشتم اصل حداکثر را برای سیستم های پیوسته توصیف می کند، و فصل نهم سیستم های گسسته را پوشش می دهد. در هر یک از این فصل ها، توجه زیادی به تجزیه و تحلیل مسائل مختلف و مثال هایی که روش شناسی استفاده عملی از روابط محاسبه شده را نشان می دهد، معطوف شده است.

در پایان هر یک از فصل های اول تا ششم، مسائلی برای حل مستقل وجود دارد. در پایان فصل نهم، مسائلی برای حل مستقل ارائه شده است که به روش‌های کنترل دینامیکی بهینه اختصاص دارد.

مشکل خاصی که در حین کار بر روی کتاب مستلزم تلاش قابل توجه نویسنده بود، این بود که برخی از روش ها و الگوریتم ها در ادبیات اصلی به گونه ای ارائه شده است که برای دانشجویان غیر ریاضی، اما اطلاعات و مشخصات اقتصادی بسیار دشوار است. برای درک آنها بنابراین، لازم بود فرصت هایی برای تطبیق مطالب نظری مرتبط با سطح واقعی آموزش دانش آموزانی که کتاب برای آنها طراحی شده است، پیدا شود.

علاوه بر این، نویسنده سعی در ارائه دارد مقدار زیادیوظایف و روش‌های بسیار متفاوتی برای حفظ یک سبک، شخصیت و سیستم ارائه مطالب تا حداکثر ممکن. امیدوارم تا حدودی این امر محقق شده باشد.

در تهیه کتاب از مطالب سخنرانی و کلاس های عملی در رشته های «روش های بهینه سازی»، «نظریه کنترل»، «نظریه کنترل بهینه در سیستم های اقتصادی» و «اقتصاد ریاضی» استفاده شده است که نویسنده به مدت 25 سال در ولادیمیر تدریس کرده است. دانشگاه دولتی(VlSU). در این کلاس ها، بیشتر مطالب تئوری و تکالیف برای حل مستقل مورد آزمایش قرار گرفت. نسخه الکترونیکیکتاب درسی در منابع اطلاعاتی کتابخانه الکترونیکی VlSU گنجانده شده است.

علیرغم اینکه این کتاب برای دانشجویان رشته تخصصی «انفورماتیک کاربردی (در اقتصاد)» تهیه شده است، بدون شک می‌تواند برای دانشجویان، دانشجویان کارشناسی ارشد، دانشجویان کارشناسی ارشد و متخصصان سایر رشته‌ها مفید باشد، زیرا مشکلات بهینه‌سازی در همه جا مطرح می‌شود. تصادفی نیست که آنها می گویند "هیچ چیز در طبیعت وجود ندارد که در آن نتوان معنای نوعی حداکثر یا حداقل را تشخیص داد."

از همه کسانی که از کتاب استفاده می کنند و نظر خود را در مورد مطالب آن احتمالاً در مورد کاستی ها یا نادرستی ها بیان می کنند سپاسگزار خواهد بود. برای این کار می توانید از ایمیل استفاده کنید: [ایمیل محافظت شده].

کار روی کتاب، با وقفه‌هایی، حدود 10 سال طول کشید، اما اگر کمک‌های سریع و بسیار ماهر در کار بر روی نسخه خطی ارائه شده توسط دانشجوی فارغ‌التحصیل I.V. کمپ. به همین دلیل نویسنده از او تشکر ویژه ای دارد.