Kako izračunati složenu kamatu. Formula složenih kamata

Daria Nikitina

Vrijeme čitanja: 11 minuta

A A

zajednički interes Uobičajeno je da se učinak naziva kada se postotak dobiti doda glavnici iu budućnosti sami sudjeluju u stvaranju nove dobiti.
Formula složenih kamata je formula po kojoj se izračunava ukupni iznos, uzimajući u obzir kapitalizaciju (pripis kamata).

U ovom članku:

Jednostavan izračun složenih kamata

Da bismo bolje razumjeli izračun složenih kamata, pogledajmo primjer.
Zamislite da stavite 10.000 rubalja u banku uz 10 posto godišnje.
Godinu dana kasnije na vašem bankovni račun iznos SUM \u003d 10000 + 10000 * 10% \u003d 11 000 rubalja će ležati.
Vaš profit je 1000 rubalja.
Odlučite ostaviti 11.000 rubalja za drugu godinu u banci uz istih 10 posto.
Nakon 2 godine banka će akumulirati 11 000 + 11 000 * 10% = 12 100 rubalja.

Dobit za prvu godinu (1.000 rubalja) dodana je glavnici (10.000 rubalja), au drugoj godini je već generirana novi profit. Zatim će se u 3. godini dobit za 2. godinu dodati iznosu glavnice i sama će generirati novu dobit. I tako dalje.

Taj se učinak naziva složena kamata.

Kada se cjelokupna dobit pridoda glavnici iu budućnosti sama proizvodi novu dobit.

Formula složenih kamata:

ZBIR = X * (1 + %)n

Gdje
IZNOS- konačni iznos;
X je početni iznos;
% - kamatna stopa, posto godišnje / 100;
n je broj razdoblja, godina (mjeseci, kvartali).

Izračun složenih kamata: primjer 1.
Stavljate 50 000 rubalja u banku uz 10% godišnje na 5 godina. Koliko ćete imati za 5 godina? Izračunajte pomoću formule složenih kamata:

SUM \u003d 50000 * (1 + 10/100) 5 \u003d 80 525,5 rubalja.

Složena kamata se može koristiti kada otvorite oročeni depozit u banci. Pojmovi bankarski sporazum kamate se mogu obračunavati, na primjer, kvartalno ili mjesečno.

Izračun složenih kamata: Primjer 2.
Izračunajmo koji će biti konačni iznos ako stavite 10.000 rubalja na 12 mjeseci uz 10% godišnje s mjesečnim kamatama.

SUM \u003d 10000 * (1 + 10/100/12) 12 \u003d 11047,13 rubalja.

Dobit je iznosila:

DOBIT \u003d 11047,13 - 10000 \u003d 1047,13 rubalja

Prinos je bio (kao postotak godišnje):

% = 1047,13 / 10000 = 10,47 %

Odnosno, s mjesečnom kamatom prinos je veći nego s jednom obračunatom kamatom za cijelo razdoblje.

Ako ne povučete dobit, tada počinju djelovati složene kamate.

Formula složene kamate za bankovne depozite

Zapravo, formula za složene kamate u odnosu na bankovne depozite nešto je kompliciranija od gore opisane. Kamatna stopa za depozit (%) izračunava se na sljedeći način:

% = p * d / g

Gdje
str- kamatna stopa (posto godišnje / 100) na depozit,
Na primjer, ako je stopa 10,5%, tada p = 10,5 / 100 = 0,105;
d— razdoblje (broj dana) nakon kojeg se vrši kapitalizacija (obračunavaju se kamate),
na primjer, ako je kapitalizacija mjesečna, onda d=30 dana
ako je kapitalizacija jednom svaka 3 mjeseca, tada d=90 dana;
g— broj dana u kalendarskoj godini (365 ili 366).

Odnosno, može se računati kamatna stopa za različita razdoblja depozita.

Formula složenih kamata za bankovni depoziti izgleda ovako:

SUM = X * (1 + p*d/y) n

Prilikom izračuna složenih kamata potrebno je uzeti u obzir činjenicu da se s vremenom gomilanje novca pretvara u lavinu. To je ljepota složenih kamata. Zamislite malu grudvu snijega veličine šake koja se počne kotrljati niz snježnu planinu. Dok se gruda kotrlja, snijeg se zalijepi za nju sa svih strana i do podnožja će doletjeti ogroman snježni kamen. Isto sa složenim kamatama. U početku je povećanje koje stvaraju složene kamate gotovo neprimjetno. Ali nakon nekog vremena, ona se pokaže u punom sjaju. To se jasno može vidjeti u donjem primjeru.

Izračun složenih kamata: Primjer 3.
Razmotrite 2 opcije:
1. Jednostavna kamata. Uložili ste 50.000 rubalja 15 godina uz 20%. Dodatni doprinosi Ne. Povlačite svu zaradu.
2. Složena kamata. Uložili ste 50.000 rubalja 15 godina uz 20%. Nema dodatnih doprinosa. Svake godine glavnici se dodaju kamate na dobit.

Početni iznos: 50 000 rubalja
Kamatna stopa: 20% godišnje
	jednostavna kamata	Zajednički interes
	Iznos	Dobit u godini	Iznos	Dobit u godini
Nakon 1 godine	60 000 rub.	10 000 rub.	60 000 rub.	10 000 rub.
Nakon 2 godine	70 000 rub.	10 000 rub.	72 000 rub.	12 000 rub.
3 godine kasnije	80 000 rub.	10 000 rub.	86 400 rub.	14400 rub.
Nakon 4 godine	90 000 rub.	10 000 rub.	103 680 rub.	17 280 rub.
Nakon 5 godina	100 000 rub.	10 000 rub.	124 416 rub.	20 736 rub.
Nakon 6 godina	110 000 rub.	10 000 rub.	149 299 rub.	24 883 rub.
Nakon 7 godina	120 000 rub.	10 000 rub.	179 159 rub.	29 860 rub.
Nakon 8 godina	130 000 rub.	10 000 rub.	214 991 rub.	35 832 rub.
Nakon 9 godina	140 000 rub.	10 000 rub.	257 989 rub.	42 998 rub.
Nakon 10 godina	150 000 rub.	10 000 rub.	309 587 rub.	51 598 rub.
Nakon 11 godina	160 000 rub.	10 000 rub.	371 504 rub.	61 917 rub.
Nakon 12 godina	170 000 rub.	10 000 rub.	445 805 rub.	74 301 rub.
Nakon 13 godina	180 000 rub.	10 000 rub.	534 966 rub.	89 161 rub.
Nakon 14 godina	190 000 rub.	10 000 rub.	641 959 rub.	106 993 rub.
Nakon 15 godina	200 000 rub.	10 000 rub.	770 351 rub.	128 392 rub.
Ukupna dobit:	150 000 rub.		720 351 rub.

. Osnovica za izračun složenih kamata, za razliku od običnih kamata, ne ostaje konstantna. Noa - povećava se sa svakim korakom u vremenu. Povećava se apsolutni iznos obračunate kamate, a proces povećanje iznosa duga se ubrzava. Prirast po zajednički interes može se promatrati kao sljedbenik novo reinvestiranje sredstava uloženih pod jednostavnim procenti za jedno obračunsko razdoblje ( razdoblje trčanja ). Pridružitičesto se naziva dodavanje obračunatih kamata na iznos koji je poslužio kao temelj za njihov obračun kapitalizacija kamata.

Pronađimo formulu za izračun akumuliranog iznosa pod uvjetom da se kamata obračunava i kapitalizira jednom agodine (godišnja kamata). Za to se primjenjuje složeno postajanje kaproširenja. Da bismo napisali formulu rasta, primjenjujemo ihisti zapis kao u formuli za povećanje jednostavnim pro centi:

P - početni iznos duga (zajmovi, kredit, kapital la, itd.),

S - akumulirani iznos na kraju roka kredita,

P - rok, broj godina obračuna,

ja - visina godišnje kamatne stope, koju predstavlja decentni razlomak.

Očito je da je na kraju prve godine kamata jednaka vrijednosti R ja , a akumulirani iznos bit će K koncu drugoj godini dostići će vrijednost U kraj n -te godine, akumulirani iznos bit će jednako je

(4.1)

Kamate za isto razdoblje u cjelini su kako slijedi:

(4.2)

Neki od njih se uče računajući kamatu na kamatu. Ona je

(4.3)

Kao što je gore prikazano, rast složenih kamata jeje proces koji odgovara geometrijskoj progresiji si, čiji je prvi član jednak R , a nazivnik je .Zadnji član progresije jednak je akumuliranom zbroju na kraju rok kredita.

vrijednost nazvao inkrementalni množitelj na složene kamate. Značenja ovogamnožitelj za cijele brojeve P daju se u složene tablice postotak.Točnost izračuna množitelja u praktičnim proračunimaodređuje se dopuštenim stupnjem zaokruživanja akumuliranogiznosi (do posljednjeg novčića, rublje itd.).

Vrijeme izgradnje složene brzine obično mjeri Xia kao AST/ A ST.

Kao što vidite, vrijednost množitelja akumulacije ovisi o dva parametri - jaI P. Treba napomenuti da je dugo vremenačak i mala promjena stope značajno utječepo vrijednosti množitelja. Zauzvrat, jako dugodovodi do zastrašujućih rezultata čak i s malimkamatna stopa.

Dobivena je formula obračuna složenih kamataza godišnju kamatnu stopu i rok mjeren u godinama.Međutim, može se primijeniti i na druga obračunska razdoblja.niya. U ovim slučajevimajaznači stopu za jedno obračunsko razdoblje (mjesec, kvartal itd.), i n je broj takvih razdoblja. Na primjer ako ja– polugodišnja stopa, dakle P – broj semestara itd.

Formule (4.1) - (4.3) pretpostavljaju da su kamate na procenti se naplaćuju po istoj stopi kao kada se naplaćuju na glavnicu duga. Zakomplicirat ćemo uvjete za obračun kamatadrug Neka se kamata na glavni dug obračunava po stopijaa kamata na kamatu – po stopi U ovom slučaju

Niz u uglatim zagradama predstavlja geometrijuprogresija s prvim članom jednakim 1 i nazivnikom. Kao rezultat toga imamo

(4.4)

· Primjer 4.1

2. Obračun kamata u susjednim kalendarskim razdobljima. Vas Ranije se prilikom obračuna kamata nije uzimala u obzir lokacija razdoblja obračuna kamata u odnosu na kalendarska razdoblja. Međutim, često su početni i završni datumi zajma u dva razdoblja. Jasno je da prispjeli za cijeli rok, kamate se ne mogu pripisati samo posljednjemnjegovo razdoblje. U računovodstvu, porezu,Na kraju, u analizi financijske aktivnosti poduzeća Ne postoji problem raspodjele obračunate kamate po razdobljima.

Ukupni rok kredita podijeljen je u dva razdobljan 1 I n 2 . Odnosno,

Gdje

· Primjer 4.2

3. Promjenjive stope. Formula pretpostavlja konstantustopa tijekom cijelog kamatnog razdoblja. Nestabilnost monetarnog tržišta čini nužnim modernizirati "klasični" sustav, na primjer, korištenjem mišljenja promjenjive stope ( plutajući stopa). Naravno, računicajer je budućnost po takvim stopama vrlo uvjetna. Druga stvar -post factum izračun. U ovom slučaju, a i kadaveličine oklada su fiksne u ugovoru, ukupni množitelj Sredstvo za proširenje definirano je kao umnožak kvocijenata, tj.

(4.5)

gdje - uzastopne vrijednosti stopa; - razdoblja tijekom kojih odgovarajući stope.

· Primjer 4.3

4. Obračun kamata za razlomački broj godina. Često vrijeme u th dax za izračun kamata nije cijeli broj. U pravilima niza poslovnih banaka za neke poslove kamate se obračunavaju samo za cijeli broj godina ili drugih razdoblja obračuna. Razlomački dio perioda se odbacuje. U većini slučajeva uzima se u obzir cijeli termin. pri čemukoriste se dvije metode. Prema prvom, nazovimo ga Općenito, izračun se provodi prema formuli:

(4.6)

Drugi, sm lud,metoda uključuje obračun kamate u cjelinibroj godina korištenjem formule složenih kamata i za razlomački dio pojam prema formuli jednostavna kamata:

,(4.7)

Gdje - rok kredita, A je cijeli broj godina,b - razlomački dio godine.

Slična se metoda primjenjuje u slučajevima kadakućni obračun je semestar, kvartal ili mjesec.

Prilikom odabira metode izračuna treba imati na umu da mnogistanovnik rasta prema mješovitoj metodi pokazuje se nešto većim nego prema općoj metodi, jer za P < 1 je feru odnosu

Uočena je najveća razlika dano na b = 1/2.

· Primjer 4.4

5. Usporedba rasta složenih i prostih kamata. Neka je vremenska osnovica za obračun ista, visina kamatnih stopa ista, tada:

1) za razdoblje kraće od godinu dana obična kamata veća je od složene kamate

2) više od godinu dana

3) za razdoblje od 1 godine, obračunski multiplikatori su međusobno jednaki

Koristeći faktor akumulacije jednostavnih složenih kamata, možete odrediti vrijeme potrebno za povećanje početnog iznosa n jednom. Za to je potrebno da koeficijenti rasta budu jednaki vrijednosti n:

1) za jednostavne kamate

2) za složene kamate

Formule za udvostručenje kapitala su:

Bez sumnje, isplativost bankovnog depozita, prije svega, određuje kamatnu stopu. Uostalom, njime se rukovodi svaki potencijalni klijent. No, zapravo, investitor treba posebno obratiti pozornost ne na godišnju kamatnu stopu, već na način prikupljanja dobiti. Uostalom, u financijski sustav banke, postoje dva pojma: jednostavna i složena kamata. A za svakog deponenta morate točno znati što su obične i složene kamate, pojam i formule, kako biste odredili koji će mu depozit biti najpovoljniji.

Što je jednostavna kamata

Prije svega, jednostavna kamata je obračun kamata za polaganje depozita na bankovni račun za cijelo vrijeme čuvanja sredstava. Ako govoriti jednostavnim rječnikom rečeno, tada se obična kamata obračunava tek na kraju roka trajanja ugovora o depozitu, utvrđena je u godišnjoj kamatnoj stopi. Štoviše, ako se ugovor automatski produži za sljedeće razdoblje, tada naknada za prethodno razdoblje nije uključena u tijelo depozita.

Da biste što točnije razumjeli što je jednostavan sustav obračunavanja dobiti, razmotrite primjer. Položili ste 50.000 rubalja u banku uz 7% godišnje na godinu dana. Na kraju ugovora vaša će dobit biti 50 000 × 0,07 = 3 500 rubalja. S automatskim produljenjem ugovora za sljedeći mandat, vaša će dobit ponovno biti 3500 rubalja. Odnosno, nakon 2 godine od banke ćete moći primiti 50 000 + 3 500 + 3 500 = 57 000 rubalja.

Važno! Formula za izračun proste kamate je sljedeća: K=D×p. Gdje je K iznos dobiti, D je tijelo depozita, p je godišnja kamatna stopa (u formuli morate navesti ne godišnju stopu, već stopu podijeljenu sa 100).

Ako sredstva stavljate na razdoblje kraće od jedne godine, tada se, sukladno tome, godišnja kamatna stopa dijeli s 12 i množi s brojem mjeseci tijekom kojih su sredstva bila na bankovnom računu. Na primjer, ako je rok depozita 3 mjeseca, a kamatna stopa 10% godišnje, tada se ukupna dobit izračunava na sljedeći način: 0,1/12×3=0,025. Na primjer, ako ste stavili 50.000 rubalja na razdoblje od 3 mjeseca, tada će dobit na kraju ugovora biti sljedeća: 50.000 × 0,025 = 1.250 rubalja.

Formule za jednostavne i složene kamate

Složene kamate na depozite

Razlika između obične kamate i složene kamate zapravo je prilično velika. Prilikom odabira depozitnog proizvoda, svi su vjerojatno čuli za takav koncept kao što je kapitalizacija. To jest, ovo je shema obračunavanja dobiti, u kojoj se obračunata dobit dodaje tijelu depozita, a prihod se ponovno obračunava na njemu u budućnosti.

Imajte na umu da se kapitalizacija provodi s određenom učestalošću, na primjer, jednom tjedno, mjesečno, tromjesečje ili godišnje.

Iz ovoga možemo zaključiti da vam kapitalizacija omogućuje da dobijete više dobiti u usporedbi s jednostavnim kamatama. Da biste to jasno vidjeli, razmotrite formulu za izračun složenih kamata, a ona će izgledati ovako: B=(K×V×P/N)/100, Gdje:

• B je iznos obračunate dobiti;
• K – tijelo depozita;
• H- godišnja stopa;
• P je broj dana tijekom kojih se kapitalizacija odvija;
• N je broj dana u godini.

Da biste jasno razumjeli kako će se izračunati složene kamate. Razmotrimo jednostavan primjer. Iznos depozita je 50.000 rubalja, godišnja kamata je 7%, kapitalizacija se provodi mjesečno, ugovor vrijedi godinu dana. Izračunajmo dobit za prvi mjesec korištenja depozita: B=(50000×7×30/365)/100=287,6 rubalja – ovo je dobit za prvi mjesec. U sljedećem razdoblju izračun će izgledati ovako: B=(50287,6×7×31/365)/100=298,9 rubalja.

Iz gornjeg primjera možemo zaključiti da vam kapitalizacija omogućuje da dobijete više dobiti svaki mjesec u usporedbi s prethodnim. No, pri odabiru ponude depozita svakako obratite pozornost na to koliko se često kamata kapitalizira, što češće, to više koristi klijent dobiva.

Koja je razlika

Naime, sustav obračuna kamata na depozite uvelike se razlikuje, prvenstveno iz razloga što kapitalizacijom kamata korist od depozita može biti puno veća nego kod jednostavnog sustava. Jer kod jednostavnog sustava profit raste u aritmetičkoj progresiji, a kod složenog sustava u geometrijskoj progresiji. Da biste to jasno vidjeli, u nastavku je grafikon složenih kamata u usporedbi s grafikonom jednostavnih kamata.

Sustav složenih kamata naspram shema jednostavnih kamata

No, ovo pitanje ima i zamki. Uvjeti bankovnih depozita su strogo individualni, stoga pri odabiru depozitnog proizvoda prije svega obratite pozornost na broj razdoblja kapitalizacije za cijelo vrijeme trajanja ugovora. Na primjer, banka navodi da vaš ugovor o depozitu predviđa kapitalizaciju kamata, ali se ona provodi jednom svakih 6 mjeseci, odnosno prvi prihod dobit ćete šest mjeseci nakon sklapanja ugovora s bankom. U isto vrijeme, odlučili ste staviti sredstva samo na 3 mjeseca, odnosno dobit ćete svoja sredstva prije nego što banka kapitalizira kamatu, au ovom slučaju je primjerenije odabrati jednostavan izračun kamate na depozit.

Važno! Većina banaka nudi isto depozitna ponuda svojim klijentima da odaberu hoće li primati dobit određenom učestalošću ili da sebe smatraju tijelom depozita, odnosno, klijent ima priliku odabrati koji je sustav jednostavan ili složen, želi primati svoj prihod.

Zapravo, shvatiti koja je temeljna razlika između jednostavnih i složenih kamata prilično je jednostavna, ali ipak je nijansa u tome što banke u ugovoru ne navode koncepte kao što su jednostavne i složene kamate, svaki potencijalni deponent mora obratiti pozornost na sve uvjete ugovora . Ako je u ugovoru navedeno da se kamata plaća na kraju ugovora, prema tome, kapitalizacija prema takvom ugovoru nije predviđena.

Složena kamata se koristi u dugoročnim financijskim i kreditnim poslovima, ako se kamata ne plaća periodički odmah nakon obračuna za protekli vremenski interval, već se pribraja iznosu duga. Dodavanje obračunatih kamata na iznos koji je poslužio kao osnova za njihovo utvrđivanje često se naziva kapitalizacija postotak.

formula složenih kamata

Neka izvorni dug budeP, tada će u jednoj godini iznos duga s dodanim kamatama bitiP(1+ ja) , nakon 2 godine P(1+ ja)(1+ ja)= P(1+ ja) 2 , kroz n godine - P(1+ ja) n. Tako dobivamo obračunsku formulu za složenu kamatu

S=P(1+i)n, (19)

Gdje S- akumulirani iznosja- godišnja složena kamatna stopa,n- rok trajanja kredita (1+ ja) n- množitelj povećanja.

U praktičnim proračunima uglavnom se koriste diskretni postoci, tj. kamate obračunate za iste vremenske intervale (godina, polugodište, kvartal itd.). Složena kamata je rast prema zakonu geometrijske progresije, čiji je prvi član jednakP, i nazivnik (1+ ja).

Imajte na umu da je u to vrijemen<1 akumulacija prostih kamata daje veći rezultat od složenih kamata, a san>1 - obrnuto. To je lako vidjeti na konkretnim brojčanim primjerima. Najveći višak iznosa obračunate obične kamate nad iznosom obračunate složene kamate (po istim kamatnim stopama) ostvaruje se u središnjem dijelu razdoblja.

Formula složenih kamata
kada se stopa mijenja tijekom vremena

U slučaju kada se složena kamatna stopa mijenja tijekom vremena, obračunska formula ima sljedeći oblik

(20)

gdje je i 1 , i 2 ,..., i k - uzastopne vrijednosti kamatnih stopa koje su na snazi ​​tijekom razdoblja n1,n2,...,nk odnosno.

Primjer 6

Ugovorom je predviđeno promjenjiva stopa složene kamate, definirane kao 20% godišnje plus marža od 10% u prve dvije godine, 8% u trećoj godini, 5% u četvrtoj godini. Odredite vrijednost multiplikatora akumulacije za 4 godine.

Riješenje.

(1+0,3) 2 (1+0,28)(1+0,25)=2,704

Udvostručenje formule zbroja

Kako bi procijenio svoje izglede, zajmodavac ili dužnik može pitati: za koliko godina će se iznos zajma povećati zaNputa po danoj kamatnoj stopi. To je obično potrebno kada predviđate svoje mogućnosti ulaganja u budućnosti. Odgovor dobivamo izjednačavanjem faktora rasta s vrijednošćuN:

A) za prostu kamatu

(1+ nijednostavan.) = N, gdje

. (21)

B) za složene kamate

(1+ jakomplicirano) n= N, gdje

. (22)

Posebno se često koristiN=2. Tada se formule (21) i (22) nazivaju formulama za udvostručenje i imaju sljedeći oblik:

A) za prostu kamatu

, (23)

B) za složene kamate

. (24)

Ako je formulu (23) lako primijeniti za procjenu izračuna, onda formula (24) zahtijeva korištenje kalkulatora. Međutim, pri niskim kamatnim stopama (recimo, manje od 10%), umjesto toga može se koristiti jednostavnija aproksimacija. Lako ga je nabaviti, s obzirom na to ln 2  0,7, i ln (1+ i )  i . Zatim

n» 0,7/ ja. (25)

Primjer 7

Riješenje.

a) Kod proste kamate:

godine.

b) Sa složenim kamatama i točnom formulom:

Godine.

c) Sa složenim kamatama i približnom formulom:

n» 0,7/ ja\u003d 0,7 / 0,1 \u003d 7 godina.

Zaključci:

1) Ista vrijednost stope jednostavne i složene kamate dovodi do potpuno različitih rezultata.

2) Pri niskim složenim kamatnim stopama, točna i približna formula daju praktički iste rezultate.

Obračun godišnje kamate za razlomački broj godina

Uz razlomački broj godina, kamata se izračunava na različite načine:

1) Prema formuli složenih kamata

S=P(1+i)n, (26)

2) Na temelju mješovite metode, prema kojoj se složena kamata obračunava za cijele godine, a jednostavna kamata za frakcijske godine

S=P(1+i) a (1+bi), (27)

Gdje n= a+ b, aje cijeli broj godinabje razlomački dio godine.

3) U nizu poslovnih banaka primjenjuje se pravilo prema kojem se ne obračunavaju kamate za razdoblja kraća od razdoblja obračuna, tj.

S=P(1+i) a. (28)

Nominalne i efektivne kamatne stope

Nominalna stopa . Neka je godišnja složena kamatna stopaj, i broj razdoblja obračuna godišnjem. Tada se svaki put kamata obračunava po stopi j/m. Ponuda jnaziva nominalnim. Kamata se obračunava po nominalnoj stopi prema formuli:

S=P(1+j/m) N, (29)

Gdje N- broj razdoblja obračuna.

Ako se rok zajma mjeri malim brojem obračunskih razdoblja, tada namjednokratni obračun kamata godišnje, obračunati iznos može se izračunati na nekoliko načina, što dovodi do različitih rezultata:

1) Formula složenih kamata

S=P(1+j/m) N/t, (30)

Gdje N/ t- broj (eventualno razlomak) kamatnih razdoblja,t- razdoblje obračuna kamata,

2) Mješovita formula

, (31)

Gdje a- cijeli broj razdoblja obračuna (tj.a= [ N/ t] - cijeli broj dijeljenja cijelog roka kreditaNza razdoblje obračunat),

b- preostali dio razdoblja obračuna ( b= N/ t- a).

Primjer 8

Iznos kredita je 20 milijuna rubalja. Osigurano 28 mjeseci. Nominalna stopa je 60% godišnje. Kamata se obračunava kvartalno. Izračunajte obračunati iznos u tri situacije: 1) kada se složene kamate obračunavaju na razlomljeni dio, 2) kada se obične kamate obračunavaju na razlomljeni dio, 3) kada se zanemaruje razlomljeni dio. Usporedite rezultate.

Riješenje.

Kamata se obračunava kvartalno. Ukupno ima četvrtine.

1) = 73,713 milijuna rubalja.

2) = 73,875 milijuna rubalja

3) S=20(1+0,6/4) 9= 70,358 milijuna trljati .

Usporedbom akumuliranih iznosa vidimo da maksimalnu vrijednost postiže u drugom slučaju, tj. pri izračunavanju razlomačkog dijela proste kamate.

Efektivna stopa pokazuje koja godišnja složena kamatna stopa daje isti financijski rezultat kaom- jednokratno povećanje godišnje po stopij/ m.

Ako se kamata kapitaliziramjednom godišnje, svaki put sa stopomj/ m, tada, po definiciji, možemo napisati jednakost za odgovarajuće faktore rasta:

(1+iuh) n =(1+j/m) mn, (32)

Gdje jauhje efektivna stopa, ij- nominalno. Iz ovoga dobivamo da je odnos između efektivne i nominalne stope izražen relacijom

(33)

Inverzni odnos ima oblik

j=m[(1+iuh) 1/m -1].(34)

Primjer 9

Izračunajte efektivnu kamatnu stopu ako banka obračunava kamatu kvartalno, po nominalnoj stopi od 10% godišnje.

Riješenje

jauh=(1+0,1/4) 4 -1=0,1038, tj. 10,38%.

Primjer 10

Odredite koja bi trebala biti nominalna stopa za tromjesečno uračunavanje kamata kako bi se osigurala efektivna stopa od 12% godišnje.

Riješenje.

j=4[(1+0,12) 1/4 -1]=0,11495, tj. 11,495%.

Obračun (eskontiranje) po složenoj kamatnoj stopi

Ovdje će se, kao iu slučaju proste kamate, razmatrati dvije vrste računovodstva - matematičko i bankarsko.

Matematičko računovodstvo . U ovom slučaju problem se rješava obrnuto u odnosu na složenu kamatu. Zapišimo početnu formulu za prirast

S=P(1+i)n

i riješiti ga zaP

, (35)

Gdje

(36)

popust ili diskontni faktor.

Ako se obračunavaju kamatemjednom godišnje, dobivamo

, (37)

Gdje

(38)

multiplikator popusta.

vrijednost Pdobiveni diskontiranjemS, nazvao suvremeni ili Trenutna vrijednost ili dano veličina S. Zbrojevi P I Ssu ekvivalentne u smislu da plaćanje u iznosuS kroz ngodine jednaka je zbrojuPtrenutno plaćeno.

Razlika D= S- Pnazvao popust.

Bankovno računovodstvo. U ovom slučaju pretpostavlja se korištenje složene diskontne stope. Diskontiranje po složenoj diskontnoj stopi provodi se prema formuli

P=S(1-dsl)n, (39)

Gdje dsl- Složena godišnja diskontna stopa.

Popust u ovom slučaju iznosi

D=S-P=S-S(1-dsl) n = S.(40)

Kod korištenja složene diskontne stope, proces diskontiranja se odvija progresivnim usporavanjem, jer se diskontna stopa svaki put primjenjuje na iznos umanjen za prethodno razdoblje za iznos diskonta.

Nominalne i efektivne eskontne kamatne stope

Nominalna diskontna stopa . Kada se koristi diskontiranjemjednom godišnje, koristiti nominalna diskontna stopa f. Tada je u svakom razdoblju jednako 1/ mdijelu godine, diskontirano složenom diskontnom stopomf/ m. Postupak diskontiranja za ovo složeno računovodstvomjednom godišnje opisuje se formulom

P=S(1-f/m) N, (41)

Gdje N - ukupni broj razdoblja popusta (N= mn).

Popust nije jedno nego mjednom godišnje brže smanjuje diskontnu stopu.

Efektivna diskontna stopa. Pod efektivnom diskontnom stopom podrazumijeva se složena godišnja diskontna stopa, koja je ekvivalentna (prema financijski rezultati) nominalno primijenjeno za određeni broj popusta godišnjem.

U skladu s definicijom efektivne diskontne stope, njen odnos s nominalnom stopom nalazimo iz jednakosti diskontnih faktora

(1-f/m) mn =(1-dsl)n,

iz čega proizlazi da

dsl=1-(1-f/m) m. (42)

Imajte na umu da je efektivna diskontna stopa uvijek manja od nominalne.

Prirast po složenoj diskontnoj stopi. Povećanje je obrnuti problem za diskontne stope. Formule za razgraničenje po složenim diskontnim stopama mogu se dobiti rješavanjem odgovarajućih formula za diskontiranje (39 i 41) s obzirom naS. Dobivamo

iz P=S(1-d sl) n

, (43)

i od P= S(1- f/ m) N

. (44)

Primjer 11.

Koji iznos treba staviti na zadužnicu, ako je stvarno izdani iznos 20 milijuna rubalja, dospijeće je 2 godine. Račun se izračunava na temelju složene godišnje diskontne stope od 10%.

Riješenje.

milijuna rubalja

Primjer 12.

Riješite prethodni problem, pod uvjetom da se akumulacija po složenoj diskontnoj stopi provodi ne jednom, već 4 puta godišnje.

Riješenje.

milijuna rubalja

Akumulacija i diskontiranje

Obračunati iznos na diskretnu kamatu određuje se formulom

S= P(1+ j/ m) mn,

Gdje jje nominalna kamatna stopa, im- broj kamatnih razdoblja godišnje.

Više m, kraći su vremenski razmaci između trenutaka obračuna kamata. U granici kodm® ¥ imamo

S= lim P(1+j/m) mn =P lim [(1+j/m) m ] n . (45)

m ® ¥ m ® ¥

Poznato je da

lim (1+j/m) m =lim [(1+j/m) m/j ] j =e j,

m ® ¥ m ® ¥

Gdje eje baza prirodnih logaritama.

Koristeći ovo ograničenje u izrazu (45), konačno nalazimo da akumulirani iznos u slučaju kontinuiranog obračunavanja kamata po stopij jednako je

S= Pejn. (46)

Kako bismo razlikovali kontinuiranu kamatnu stopu od diskretnih kamatnih stopa, ona se naziva sila rasta i označava se simbolom d. Zatim

S=Pedn. (47)

Snaga rasta d predstavlja nominalna stopa posto nam® ¥ .

Diskontiranje na temelju kontinuiranih kamatnih stopa provodi se prema formuli

P=Se-dn. (48)

Odnos između diskretnih i kontinuiranih kamatnih stopa

Diskretne i kontinuirane kamatne stope su u funkcionalnom odnosu, zahvaljujući čemu je moguće izvršiti prijelaz s obračuna kontinuiranih na diskretne kamate i obrnuto. Formula za ekvivalentni prijelaz s jedne stope na drugu može se dobiti izjednačavanjem odgovarajućih akumulacijskih množitelja

(1+i)n=edn. (49)

Iz zapisane jednakosti proizlazi da

d = ul(1+ ja) , (50)

ja= ed-1 . (51)

Primjer 13

Godišnja složena kamatna stopa je 15%, što je ekvivalentna stopa rasta,

Riješenje.

Koristimo formulu (50)

d = ul(1+ ja)= ul(1+0,15)=0,13976,

oni. ekvivalentna sila rasta je 13,976%.

Izračun roka kredita i kamatnih stopa

U nizu praktičnih problema početni ( P ) i konačni (S ) iznosi su određeni ugovorom, a potrebno je odrediti ili rok plaćanja ili kamatnu stopu, koja u ovom slučaju može poslužiti kao mjera usporedbe s tržišnim pokazateljima i karakteristika isplativosti poslovanja za zajmodavca . Ove vrijednosti lako je pronaći iz izvornih formula povećanja ili popusta. Naime, u oba slučaja inverzni problem je u određenom smislu riješen.

Rok zajma

Prilikom izrade parametara ugovora i procjene vremena postizanja željenog rezultata, potrebno je odrediti trajanje operacije (rok kredita) kroz preostale parametre transakcije. Razmotrimo ovo pitanje detaljnije.

ja.

S=P(1+i)n

slijedi to

(52)

gdje se logaritam može uzeti u bilo kojoj bazi, jer je prisutan iu brojniku i u nazivniku.

mjednom godišnje od formule

S=P(1+j/m)mn

dobivamo

(53)

d. Iz formule

P=S(1-d)n

imamo (54)

m jednom godišnje. Iz

P=S(1-f/m)mn

dolazimo do formule

(55)

Kad se gradi na stalnoj sili rasta. Na temelju

S= Pedn

dobivamo

ul( S/ P)= d n. (56)

Obračun kamata

Iz istih početnih formula kao gore, dobivamo izraze za kamatne stope.

A) Kod izgradnje po složenoj godišnjoj stopija. Iz izvorne formule rasta

S=P(1+i)n

slijedi to

(57)

B) Kod povećanja po nominalnoj kamatnoj stopimjednom godišnje od formule

S=P(1+j/m)mn

dobivamo (58)

C) Kada se diskontiraju složenom godišnjom diskontnom stopomd. Iz formule

P=S(1-d)n

imamo (59)

D) Kada se diskontiraju po nominalnoj diskontnoj stopim jednom godišnje. Iz

P=S(1-f/m)mn

dolazimo do formule

(60)

E) Kada se gradi na stalnoj sili rasta. Na temelju

S= Pedn

dobivamo

(61)

Kamate i inflacija

Rezultat inflacije je pad kupovna moć novac, koji za razdobljenkarakteriziran indeksomJ n. Indeks kupovne moći jednaka je recipročnoj vrijednosti indeksa cijenaJp, tj.

J n=1/ Jp. (62)

Indeks cijenaPokazuje koliko su puta cijene porasle u određenom vremenskom razdoblju.

Obračun prostih kamata

Ako se poveća za n godine iznos novca jeS, a indeks cijena jeJp, tada je stvarno akumulirani iznos novca, uzimajući u obzir njihovu kupovnu moć, jednak

C=S/Jp. (63)

Neka je očekivana prosječna godišnja stopa inflacije (koja karakterizira porast cijena po godini) jednaka h . Tada će godišnji indeks cijena biti (1+ h).

Ako se povećanje izvrši po jednostavnoj stopi tijekomngodine, zatim realno povećanje po stopi inflacije h će biti

(64)

gdje općenito

(65)

a posebno pri stalnoj stopi rasta cijenah,

Jp =(1+h)n. (66)

Kamatna stopa koja kompenzira inflaciju kada se izračuna jednostavna kamata je

(67)

Jedan od načina da se kompenzira obezvrijeđenje novca je povećanje kamatne stope za iznos tzv. premija za inflaciju. Ovako prilagođena stopa naziva se bruto stopa. Bruto stopa koju ćemo označiti simbolomr, nalazi se iz jednakosti obračunskog multiplikatora bruto stope prilagođenog inflaciji obračunskog multiplikatora realne kamatne stope

(68)

gdje

(69)

Povećanje složenih kamata

Prošireno zajednički interes iznos do kraja razdoblja zajma, uzimajući u obzir pad kupovne moći novca (tj. u stalnim rubljima) bit će

(70)

gdje je indeks cijena određen izrazom (65) ili (66), ovisno o varijabilnosti ili konstantnosti stope inflacije.

U tom slučaju pad kupovne moći novca kompenzira se stopomja= h, osiguravajući jednakostC= P.

primijeniti dva načina nadoknade gubitaka od smanjenja kupovne moći novca pri obračunu složenih kamata.

A) Usklađivanje kamatne stope, duž koje se vrši prirast, za vrijednost premija za inflaciju. Kamatna stopa uvećana za inflacijsku premiju naziva se bruto stopa. Označit ćemo ga simbolomr. Uz pretpostavku da je godišnja stopa inflacijeh, možemo napisati jednakost odgovarajućih faktora rasta

(71)

Gdje ja- realna stopa.

Odavde dobivamo Fisherovu formulu

r=i+h+ih. (72)

Odnosno inflacijska premija jeh+ ih.

B) Indeksacija početnog iznosa P . U ovom slučaju iznosPprilagođeno prema kretanju unaprijed određenog indeksa. Zatim

S=PJ p (1+i) n. (73)

Lako je vidjeti da iu slučaju A) iu slučaju B) završavamo s istom formulom rasta (73). U njemu prva dva faktora s desne strane odražavaju indeksaciju početnog iznosa, a posljednja dva - prilagodbu kamatne stope.

Mjerenje realne kamatne stope

U praksi je potrebno riješiti i obrnuti problem – pronaći realnu kamatnu stopu u uvjetima inflacije. Iz istih omjera između multiplikatora akumulacije nije teško izvesti formule koje određuju stvarnu stopujapo danoj (ili oglašenoj) bruto stopi r .

Pri obračunu obične kamate godišnja realna kamatna stopa jednaka je

(74)

Pri izračunu složenih kamata stvarna kamatna stopa određena je sljedećim izrazom

(75)

Praktične primjene teorije

Razmotrimo neke praktične primjene teorije koju smo razmotrili. Pokažimo kako se gore dobivene formule primjenjuju u rješavanju stvarnih problema izračuna učinkovitosti nekih financijske transakcije Usporedimo različite metode izračuna.

Pretvorba valuta i obračun kamata

Razmotrite kombinaciju pretvorbe valuta (razmjene) i akumulacije jednostavna kamata, usporedite rezultate izravnog postavljanja dostupnih Novac u depozitima ili nakon prethodne zamjene za drugu valutu. Ukupno postoje 4 opcije za prikupljanje kamata:

1. Nema konverzije. Devizna sredstva polažu se kao devizni depozit, a početni iznos se uvećava za devizni tečaj direktnom primjenom formule proste kamate.

2. S pretvorbom. Početna valutna sredstva pretvaraju se u rublje, akumulacija je po tečaju rublje, na kraju operacije iznos u rubljama pretvara se natrag u izvornu valutu.

3. Nema konverzije. Iznos u rubljama polaže se u obliku depozita u rubljama, na koji se obračunavaju kamate po stopi rublje prema jednostavnoj kamatnoj formuli.

4. S pretvorbom. Iznos u rubljama pretvara se u određenu valutu koja se ulaže u devizni depozit. Kamata se obračunava po tečaju strane valute. Akumulirani iznos na kraju operacije pretvara se natrag u rublje.

Operacije bez konverzije nisu teške. Dva su izvora prihoda u operaciji obračuna dvostruke konverzije: obračun kamata i promjena tečaja. Štoviše, obračun kamata je bezuvjetni izvor (stopa je fiksna, inflacija se još ne uzima u obzir). Promjena tečaja može biti u jednom ili drugom smjeru, a može biti i jedan i drugi izvor dodatni prihod i dovesti do gubitaka. Zatim ćemo se posebno usredotočiti na dvije opcije (2 i 4), koje omogućuju dvostruku konverziju.

Prvo uvedimo sljedeću oznaku:

Pv- iznos depozita u stranoj valuti,

P r- iznos depozita u rubljima,

S v- akumulirani iznos u stranoj valuti,

S r- akumulirani iznos u rubljima,

K 0 - tečaj na početku transakcije (tečaj u rubljima)

K 1 - tečaj na kraju transakcije,

n- rok depozita,

ja- obračunska stopa za iznose u rubljama (kao decimalni razlomak),

j- stopa akumulacije za određenu valutu.

OPCIJA: VALUTA ® RUBLJE ® RUBLJE ® VALUTA

Operacija se sastoji od tri faze: zamjena valute za rublje, akumulacija iznosa u rubljama, obrnuto pretvaranje iznosa u rubljama u izvornu valutu. Obračunati iznos primljen na kraju transakcije u stranoj valuti bit će

.

Kao što vidite, tri faze operacije odražavaju se u ovoj formuli u obliku tri faktora.

Množitelj povećanja, uzimajući u obzir dvostruku konverziju, jednak je

,

Gdje k= K 1 / K 0 - stopu rasta tečaja za razdoblje operacije.

Vidimo da faktor rastamje linearno povezan sa stopomjai obrnuto s tečajem na kraju transakcijeK 1 (ili sa stopom rasta tečajak).

Teorijski proučavamo ovisnost ukupne profitabilnosti operacije dvostruke konverzije prema VALUTNOJ shemi® RUBLJA ® RUBLJA ® VALUTA iz odnosa konačnog i početnog tečajak .

Jednostavna godišnja kamatna stopa, koja karakterizira profitabilnost poslovanja u cjelini, jednaka je

.

Zamijenite u ovoj formuli prethodno napisani izraz zaS v

.

Dakle, s povećanjemk profitabilnostja ef pada duž hiperbole s asimptotom -1 / n . Pogledajte sl. 2.

Riža. 2.

Proučimo singularne točke ove krivulje. Imajte na umu da kadak =1 profitabilnost operacije jednaka je tečaju rublje, tj.ja ef = ja . Nak >1 ja ef < ja , i kadak <1 ja ef > ja . Na sl. 1 može se vidjeti, na nekoj kritičnoj vrijednostik , što ćemo označiti kaok * , isplativost (učinkovitost) operacije ispada jednaka nuli. Iz ravnopravnostija ef =0 nalazimo dak * =1+ ni , što pak značiK * 1 = K 0 (1+ ni ).

ZAKLJUČAK 1: Ako su očekivane vrijednostik iliK 1 prelazi njihove kritične vrijednosti, tada je operacija očito neprofitabilna (ja ef <0 ).

Sada definirajmo najveća dopuštena vrijednost tečaja na kraju operacije K 1 , pri čemu će učinkovitost biti jednaka postojećoj stopi na depozite u stranoj valuti, a korištenje dvostruke konverzije ne donosi nikakvu dodatnu pogodnost. Da bismo to učinili, izjednačavamo faktore povećanja za dvije alternativne operacije

.

Iz zapisane jednakosti proizlazi da

ili

.

ZAKLJUČAK 2: Valutni depozit putem konverzije u rublje je isplativiji od depozita u stranoj valuti ako se očekuje da će tečaj na kraju transakcije biti nižimaxK 1 .

OPCIJA: RUBLJA® VALUTA® VALUTA® RUBLJA

Razmotrimo sada opciju s dvostrukom konverzijom, kada postoji početni iznos u rubljima. U ovom slučaju, tri faze operacije odgovaraju trima faktorima sljedećeg izraza za akumulirani iznos

.

I ovdje multiplikator obračuna linearno ovisi o stopi, ali sada o valutnoj kamatnoj stopi. Linearno ovisi i o konačnom tečaju.

Provedimo teoretsku analizu učinkovitosti ove operacije s dvostrukom konverzijom i odredimo kritične točke.

.

Stoga, zamjenom izraza zaS r , dobivamo

.

Ovisnost pokazatelja učinkovitostija ef izk linearno, prikazano je na sl. 3

Riža . 3.

Na k=1 i ef =j , na k>1 i ef >j , na k<1 ja ef .

Nađimo sada kritičnu vrijednostk * , na kojemja ef =0 . Ispada jednako

ili .

ZAKLJUČAK 3: Ako su očekivane vrijednostik iliK 1 manje od njegovih kritičnih vrijednosti, tada je operacija očito neprofitabilna (ja ef <0 ).

Minimalna dopuštena vrijednostk (stopa rasta tečaja za cijelo razdoblje transakcije), koja osigurava istu profitabilnost kao izravni depozit u rubljima, određuje se izjednačavanjem obračunskih multiplikatora za alternativne transakcije (ili iz jednakostija ef = ja )

,

gdje min ilimin .

ZAKLJUČAK 4: Deponiranje iznosa u rubljama putem konverzije valuta isplativije je od depozita u rubljama ako se očekuje da će tečaj na kraju transakcije biti višiminK 1 .

Sada razmotrite kombinaciju pretvorbe valuta i akumulacije zajednički interes. Ograničit ćemo se na jednu opciju.

OPCIJA: VALUTA® RUBLJA® RUBLJA® VALUTAk =1 ja uh = ja , nak >1 ja uh < ja , i kadak <1 ja uh > ja .

kritična vrijednostk , kod koje je učinkovitost operacije jednaka nuli, tj.ja uh =0 ,

definirano kaok * =(1+ ja ) n , što znači da je prosječna godišnja stopa rasta tečaja jednaka godišnjoj stopi rasta tečaja rublje: .

ZAKLJUČAK 5: Ako su očekivane vrijednostik iliK 1 veća od svojih kritičnih vrijednosti, tada je razmatrana operacija s dvostrukom konverzijom očito neprofitabilna (ja uh <0 ).

Najveća dopuštena vrijednostk , pri čemu će povrat na operaciju biti jednak povratu na izravna ulaganja u stranoj valuti po stopi

Prikaz financijske transakcije

Financijske ili kreditne operacije uključuju ravnotežu ulaganja i povrata. Pojam ravnoteže može se objasniti na grafikonu.

Riža. 5.

Neka iznos kreditaD 0 izdaje se na određeno razdobljeT . Tijekom tog razdoblja, na primjer, vrše se dva međuplaćanja za otplatu dugaR 1 IR 2 , a na kraju roka plaća se ostatak dugaR 3 balansiranje operacije.

Na vremenskom intervalut 1 dug raste doD 1 . U trenutkut 1 dug je sveden naK 1 = D 1 - R 1 itd. Operacija završava tako što vjerovnik primi ostatak dugaR 3 . U ovom trenutku dug je u potpunosti otplaćen.

Nazovimo graf tipa b) nacrt financijske transakcije. Uravnotežena operacija nužno ima zatvorenu petlju, tj. posljednja uplata u potpunosti pokriva ostatak duga. Nacrt transakcije obično se primjenjuje kada se dug otplaćuje s djelomičnim milestone isplatama.

Uz pomoć uzastopnih djelomičnih plaćanja ponekad se otplaćuju kratkoročne obveze. U ovom slučaju postoje dvije metode za obračun kamata i utvrđivanje stanja duga. Prvi se zove aktuarski a uglavnom se koristi u transakcijama s rokom preko godinu dana. Druga metoda je tzv trgovačko pravilo. Obično ga koriste komercijalne tvrtke u transakcijama s rokom ne više od godinu dana.

Komentar: Pri obračunu kamata u pravilu se koristi obična kamata s okvirnim brojem dana vremenskih razdoblja.

aktuarska metoda

Aktuarska metoda uključuje sekvencijalni obračun kamata na stvarni iznos duga. Djelomično plaćanje prvenstveno ide za otplatu kamate obračunate na dan plaćanja. Ako iznos uplate premašuje iznos obračunate kamate, tada razlika ide za otplatu glavnice duga. Nepodmireno stanje duga služi kao osnova za obračun kamata za naredno razdoblje i sl. Ako je djelomična uplata manja od obračunate kamate, tada se ne vrše prijeboji u iznosu duga. Ovaj prihod se dodaje sljedećoj uplati.

Za slučaj prikazan na sl. 5 b), dobivamo sljedeće obračunske formule za određivanje stanja duga:

K1=D0(1+t1i)-R1; K2 =K1(l+t2i)-R2; K2 (1+t 3 i)-R 3 \u003d 0,

gdje vremenska razdobljat 1 , t 2 , t 3 - dani su u godinama i kamatnoj stopija - godišnji.

Pravilo trgovca

Pravilo trgovca još je jedan pristup obračunu rata. Ovdje su moguće dvije situacije.

1) Ako rok kredita ne prelazi, iznos duga s obračunatom kamatom za cijeli rok ostaje nepromijenjen do potpune otplate. Istodobno dolazi do akumulacije djelomičnih uplata na koje se obračunavaju kamate do kraja roka.

2) U slučaju kada je razdoblje dulje od godinu dana, gore navedeni izračuni se rade za godišnji razdoblje duga. Na kraju godine, akumulirani iznos akumuliranih djelomičnih plaćanja oduzima se od iznosa duga. Ostatak se isplaćuje sljedeće godine.

S ukupnim rokom zajmaT £ 1 algoritam se može napisati na sljedeći način

,

GdjeS - stanje duga na kraju roka,

D - akumulirani iznos duga,

K - akumulirani iznos uplata,

Rj - iznos djelomičnog plaćanja,

tj - vremenski interval od trenutka uplate do isteka roka,

m - broj djelomičnih (među) uplata.

Varijabilni iznos fakture i obračun kamata

Razmotrite situaciju u kojoj je otvoren štedni račun u banci, a iznos računa se mijenja tijekom razdoblja pohrane: sredstva se povlače, vrše se dodatni prilozi. Zatim se u bankarskoj praksi pri obračunu kamata često koristi metoda obračuna s obračunom tzv. postotni brojevi. Svaki put kada se stanje računa promijeni, izračunava se postotakCj za proteklo razdobljej , tijekom kojeg je iznos na računu ostao nepromijenjen, prema formuli

,

Gdjetj - trajanjej -to razdoblje u danima.

Za određivanje iznosa obračunate kamate za cijelo razdoblje zbrajaju se sve kamate i njihov se iznos dijeli stalnim djeliteljemD :

,

GdjeK - vremenska baza (broj dana u godini, tj. 360 ili 365 ili 366),ja - godišnja stopa obične kamate (u %).

Prilikom zatvaranja računa vlasnik će dobiti iznos u visini zadnje vrijednosti iznosa na računu plus iznos kamate.

Primjer 14

Pretpostavimo da je 20. veljače otvoren račun po viđenju u iznosu odP 1 \u003d 3000 rubalja, kamatna stopa na depozit bila je jednakaja =20% godišnje. Dodatni depozit na račun bio jeR 1 = 2000 rub. a napravljena je 15. kolovoza. Isplata s računa u iznosuR 2 = -4000 rub. evidentirano 1. listopada, a 21. studenog račun je zatvoren. Potrebno je utvrditi visinu kamate i ukupni iznos koji prima deponent po zatvaranju računa.

Riješenje.

Izračun će se provesti prema shemi (360/360). Tri su razdoblja u kojima je iznos na računu ostao nepromijenjen: od 20. veljače do 15. kolovoza (P 1 =3000, t 1 \u003d 10 + 5 * 30 + 15 \u003d 175), od 15. kolovoza do 1. listopada (P 2 = P 1 + R 1 \u003d 3000 + 2000 \u003d 5000 rubalja,t 2

Iznos koji se plaća pri zatvaranju računa jednak je

P3 +I=1000+447.22=1447 trljati. 22 policajac.

Sada ćemo pokazati povezanost ove tehnike s formulom jednostavne kamate. Razmotrite gornji primjer u algebarskom obliku.

CUmmet plaćen po zatvaranju računa nalazimo kako slijedi

Tako smo dobili izraz iz kojeg proizlazi da se za svaki iznos koji je dodan ili podignut s računa zaračunava kamata od trenutka izvršenja odgovarajuće transakcije do zatvaranja računa. Ova shema slijedi pravilo trgovca opisano u odjeljku 6.2.

Promjena uvjeta ugovora

U praksi često postaje potrebno promijeniti uvjete ugovora: na primjer, dužnik može zatražiti odgodu dospijeća duga ili, naprotiv, izraziti želju da ga vrati prije roka, u nekim slučajevima može postojati potreba za spajanjem (konsolidacijom) više dužničkih obveza u jednu, itd. U svim ovim slučajevima primjenjuje se načelo financijske ekvivalentnosti starih (zamijenjenih) i novih (zamjenskih) obveza. Za rješavanje problema promjene uvjeta ugovora, tzv jednadžba ekvivalencije, u kojem je iznos zamjenskih plaćanja, usklađen na bilo koju točku u vremenu, jednak iznosu plaćanja na novu obvezu, prilagođen na isti datum. Za kratkoročne ugovore primjenjuju se obične kamatne stope, dok se za srednjoročne i dugoročne ugovore primjenjuju složene kamatne stope.

Ljudi su u svakom trenutku razmišljali o svojoj budućnosti. Trudili su se i pokušavaju zaštititi sebe i svoju djecu i unuke od financijskih nedaća, gradeći barem mali otočić povjerenja u budućnost. Počevši ga graditi sada uz pomoć malih bankovnih depozita, možete osigurati stabilnost i neovisnost u budućnosti.

Osnovno načelo bankarskog poslovanja je da se novčana sredstva mogu povećavati samo kada su u stalnom optjecaju. Kako bi klijenti mogli pouzdano ploviti u području financijskih usluga i mogli odabrati prave uvjete koji su im korisni u određenom vremenskom razdoblju, morate znati niz jednostavnih pravila. Ovaj će se članak usredotočiti na dugoročna ulaganja koja omogućuju određeni broj godina od relativno malog iznosa početnog kapitala da se dobije značajna dobit ili da se depozit dalje koristi, povlačeći dospjele za svakodnevne potrebe.

Za točan izračun dobiti potrebno je izvršiti jednostavne aritmetičke operacije temeljene na niže navedenim formulama.

Formula složenih kamata (izračunava se u godinama)

Na primjer, odlučili ste staviti 100.000,00 rubalja. na 11% godišnje kako bi kroz 10 godina iskoristili štednju koja je kapitalizacijom značajno porasla. Za izračun ukupnog iznosa treba primijeniti metodu obračuna složenih kamata.

Korištenje složene kamate podrazumijeva da se na kraju svakog razdoblja (godina, tromjesečje, mjesec) obračunata dobit dodaje doprinosu. Dobiveni iznos temelj je za naknadno povećanje dobiti.

Za izračun složenih kamata koristimo jednostavnu formulu:

• S - ukupni iznos ("tijelo" depozita + kamata) koji treba vratiti deponentu po isteku depozita;
• P je početna vrijednost doprinosa;
• n - ukupan broj operacija kapitalizacije kamata za cijelo razdoblje prikupljanja sredstava (u ovom slučaju odgovara broju godina);
• I je godišnja kamatna stopa.

Zamjenom vrijednosti u ovu formulu vidimo da:

nakon 5 godina iznos će biti trljati.,

i bit će za 10 godina trljati.

Ako smo izračunali za kratko razdoblje, tada bi bilo prikladnije izračunati složenu kamatu pomoću formule

• K je broj dana u tekućoj godini,
• J je broj dana u razdoblju nakon kojeg banka kapitalizira obračunatu kamatu (ostale oznake su iste kao u prethodnoj formuli).

Ali za one kojima je prikladnije povlačiti kamate na depozit na mjesečnoj bazi, bolje je upoznati se s konceptom "Kapitalizacija depozita", što podrazumijeva obračun obične kamate.

Grafikon pokazuje kako će kapital rasti kada se kapitaliziraju kamate na depozit, ako uložite 100.000,00 rubalja. na 10 godina na 10%, 15% i 20%

Formula složenih kamata (izračunato u mjesecima)

Postoji još jedan, isplativiji za klijenta način obračunavanja i dodavanja kamatne stope - mjesečno. Za to se primjenjuje sljedeća formula:

gdje n također odgovara broju transakcija kapitalizacije, ali je već izražen u mjesecima. Ovdje se postotak dodatno dijeli s 12 jer godina ima 12 mjeseci, a treba izračunati mjesečnu kamatu.

Kada bi se ova formula koristila za tromjesečni obračun depozita, tada bi se godišnji postotak podijelio sa 4, a pokazatelj n bio bi jednak broju kvartala, a kada bi se kamata računala po polugodištima, tada bi kamata stopa bi se podijelila s 2, a oznaka n bi odgovarala broju polugodišta.

Dakle, ako smo dali doprinos u iznosu od 100.000,00 rubalja. s mjesečnom kapitalizacijom kamata, zatim:

nakon 5 godina (60 mjeseci) iznos depozita bi narastao na 172.891,57 rubalja, što je otprilike 10.000 rubalja. više nego u slučaju godišnje kapitalizacije depozita; trljati.

i nakon 10 godina (120 mjeseci)“akumulirani” iznos bi iznosio 298.914,96 rubalja, što je već za čak 15.000 rubalja. premašuje brojku izračunatu pomoću formule složenih kamata, koja predviđa izračun u godinama.

trljati.

To znači da je prinos na mjesečnu kamatu veći nego na godišnju kamatu. A ako se dobit ne povuče, onda složena kamata ide u korist deponenta.

Formula složene kamate za bankovne depozite

Gore opisane formule složenih kamata najvjerojatnije su ilustrativni primjeri za klijente da razumiju kako se izračunavaju složene kamate. Ovi izračuni su nešto jednostavniji od formula koju banke primjenjuju na stvarne bankovne depozite.

Jedinica koja se ovdje koristi je koeficijent kamatne stope za depozit (p). Izračunava se ovako:

Složena kamata ("akumulirani" iznos) za bankovne depozite izračunava se pomoću sljedeće formule:

Na temelju toga i uzimajući iste podatke kao primjer, izračunat ćemo složenu kamatu bankovnom metodom.

Prvo određujemo koeficijent kamatne stope za depozit:

Sada zamijenimo podatke u glavnoj formuli:

trljati. - ovo je iznos depozita koji "raste" tijekom 5 godina *;

trljati. – na 10 godina*.

*Izračuni u primjerima su približni jer ne uzimaju u obzir prijestupne godine i različite brojeve dana u mjesecu.

Usporedimo li iznose iz ova dva primjera s prethodnima, onda su oni nešto manji, ali je ipak korist od kapitalizacije kamata očita. Stoga, ako ste odlučni staviti novac u banku na duže vrijeme, onda je bolje napraviti preliminarni izračun dobiti pomoću formule "bankarstvo" - to će vam pomoći da izbjegnete razočaranje.