Potpuni i smanjeni sustav odbitaka. Vasilisa Yaviks je inteligentna tražilica. sutra je već tu! Osnovne informacije iz teorije

Kao što je prikazano u §5, relacija usporedivosti modulo m ima svojstva refleksivnosti, simetrije i tranzitivnosti; stoga je to relacija ekvivalencije. Uzmimo proizvoljan cijeli broj a. Označimo s o skup brojeva usporediv s modulom m: Neka. Neka bude sada. I tako dalje. Proces će se nastaviti sve dok konstruirani skupovi ne pokriju cijeli skup cijelih brojeva. U tom slučaju nastaje podjela skupa Z na skupove a. b, c,..koji se nazivaju klasama ostataka po modulu m; svaki broj uključen u bilo koju od klasa naziva se ostatak ove klase. Broj klasa ostataka po modulu m jednak je m. Doista, ostatak dijeljenja cijelog broja s m poprima jednu od vrijednosti m - 2 ili m - 1 i stoga svaki od brojeva spada u jednu od klasa 01, čiji je broj jednak m. Uzimajući po jedan broj iz svake klase ostataka dobivamo sustav predstavnika klasa ostataka, odnosno potpuni sustav ostataka po modulu m. Primjer 1. Razni potpuni sustavi ostataka modul 7: Lema 3. Brojevi xm tvore potpuni sustav rezidua po modulu m ako i samo ako su u parovima neusporedivi po modulu m. Dokažimo dostatnost. Ako dva broja nisu usporediva po modulu, tada spadaju u različite klase ostataka. Budući da postoji ukupno m klasa ostataka i da su brojevi koji se razmatraju mn, oni čine potpuni sustav ostataka. Lema 4. Neka je xm potpuni sustav ostataka po modulu m, cijeli broj a jednako prost s m, b proizvoljan cijeli broj. Tada i brojevi axi + 6, ax2 + b, ..axm -f b tvore potpuni sustav ostataka. Skup smanjenih odbitaka iz različitih klasa odbitaka naziva se reducirani sustav odbitaka. Primjer 2. Za m = 7 reducirani sustav ostataka može izgledati ovako: Sustavi ostataka Eulerova funkcija (p(t) je broj prirodnih brojeva koji ne prelaze m i međusobno su jednostavni na m. Na primjer, . Lako je vidjeti da ako je p prost broj, Očito je da reducirani sustav ostataka po modulu m sadrži brojeve. Neka je a relativno jednostavan reducirani sustav ostataka po modulu m također tvore reducirani sustav ostataka po modulu 4 Budući da su brojevi o i X( međusobno prosti s m, njihov umnožak ax* ima isto svojstvo. Prema lemi 4, brojevi ax\, ax2,... pripadaju različitim klasama. ostataka, pa prema tome, zahvaljujući prethodnom, tvore reducirani sustav ostataka.

Modulo rezidualni prsten n označavaju ili. Njegova multiplikativna grupa, kao u općem slučaju grupa invertibilnih elemenata prstena, označava se sa ∗ × × .

Najjednostavniji slučaj

Da biste razumjeli strukturu grupe, možete razmotriti poseban slučaj , gdje je prost broj, i generalizirati ga. Razmotrimo najjednostavniji slučaj kada je , to jest .

Teorem: - ciklička grupa.

Primjer : Razmislite o grupi

= (1,2,4,5,7,8) Generator grupe je broj 2. ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ Kao što vidimo, bilo koji element grupe može se prikazati u obliku , gdje je ≤ℓφ . Odnosno, grupa je ciklička.

Opći slučaj

Za razmatranje općeg slučaja potrebno je definirati primitivni korijen. Primitivni korijen modulo prosti broj je broj koji, zajedno sa svojom klasom ostataka, generira grupu.

Primjeri: 2 11 ; 8 - primitivni modulo korijen 11 ; 3 nije primitivan korijen modulo 11 .

U slučaju cijelog modula, definicija je ista.

Struktura grupe određena je sljedećim teoremom: Ako je p neparan prost broj i l pozitivan cijeli broj, tada postoje primitivni korijeni modulo , to jest ciklička grupa.

Primjer

Zadani sustav modulo ostataka sastoji se od klasa ostataka: . S obzirom na množenje definirano za klase ostataka, one čine grupu, a također su međusobno inverzne (tj. ⋅ ), a također su i njihov inverz.

Struktura grupe

Oznaka znači "ciklička grupa reda n".

Struktura grupe (Z/ n Z) ×

	×	φ	λ	Grupni generator			×	φ	λ	Grupni generator			×	φ	λ	Grupni generator			×	φ	λ	Grupni generator
1	C 1	1	1	0		33	C 2 × C 10	20	10	2, 10		65	C 4 × C 12	48	12	2, 12		97	C 96	96	96	5
2	C 1	1	1	1		34	C 16	16	16	3		66	C 2 × C 10	20	10	5, 7		98	C 42	42	42	3
3	C 2	2	2	2		35	C 2 × C 12	24	12	2, 6		67	C 66	66	66	2		99	C 2 × C 30	60	30	2, 5
4	C 2	2	2	3		36	C 2 × C 6	12	6	5, 19		68	C 2 × C 16	32	16	3, 67		100	C 2 × C 20	40	20	3, 99
5	C 4	4	4	2		37	C 36	36	36	2		69	C 2 × C 22	44	22	2, 68		101	C 100	100	100	2
6	C 2	2	2	5		38	C 18	18	18	3		70	C 2 × C 12	24	12	3, 69		102	C 2 × C 16	32	16	5, 101
7	C 6	6	6	3		39	C 2 × C 12	24	12	2, 38		71	C 70	70	70	7		103	C 102	102	102	5
8	C 2 × C 2	4	2	3, 5		40	C 2 × C 2 × C 4	16	4	3, 11, 39		72	C 2 × C 2 × C 6	24	6	5, 17, 19		104	C 2 × C 2 × C 12	48	12	3, 5, 103
9	C 6	6	6	2		41	C 40	40	40	6		73	C 72	72	72	5		105	C 2 × C 2 × C 12	48	12	2, 29, 41
10	C 4	4	4	3		42	C 2 × C 6	12	6	5, 13		74	C 36	36	36	5		106	C 52	52	52	3
11	C 10	10	10	2		43	C 42	42	42	3		75	C 2 × C 20	40	20	2, 74		107	C 106	106	106	2
12	C 2 × C 2	4	2	5, 7		44	C 2 × C 10	20	10	3, 43		76	C 2 × C 18	36	18	3, 37		108	C 2 × C 18	36	18	5, 107
13	C 12	12	12	2		45	C 2 × C 12	24	12	2, 44		77	C 2 × C 30	60	30	2, 76		109	C 108	108	108	6
14	C 6	6	6	3		46	C 22	22	22	5		78	C 2 × C 12	24	12	5, 7		110	C 2 × C 20	40	20	3, 109
15	C 2 × C 4	8	4	2, 14		47	C 46	46	46	5		79	C 78	78	78	3		111	C 2 × C 36	72	36	2, 110
16	C 2 × C 4	8	4	3, 15		48	C 2 × C 2 × C 4	16	4	5, 7, 47		80	C 2 × C 4 × C 4	32	4	3, 7, 79		112	C 2 × C 2 × C 12	48	12	3, 5, 111
17	C 16	16	16	3		49	C 42	42	42	3		81	C 54	54	54	2		113	C 112	112	112	3
18	C 6	6	6	5		50	C 20	20	20	3		82	C 40	40	40	7		114	C 2 × C 18	36	18	5, 37
19	C 18	18	18	2		51	C 2 × C 16	32	16	5, 50		83	C 82	82	82	2		115	C 2 × C 44	88	44	2, 114
20	C 2 × C 4	8	4	3, 19		52	C 2 × C 12	24	12	7, 51		84	C 2 × C 2 × C 6	24	6	5, 11, 13		116	C 2 × C 28	56	28	3, 115
21	C 2 × C 6	12	6	2, 20		53	C 52	52	52	2		85	C 4 × C 16	64	16	2, 3		117	C 6 × C 12	72	12	2, 17
22	C 10	10	10	7		54	C 18	18	18	5		86	C 42	42	42	3		118	C 58	58	58	11
23	C 22	22	22	5		55	C 2 × C 20	40	20	2, 21		87	C 2 × C 28	56	28	2, 86		119	C 2 × C 48	96	48	3, 118
24	C 2 × C 2 × C 2	8	2	5, 7, 13		56	C 2 × C 2 × C 6	24	6	3, 13, 29		88	C 2 × C 2 × C 10	40	10	3, 5, 7		120	C 2 × C 2 × C 2 × C 4	32	4	7, 11, 19, 29
25	C 20	20	20	2		57	C 2 × C 18	36	18	2, 20		89	C 88	88	88	3		121	C 110	110	110	2
26	C 12	12	12	7		58	C 28	28	28	3		90	C 2 × C 12	24	12	7, 11		122	C 60	60	60	7
27	C 18	18	18	2		59	C 58	58	58	2		91	C 6 × C 12	72	12	2, 3		123	C 2 × C 40	80	40	7, 83
28	C 2 × C 6	12	6	3, 13		60	C 2 × C 2 × C 4	16	4	7, 11, 19		92	C 2 × C 22	44	22	3, 91		124	C 2 × C 30	60	30	3, 61
29	C 28	28	28	2		61	C 60	60	60	2		93	C 2 × C 30	60	30	11, 61		125	C 100	100	100	2
30	C 2 × C 4	8	4	7, 11		62	C 30	30	30	3		94	C 46	46	46	5		126	C 6 × C 6	36	6	5, 13
31	C 30	30	30	3		63	C 6 × C 6	36	6	2, 5		95	C 2 × C 36	72	36	2, 94		127	C 126	126	126	3
32	C 2 × C 8	16	8	3, 31		64	C 2 × C 16	32	16	3, 63		96	C 2 × C 2 × C 8	32	8	5, 17, 31		128	C 2 × C 32	64	32	3, 127

Primjena

Na težini, Farma, Hooley, . Waring je formulirao Wilsonov teorem, a Lagrange ga je dokazao. Euler je predložio postojanje primitivnih korijena po modulu prostog broja. Gauss je to dokazao. Artin je iznio svoju hipotezu o postojanju i kvantifikaciji prostih brojeva, po modulu kojih je dani cijeli broj primitivni korijen. Brouwer je pridonio problemu postojanja skupova uzastopnih cijelih brojeva, od kojih je svaki k-ta potencija mod p. Bilharz je dokazao analogiju Artinove pretpostavke. Hooley je dokazao Artinovu pretpostavku pretpostavljajući valjanost proširene Riemannove hipoteze u poljima algebarskih brojeva.

Bilješke

Književnost

• Ireland K., Rosen M. Klasičan uvod u modernu teoriju brojeva. - M.: Mir, 1987.
• Alferov A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. Čeremuškin A.V. Osnove kriptografije. - Moskva: “Helios ARV”, 2002.
• Rostovcev A.G., Makhovenko E.B. Teorijska kriptografija. - St. Petersburg: NPO "Professional", 2004.

Obično kao potpuni sustav odbitaka po modulu m uzimaju se najmanji nenegativni ostaci

0,1,...,m − 1

ili apsolutno najmanji odbici koji se sastoje od brojeva

,

u slučaju ak m i brojevima

u slučaju čak m .

Vidi također

Književnost

• I. M. Vinogradov Osnove teorije brojeva. - M.-L.: Država. izd. tehnička i teorijska literatura, 1952. - 180 str.

Zaklada Wikimedia.

2010.

Pogledajte što je "Puni sustav odbitaka" u drugim rječnicima:

Modulo m, bilo koja zbirka cijelih brojeva koja sadrži jedan broj iz svake klase brojeva po modulu m (dva cijela broja a i b pripadaju istoj klasi po modulu m ako je a b djeljiv s m; vidi Redukcija). Kao P. s. V. češće…… Modulo je bilo koji skup cijelih brojeva koji su međusobno neusporedivi modulo. Obično kao P. s. V. modulo najmanjih nenegativnih ostataka 0, 1, . . ., m 1 ili apsolutno najmanji ostaci, koji se sastoje od brojeva 0, +1, . . ., V… …

Matematička enciklopedija Dio potpunog sustava ostataka (vidi Cjeloviti sustav ostataka), koji se sastoji od brojeva koji su prosti s modulom m. p.s. V. sadrži φ(m) brojeva [φ(m) broj brojeva koji su prosti s m i manji su od m]. Bilo koji φ(m) brojevi koji nisu usporedivi po modulu m i... ...

Velika sovjetska enciklopedija

U teoriji brojeva, usporedba [razjasniti] modulo prirodnog broja n, relacija ekvivalencije na skupu cijelih brojeva specificiranih označenim brojem, povezana s djeljivošću njime. Faktorski prostor u ovoj relaciji naziva se “prsten” ... ... Wikipedia

Simetrija snježne pahulje povezana je s grupom rotacija za kut koji je višekratnik od 60°. Konačna grupa je algebarska grupa koja sadrži konačan broj elemenata (taj se broj naziva njezin red). Nadalje, pretpostavlja se da je grupa multiplikativna, odnosno operacija u ... ... Wikipediji

Funkcija k može se prikazati potencijskim redom. Eliminira važnost klase A. f. je definiran na sljedeći način. Prvo, ova je klasa prilično široka: pokriva većinu funkcija koje se susreću u osnovnim pitanjima matematike i njezinih... ... Modulo je bilo koji skup cijelih brojeva koji su međusobno neusporedivi modulo. Obično kao P. s. V. modulo najmanjih nenegativnih ostataka 0, 1, . . ., m 1 ili apsolutno najmanji ostaci, koji se sastoje od brojeva 0, +1, . . ., V… …

I Sadržaj: I. Pučka pučka nastava uopće. II. Osnovno javno obrazovanje u inozemstvu: Austro-Ugarska, Engleska, Belgija, Bugarska, Njemačka, Nizozemska, Danska, Španjolska, Italija, Norveška, Portugal, Rumunjska, Srbija, ... ... Enciklopedijski rječnik F.A. Brockhaus i I.A. Ephron

- - rođen 26. svibnja 1799. u Moskvi, u Nemetskoj ulici u kući Skvorcova; preminuo 29. siječnja 1837. u Petrogradu. Puškin je s očeve strane pripadao staroj plemićkoj obitelji koja je, prema genealogijama, potjecala od potomka "iz ... ... Velika biografska enciklopedija

Skup zatvorenih formula predikatske logike 1. stupnja. E. t. Th(K) algebarski sustavi potpisa tzv. skup svih zatvorenih formula logike predikata 1. stupnja signature istinit na svim sustavima iz klase K. Ako klasa... ... Modulo je bilo koji skup cijelih brojeva koji su međusobno neusporedivi modulo. Obično kao P. s. V. modulo najmanjih nenegativnih ostataka 0, 1, . . ., m 1 ili apsolutno najmanji ostaci, koji se sastoje od brojeva 0, +1, . . ., V… …

U prethodnom paragrafu je navedeno da je omjer  m usporedivost po modulu arbitrary m je relacija ekvivalencije na skupu cijelih brojeva. Ova relacija ekvivalencije inducira particiju skupa cijelih brojeva u klase elemenata koji su međusobno ekvivalentni, tj. brojevi koji kada se dijele sa m identične bilance. Broj klasa ekvivalencije  m(stručnjaci će reći - „indeks ekvivalencije  m") potpuno je jednak m.

Definicija. Bilo koji broj iz klase ekvivalencije  m nazvat ćemo ga modulo ostatak m. Skup odbitaka uzetih po jedan iz svake klase ekvivalencije  m, naziva se potpuni sustav modulo ostataka m(u kompletnom sustavu odbitaka, dakle, postoji samo m brojeva). Sami ostaci kada se dijele sa m nazivaju se najmanji nenegativni ostaci i, naravno, tvore potpuni sustav modulo ostataka m. Odbitak ρ naziva se apsolutno najmanjim ako je ⎪ ρ ⎪ najmanji među modulima rezidua ove klase.

Primjer: Neka m= 5. Zatim:

0, 1, 2, 3, 4 - najmanji nenegativni ostaci;

2, -1, 0, 1, 2 su apsolutno najmanji odbici.

Oba zadana skupa brojeva tvore potpune sustave ostataka po modulu 5.

Lema 1. 1) Bilo koji m komadi koji nisu usporedivi po modulu m brojevi tvore potpuni sustav modulo ostataka m.

2) Ako A I m su relativno jednostavni, i x prolazi kroz cijeli sustav modulo ostataka m, zatim vrijednosti linearnog oblika Ax + b, Gdje b– bilo koji cijeli broj, također prolazi kroz cijeli sustav modulo ostataka m.

Dokaz. Tvrdnja 1) je očita. Dokažimo tvrdnju 2) Brojevi Ax+b glatka m stvari. Pokažimo da nisu usporedivi po modulu m. Pa neka bude za neke drugačije x 1 i x 2 iz cjelovitog sustava odbitaka pokazalo se da sjekira 1 + b ≡ sjekira 2 + b(mod m). Tada, prema svojstvima usporedbi iz prethodnog odlomka, dobivamo:

sjekira 1 ≡ sjekira 2 (mod m)

x 1 ≡ x 2 (mod m)

- kontradikcija s činjenicom da x 1 i x 2 su različiti i uzeti iz cjelovitog sustava odbitaka.

Budući da svi brojevi iz zadane klase ekvivalencije  m dobivaju se iz jednog broja dane klase zbrajanjem broja koji je višekratnik m, tada svi brojevi iz ove klase imaju modul m isti najveći zajednički djelitelj. Iz nekih razloga, od povećanog interesa su oni odbici koji imaju uz modul m najveći zajednički djelitelj jednak jedan, tj. ostaci koji su prosti s modulom.

Definicija. Reducirani sustav modulo odbitaka m je skup svih ostataka iz kompletnog sustava koji su prosti s modulom m.

Reducirani sustav obično se bira između najmanjih nenegativnih ostataka. Jasno je da zadani sustav modulo ostataka m sadrži ϕ (m) komada odbitaka, gdje ϕ (m) – Eulerova funkcija – broj brojeva manji od m i međusobno prime sa m.

Eulerova funkcija.

Eulerova funkcija ϕ (a) je broj brojeva iz niza 0, 1, 2,..., a–1, koprim s a.

Lema. Neka

T
kada:

posebno, φ( str α) = str α – strα -1 , φ( str) = str–1.

Primjer. Neka m= 42. Tada je zadani sustav ostataka:

1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

Lema 2. 1) Bilo koji ϕ (m) brojevi koji su u parovima neusporedivi po modulu m i koprime s modulom, tvore reducirani sustav modulo ostataka m.

2) Ako d(a, m) = 1 i x prolazi kroz reducirani sustav modulo ostataka m, To Ax također prolazi kroz reducirani sustav modulo ostataka m.

Dokaz. Tvrdnja 1) je očita. Dokažimo tvrdnju 2). Brojke Ax su parno neusporedivi (ovo je dokazano na isti način kao u lemi 1 ovog odlomka), postoje točno ϕ (m) stvari. Također je jasno da su svi oni relativno prosti prema modulu, jer d(a, m)=1, d(x,m)=1 ⇒ d(sjekira, m)=1. Dakle, brojke Ax tvore reducirani sustav ostataka.

Lema 3. Neka m 1 , m 2 , ..., m k – su po paru relativno prosti i m 1 m 2 ...m k =M 1 m 1 =M 2 m 2 =...=M k m k , Gdje M j =m 1 ...m j -1 m j +1...m k

1) Ako x 1 , x 2 , ..., x k proći kroz kompletne sustave ostataka modulo m 1 , m 2 , ..., m k M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k proći kroz cijeli sustav modulo odbitaka m= m 1 m 2 ...m k .

2) Ako je ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k proći kroz sustave smanjenih ostataka modulo m 1 , m 2 , ..., m k prema tome, onda vrijednosti linearnog oblika M 1 ξ 1 +M 2 ξ 2 + ...+M k ξ k prolaze kroz reducirani sustav modulo ostataka m= m 1 m 2 ...m k .

Lema 4. Neka x 1 , x 2 , ..., x k , x rad završen, i ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ k , ξ – prolazak kroz reducirane sustave ostataka po modulu m 1 , m 2 ,...,m k I m=m 1 m 2 ...m k odnosno, gdje (m ja m j )=1 na ja≠ j. Zatim razlomci (x 1 /m 1 +x 2 /m 2 +...+x k /m k } podudaraju s razlomcima (x/m), i razlomci { ξ 1 /m 1 + ξ 2 /m 2 +...+ ξ k /m k } podudaraju s razlomcima { ξ /m).

Označimo sa ε k k th korijen m- o, moć jedinstva:

Ovdje k=0,1,...,m-1 – prolazi kroz cijeli sustav modulo ostataka m.

Podsjetit ću vas da je zbroj ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 svi korijeni m th potencija od jedan je jednaka nuli za bilo koji m. Doista, neka je ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 = a. Pomnožite ovaj iznos s brojem koji nije nula ε 1. Takvo množenje geometrijski u kompleksnoj ravnini znači rotiranje ispravnog m-gon, na čijim vrhovima se nalaze korijeni ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1, do kuta različitog od nule 2 π /m. Jasno je da je u ovom slučaju korijen ε 0 ide u korijen ε 1 , korijen ε 1 ide u korijen ε 2 , itd., i korijen ε m-1 ide u korijen ε 0 , tj. zbroj ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 neće se promijeniti. Imamo ε 1 a=a, gdje a=0.

Teorem 1. Neka m>0– cijeli broj, a Z, x prolazi kroz cijeli sustav modulo ostataka m. Onda ako A višestruki m, To

inače, ako A ne višestruka m,

Teorem 2. Neka m>0 je cijeli broj, ξ prolazi kroz modulo reducirani sustav ostataka m. Zatim (zbroj antiderivacijskih korijena stupnja m):

gdje je μ( m) – Möbiusova funkcija.

Potpuni sustav odbitaka. Zadani sustav odbitaka. Najčešći sustavi odbitaka su: najmanje pozitivno, najmanje nenegativno, apsolutno najmanje, itd.

Teorem 1. Svojstva cjelovitog i reduciranog sustava ostataka.

1°.Kriterij za cjeloviti sustav odbitaka. Bilo koja kolekcija m cijeli brojevi koji su u paru neusporedivi po modulu m, tvori potpuni sustav modulo ostataka m.

2°. Ako brojevi x 1 , x 2 , ..., x m– cjelovit sustav modulo odbitaka m, (a, m) = 1, b je proizvoljan cijeli broj, zatim brojevi sjekira 1 +b, sjekira 2 +b, ..., sjekira m+b također čine potpuni sustav modulo odbitaka m.

3°. Kriterij za reducirani sustav odbitaka. Bilo koja zbirka koja se sastoji od j( m) cijeli brojevi koji su u parovima neusporedivi po modulu m i koprime s modulom, tvori reducirani sustav modulo ostataka m.

4°. Ako brojevi x 1 , x 2 , ..., x j ( m) – reducirani sustav modulo ostataka m, (a, m) = 1, zatim brojevi sjekira 1 , sjekira 2 , ..., a x j ( m) također tvore reducirani sustav modulo ostataka m.

Teorem 2. Eulerov teorem.

Ako brojevi a I m relativno prosti, dakle a j ( m) º 1(mod m).

Posljedica.

1°. Fermatov teorem. Ako str– prosti broj i a nije djeljiv sa str, To a str–1 º 1 (mod str).

2°. Generalizirani Fermatov teorem. Ako str je prost broj, dakle a str º a(mod str) za bilo koji aÎ Z .

§ 4. Rješavanje usporedbi s varijablom

Rješavanje usporedbi. Ekvivalencija. Stupanj usporedbe.

Teorema. Svojstva rješenja za usporedbe.

1°. Rješenja za usporedbe su čitave klase ostataka.

2°. (" k)(a k º b k(mod m))Ù k= Þ usporedba º 0 (mod m) i º 0 (mod m) su ekvivalentni.

3°. Ako se obje strane usporedbe pomnože s brojem koprostim s modulom, tada će se dobiti usporedba koja je ekvivalentna izvornoj.

4°. Bilo koja usporedba po modulu prostog broja str je ekvivalent usporedbi čiji stupanj ne prelazi str–1.

5°. Usporedba º 0 (mod str), Gdje str– prosti broj, nema više od n razna rješenja.

6°. Wilsonov teorem. ( n–1)! º –1 (mod n) Û n prosti broj.

§ 5. Rješavanje usporedbi prvog stupnja

sjekira º b(mod m).

Teorema. 1°. Ako ( a, m) = 1, tada usporedba ima rješenje, i to jedinstveno.

2°. Ako ( a, m) = d I b nije djeljiv sa d, tada usporedba nema rješenja.

3°. Ako ( a, m) = d I b podijeljeno sa d, onda usporedba ima d različite otopine koje čine jednu klasu ostataka modulo .

Načini rješavanja usporedbi sjekira º b(mod m) u slučaju kada ( a, m) = 1:

1) selekcija (odabir elemenata cjelovitog sustava odbitaka);

2) korištenje Eulerovog teorema;

3) korištenje Euklidovog algoritma;

4) varijacija koeficijenata (korištenje svojstva 2° potpunog sustava ostataka iz teorema 2.2);

§ 6. Neodređene jednadžbe prvog stupnja

sjekira+po = c.

Teorema. Jednadžba sjekira+po = c rješiv ako i samo ako c (a, b).

U slučaju ( a, b) = 1 sva rješenja jednadžbe dana su formulama

tÎ Z , Gdje x 0 je neko rješenje za usporedbu

sjekira º c(mod b), g 0 = .

Diofantove jednadžbe.

POGLAVLJE 10. Kompleksni brojevi

Definicija sustava kompleksnih brojeva. Postojanje sustava kompleksnih brojeva

Definicija sustava kompleksnih brojeva.

Teorema. Postoji sustav složenih brojeva.

Model: R 2 s operacijama

(a, b)+(c, d) = (a+c, b+d), (a, b)×( c, d) = (ak–bd, prije Krista+oglas),

ja= (0, 1) i identifikacija A = (A, 0).

Algebarski oblik kompleksnog broja

Predstavljanje kompleksnog broja kao z = a+dvo, Gdje a, bÎ R , ja 2 = –1. Jedinstvenost takvog prikaza. Ponovno z, im z.

Pravila za izvođenje aritmetičkih operacija nad kompleksnim brojevima u algebarskom obliku.

Aritmetika n-dimenzionalni vektorski prostor C n. Sustavi linearnih jednadžbi, matrice i determinante nad C .

Vađenje kvadratnih korijena kompleksnih brojeva u algebarskom obliku.