Ekonomi matematika sebagai artikel sains. Formula untuk ekonomi. Inti dari ekonomi matematika
Agen federal Pendidikan
Negara lembaga pendidikan pendidikan profesional yang lebih tinggi
Vladimirsky Universitas Negeri
A A. Galkin
MATEMATIS
EKONOMI
Disetujui oleh Kementerian Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Federasi Rusia sebagai tutorial
untuk mahasiswa lembaga pendidikan, belajar di spesialisasi "Informatika Terapan (dalam ekonomi)"
Vladimir 2006
UDC 330,45: 519,85 BBK 65 V 631
Peninjau:
Doktor Ilmu Teknik, Profesor Kepala. Departemen Sistem Informasi dan Kontrol Otomatis, Universitas Negeri Tula
V.A. Fatuev
Doktor Ilmu Teknik, Profesor Kepala. Departemen Sistem Informasi
Universitas Teknik Negeri Tver
BV Palukh
Doktor Ekonomi, Profesor Kepala. Departemen Ekonomi dan Manajemen di Perusahaan
Universitas Negeri Vladimir
V.F. Arkhipova
Doktor Ilmu Fisika dan Matematika, Profesor Kepala. Departemen Aljabar dan Geometri, Universitas Negeri Vladimir
N.I. Dubrovin
Dicetak ulang oleh keputusan Dewan Editorial dan Penerbitan Universitas Negeri Vladimir
Galkin, A.A.
G16 Ekonomi matematika: buku teks / A. A. Galkin; Vladim. negara un-t. - Vladimir: Rumah penerbitan Vladim. negara Universitas, 2006 .-- 304 hal. - ISBN 5-89368-624-1.
Berbagai macam masalah optimasi khas yang timbul dalam ekonomi dan algoritma yang memungkinkan pemecahan masalah ini dipertimbangkan. Sebuah metodologi untuk memformalkan tugas-tugas ini dan klasifikasi mereka diberikan. Metode untuk memecahkan masalah deterministik optimasi statis dan dinamis disajikan. Untuk setiap jenis masalah dan algoritme, diberikan contoh yang menunjukkan teknik penggunaan praktis algoritme ini, serta serangkaian masalah untuk keputusan independen.
Dirancang untuk mahasiswa yang belajar di spesialisasi 080801 - informatika terapan (dalam ekonomi), serta mahasiswa, sarjana dan pascasarjana dari spesialisasi terkait penuh waktu, pembelajaran jarak jauh, orang yang menerima yang kedua pendidikan yang lebih tinggi serta praktisi.
tab. 80. Sakit. 60. Daftar Pustaka: 39 judul.
TENTANG H L A V L E N I E |
|
Daftar singkatan yang diterima .............................................. . ............................. |
|
KATA PENGANTAR ................................................................... ................................................... |
|
PENGANTAR ................................................. ................................................................... ..... |
|
TENTANG BEKERJA DENGAN BUKU TEKS ................................................... ................................... |
|
Bab 1. PERNYATAAN, FORMALISASI |
|
DAN KLASIFIKASI OPTIMASI |
|
TUGAS DALAM SISTEM EKONOMI................................. |
|
dan formalisasinya ............................................................... ................................... |
|
1.2. Klasifikasi masalah optimasi .............................................................. ... |
|
Bab 2. TUGAS PEMROGRAMAN LINEAR ................. |
|
2.1. Masalah pemrograman linier umum dan kanonik ... |
|
2.2. Solusi grafis dari masalah LP ................................................... ......... |
|
2.3. Solusi aljabar dari masalah LP. |
|
Inti dari metode simpleks ............................................................ ............... |
|
2.4. Menemukan solusi dukungan awal dengan metode |
|
dasar buatan ................................................... ........................ |
|
2.5. Masalah pemrograman linier ganda .................. |
|
2.6. Masalah pemrograman linier bilangan bulat ................. |
|
2.7. Catatan ................................................... ................................................... |
|
Bab 3. MASALAH TRANSPORTASI LINEAR |
|
PEMROGRAMAN.................................................................... |
|
3.1. Rumusan Masalah Transportasi Klasik (TK) ............... |
|
3.2. Solusi untuk masalah transportasi klasik .................................. |
|
3.3. Menemukan rencana referensi awal menggunakan metode |
|
sudut barat laut (MSZU) ................................................. .. ............ |
|
3.4. Perbaikan rencana transportasi dengan metode potensi ........................ |
|
3.5. Masalah transportasi non-klasik .................................................. |
|
3.6. Tugas dan tugas tugas ........................ |
|
Tugas untuk solusi independen .............................................. ........ |
|
Bab 4. MASALAH OPTIMASI DISAJIKAN |
|
PADA GRAFIK ............................................................ ................................................... |
|
4.1. Konsep dasar teori graf .............................................. . ...... |
|
4.2. Masalah jalur terpendek dalam graf .................................................. ....... |
|
4.3. Masalah jalur kritis dalam graf ............................................ ..... |
|
4.4. Soal graf dengan panjang minimal ........................................ ... ... |
|
4.5. Masalah aliran maksimum dalam grafik (jaringan) .................................. |
|
4.6. Masalah distribusi optimal yang diberikan |
|
aliran dalam jaringan transportasi .................................................. ............. |
|
Pertanyaan kontrol............................................................ ................................... |
|
Tugas untuk solusi independen .............................................. ..... |
|
Bab 5. MASALAH STATIS NONLINEAR |
|
OPTIMASI ................................................................... ................................... |
|
5.1. Solusi analitis dari masalah nonlinier statis |
|
optimalisasi ................................................... ................................................... |
|
5.2. Metode numerik untuk memecahkan masalah satu dimensi |
|
optimasi statis ................................................... ............... |
|
5.3. Metode Numerik untuk Pengoptimalan Tanpa Batas Multivarian |
|
menggunakan turunan ................................................... . ... |
|
5.4. Metode Numerik untuk Optimasi Multivariat |
|
tanpa menggunakan turunan ............................................... ... ... |
|
5.5. Metode optimasi numerik dengan adanya kendala ... |
|
Pertanyaan kontrol................................................................ ............................... |
|
Tugas untuk solusi independen .............................................. ...... |
|
Bab 6. MASALAH DINAMIS OPTIMAL |
|
KONTROL DAN DINAMIS |
|
PEMROGRAMAN................................................................ |
|
6.1. Konsep sistem dinamik terkelola ........................ |
|
6.2. Rumusan masalah optimal klasik |
|
kontrol dinamis ................................................... ............ |
|
6.3. Rumusan masalah klasik dinamika |
|
pemrograman (DP) ............................................................ ................... |
|
6.4. Prinsip optimalitas R. Bellman .................................................. |
|
6.5. Inti dari metode DP ............................................................ ... ................................... |
|
6.6. Persamaan fungsi dasar DP ................................... |
§ 6.8. Masalah distribusi bertahap yang optimal dari dana yang dialokasikan antara perusahaan selama
periode perencanaan ................................................... .......................... |
|
6.9. Masalah dari rencana optimal penggantian peralatan ................. |
|
6.10. Tugas menjadwalkan tenaga kerja .......... |
|
Pertanyaan kontrol................................................................ ............................... |
|
Tugas untuk solusi independen .............................................. ...... |
|
Bab 7. DASAR PERHITUNGAN VARIASI |
|
DAN APLIKASINYA UNTUK MEMECAHKAN MASALAH |
|
OPTIMASI DINAMIS.......................................... |
|
7.1. Konsep dasar kalkulus variasi ........................ |
|
7.2. Masalah klasik VI dan relasinya untuk penyelesaiannya .......... |
|
7.3. Kekhususan masalah kontrol dinamis yang optimal |
|
dan penggunaan VI untuk menyelesaikannya ............................................ .. |
|
7.4. Perkiraan metode untuk memecahkan masalah dinamika |
|
optimasi melalui VI ............................................................ .. .......... |
|
Pertanyaan kontrol............................................................ ................................... |
|
Bab 8. PRINSIP MAKSIMUM DAN PENERAPANNYA |
|
UNTUK SINTESIS KONTROL OPTIMAL |
|
DALAM SISTEM TERUS MENERUS................................................... |
|
8.1. Perumusan prinsip maksimum untuk kontinu |
|
sistem ................................................... ................................................................... |
|
8.2. Masalah Euler klasik .................................................................. ............. |
|
8.3. Masalah kontrol yang optimal dengan meminimalkan biaya |
|
energi untuk kontrol ................................................... ........................ |
|
8.4. Masalah kontrol optimal dalam hal kecepatan .......... |
|
8.5. Masalah kontrol untuk sistem dinamis linier |
|
dengan ujung kanan bebas ................................................... ............. |
§ 8.6. Masalah kontrol sistem dinamis linier linear
dari dengan meminimalkan integral kuadrat umum
§ 9.2. Kontrol sistem diskrit linier dengan urutan arbitrer dengan optimalisasi total umum
tes kuadrat ................................................... .................. |
|
9.3. Menemukan kontrol optimal untuk diskrit |
|
prototipe sistem dinamik kontinu ......................... |
|
9.4. Masalah penjadwalan produksi |
|
dan pasokan produk ................................................................. ................................... |
|
Pertanyaan kontrol............................................................ ................................... |
|
Tugas untuk solusi independen untuk bab 7 - 9 ......................... |
|
KESIMPULAN ................................................................... ................................................................... |
|
UNTUK STUDI INDEPENDEN ................................................... ... |
|
REFERENSI ................................................................. .......... |
|
LAMPIRAN................................................. ................................................................... |
|
INDEKS SIMBOL DASAR .................................................. |
Daftar singkatan yang diterima
CF - fungsi target ODR - area solusi yang layak
LP - pemrograman linier LPP - masalah LP CLP - LPP kanonik
TZ - tugas transportasi PO - titik keberangkatan, PN - titik tujuan di TZ
ISZU - metode ISM sudut barat laut - metode bagian emas DP - pemrograman dinamis VI - kalkulus variasi PM - prinsip maksimum; DE - persamaan diferensial
KATA PENGANTAR
DI persiapan siswa dari berbagai spesialisasi dan arah teknis dan ekonomi mengambil tempat yang signifikan dalam studi model dan metode matematika yang khas untuk bidang studi yang sesuai, yang memungkinkan, beroperasi dengan model ini, untuk menjelaskan perilaku sistem yang dipertimbangkan, mengevaluasi karakteristik mereka, membuat keputusan yang konstruktif, teknologi, ekonomi, organisasi dan lainnya ...
Penguasaan model dan metode ini dibangun di atas fondasi yang diletakkan dalam disiplin klasik yang cukup universal, biasanya disebut "Matematika Tinggi". Peralatan matematika yang memungkinkan untuk memecahkan masalah khas dan paling penting untuk bidang aplikasi yang sesuai dipelajari dalam disiplin khusus.
Untuk siswa yang belajar di spesialisasi "Informatika Terapan (dalam ekonomi)", salah satu disiplin ilmu ini adalah "Ekonomi Matematika". Sesuai dengan standar pendidikan negara (SES) saat ini, program disiplin ini mencakup sejumlah besar materi pendidikan yang terkait dengan perhitungan matematika di bidang ekonomi. Bahan ini dibagi menjadi dua bagian.
DI bagian pertama membahas masalah analisis keuangan, yang dipertimbangkan dalam SES generasi sebelumnya dalam disiplin khusus - "Matematika keuangan".
Bagian kedua dari program ini berisi, dari sudut pandang matematika, masalah dan metode yang lebih kompleks terkait untuk menemukan yang terbaik, yaitu. solusi optimal untuk berbagai masalah yang dihadapi di bidang ekonomi terapan. Sebelumnya, siswa menguasai materi ini sambil mempelajari disiplin "Teori kontrol optimal dalam" sistem ekonomi Oh".
Kurikulum disiplin "Ekonomi Matematika" berisi berbagai pertanyaan yang agak sulit untuk dipelajari. Karena jumlah waktu yang dialokasikan untuk pelatihan kelas dalam disiplin ini cukup kecil, arti khusus memperoleh karya mandiri siswa dengan literatur pendidikan.
Perlu dicatat bahwa selama 30 tahun terakhir, banyak monografi, buku teks, dan alat bantu pengajaran tentang metode matematika yang digunakan dalam ekonomi telah diterbitkan di negara kita. Namun, ketika bekerja dengan mereka, siswa mengalami kesulitan serius. Pertama, banyak dari buku-buku ini sekarang praktis tidak dapat diakses oleh siswa, karena tidak ada di perpustakaan universitas, atau tersedia dalam satu salinan. Kedua, untuk mempelajari semua materi yang disediakan oleh program, satu buku teks tidak cukup, dan buku yang berbeda, sebagai aturan, menggunakan gaya presentasi yang berbeda, sebutan yang berbeda. Cukup sering tingkat penyajian materi tidak tersedia untuk siswa "nyata". Ketiga, ketika mengatur proses pendidikan dalam disiplin yang bersifat matematis, pada dasarnya penting bagi siswa untuk memperoleh keterampilan praktis dalam menggunakan metode yang dipelajari, dan ini membutuhkan tugas untuk solusi mandiri. Sebagian besar buku teks tentang topik yang dibahas berisi contoh dan tugas untuk menggambarkan teknik penerapan metode yang digariskan, tetapi mereka tidak cukup untuk memberikan semua siswa dari kelompok belajar reguler tugas individu.
Buku teks yang diusulkan dimaksudkan untuk mempelajari bagian kedua yang lebih kompleks dari disiplin "Ekonomi Matematika", yang mempertimbangkan masalah optimasi yang timbul dalam ekonomi dan algoritma untuk solusinya. Ini telah disiapkan dalam terang keadaan di atas.
Buku ini berisi rumusan masalah optimasi tipikal yang muncul di bidang ekonomi, formalisasi mereka dilakukan, esensi metode dan algoritma dinyatakan yang memungkinkan melakukan solusi dengan ilustrasi teknik algoritma ini pada contoh spesifik... Selain itu, untuk setiap topik, serangkaian tugas yang cukup besar untuk solusi independen disajikan, yang memungkinkan setiap siswa untuk memberikan tugas individunya sendiri.
Dari berbagai macam tugas pengoptimalan yang mungkin dan diusulkan ilmu pengetahuan modern Metode untuk dimasukkan dalam tutorial ini memilih masalah deterministik dan algoritma untuk optimasi statis dan dinamis. Karena volume buku yang terbatas, masalah optimasi dengan ketidakpastian, termasuk probabilistik-statistik, interval, fuzzy dan masalah dan model lainnya, serta masalah optimasi vektor, tidak dipertimbangkan.
Buku ini mencakup sembilan bab. Bagian pertama memberikan contoh masalah optimasi yang bersifat ekonomi, yang menunjukkan teknik formalisasi, yaitu. memperoleh model matematika dari masalah yang dipecahkan, klasifikasi masalah optimasi diberikan.
Bab dua, tiga dan empat dikhususkan untuk masalah optimisasi statis linier. Pada bab kedua, masalah dan metode pemrograman linier disajikan, secara terpisah pada bab ketiga, masalah transportasi dipertimbangkan, dan pada keempat, masalah optimasi diinterpretasikan pada grafik. Untuk setiap tugas, paling banyak metode yang efektif(algoritma) solusi dan contoh diberikan untuk menunjukkan teknik penggunaan praktis dari algoritma ini. Bab kelima menyajikan metode analitis dan numerik untuk memecahkan masalah optimasi statis nonlinier dengan tidak adanya dan adanya kendala.
Masalah optimasi dinamis, biasa disebut masalah kontrol optimal, dibahas dalam bab enam sampai sembilan. Bab keenam memberikan Ide umum pada sistem dinamis tipe kontinu dan diskrit, masalah klasik kontrol optimal dan pemrograman dinamis (DP) dirumuskan, esensi DP dinyatakan, dan teknik aplikasi praktisnya ditunjukkan dengan menggunakan berbagai contoh yang bersifat ekonomis. Bab ketujuh menguraikan dasar-dasar kalkulus variasi, yang kedelapan - prinsip maksimum untuk sistem kontinu, dan yang kesembilan - untuk sistem diskrit. Dalam masing-masing bab ini, banyak perhatian diberikan pada analisis berbagai masalah tertentu dan contoh yang menggambarkan metodologi untuk penggunaan praktis dari rasio yang dihitung.
Di akhir setiap bab dari yang pertama hingga keenam ada tugas untuk solusi independen. Pada akhir bab kesembilan, masalah diberikan untuk solusi independen, yang ditujukan untuk metode kontrol dinamis yang optimal.
Masalah khusus, yang pemecahannya dilakukan oleh penulis dalam proses mengerjakan buku ini, adalah kenyataan bahwa beberapa metode dan algoritma dalam literatur asli disajikan sedemikian rupa sehingga agak sulit bagi siswa dari suatu profil non-matematis dan informasi-ekonomi untuk memahaminya. Oleh karena itu, perlu untuk menemukan peluang untuk mengadaptasi materi teoretis yang relevan dengan tingkat pelatihan nyata siswa yang menjadi tujuan buku tersebut.
Selain itu, penulis berusaha keras saat menyajikan jumlah yang besar tugas dan metode yang sangat berbeda untuk mempertahankan satu gaya, karakter, sistem penyajian materi secara maksimal. Saya ingin berharap bahwa ini telah dicapai sampai batas tertentu.
Dalam penyusunan buku ajar, materi kuliah dan praktikum pada disiplin ilmu “Metode Optimasi”, “Teori Kontrol”, “Teori Kontrol Optimal dalam Sistem Ekonomi” dan “Ekonomi Matematika”, yang penulis ajarkan selama 25 tahun di Vladimir Universitas Negeri (VlSU), digunakan ... Dalam pelajaran ini, sebagian besar materi teoritis dan tugas untuk solusi independen diuji. Versi elektronik buku teks termasuk dalam sumber informasi perpustakaan elektronik VlSU.
Terlepas dari kenyataan bahwa buku teks telah disiapkan untuk siswa dari spesialisasi "Informatika Terapan (dalam Ekonomi)", tidak diragukan lagi, ini dapat bermanfaat bagi siswa, mahasiswa, mahasiswa pascasarjana dan spesialis dari profil lain, karena masalah pengoptimalan muncul di mana-mana. Bukan kebetulan bahwa mereka mengatakan bahwa "tidak ada sesuatu pun di alam yang tidak mungkin untuk melihat arti dari maksimum atau minimum."
Dia akan berterima kasih kepada semua orang yang memanfaatkan buku ini dan memberikan pendapat mereka tentang isinya, mungkin tentang kekurangan atau ketidakakuratan. Untuk melakukan ini, Anda dapat menggunakan email: [dilindungi email].
Pekerjaan pada buku itu, dengan beberapa interupsi, dilakukan selama sekitar 10 tahun, tetapi itu bisa berlangsung tanpa batas, jika bukan karena bantuan yang cepat dan berkualitas tinggi dalam pekerjaan naskah, yang diberikan oleh mahasiswa pascasarjana I.V. Kamp. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya.
Ekonomi matematika adalah ilmu teoretis dan terapan, yang subjeknya adalah model matematika dari objek ekonomi dan proses serta metode penelitiannya.
Munculnya ilmu-ilmu matematika tidak diragukan lagi terkait dengan kebutuhan ekonomi. Itu diperlukan, misalnya, untuk mengetahui berapa banyak tanah yang akan ditabur dengan biji-bijian untuk memberi makan keluarga, bagaimana mengukur ladang yang ditabur dan memperkirakan panen di masa depan.
Dengan perkembangan produksi dan komplikasinya, kebutuhan ekonomi dalam perhitungan matematis tumbuh. Produksi modern adalah pekerjaan yang sangat seimbang dari banyak perusahaan, yang dipastikan dengan solusi dari sejumlah besar masalah matematika. Sejumlah besar ekonom, perencana, dan akuntan terlibat dalam pekerjaan ini, dan ribuan komputer elektronik sedang menghitung. Di antara tugas-tugas tersebut adalah perhitungan rencana produksi, dan penentuan yang paling akomodasi yang menguntungkan proyek konstruksi, dan pilihan rute transportasi yang paling ekonomis, dll. Ekonomi matematika juga terlibat dalam deskripsi matematis formal dari fenomena ekonomi yang sudah diketahui, menguji berbagai hipotesis pada sistem ekonomi yang dijelaskan oleh beberapa hubungan matematis.
Mari kita perhatikan dua contoh sederhana yang menunjukkan penggunaan model matematika untuk tujuan ini.
Biarkan permintaan dan penawaran barang tergantung pada harga. Untuk keseimbangan, harga di pasar harus sedemikian rupa sehingga produk terjual habis dan tidak ada surplus:
. (1)
Tetapi jika, misalnya, proposal terlambat satu interval waktu, maka, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 1 (yang menunjukkan kurva penawaran dan permintaan sebagai fungsi harga), ketika harga, permintaan melebihi penawaran. Dan karena penawaran lebih sedikit daripada permintaan, harga naik dan barang dibeli sesuai harganya. Pada harga ini, penawaran naik ke suatu nilai; sekarang penawaran lebih tinggi dari permintaan dan produsen terpaksa menjual barang pada harga, setelah itu penawaran turun dan proses berulang. Hasilnya adalah model sederhana siklus ekonomi... Secara bertahap, pasar mencapai ekuilibrium: permintaan, harga, dan penawaran ditetapkan pada tingkat tersebut.
Ara. 1 sesuai dengan solusi persamaan (1) dengan metode aproksimasi berurutan, yang menentukan akar persamaan ini, yaitu. harga keseimbangan dan nilai yang sesuai dari penawaran dan permintaan.
Pertimbangkan lebih banyak contoh kompleks- "aturan emas" akumulasi. Jumlah output oleh perusahaan (dalam rubel) dari produk akhir pada suatu waktu ditentukan oleh biaya tenaga kerja, yang produktivitasnya tergantung pada rasio tingkat kejenuhannya dengan peralatan terhadap biaya tenaga kerja. Notasi matematika untuk ini adalah:
. (2)
Produk akhir dialokasikan untuk konsumsi dan penyimpanan peralatan. Jika kita menunjukkan bagian output yang akan diakumulasikan, maka
Dalam ilmu ekonomi, ini disebut laju akumulasi. Nilainya diapit antara nol dan satu.
Per unit waktu, volume peralatan berubah dengan jumlah akumulasi
. (4)
Dengan pertumbuhan ekonomi yang seimbang, semua komponennya tumbuh dengan tingkat pertumbuhan yang sama. Menurut rumus bunga majemuk kita mendapatkan:
, , 
, .
Jika kita memperkenalkan nilai-nilai yang mencirikan konsumsi, volume peralatan dan output per karyawan, maka sistem hubungan (2) - (4) akan masuk ke sistem
,
, 
. (5)
Yang kedua dari rasio ini, pada tingkat pertumbuhan dan konsumsi tertentu, akan menentukan rasio modal-kerja sebagai titik perpotongan kurva dan garis lurus pada Gambar. 2. Garis-garis ini pasti akan berpotongan, karena fungsinya, meskipun monoton, tumbuh, yang berarti peningkatan output dengan peningkatan jumlah pekerja, tetapi lebih dan lebih lembut, yaitu. merupakan fungsi cekung. Keadaan terakhir mencerminkan fakta bahwa peningkatan tambahan peralatan per pekerja, karena peningkatan bebannya, menjadi semakin tidak efektif ("hukum utilitas yang semakin berkurang"). Keluarga kurva sesuai dengan nilai yang berbeda dari tingkat akumulasi. Panjang segmen, sebagai berikut dari rumus (5), sama dengan konsumsi. Pada (titik pada Gambar 2) tidak ada konsumsi sama sekali - semua produksi digunakan untuk akumulasi peralatan. Mari kita sekarang mengurangi tingkat akumulasi. Maka konsumsi (panjang) tidak lagi menjadi nol, meskipun tingkat pertumbuhan ekonomi (kemiringan garis lurus) tetap sama. Pada titik dengan ordinat, di mana garis singgung kurva sejajar dengan garis lurus, konsumsi maksimum. Ini sesuai dengan kurva sebuah keluarga dengan tingkat akumulasi tertentu, yang disebut "tingkat akumulasi emas."
|
LEONID VITALIEVICH KANTOROVICH
L. V. Kantorovich - matematikawan dan ekonom Soviet, pencipta program linier dan teori perencanaan optimal ekonomi sosialis, akademisi, penerima Hadiah Nobel. L. V. Kantorovich lahir di St. Petersburg, dalam keluarga seorang dokter. Kemampuannya memanifestasikan dirinya secara luar biasa sejak dini. Sudah dengan 4 gol, ia dengan bebas mengoperasikan angka multi-digit, pada usia tujuh ia menguasai kursus kimia dari buku teks kakak laki-lakinya. Pada usia 14 tahun, ia menjadi mahasiswa di Universitas St. Petersburg. Pada saat ia lulus dari universitas, pada tahun 1930, L.V. Kantorovich sudah menjadi ilmuwan terkenal, penulis selusin makalah yang diterbitkan di jurnal matematika internasional terkemuka, dan pada usia 20 ia menjadi profesor matematika. Pada tahun 1935, ilmuwan memperkenalkan dan mempelajari kelas ruang fungsi di mana hubungan urutan didefinisikan untuk satu set elemen mereka. Teori ruang seperti itu, yang disebut ruang Kantorovich, atau -ruang, adalah salah satu cabang utama analisis fungsional. Karya terbaru yang berkaitan dengan pemecahan masalah kontinum telah mengidentifikasi tempat -ruang di antara struktur matematika yang paling mendasar. LV Kantorovich dibedakan oleh kemampuan luar biasa dalam masalah tertentu untuk melihat inti masalah dan, setelah menciptakan teori, untuk memberikan metode umum untuk memecahkan kelas yang luas dari masalah serupa. Ini terutama terungkap dengan jelas dalam karya-karyanya tentang matematika komputasi dan— ekonomi matematika. Di awal 30-an. LV Kantorovich adalah salah satu ilmuwan terkemuka pertama yang tertarik pada matematika komputasi. Kemunculan modern ilmu ini sangat ditentukan oleh karya-karyanya. Di antara mereka adalah monografi fundamental dan klasik "Metode Perkiraan Analisis Tinggi"; metode komputasi yang menyandang namanya; teori umum metode perkiraan berdasarkan analisis fungsional (Hadiah Negara 1949); bekerja pada pemrograman otomatis, dilakukan pada awal era komputer dan mengantisipasi banyak ide modern, dan akhirnya, sejumlah penemuan di bidang komputasi. Pada tahun 1939, sebuah brosur kecil "Metode Matematika dari Organisasi dan Perencanaan Produksi" diterbitkan di Leningrad, yang sebenarnya berisi cabang baru matematika terapan, yang kemudian disebut pemrograman linier (lihat Geometri). Alasan penulisannya adalah tugas produksi tertentu. Menyadari pentingnya konsep varians dan optimalitas dalam ekonomi sosialis, indikator penting seperti harga, sewa, efisiensi, ia melanjutkan untuk mengembangkan teori perencanaan optimal, yang kemudian dianugerahi Lenin (1965) dan Nobel (1975) hadiah. Buku "Perhitungan Ekonomi Penggunaan Sumber Daya Terbaik", yang menguraikan teori ini, ditulis di bawah kondisi blokade Leningrad dan sudah selesai pada tahun 1942. Menyadari pentingnya luar biasa dari studi ini, ilmuwan terus-menerus mencari penggunaan praktis dari hasil mereka. Namun, karya itu tidak diterbitkan sampai tahun 1959 dan bahkan kemudian diserang oleh para ekonom politik ortodoks. Buku L. V. Kantorovich membentuk pandangan seluruh generasi ekonom Soviet. Banyak ide, yang pertama kali diungkapkan di sana, sedang diimplementasikan dalam perjalanan perestroika. |
Setelah Olimpiade, menarik untuk membahas solusi masalah.
Perbandingan teori dan praktik bukanlah masalah yang mudah dalam ekonomi matematika: sangat sulit untuk mengukur indikator ekonomi - mereka tidak diukur pada fasilitas laboratorium, pengamatan dapat dilakukan sangat jarang (ingat sensus!), Mereka dilakukan di kondisi yang berbeda dan mengandung banyak ketidakakuratan. Oleh karena itu, sulit untuk menggunakan pengalaman pengukuran yang diperoleh dalam ilmu lain di sini, dan pengembangan metode khusus diperlukan.
Perkembangan ilmu ekonomi matematika telah menyebabkan munculnya banyak teori matematika yang disatukan dengan nama "pemrograman matematika" (Anda dapat membaca tentang pemrograman linier di artikel "Geometri").
Masalah penerapan metode matematika dalam ekonomi dikembangkan dalam karya matematikawan Soviet L.V. Kantorovich, yang dianugerahi Hadiah Lenin dan Nobel.
Magnitogorsk 2005
Kumpulan soal untuk mata kuliah "Ekonomi Matematika". - Magnitogorsk: MAGU, 2005 .-- 184 hal.
Koleksi ini memberikan gambaran tentang kategori utama dan ketentuan yang digunakan dalam kursus "Ekonomi Matematika". Contoh pemecahan masalah khas disajikan, pertanyaan untuk pemeriksaan diri pada materi yang dipelajari diberikan. Materi manual dapat digunakan dalam mata kuliah "Matematika Keuangan", "Metode Matematika Analisis Keuangan", "Manajemen Keuangan", " Analisis keuangan" dan sebagainya.
Pekerjaan ini difokuskan pada guru, mahasiswa pascasarjana dan mahasiswa penuh waktu dan paruh waktu, peneliti dan praktisi yang berspesialisasi dalam bidang manajemen keuangan dan proyek investasi, penerapan metode dan model matematika dalam studi sistem dan fenomena ekonomi.
Kompiler. G.N. Chusavitin,
V.B. Lapshin.
Chusavitina G.N., Lapshina V.B. 2005
Universitas Negeri Magnitogorsk, 2005
PENDAHULUAN 5
Bab 1 bunga sederhana 7
1.1. Penetapan suku bunga dan perhitungan bunga 7
1.2. Sederhana suku bunga 10
1.3. Tingkat diskon sederhana 21
1.4. Pelunasan pinjaman dan pengurangan depresiasi 32
1.5. Menghitung rata-rata 41
1.6. Penyelesaian valuta asing 48
1.7. Pajak penghasilan 53
1.8. Inflasi 56
1.9. Penggantian dan Konsolidasi Pembayaran 64
Bab 2 BUNGA KOMPLEKS 73
2.1. Suku bunga majemuk 73
2.2. Tingkat diskonto gabungan 91
2.3. 101 terus menerus
2.4. Tingkat kesetaraan 107
2.5. Inflasi dan Bunga Majemuk dan Berkelanjutan 112
2.6. Penggantian pembayaran dan ketentuan pembayarannya 125
Bab 3 Anuitas 132
3.1. Anuitas permanen 132
3.2. Anuitas kontinu dan variabel 148
3.3. Penilaian anuitas dengan jangka waktu lebih dari satu tahun 157
PENGANTAR
"Ekonomi Matematika" adalah nama disiplin ilmu yang diciptakan oleh matematikawan. Para ekonom lebih suka nama lain - "Model dan Metode Ekonomi dan Matematika". DI kurikulum dan standar departemen ekonomi, nama ini sering ditemukan. Menurut pendapat kami, kedua nama ini sama-sama secara akurat menyampaikan isi inti subjek, di mana aspek ekonomi dan matematika digabungkan secara harmonis. Sayangnya, dalam praktiknya, program kursus EMM & M seringkali seluruhnya terdiri dari bagian terpisah "Riset Operasi dan Pemrograman Matematika", yang, pertama, telah diselesaikan sebelum kursus ini, dan kedua, berisi model matematis pengambilan keputusan. dan optimasi, dan bukan ekonomi - model matematika seperti itu.
Ekonomi matematika adalah ilmu yang menggunakan peralatan matematika sebagai metode untuk mempelajari sistem dan fenomena ekonomi.
Dengan demikian, objek studi (atau bidang studi) ekonomi matematika adalah ekonomi - sebagai bagian dari atau bagian dari area aktivitas manusia yang luas.
Seperti ilmu-ilmu lain yang mempelajari ekonomi secara keseluruhan atau bagian-bagian komponennya, ekonomi matematika menggunakan metodologi tertentu dan memiliki kekhususan tersendiri. Kekhususan ekonomi matematika, kekhasan metodologisnya terletak pada kenyataan bahwa ia tidak mempelajari objek dan fenomena ekonomi itu sendiri, tetapi model matematika mereka. Nya tujuannya adalah untuk menerima informasi ekonomi yang objektif dan pengembangan rekomendasi yang penting secara praktis. Secara formal, ekonomi matematika dapat dikaitkan dengan ilmu ekonomi dan matematika. Dalam kasus pertama, harus dipahami sebagai cabang ilmu ekonomi yang mempelajari kategori kuantitatif dan kualitatif, serta aspek perilaku pelaku ekonomi. Mengingat ekonomi matematika sebagai salah satu cabang matematika, kita dapat merujuknya ke cabang-cabang matematika terapan yang menangani masalah optimasi dan masalah pengambilan keputusan.
Berdasarkan sifatnya, ekonomi adalah ilmu sosial yang paling dekat dengan matematika. Sudah dalam definisi konsep ekonomi, tugas utamanya, orang dapat melihat konsep dan terminologi matematika.
Memang, ekonomi adalah ilmu sosial tentang penggunaan sumber daya yang terbatas untuk memaksimalkan kepuasan kebutuhan material penduduk yang tidak terbatas. Masalah utama ilmu ekonomi - manajemen rasional ekonomi, distribusi optimal sumber daya terbatas, studi mekanisme ekonomi manajemen, pengembangan metode perhitungan ekonomi - pada dasarnya adalah tugas yang dapat diselesaikan dalam kerangka ilmu matematika. Metode matematika kuantitatif dan kualitatif adalah alat bantu terbaik untuk mendapatkan jawaban atas pertanyaan utama ekonomi:
apa yang harus diproduksi (yaitu barang dan jasa apa yang harus diproduksi dan dalam jumlah berapa)?
bagaimana barang akan diproduksi (yaitu oleh siapa dan dengan sumber daya apa dan teknologi apa)?
untuk siapa barang-barang ini dimaksudkan (yaitu oleh siapa dan bagaimana barang-barang ini akan dikonsumsi)?
Akhirnya, tugas teori ekonomi, yang terkait dengan memasukkan ke dalam sistem, menafsirkan dan menggeneralisasi perilaku peserta dalam perekonomian dalam proses produksi, pertukaran dan konsumsi, kembali ke masalah matematika optimasi dan pengambilan keputusan.
Mempertimbangkan hal di atas, kita dapat berbicara tentang tugas-tugas utama berikut yang dihadapi ekonomi matematika:
pengembangan model matematika objek, sistem, dan fenomena ekonomi (masalah umum dan khusus ekonomi dalam kondisi, prasyarat, dan tingkat yang berbeda);
studi tentang perilaku peserta ekonomi (kondisi untuk keberadaan solusi optimal dan fitur-fiturnya, serta metode untuk menghitungnya dalam model konsumsi, perusahaan, persaingan sempurna dan tidak sempurna, dll.);
studi tentang model deskriptif ekonomi (model perencanaan, input-output, ekonomi berkembang, kesejahteraan dan pertumbuhan ekonomi, dll);
analisis nilai ekonomi dan data statistik (elastisitas, nilai mean dan batas, analisis dan peramalan regresi dan korelasi and faktor-faktor ekonomi dan indikator).
Koleksi ini memberikan gambaran tentang kategori utama dan ketentuan yang digunakan dalam kursus "Ekonomi Matematika". Contoh pemecahan masalah khas disajikan, pertanyaan untuk pemeriksaan diri pada materi yang dipelajari diberikan. Materi manual dapat digunakan dalam kursus "Matematika Keuangan", "Metode Matematika Analisis Keuangan", "Manajemen Keuangan", "Analisis Keuangan", dll.
Pekerjaan ini difokuskan pada guru, mahasiswa pascasarjana dan mahasiswa penuh waktu dan paruh waktu, peneliti dan praktisi yang berspesialisasi dalam bidang manajemen keuangan dan proyek investasi, penerapan metode dan model matematika dalam studi sistem dan fenomena ekonomi.
Metode matematika dalam ekonomi adalah alat penting untuk analisis. Mereka digunakan dalam konstruksi model teoretis yang memungkinkan Anda untuk menampilkan koneksi yang ada di Kehidupan sehari-hari... Juga, dengan menggunakan metode ini, perilaku entitas bisnis dan dinamika indikator ekonomi di negara.
Secara lebih rinci saya ingin berkutat pada peramalan indikator objek ekonomi, yang merupakan alat teori pengambilan keputusan. Prakiraan pembangunan sosial-ekonomi negara mana pun didasarkan pada indikator tertentu (dinamika inflasi, pendapatan bruto, produk dalam negeri dll.). Pembentukan indikator yang diharapkan dilakukan dengan menggunakan metode statistik dan ekonometrika terapan seperti analisis regresi dan korelasi.
Bidang penelitian “Ekonomi dan Metode Matematika” selalu cukup menarik bagi para ilmuwan di bidang ini. Jadi, Akademisi Nemchinov mengidentifikasi lima matematika dalam perencanaan dan peramalan:
Metode pemodelan matematika;
metode vektor-matriks;
metode pendekatan berturut-turut;
Metode penilaian publik yang optimal.
Akademisi lain, Kantorovich, membagi metode matematika menjadi empat kelompok:
Model interaksi unit ekonomi;
Model ekonomi makro termasuk model permintaan dan metode keseimbangan;
Model optimasi;
Pemodelan linier.
Sistem tersebut digunakan untuk mengambil keputusan yang efektif dan tepat dalam bidang ekonomi. Dalam hal ini, teknologi komputer modern terutama digunakan.
Proses pemodelan itu sendiri harus dilakukan dalam urutan berikut:
1. Pernyataan masalah. Penting untuk merumuskan tugas dengan jelas, untuk menentukan objek yang terkait dengan masalah yang sedang dipecahkan, dan situasi yang diwujudkan sebagai hasil dari solusinya. Pada tahap inilah kuantitatif dan subjek, objek dan situasi terkait diproduksi.
2. Sistem analisis masalah. Semua objek harus dibagi menjadi elemen dengan definisi hubungan di antara mereka. Pada tahap inilah yang terbaik untuk menggunakan metode matematika dalam ekonomi, dengan bantuan analisis kuantitatif dan kualitatif dari sifat-sifat elemen yang baru terbentuk dan sebagai akibatnya ketidaksetaraan dan persamaan tertentu diturunkan. Dengan kata lain, scorecard diperoleh.
3. Sintesis sistem adalah rumusan matematis dari masalah, selama organisasinya model matematika objek dan algoritma untuk memecahkan masalah ditentukan. Pada tahap ini, ada kemungkinan bahwa model yang diadopsi dari tahap sebelumnya mungkin salah, dan untuk mendapatkan hasil yang benar, Anda harus mundur satu atau bahkan dua langkah.
Segera setelah model matematika terbentuk, Anda dapat melanjutkan ke pengembangan program untuk menyelesaikan masalah di komputer. Jika Anda memiliki objek yang cukup kompleks, yang terdiri dari sejumlah besar elemen, Anda perlu membuat database dan alat improvisasi untuk bekerja dengannya.
Jika masalah mengambil bentuk standar, maka metode matematika apa pun yang sesuai dalam ekonomi digunakan dan siap perangkat lunak.
Tahap terakhir adalah eksploitasi langsung dari model yang dihasilkan dan mendapatkan hasil yang benar.
Metode matematika di bidang ekonomi harus digunakan secara tepat dalam urutan tertentu dan dengan penggunaan teknologi informasi dan komputasi modern. Hanya dalam urutan ini menjadi mungkin untuk mengecualikan keputusan kehendak subjektif berdasarkan minat dan emosi pribadi.
BADAN PENDIDIKAN FEDERAL
UNIVERSITAS TEKNIK NEGARA
__________________________________________________________________
Jurusan "Sistem Informasi"
EKONOMI MATEMATIKA
Catatan kuliah
Untuk siswa tahun ketiga dari spesialisasi
"Informatika Terapan (dalam Ekonomi)"
Tver 2009
1. Metode penilaian proyek investasi
Saat ini, di negara-negara dengan ekonomi pasar maju, dalam analisis proyek investasi, teknik diskonto berdasarkan logika bunga majemuk mulai banyak digunakan. Oleh karena itu, bagian ini memberikan esensi dan manfaat menggunakan metode tersebut.
^ 1.1 Metode penghitungan nilai sekarang bersih
Kekayaan bersih hari ini dihitung sebagai selisihnya
didiskontokan ke satu titik dalam aliran pendapatan dan pengeluaran
pada proyek:
dimana CF INt - arus kas masuk untuk periode t;
CF OFt - arus kas keluar untuk periode t;
R adalah tingkat diskonto;
N adalah siklus hidup proyek.
Dalam kasus di mana investasi adalah investasi satu kali pada periode awal, rumus untuk menghitung NPV akan terlihat seperti ini:
dimana 0 - investasi pada periode nol.
Sangat mudah untuk menggunakan kriteria ini ketika membuat keputusan. NPV positif menunjukkan jumlah pendapatan yang akan diterima investor melebihi tingkat yang dibutuhkan. Dalam kasus ketika NPV sama dengan nol, investor tidak hanya mengembalikan modalnya, tetapi juga meningkatkannya dengan jumlah yang ditentukan oleh tingkat diskonto. NPV negatif yang dihasilkan menunjukkan bahwa proyek tersebut harus ditolak.
Perlu dicatat bahwa NPV adalah aditif dari waktu ke waktu. Properti ini memungkinkan Anda untuk meringkas nilai sekarang bersih dari berbagai proyek, yang sangat penting ketika menganalisis optimalitas portofolio investasi.
^ 1.2 Metode untuk menghitung laba atas indeks investasi
Indeks profitabilitas adalah rasio nilai diskon dari keuntungan dan biaya untuk proyek tersebut. Artinya, sehubungan dengan, misalnya, investasi satu kali, perhitungan dilakukan sesuai dengan rumus:
Dalam hal nilai PI > 1, proyek tersebut menguntungkan. Jika PI<1, то от инвестирования следует отказаться. Значение индекса рентабельности, равное единице, говорит о том, что проект и ни прибыльный, и ни убыточный.
Keuntungan indikator ini dibandingkan NPV adalah relatif. Oleh karena itu, mudah digunakan ketika diperlukan untuk memilih satu proyek dari sejumlah alternatif yang memiliki nilai NPV yang kurang lebih sama, serta ketika membentuk portofolio investasi dengan total nilai NPV maksimum.
Masalah ini muncul ketika ada beberapa proyek investasi yang menarik untuk dipilih, tetapi karena sumber daya keuangan yang terbatas, investor tidak dapat berpartisipasi dalam semua proyek secara bersamaan. PI kemudian dihitung untuk setiap proyek dan proyek-proyek tersebut diberi peringkat dalam urutan menurun dari PI. Portofolio investasi mencakup m-proyek pertama, yang secara total dapat dibiayai secara penuh.
Jika proyek berikutnya cocok untuk fragmentasi, maka itu juga termasuk dalam portofolio di bagian yang dapat dibiayai.
^ 1.3 Metode penghitungan tingkat pengembalian investasi
Tingkat pengembalian internal adalah nilai tingkat bunga di mana nilai sekarang bersih proyek sama dengan nol:
dimana IRR adalah tingkat pengembalian (internal rate of return).
Nilai IRR menunjukkan tingkat biaya relatif maksimum yang diperbolehkan yang dapat dikaitkan dengan satu atau lain cara dengan proyek yang sedang dipertimbangkan. Misalnya, jika suatu proyek dibiayai sepenuhnya oleh pinjaman, maka nilai IRR akan menunjukkan batas atas suku bunga bank, yang kelebihannya akan membuat proyek tidak menguntungkan.
Untuk menentukan IRR digunakan metode perhitungan atau perhitungan dan grafik. Dalam kasus pertama, arus kas tahunan (dengan mempertimbangkan investasi modal yang diperlukan) didiskontokan dengan berbagai tingkat diskonto percobaan dalam kenaikan satu persen. Ini akan memberikan sejumlah nilai sekarang bersih yang sesuai, nilai positif terkecil yang akan menunjukkan tingkat pengembalian yang tepat yang harus diperhitungkan.
Penggunaan metode komputasi dan grafis direduksi menjadi fakta bahwa pada sistem koordinat di sepanjang sumbu vertikal tingkat pengembalian diplot, dan di sepanjang horizontal - nilai sekarang bersih. Kemudian dua nilai NPV dihitung, sesuai dengan dua tingkat pengembalian. Sebuah garis lurus ditarik antara dua titik ini, titik perpotongannya dengan sumbu vertikal adalah asumsi tingkat pengembalian internal. Namun, perlu dicatat bahwa nilai yang diperoleh harus diperiksa nol dan, jika perlu, dikoreksi.
^ 1.4 Metode untuk menentukan periode pengembalian yang didiskon
Periode pengembalian yang didiskon dipahami sebagai periode waktu di mana investor sepenuhnya mengembalikan biaya awalnya, sambil memastikan tingkat profitabilitas yang diperlukan:
di mana T adalah periode pengembalian yang didiskontokan;
PV adalah nilai investasi saat ini.
Metode ini adalah salah satu yang paling sederhana dan paling luas, tetapi, sebagai suatu peraturan, digunakan untuk mendapatkan informasi tambahan tentang proyek dalam kasus-kasus di mana yang utama adalah bahwa investasi akan terbayar sesegera mungkin. Selain itu, metode ini juga nyaman saat menganalisis proyek dengan tingkat risiko tinggi, karena semakin pendek periode pengembalian modal, semakin kecil risiko proyek tersebut.
^ 2. Fitur penerapan metode untuk mengevaluasi proyek investasi
Metode yang dijelaskan di atas adil dalam totalitasnya ketika menganalisis proyek investasi independen. Artinya, kriteria metode ini saja tidak akan saling bertentangan.
Ketika menganalisis proyek yang bersaing, situasi yang berbeda muncul, pentingnya mempertimbangkan yang disebabkan oleh keinginan untuk meningkatkan persaingan antar perusahaan untuk mengurangi biaya proyek melalui penggunaan cadangan internal perusahaan. Selain itu, situasi serupa dapat muncul dengan kendala keuangan yang parah.
Pertimbangkan dua proyek yang bersaing satu sama lain. Mari kita hitung nilai sekarang bersih proyek, serta tingkat pengembalian internalnya, asalkan tingkat diskontonya adalah 11%.
Tabel 1
| PROYEK | F menurut tahun (juta rubel) | NPV pada r = 11% | IRR |
||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|||
| X1 | -50 | 0 | 0 | 15 | 110 | 33,5 | 26,7% |
| X2 | -50 | 40 | 15 | 15 | 20 | 22,4 | 35,0% |
Seperti dapat dilihat dari Tabel 1, NPV proyek X1 akan berjumlah 33,5 juta rubel, yang jelas lebih disukai daripada NPV proyek X2 - 22,4 juta rubel. Namun, jika kita fokus pada tingkat pengembalian internal, maka preferensi harus diberikan kepada proyek X2 dengan IRR = 35% versus 26,7% untuk proyek X1. Dengan demikian, kriteria NPV dan IRR saling bertentangan, meskipun faktanya kedua metode didasarkan pada rumus yang sama.
Masalah yang muncul dapat dengan mudah diselesaikan jika kita mempertimbangkan secara lebih rinci esensi dari kriteria IRR, yang perhitungannya memberikan kemungkinan untuk menginvestasikan kembali pendapatan antara proyek, memberikan pengembalian yang sama dengan IRR. Tetapi apakah realistis untuk memberikan pengembalian seperti itu jika pengembalian investasi kembali lebih kecil dari IRR? Sebagai pertimbangan lebih lanjut dari contoh akan menunjukkan, tidak ada.
Mari kita hitung nilai absolut dari pendapatan investor pada akhir tahun keempat, atau, dengan kata lain, nilai proyek di masa depan, asalkan tingkat reinvestasi adalah 11%:
FV (X1) = 110+ 15 * (1 + 0,11) = 126,65 juta rubel,
FV (X2) = 20 + 15 * (1 + 0,11) + 15 * (1 + 0,11) 2 + 40 * (1 + 0,11) 3 = 109,84 juta rubel.
Mari kita tentukan profitabilitas operasi ini, berdasarkan hubungan berikut:
Sejumlah peneliti, dengan mempertimbangkan kekurangan kriteria IRR, menyarankan untuk menggunakan kriteria lain sebagai gantinya - MIRR (IRR yang dimodifikasi). MIRR adalah pengembalian yang diharapkan dengan syarat bahwa semua pendapatan antara proyek diinvestasikan kembali pada tingkat pengembalian tertentu.
Meja 2
Seperti dapat dilihat dari Tabel 2, penggunaan kriteria MIRR menghilangkan kontradiksi antara indikator absolut dan relatif dari hasil pelaksanaan proyek. Sekarang pertanyaannya terjawab: preferensi harus diberikan pada proyek X1. Selain itu, di masa depan, ketika membandingkan dua proyek yang bersaing, NPV harus dipertimbangkan sebagai kriteria terbaik.
Contoh yang diberikan didasarkan pada kontradiksi antara kriteria NPV dan IRR ketika menganalisis proyek dengan jumlah investasi modal yang sama. Oleh karena itu, perlu juga mempertimbangkan contoh analisis proyek pesaing dengan volume investasi yang berbeda.
Tabel 3
| PROYEK | F menurut tahun (juta rubel) | NPV (r = 11%) | IRR | CERMIN (r = 11%) |
||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
||||
| X3 | -5 | 4,5 | 2,2 | 2,5 | 2,5 | 4,3 | 54% | 29,82% |
| X2 | -50 | 40 | 15 | 15 | 20 | 22,4 | 35% | 21,74% |
Analisis data yang disajikan pada Tabel 3 menunjukkan bahwa kriteria IRR dan MIRR menunjukkan proyek XZ, sedangkan kriteria NPV, yang diambil sebagai yang utama pada contoh sebelumnya, jelas berdiri di sisi proyek X2. Artinya, dalam situasi ini, masalah proyek yang tidak proporsional muncul (masalah skala). Oleh karena itu, keputusan akhir di sini hanya dapat dibuat setelah menganalisis kemungkinan penyisipan perbedaan antara CFo (XZ) dan CFo (X2). Dalam contoh kami, perbedaan ini adalah 45 juta rubel.
Misalkan kita memiliki peluang untuk menginvestasikan dana tersebut sebagai berikut:
Tabel 4
| PROYEK | F menurut tahun (juta rubel) | NPV (r = 11%) | IRR | CERMIN (r = 11%) |
||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
||||
| X4 | -45 | 36 | 13 | 13 | 18 | 19,3 | 34% | 21,38% |
Sekarang perlu untuk mengetahui mana yang lebih disukai - proyek XZ dan X4 atau proyek X2?
Tabel 5
| PROYEK | F menurut tahun (juta rubel) | NPV (r = 11%) | IRR | CERMIN (r = 11%) |
||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
||||
| X3 + X4 | -50 | 40,5 | 15,2 | 15,5 | 20,5 | 23,7 | 36% | 22,30% |
| X2 | -50 | 40 | 15 | 15 | 20 | 22,3 | 35% | 21,74% |
Mempertimbangkan hasil yang ditunjukkan pada Tabel 5, menjadi sangat jelas bahwa investor akan menolak proyek X2 dan mendukung pelaksanaan dua proyek XZ dan X4. Perlu dicatat bahwa pilihan terakhir akan tetap menjadi proyek X1:
Tabel 6
| PROYEK | F menurut tahun (juta rubel) | NPV (r = 11%) | IRR | CERMIN (r = 11%) |
||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
||||
| X3 + X4 | -50 | 40,5 | 15,2 | 15,5 | 20,5 | 23,7 | 36% | 22,30% |
| X1 | -50 | 0 | 0 | 15 | 110 | 33,5 | 26,7% | 26,16% |
Namun, mungkin ada situasi ketika, selain proyek XZ dan X4, tidak ada lagi proyek dengan NPV positif. Dalam hal ini, perlu untuk tidak fokus pada tingkat pengembalian, tetapi pada NPV.
Perlu dicatat bahwa masalah skala juga dapat muncul dalam kasus bundel NPV - PI. Dalam hal ini, teknik penyelesaiannya akan serupa.
Dengan demikian, kita dapat menarik kesimpulan berikut: disarankan untuk menganalisis proyek investasi dengan beberapa metode sekaligus, yang akan memungkinkan untuk memperoleh informasi penting tambahan tentang mereka.
^ 3. Mempertimbangkan inflasi saat menganalisis proyek
Dampak inflasi dapat diperhitungkan dengan menyesuaikan penerimaan di masa depan atau tingkat diskonto pada indeksnya. Dalam hal ini, disarankan untuk menggunakan ketergantungan berikut:
Dimana r nom adalah tingkat bunga nominal;
R riil - tingkat bunga riil;
adalah tingkat inflasi umum.
Untuk nilai kecil r dan λ rumus (7) dapat ditulis sebagai berikut:
R nom real + (8)
Baik tingkat bunga nominal maupun riil dapat digunakan sebagai tingkat diskonto. Pilihannya tergantung pada bagaimana arus kas proyek diukur. Jika arus kas disajikan secara riil (dalam harga konstan), maka tingkat bunga riil harus digunakan untuk pendiskontoan.
Namun, menggunakan suku bunga riil dan menghitung arus kas dengan harga konstan tidak memungkinkan terjadinya inflasi struktural. Dalam kasus seperti itu, perhitungan harus dilakukan pada harga saat ini:
Dalam kasus terakhir, bagaimanapun, kemampuan untuk memprediksi kenaikan harga diperlukan.
^ 4. Mempertimbangkan risiko saat menganalisis satu proyek
Analisis berbasis risiko dari satu proyek dilakukan hanya jika proyek investasi tersebut independen. Dalam hal ini, cukup menggunakan dua indikator: pengembalian yang diharapkan dan standar deviasi (RMS) pengembalian, yang sepenuhnya menentukan distribusi normal.
Pengembalian yang diharapkan dihitung sebagai berikut:
(11)
di mana R i adalah profitabilitas untuk skenario ke-i;
P i - probabilitas pengembangan acara sesuai dengan opsi ke-i;
N adalah jumlah opsi yang dipertimbangkan.
Dengan demikian, jelas bahwa pengembalian yang diharapkan adalah pengembalian yang paling mungkin terjadi pada proyek, sedangkan RMS, yang mengukur varians pengembalian yang diharapkan, merupakan indikator risiko proyek:
Saat membandingkan risiko untuk aset dengan pengembalian yang diharapkan berbeda, disarankan untuk menggunakan koefisien variasi (yaitu, ukuran varians relatif):
(13)
Jelas, semakin tinggi RMS dan CV, semakin tinggi risikonya. Sebagai contoh, perhatikan data sampel acak yang disajikan pada Tabel 7:
Tabel 7
| Proyek | R |  | CV |
| X1 | 12,5% | 3,12 | 0,25 |
| X2 | 11,0% | 3,32 | 0,30 |
| X3 | 12,2% | 2,68 | 0,22 |
Dalam contoh ini, proyek X2 adalah yang paling tidak menguntungkan dan sekaligus paling berisiko, oleh karena itu, proyek tersebut harus segera ditolak, dan pilihan selanjutnya akan bergantung pada sikap investor terhadap risiko. Jika negatif, proyek KhZ akan dilaksanakan. Jika investor cenderung mengambil risiko, preferensi akan diberikan kepada Proyek XI.
Praktek menunjukkan bahwa investor di tingkat pejabat kota mencoba untuk memilih risiko minimum. Jadi, dalam kasus kami, proyek KhZ akan diterima untuk investasi.
^ 5. Mempertimbangkan risiko saat menganalisis portofolio proyek
Biasanya, untuk mengurangi bagian risiko yang tidak sistematis, digunakan diversifikasi, yang didasarkan pada penciptaan portofolio yang efektif dengan menganalisis korelasi asetnya. Namun, perlu dicatat bahwa setiap investasi baru di sini harus dipertimbangkan dengan mempertimbangkan portofolio saat ini.
Mari kita pertimbangkan metodologi untuk menghitung risiko portofolio yang terdiri dari tiga proyek, dengan menggunakan contoh data yang disajikan pada Tabel 7, dan juga dengan ketentuan bahwa setiap proyek akan menerima sepertiga dari jumlah yang diinvestasikan.
Pengembalian portofolio akan ditentukan sebagai berikut:
(14)
Dimana R k adalah profitabilitas yang diharapkan dari proyek ke-k;
X k adalah bagian dana yang diinvestasikan dalam proyek ke-k;
M adalah jumlah proyek dalam portofolio.
Dalam contoh kami:
R portofolio = 12,5 1 / 3 + 11 1 / 3 + 12,2 1 / 3 = 11,9%.
Dalam contoh kami:
Cov 12 = 7,34 dan Cov 13 = – 8,12.
Dengan demikian, jelas bahwa profitabilitas proyek X1 dan X2 berubah dalam satu arah, dan profitabilitas proyek X1 dan X3, serta X2 dan X3 - dalam arah yang berlawanan. Namun, karena nilai absolut dari kovarians sulit untuk ditafsirkan, maka koefisien korelasi digunakan untuk menghitung derajat saling ketergantungan antar indikator:
Pada r = +1, indikator berubah dari waktu ke waktu dengan cara yang persis sama, pada r = -1, terjadi korelasi negatif sepenuhnya, dan nol menunjukkan tidak adanya hubungan.
Dalam contoh ini:
r 12 = 0,71, r 13 = –0,96 dan r 23 = –0,6.
Jelas, untuk mengurangi risiko, akan lebih bijaksana untuk menggabungkan portofolio proyek X1 dan X3. Namun, pada saat yang sama, perlu untuk menghitung risiko portofolio itu sendiri, dengan mempertimbangkan korelasi antar proyek:
Mari kita hitung risiko portofolio (X1, X3) di bawah kondisi investasi ekuitas yang sama:
.
Dengan demikian, risiko portofolio kami secara signifikan lebih rendah daripada risiko proyek konstituennya, dan untuk r< 0 диверсификация всегда будет приводить к подобным результатам. Однако при 0 < r < 1 также можно сократить риск, причем при определенных значениях r риск портфеля может оказаться ниже самого рискованного его актива.
Metodologi untuk menyusun portofolio dari beberapa proyek sama dengan menyusun portofolio dua aktif.
Dari seluruh rangkaian portofolio yang ditunjukkan oleh area pada Gambar 1, perlu untuk memilih portofolio yang berada di garis AB - mereka adalah yang memberikan risiko minimum dengan pengembalian yang diharapkan tertinggi. Selain itu, pilihan spesifik di antara mereka tergantung pada sikap kita terhadap risiko. Secara grafis, pilihan antara risiko dan pengembalian diekspresikan oleh kurva indiferen, satu set unik yang ada untuk setiap individu dalam hal preferensi orang tersebut untuk risiko dan pengembalian.
Gambar 1 Tugas memilih portofolio optimal.
Garis lurus dari pengembalian aset bebas risiko melalui titik singgung kurva portofolio AB disebut Garis Pasar Modal (CML) dan mencerminkan pilihan pengembalian risiko. Titik C pada Gambar. 1 dengan demikian mencerminkan risiko dan pengembalian portofolio pasar. Tingkat utilitas terbesar dicapai oleh investor pada titik di mana indiferen risiko dan kurva pengembaliannya menyentuh garis pasar modal. Jika investor lebih menyukai kepastian, maka titik ini akan ditempatkan di sebelah kiri portofolio pasar (di sebelah kiri C); investor berinvestasi di aset bebas risiko dan berisiko, dan portofolionya, sebagai hasilnya, memiliki risiko rendah dan pengembalian rendah. Jika investor lebih menghindari risiko, titik sentuhnya adalah di sebelah kanan portofolio pasar (di sebelah kanan C); dana diinvestasikan dalam aset berisiko dan portofolio memiliki risiko dan pengembalian yang lebih tinggi.
Masalah menemukan portofolio optimal yang terdiri dari banyak aset, pada prinsipnya, dapat diselesaikan dengan prosedur pemilihan - kami mencari portofolio dengan pengembalian yang diharapkan tertinggi pada tingkat risiko tertentu. Namun, dalam praktiknya, disarankan untuk menyelesaikan masalah alokasi modal dengan menggunakan program linier versi kuadrat.
Mari kita tentukan bobot spesifik aset ke-i dalam portofolio dalam hal biaya:
dimana CF OFt max adalah ukuran maksimum yang diijinkan dari program investasi untuk periode t.
Pertimbangkan metrik risiko agregat:
Fungsi tujuan (20), meminimalkan risiko portofolio akhir, di mana variabel biner X i bertindak sebagai kriteria untuk partisipasi dalam portofolio, nilai tunggal yang menunjukkan masuknya proyek ke-i ke dalam portofolio, dan nilai nol menunjukkan penolakan proyek ke-i dalam investasi, terlihat seperti berikut ini:
dengan batasan:
di mana NPV min adalah ukuran nilai sekarang bersih minimum yang dapat diterima dari portofolio;
T n - periode awal program investasi;
T k - periode akhir program investasi;
V k - vektor proyek yang bersaing;
V adalah satu set vektor proyek yang bersaing;
N l - jumlah proyek dari portofolio sebelumnya, T yang melebihi T n dari portofolio konstituen.
Jelas, ketika menghitung fungsi tujuan (20), hanya bagian dari matriks varians-kovarians (19), yang terletak di dan di bawah diagonal utama, yang digunakan, yang disebabkan oleh penerapan kondisi restriktif dalam nested loop tetapi kolom, dalam hal ini, karena ada dua kovarians untuk setiap kemungkinan pasangan proyek, faktor penggandaan diperkenalkan untuk nilai loop bersarang.
Dengan demikian, tugas optimasi adalah menentukan proyek mana yang harus diterima untuk investasi sehingga jumlah pendapatan yang diharapkan dan tingkat risiko secara optimal sesuai dengan tujuan investor, yang ditentukan oleh arah fungsi tujuan dan seperangkat tujuan. kendala:
1. Risiko, diukur dengan varians (RMS) dari portofolio, diminimalkan.
2. Pendapatan dari portofolio, sama dengan indikator tambahan dari nilai sekarang bersih yang diharapkan dari proyek yang diterima, tidak boleh lebih rendah dari jumlah yang disyaratkan, yang ditetapkan oleh nilai yang didiskontokan ke periode investasi awal.
3. Total volume investasi tahunan tidak dapat melebihi batas dana yang tersedia (dialokasikan) yang ditetapkan untuk jangka waktu tertentu secara terpisah untuk setiap tahun program investasi.
4. Hanya satu dari proyek yang mewakili kelompok yang sama dari proyek yang bersaing yang dapat dimasukkan dalam portofolio.
5. Penyusunan portofolio baru dilakukan dengan mempertimbangkan pencantuman wajib dalam komposisi proyek-proyek portofolio sebelumnya, periode penyelesaian program investasi yang melebihi periode awal program investasi portofolio baru.
6. Proyek-proyek yang sedang dipertimbangkan tidak tunduk pada pemisahan.
Masalah yang diuraikan mencakup sejumlah kendala berupa ketimpangan, terutama penetapan batas-batas investasi pada arah-arah tertentu. Jika tidak, tidak dapat dijamin bahwa solusi yang dihasilkan akan berada di tepi efisiensi. Dengan demikian, kita bisa mendapatkan portofolio yang lebih berisiko, namun, kita tidak perlu menggunakan semua uang kita, dan / atau kita akan bisa mendapatkan lebih banyak pendapatan.
Perhitungan dan penerbitan karakteristik portofolio yang dihasilkan:
Banyak proyek yang dipilih:
Kekayaan bersih portofolio yang diharapkan hari ini:
Pengembalian portofolio yang diharapkan:
Risiko portofolio:
Menghemat sumber daya keuangan:
Ada definisi yang berbeda dari konsep "risiko", oleh karena itu, meringkas hal di atas, risiko yang kami maksud adalah situasi ketika ada beberapa kemungkinan hasil dari tindakan tertentu, serta ada data yang diperlukan dari masa lalu, yang memungkinkan untuk menghitung beberapa dependensi untuk memprediksi kemungkinan hasil di masa depan.
Model CAPM (model penetapan harga aset modal), banyak digunakan untuk menyusun portofolio, dikembangkan oleh W. Sharp, berangkat dari fakta bahwa penting untuk hanya mempertimbangkan risiko sistematis dari setiap aset individu. Namun, dalam karya G. Markowitz, pentingnya memperhitungkan risiko secara umum terbukti secara umum. Oleh karena itu, alasan sebelumnya justru didasarkan pada premis ini.
Risiko sistematis disebabkan oleh faktor-faktor seperti inflasi. krisis ekonomi, faktor pasar umum lainnya.
Kehadiran risiko non-sistematis dikaitkan dengan peristiwa acak yang memengaruhi aset atau perusahaan tertentu.
Daftar bibliografi
Bard V.S. Kompleks keuangan dan investasi: teori dan praktik dalam konteks reformasi ekonomi Rusia. - M: Keuangan dan statistik, 1998. - 304s.
Bogatin Yu.V., Shvandar V.A. Analisis investasi: Buku teks untuk mahasiswa universitas, pelatihan ekonomi; Bogatin Yu.V., Shvandar V.A.. - M.: UNITI, 2000. - 286p.
Bogatin Yu.V., Shvandar V.A. Evaluasi efektivitas bisnis dan investasi: Buku teks untuk mahasiswa universitas, pelatihan ekonomi - M: Keuangan, UNITI-DANA, 1999. - 256s.
Bocharov V.V. Manajemen investasi: Buku Ajar. - St. Petersburg dan lainnya: Peter, 2000 .-- 152s. - Kursus pendek.
Brodsky M.N., Brodsky G.M. Hukum dan Ekonomi: Konsultasi Investasi; Universitas Ekonomi dan Keuangan Negeri St. Petersburg, Akademi Internasional Keamanan Nasional Eropa Bersatu. - SPb., 1999 .-- 488s.
Vakhrin P.I. Organisasi dan pembiayaan investasi: (Pengumpulan tugas-tugas praktis dan situasi tertentu): Buku teks. - M.: Inform.-Pusat Implementasi "Pemasaran", 1999. - 149p.
Igoshin N.V. Investasi Organisasi manajemen dan pembiayaan: Buku teks untuk universitas mahasiswa, pelatihan untuk spesialis ekonomi .. - M: Keuangan, UNITI, 1999. - 414p.
V.V. Kovalev Analisis keuangan Manajemen modal Pilihan investasi Analisis pelaporan. - Edisi ke-2 Revisi dan tambahan .. - M .: Keuangan dan statistik, 1997. - 511s.
Kolemaev V.A. Ekonomi matematika. - M .: Keuangan dan statistik, 2003 .-- 206s.
Krushvits L. Pembiayaan dan investasi Fondasi neoklasik dari teori keuangan: Buku teks untuk universitas: Diterjemahkan dari bahasa Jerman .. - St. Petersburg. dan lain-lain: Peter, 2000 .-- 381p. - Kursus dasar.
Limitovsky M.A. Dasar-dasar mengevaluasi keputusan investasi dan keuangan. - Edisi ke-3, Tambahan dan revisi.. - M.: DeKA, 1998. - 231s.
Evaluasi efisiensi investasi perusahaan: Metode.rekomendasi untuk menulis org.-ekonomi. bagian dari proyek diploma oleh mahasiswa teknologi. spesialis.; Departemen Ekonomi dan Manajemen Universitas Teknik Negeri Tver pr-vom; Disusun oleh V.A. Nikolskaya, A.G. Bokicheva. - Tver, 2000 .-- 12p.
Salmanov O.N. Ekonomi matematika menggunakan Mathcad dan Excel. BHV-Petersburg, 2003 .-- 464p.
Sergeev I.V., Veretennikova I.I. Organisasi dan pembiayaan investasi: Buku teks untuk mahasiswa yang belajar di bidang dan spesialisasi ekonomi; Sergeev I.V., Veretennikova I.I .. - M .: Keuangan dan statistik, 2000. - 271p.
Holt R.N., Barnes S.B. Perencanaan investasi: [Buku Teks]: Diterjemahkan dari bahasa Inggris .. - M.: Akad.nar.khoz-va: Delo, 1994. - 118s.
Chetyrkin E.M. Analisis keuangan investasi produksi; Akademisi Peternakan Rakyat di bawah Pemerintah Federasi Rusia. - M.: Delo, 1998 .-- 255s.
Sharp W.F., Alexander G.D. Investasi: Diterjemahkan dari bahasa Inggris; Disiapkan dengan bantuan keuangan Dana Nasional untuk Persiapan Keuangan dan Personil Manajemen dalam rangka program "Bank.delo". - M.: INFRA-M, 1997 .-- 1024s.
Dukungan perangkat lunak dan informasi
Microsoft Office 2000: Microsoft Excel.
A.V. Monakhov Metode matematika analisis ekonomi. // www. Toko saya. ru.
Kolemaev V.A. Buku Ajar Ekonomi Matematika. // www. Hugahuga. ru.