Sistem pemotongan yang lengkap dan dikurangi. Vasilisa Yaviks adalah mesin pencari yang cerdas. besok sudah ada di sini! Informasi dasar dari teori

Seperti ditunjukkan pada §5, hubungan modulo keterbandingan m mempunyai sifat refleksivitas, simetri dan transitivitas; oleh karena itu merupakan relasi ekivalensi. Ambil bilangan bulat sembarang a. Mari kita nyatakan dengan o himpunan bilangan yang sebanding dengan modulo m: Misalkan. Biarkan saja sekarang. Dan sebagainya. Proses akan berlanjut hingga himpunan yang dibangun mencakup seluruh himpunan bilangan bulat. Dalam hal ini, terjadi partisi himpunan Z menjadi himpunan a. b, c,..yang disebut kelas residu modulo m; setiap bilangan yang termasuk dalam salah satu kelas disebut sisa kelas tersebut. Banyaknya kelas residu modulo m sama dengan m. Memang, sisa pembagian bilangan bulat dengan m mengambil salah satu nilai m - 2 atau m - 1 dan oleh karena itu masing-masing bilangan tersebut termasuk dalam salah satu kelas 01, yang jumlahnya sama dengan m. Dengan mengambil satu bilangan dari setiap kelas residu, kita memperoleh suatu sistem perwakilan dari kelas-kelas residu, atau sistem residu yang lengkap modulo m. Sistem residu Contoh 1. Berbagai sistem residu yang lengkap modulo 7: Lemma 3. Bilangan xm membentuk sistem residu modulo m yang lengkap jika dan hanya jika bilangan tersebut berpasangan modulo m yang tak tertandingi. Mari kita buktikan kecukupannya. Jika dua bilangan tidak sebanding modulonya maka keduanya termasuk dalam kelas residu yang berbeda. Karena totalnya terdapat m kelas residu dan jumlah yang dipertimbangkan adalah mn, maka residu tersebut merupakan sistem residu yang lengkap. Lemma 4. Misalkan xm adalah sistem residu lengkap modulo m, bilangan bulat a koprima ke m, b bilangan bulat sembarang. Kemudian bilangan axi + 6, ax2 + b, ..axm -f b juga membentuk sistem residu yang lengkap. Himpunan pengurangan deduksi dari berbagai kelas deduksi disebut sistem deduksi tereduksi. Contoh 2. Untuk m = 7, sistem residu tereduksi akan terlihat seperti ini: Sistem residu Fungsi Euler (p(t) adalah banyaknya bilangan asli yang tidak melebihi m dan saling sederhana ke m. Misalnya, . Sangat mudah untuk melihat bahwa jika p adalah suatu bilangan prima, maka jelaslah bahwa sistem tereduksi dari residu modulo m mengandung bilangan-bilangan. Lemma 6. Misalkan a adalah suatu sistem tereduksi dari residu modulo m. Maka bilangan ax\, axk juga membentuk sistem residu tereduksi modulo m. 4 Karena bilangan o dan X( koprima terhadap m, hasil kali ax* mempunyai sifat yang sama. Menurut Lemma 4, bilangan ax\, ax2,... termasuk dalam kelas yang berbeda residu, dan oleh karena itu, berdasarkan sistem sebelumnya, mereka membentuk sistem residu yang tereduksi.

Cincin residu modulo N menunjukkan atau. Kelompok perkaliannya, seperti dalam kasus umum kelompok elemen cincin yang dapat dibalik, dilambangkan dengan ∗ × × .

Kasus paling sederhana

Untuk memahami struktur grup, Anda dapat mempertimbangkan kasus khusus, dimana merupakan bilangan prima, dan menggeneralisasikannya. Mari kita pertimbangkan kasus paling sederhana ketika , yaitu .

Teorema: - grup siklik.

Contoh : Pertimbangkan sebuah grup

= (1,2,4,5,7,8) Pembangkit golongannya adalah bilangan 2. ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ Seperti yang bisa kita lihat, setiap elemen grup dapat direpresentasikan dalam bentuk , dimana ≤ℓφ . Artinya, grup tersebut bersifat siklik.

Kasus umum

Untuk mempertimbangkan kasus umum, perlu didefinisikan akar primitif. Modulo akar primitif sebuah bilangan prima adalah bilangan yang, bersama dengan kelas residunya, menghasilkan suatu grup.

Contoh: 2 11 ; 8 - akar modulo primitif 11 ; 3 bukan modulo root primitif 11 .

Dalam kasus keseluruhan modul, definisinya sama.

Struktur grup ditentukan oleh teorema berikut: Jika p adalah bilangan prima ganjil dan l adalah bilangan bulat positif, maka terdapat akar-akar primitif modulo , yaitu grup siklik.

Contoh

Sistem residu modulo yang diberikan terdiri dari kelas residu: . Sehubungan dengan perkalian yang ditentukan untuk kelas-kelas residu, mereka membentuk suatu grup, dan mereka juga saling invers (yaitu, ⋅ ), dan juga kebalikannya.

Struktur kelompok

Notasi tersebut berarti "grup siklik dengan orde n".

Struktur kelompok (Z/ N Z) ×

	×	φ	λ	Pembuat grup			×	φ	λ	Pembuat grup			×	φ	λ	Pembuat grup			×	φ	λ	Pembuat grup
1	C 1	1	1	0		33	C 2 × C 10	20	10	2, 10		65	C 4 × C 12	48	12	2, 12		97	Bab 96	96	96	5
2	C 1	1	1	1		34	Bab 16	16	16	3		66	C 2 × C 10	20	10	5, 7		98	Bab 42	42	42	3
3	dari 2	2	2	2		35	C 2 × C 12	24	12	2, 6		67	Bab 66	66	66	2		99	C 2 × C 30	60	30	2, 5
4	dari 2	2	2	3		36	C 2 × C 6	12	6	5, 19		68	C 2 × C 16	32	16	3, 67		100	C 2 × C 20	40	20	3, 99
5	dari 4	4	4	2		37	Bab 36	36	36	2		69	C 2 × C 22	44	22	2, 68		101	dari 100	100	100	2
6	dari 2	2	2	5		38	Bab 18	18	18	3		70	C 2 × C 12	24	12	3, 69		102	C 2 × C 16	32	16	5, 101
7	dari 6	6	6	3		39	C 2 × C 12	24	12	2, 38		71	sejak 70	70	70	7		103	Bab 102	102	102	5
8	C 2 × C 2	4	2	3, 5		40	C 2 × C 2 × C 4	16	4	3, 11, 39		72	C 2 × C 2 × C 6	24	6	5, 17, 19		104	C 2 × C 2 × C 12	48	12	3, 5, 103
9	dari 6	6	6	2		41	dari 40	40	40	6		73	Bab 72	72	72	5		105	C 2 × C 2 × C 12	48	12	2, 29, 41
10	dari 4	4	4	3		42	C 2 × C 6	12	6	5, 13		74	Bab 36	36	36	5		106	Bab 52	52	52	3
11	dari 10	10	10	2		43	Bab 42	42	42	3		75	C 2 × C 20	40	20	2, 74		107	Bab 106	106	106	2
12	C 2 × C 2	4	2	5, 7		44	C 2 × C 10	20	10	3, 43		76	C 2 × C 18	36	18	3, 37		108	C 2 × C 18	36	18	5, 107
13	Bab 12	12	12	2		45	C 2 × C 12	24	12	2, 44		77	C 2 × C 30	60	30	2, 76		109	Bab 108	108	108	6
14	dari 6	6	6	3		46	Bab 22	22	22	5		78	C 2 × C 12	24	12	5, 7		110	C 2 × C 20	40	20	3, 109
15	C 2 × C 4	8	4	2, 14		47	Bab 46	46	46	5		79	Bab 78	78	78	3		111	C 2 × C 36	72	36	2, 110
16	C 2 × C 4	8	4	3, 15		48	C 2 × C 2 × C 4	16	4	5, 7, 47		80	C 2 × C 4 × C 4	32	4	3, 7, 79		112	C 2 × C 2 × C 12	48	12	3, 5, 111
17	Bab 16	16	16	3		49	Bab 42	42	42	3		81	Bab 54	54	54	2		113	Bab 112	112	112	3
18	dari 6	6	6	5		50	dari 20	20	20	3		82	dari 40	40	40	7		114	C 2 × C 18	36	18	5, 37
19	Bab 18	18	18	2		51	C 2 × C 16	32	16	5, 50		83	Bab 82	82	82	2		115	C 2 × C 44	88	44	2, 114
20	C 2 × C 4	8	4	3, 19		52	C 2 × C 12	24	12	7, 51		84	C 2 × C 2 × C 6	24	6	5, 11, 13		116	C 2 × C 28	56	28	3, 115
21	C 2 × C 6	12	6	2, 20		53	Bab 52	52	52	2		85	C 4 × C 16	64	16	2, 3		117	C 6 × C 12	72	12	2, 17
22	dari 10	10	10	7		54	Bab 18	18	18	5		86	Bab 42	42	42	3		118	Bab 58	58	58	11
23	Bab 22	22	22	5		55	C 2 × C 20	40	20	2, 21		87	C 2 × C 28	56	28	2, 86		119	C 2 × C 48	96	48	3, 118
24	C 2 × C 2 × C 2	8	2	5, 7, 13		56	C 2 × C 2 × C 6	24	6	3, 13, 29		88	C 2 × C 2 × C 10	40	10	3, 5, 7		120	C 2 ×C 2 ×C 2 ×C 4	32	4	7, 11, 19, 29
25	dari 20	20	20	2		57	C 2 × C 18	36	18	2, 20		89	Bab 88	88	88	3		121	Bab 110	110	110	2
26	Bab 12	12	12	7		58	Bab 28	28	28	3		90	C 2 × C 12	24	12	7, 11		122	dari 60	60	60	7
27	Bab 18	18	18	2		59	Bab 58	58	58	2		91	C 6 × C 12	72	12	2, 3		123	C 2 × C 40	80	40	7, 83
28	C 2 × C 6	12	6	3, 13		60	C 2 × C 2 × C 4	16	4	7, 11, 19		92	C 2 × C 22	44	22	3, 91		124	C 2 × C 30	60	30	3, 61
29	Bab 28	28	28	2		61	dari 60	60	60	2		93	C 2 × C 30	60	30	11, 61		125	dari 100	100	100	2
30	C 2 × C 4	8	4	7, 11		62	dari 30	30	30	3		94	Bab 46	46	46	5		126	C 6 × C 6	36	6	5, 13
31	dari 30	30	30	3		63	C 6 × C 6	36	6	2, 5		95	C 2 × C 36	72	36	2, 94		127	Bab 126	126	126	3
32	C 2 × C 8	16	8	3, 31		64	C 2 × C 16	32	16	3, 63		96	C 2 × C 2 × C 8	32	8	5, 17, 31		128	C 2 × C 32	64	32	3, 127

Aplikasi

Dalam kesulitan, Farm, Hooley, . Waring merumuskan teorema Wilson, dan Lagrange membuktikannya. Euler mengusulkan keberadaan akar primitif modulo bilangan prima. Gauss membuktikannya. Artin mengemukakan hipotesisnya tentang keberadaan dan kuantifikasi bilangan prima, modulo yang bilangan bulatnya merupakan akar primitif. Brouwer berkontribusi pada masalah keberadaan himpunan bilangan bulat berurutan, yang masing-masing merupakan mod pangkat ke-k p. Bilharz membuktikan analogi dugaan Artin. Hooley membuktikan dugaan Artin dengan asumsi validitas hipotesis Riemann yang diperluas dalam bidang bilangan aljabar.

Catatan

Literatur

• Irlandia K., Rosen M. Pengantar klasik teori bilangan modern. - M.: Mir, 1987.
• Alferov A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. Cheremushkin A.V. Dasar-dasar kriptografi. - Moskow: “Helios ARV”, 2002.
• Rostovtsev A.G., Makhovenko E.B. Kriptografi teoretis. - SPb: NPO “Profesional”, 2004.

Biasanya sebagai sistem pengurangan modulo yang lengkap M residu non-negatif terkecil diambil

0,1,...,M − 1

atau pengurangan terkecil mutlak yang terdiri dari angka-angka

,

jika terjadi ganjil M dan angka

dalam kasus genap M .

Lihat juga

Literatur

• I.M.Vinogradov Dasar-dasar Teori Bilangan. - M.-L.: Negara. ed. literatur teknis dan teoritis, 1952. - 180 hal.

Yayasan Wikimedia.

2010.

Lihat apa itu “Sistem pemotongan penuh” di kamus lain:

Modulo m, kumpulan bilangan bulat apa pun yang berisi satu bilangan dari setiap kelas bilangan modulo m (dua bilangan bulat a dan b termasuk dalam kelas modulo m yang sama jika a b habis dibagi m; lihat Reduksi). Sebagai P.s. V. lebih sering… … Modulo adalah himpunan bilangan bulat yang modulonya tidak dapat dibandingkan satu sama lain. Biasanya sebagai P. s. V. modulo residu non-negatif terkecil 0, 1, . . ., m 1 atau sisa mutlak terkecil, terdiri dari angka 0, +1, . . ., V… …

Ensiklopedia Matematika Bagian dari sistem residu lengkap (Lihat Sistem residu lengkap), terdiri dari bilangan koprima dengan modulus m. P.S. V. berisi φ(m) bilangan [φ(m) banyaknya bilangan koprima sampai m dan kurang dari m]. Bilangan φ(m) apa pun yang tidak sebanding modulo m dan... ...

Ensiklopedia Besar Soviet

Dalam teori bilangan, perbandingan [memperjelas] modulo bilangan asli n, suatu relasi ekivalensi pada himpunan bilangan bulat yang ditentukan oleh bilangan yang ditentukan, terkait dengan pembagiannya. Ruang faktor dalam relasi ini disebut “cincin” ... ... Wikipedia

Simetri kepingan salju dikaitkan dengan sekelompok rotasi melalui sudut yang merupakan kelipatan 60°. Grup berhingga adalah grup aljabar yang mengandung sejumlah elemen berhingga (bilangan ini disebut ordenya). Selanjutnya, grup tersebut dianggap perkalian, yaitu operasi di ... ... Wikipedia

Fungsi k dapat direpresentasikan dengan deret pangkat. Menghilangkan pentingnya kelas A. f. didefinisikan sebagai berikut. Pertama, kelas ini cukup luas: mencakup sebagian besar fungsi yang ditemui dalam soal-soal dasar matematika dan... ... Modulo adalah himpunan bilangan bulat yang modulonya tidak dapat dibandingkan satu sama lain. Biasanya sebagai P. s. V. modulo residu non-negatif terkecil 0, 1, . . ., m 1 atau sisa mutlak terkecil, terdiri dari angka 0, +1, . . ., V… …

I Isi : I. Pendidikan dasar masyarakat pada umumnya. II. Pendidikan negeri dasar di luar negeri: Austria-Hongaria, Inggris, Belgia, Bulgaria, Jerman, Belanda, Denmark, Spanyol, Italia, Norwegia, Portugal, Rumania, Serbia, ... ... Kamus Ensiklopedis F.A. Brockhaus dan I.A. Efron

- - lahir pada tanggal 26 Mei 1799 di Moskow, di Jalan Nemetskaya di rumah Skvortsov; meninggal 29 Januari 1837 di St. Dari pihak ayahnya, Pushkin berasal dari keluarga bangsawan tua, menurut silsilah, keturunan “dari ... ... Ensiklopedia biografi besar

Himpunan rumus tertutup logika predikat tahap 1. E. t.Sistem tanda tangan aljabar kelas K Th(K) disebut. himpunan semua rumus tertutup logika predikat tanda tangan tahap 1 benar pada semua sistem dari kelas K. Jika kelas... ... Modulo adalah himpunan bilangan bulat yang modulonya tidak dapat dibandingkan satu sama lain. Biasanya sebagai P. s. V. modulo residu non-negatif terkecil 0, 1, . . ., m 1 atau sisa mutlak terkecil, terdiri dari angka 0, +1, . . ., V… …

Pada paragraf sebelumnya telah disebutkan bahwa rasio  M modulo komparabilitas sewenang-wenang M adalah relasi ekivalen pada himpunan bilangan bulat. Relasi ekivalensi ini menginduksi partisi himpunan bilangan bulat ke dalam kelas-kelas elemen yang ekuivalen satu sama lain, yaitu. bilangan yang bila dibagi M saldo yang identik. Jumlah kelas kesetaraan  M(para ahli akan mengatakan - “indeks kesetaraan  M") sama persis M.

Definisi. Nomor apa pun dari kelas kesetaraan  M kami akan menyebutnya residu modulo M. Satu set pengurangan yang diambil satu dari setiap kelas kesetaraan  M, disebut sistem residu modulo yang lengkap M(dalam sistem deduksi yang lengkap, oleh karena itu, hanya ada m angka). Sisanya sendiri bila dibagi M disebut residu non-negatif terkecil dan, tentu saja, membentuk sistem residu modulo yang lengkap M. Deduksi ρ disebut terkecil mutlak jika ⎪ ρ ⎪ yang terkecil di antara modul residu di kelas ini.

Contoh: Membiarkan M= 5. Maka:

0, 1, 2, 3, 4 - residu non-negatif terkecil;

2, -1, 0, 1, 2 adalah pengurangan terkecil mutlak.

Kedua himpunan bilangan tersebut membentuk sistem residu modulo 5 yang lengkap.

Lemma 1. 1) Apa saja M potongan yang modulusnya tidak sebanding M bilangan membentuk sistem residu modulo yang lengkap M.

2) Jika A Dan M relatif sederhana, dan X berjalan melalui sistem lengkap residu modulo M, maka nilai-nilai bentuk linier AX + B, Di mana B– bilangan bulat apa pun, juga dijalankan melalui sistem residu modulo yang lengkap M.

Bukti. Pernyataan 1) sudah jelas. Mari kita buktikan pernyataan 2) Bilangan AX+B mulus M hal-hal. Mari kita tunjukkan bahwa modulusnya tidak sebanding M. Biarkan saja untuk beberapa orang yang berbeda X 1 dan X 2 dari sistem pemotongan yang lengkap ternyata kapak 1 + B ≡ kapak 2 + B(mod m). Kemudian berdasarkan sifat perbandingan dari paragraf sebelumnya kita peroleh:

kapak 1 ≡ kapak 2 (mod M)

X 1 ≡ X 2 (mod M)

- kontradiksi dengan fakta itu X 1 dan X 2 berbeda dan diambil dari sistem pemotongan yang lengkap.

Karena semua bilangan dari kelas ekuivalen tertentu  M diperoleh dari satu bilangan suatu kelas tertentu dengan menjumlahkan suatu bilangan yang merupakan kelipatan M, maka semua bilangan dari kelas ini mempunyai modulus M pembagi persekutuan terbesar yang sama. Untuk beberapa alasan, yang semakin menarik adalah potongan-potongan yang ada pada modul M pembagi persekutuan terbesar sama dengan satu, yaitu residu yang koprima terhadap modulus.

Definisi. Sistem pengurangan modulo yang dikurangi M adalah himpunan semua residu dari sistem lengkap yang koprima terhadap modulus M.

Sistem tereduksi biasanya dipilih dari residu non-negatif terkecil. Jelas bahwa sistem residu modulo diberikan M berisi ϕ (M) potongan potongan, dimana ϕ (M) – Fungsi Euler – jumlah bilangan yang kurang dari M dan saling prima dengan M.

Fungsi Euler.

Fungsi Euler ϕ (A) adalah banyaknya bilangan dari deret 0, 1, 2,..., A–1, koprima dengan A.

Kata pengantar singkat. Membiarkan

T
Kapan:

khususnya, φ( P α) = P α – Pα -1 , φ( P) = P–1.

Contoh. Membiarkan M= 42. Maka sistem residunya adalah:

1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

Lemma 2. 1) Apa saja ϕ (M) bilangan yang berpasangan tidak dapat dibandingkan dalam modulus M dan berkoprima dengan modulus, membentuk sistem sisa modulo yang tereduksi M.

2) Jika D(A, M) = 1 dan X berjalan melalui sistem tereduksi residu modulo M, Itu AX juga berjalan melalui sistem residu modulo yang tereduksi M.

Bukti. Pernyataan 1) sudah jelas. Mari kita buktikan pernyataan 2). Angka AX berpasangan tidak ada bandingannya (hal ini dibuktikan dengan cara yang sama seperti pada Lemma 1 paragraf ini), ada persisnya ϕ (M) hal-hal. Jelas juga bahwa semuanya relatif prima terhadap modulusnya, karena D(A, M)=1, D(X,M)=1 ⇒ D(kapak, M)=1. Jadi angkanya AX membentuk sistem residu yang tereduksi.

Lemma 3. Membiarkan M 1 , M 2 , ..., M k – berpasangan relatif prima dan M 1 M 2 ...M k =M 1 M 1 =M 2 M 2 =...=M k M k , Di mana M J =m 1 ...M J -1 m J +1...m k

1) Jika X 1 , X 2 , ..., X k dijalankan melalui sistem modul residu yang lengkap M 1 , M 2 , ..., M k M 1 X 1 +M 2 X 2 + ...+M k X k dijalankan melalui sistem pengurangan modulo yang lengkap m= m 1 M 2 ...M k .

2) Jika ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k dijalankan melalui modulo sistem residu tereduksi M 1 , M 2 , ..., M k karenanya, maka nilai-nilainya berbentuk linier M 1 ξ 1 +M 2 ξ 2 + ...+M k ξ k dijalankan melalui sistem tereduksi residu modulo m= m 1 M 2 ...M k .

Lemma 4. Membiarkan X 1 , X 2 , ..., X k , X berjalan selesai, dan ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ k , ξ – dijalankan melalui sistem modulo residu yang tereduksi M 1 , M 2 ,...,M k Dan m=m 1 M 2 ...M k masing-masing, di mana (M Saya M J )=1 pada Saya≠ J. Kemudian pecahan (X 1 /M 1 +x 2 /M 2 +...+x k /M k } bertepatan dengan pecahan (x/m), dan pecahan { ξ 1 /M 1 + ξ 2 /M 2 +...+ ξ k /M k } bertepatan dengan pecahan { ξ /M).

Mari kita nyatakan dengan ε k k akar ke-th M- oh kekuatan kesatuan:

Di Sini k=0,1,...,M-1 – berjalan melalui sistem residu modulo yang lengkap M.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa jumlah ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 semua akar M pangkat satu sama dengan nol untuk pangkat apa pun M. Memang benar, misalkan ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 = sebuah. Kalikan jumlah ini dengan angka bukan nol ε 1. Perkalian geometris pada bidang kompleks berarti memutar yang benar M-gon, pada simpul dimana akar ε berada 0 + ε 1 +...+ ε m-1, ke sudut bukan nol 2 π /M. Jelas bahwa dalam hal ini akarnya ε 0 pergi ke akar ε 1 , akar ε 1 pergi ke akar ε 2 , dll., dan akar ε m-1 pergi ke akar ε 0 , yaitu. jumlah ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 tidak akan berubah. Kami punya ε 1 sebuah = sebuah, Di mana sebuah=0.

Teorema 1. Membiarkan m>0– bilangan bulat, A Z, X berjalan melalui sistem lengkap residu modulo M. Lalu jika A banyak M, Itu

jika tidak, jika A bukan kelipatan M,

Teorema 2. Membiarkan m>0 adalah bilangan bulat, ξ berjalan melalui sistem residu tereduksi modulo M. Kemudian (jumlah akar derajat antiturunan M):

dimana μ( M) – Fungsi Möbius.

Sistem pemotongan penuh. Sistem pemotongan yang diberikan. Sistem deduksi yang paling umum adalah: paling tidak positif, paling tidak non-negatif, paling tidak, dll.

Teorema 1. Sifat-sifat sistem residu yang lengkap dan tereduksi.

1°.Kriteria untuk sistem pemotongan yang lengkap. Koleksi apa pun M bilangan bulat yang berpasangan tidak dapat dibandingkan dalam modulus M, membentuk sistem residu modulo yang lengkap M.

2°. Jika angkanya X 1 , X 2 , ..., xm– sistem pengurangan modulo yang lengkap M, (A, M) = 1, B adalah bilangan bulat sembarang, lalu angkanya kapak 1 +B, kapak 2 +B, ..., kapak m+B juga membuat sistem pengurangan modulo yang lengkap M.

3°. Kriteria pengurangan sistem pemotongan. Koleksi apa pun yang terdiri dari j( M) bilangan bulat yang tidak dapat dibandingkan secara berpasangan dalam modulus M dan koprima dengan modulus, membentuk sistem sisa modulo yang tereduksi M.

4°. Jika angkanya X 1 , X 2 , ..., X J ( M) – sistem residu modulo tereduksi M, (A, M) = 1, lalu angkanya kapak 1 , kapak 2 , ..., sebuah x J ( M) juga membentuk sistem tereduksi residu modulo M.

Teorema 2. teorema Euler.

Jika angkanya A Dan M relatif prima, kalau begitu A J ( M) º 1(mod M).

Konsekuensi.

1°. teorema Fermat. Jika P– bilangan prima dan A tidak habis dibagi P, Itu sebuah hal–1 º 1(mod P).

2°. Teorema Fermat yang digeneralisasi. Jika P adalah bilangan prima, kalau begitu sebuah hal º A(mod P) untuk apa pun AÎ Z .

§ 4. Memecahkan perbandingan dengan variabel

Memecahkan perbandingan. Persamaan derajatnya. Tingkat perbandingan.

Dalil. Sifat-sifat solusi perbandingan.

1°.Solusi terhadap perbandingan adalah keseluruhan kelas residu.

2°. (" k)(sebuah k º bk(mod M))Ù k= Þ perbandingan º 0 (mod M) dan º 0 (mod M) setara.

3°. Jika kedua ruas perbandingan tersebut dikalikan dengan bilangan koprima terhadap modulusnya, maka akan diperoleh perbandingan yang ekuivalen dengan perbandingan aslinya.

4°. Modulo prime perbandingan apa pun P setara dengan perbandingan yang derajatnya tidak melebihi P–1.

5°. Perbandingan º 0 (mod P), Di mana P– bilangan prima, tidak lebih dari N berbagai solusi.

6°. teorema Wilson. ( N–1)! º –1 (mod N) Û N bilangan prima.

§ 5. Memecahkan perbandingan tingkat pertama

kapak º B(mod M).

Dalil. 1°. Jika ( A, M) = 1, maka perbandingan tersebut mempunyai solusi, dan solusi unik.

2°. Jika ( A, M) = D Dan B tidak habis dibagi D, maka perbandingannya tidak memiliki solusi.

3°. Jika ( A, M) = D Dan B dibagi dengan D, maka perbandingannya memiliki D solusi berbeda yang membentuk satu kelas residu modulo.

Cara untuk menyelesaikan perbandingan kapak º B(mod M) dalam kasus ketika ( A, M) = 1:

1) seleksi (pemilihan unsur-unsur sistem pemotongan yang lengkap);

2) penggunaan teorema Euler;

3) penggunaan algoritma Euclidean;

4) variasi koefisien (penggunaan properti 2° dari sistem sisa lengkap dari Teorema 2.2);

§ 6. Persamaan derajat pertama yang belum ditentukan

kapak+oleh = C.

Dalil. Persamaan kapak+oleh = C dapat dipecahkan jika dan hanya jika C (A, B).

Dalam kasus ( A, B) = 1 semua solusi persamaan diberikan oleh rumus

TÎ Z , Di mana X 0 adalah beberapa solusi perbandingan

kapak º C(mod B), kamu 0 = .

Persamaan Diophantine.

BAB 10. Bilangan kompleks

Definisi sistem bilangan kompleks. Keberadaan sistem bilangan kompleks

Definisi sistem bilangan kompleks.

Dalil. Ada sistem bilangan kompleks.

Model: R 2 dengan operasi

(A, B)+(C, D) = (A+C, B+D), (A, B)×( C, D) = (ac–bd, SM+iklan),

Saya= (0, 1) dan identifikasi A = (A, 0).

Bentuk aljabar bilangan kompleks

Representasi bilangan kompleks sebagai z = A+dua, Di mana A, BÎ R , Saya 2 = –1. Keunikan representasi tersebut. Ulang z, Aku z.

Aturan untuk melakukan operasi aritmatika pada bilangan kompleks dalam bentuk aljabar.

Hitung N ruang vektor -dimensi C N. Sistem persamaan linear, matriks dan determinan selesai C .

Mengekstraksi akar kuadrat bilangan kompleks dalam bentuk aljabar.