Бүрэн ба бууруулсан суутгалын систем. Василиса Явикс бол ухаалаг хайлтын систем юм. маргааш аль хэдийн энд байна! Онолын үндсэн мэдээлэл

§5-д үзүүлснээр m-ийн харьцуулах модулийн хамаарал нь рефлекс, тэгш хэм, шилжилтийн шинж чанартай; тиймээс энэ нь эквивалент хамаарал юм дурын бүхэл тоо a. m модультай харьцуулах тооны олонлогийг o гэж тэмдэглэе: Let. Одоо байг. гэх мэт. Баригдсан олонлогууд бүхэл тооны багцыг хамрах хүртэл процесс үргэлжилнэ. Энэ тохиолдолд Z олонлогийг a олонлогт хуваах нь үүснэ. b, c,.. үлдэгдэл анги гэж нэрлэгддэг модуль m; аль нэг ангид орсон тоо бүрийг энэ ангийн үлдэгдэл гэж нэрлэдэг. Үлдэгдэл ангиудын тоо m модуль нь m-тэй тэнцүү бөгөөд бүхэл тоог m-д хуваахад үлдэгдэл нь m - 2 эсвэл m - 1 утгуудын аль нэгийг авдаг тул тоо бүр нь 01 ангиллын аль нэгэнд ордог. тоо нь m-тэй тэнцүү үлдэгдэл анги тус бүрээс нэг тоог авч үлдэгдлийн ангиудын төлөөлөгчийн систем буюу үлдэгдлийн систем m Жишээ 1. Үлдэгдлийн янз бүрийн бүрэн систем модуль 7: Лемма 3. Xm тоонууд модуль m үлдэгдлийн бүрэн системийг бүрдүүлдэг, хэрэв тэдгээр нь хосоороо харьцуулшгүй модуль m байвал л шаардлагатай. Хангалттай гэдгийг баталъя. Хэрэв хоёр тоог харьцуулах боломжгүй модуль байвал тэдгээр нь өөр өөр үлдэгдэл ангилалд багтана. Нийт m ангиллын үлдэгдлүүд байх ба авч үзэж буй тоонууд нь mn байдаг тул тэдгээр нь үлдэгдлийн бүрэн системийг бүрдүүлдэг. Лемма 4. xm нь үлдэгдэлийн бүрэн систем m, бүхэл тоо нь m-ийн хоёрдогч тоо, b дурын бүхэл тоо байг. Дараа нь axi + 6, ax2 + b, ..axm -f b тоонууд мөн үлдэгдлийн бүрэн системийг бүрдүүлдэг. Янз бүрийн ангиллын суутгалын бууруулсан суутгалын багцыг хасалтын бууруулсан систем гэж нэрлэдэг. Жишээ 2. m = 7-ийн хувьд бууруулсан үлдэгдлийн систем нь дараах байдлаар харагдаж болно: Үлдэгдлийн систем Эйлерийн функц (p(t) нь m-ээс хэтрэхгүй, m-д харилцан адилгүй натурал тоонуудын тоо юм. Жишээ нь: Хэрэв p нь анхны тоо бол m үлдэгдлийн систем нь Lemma 6-ыг агуулна гэдэг нь ойлгомжтой. axk нь мөн модуль m үлдэгдлийн багасгасан системийг бүрдүүлдэг 4 o ба X( тоонууд нь m-тэй ижил хэмжээтэй тул тэдгээрийн үржвэрийн ax* нь ижил шинж чанартай байна. Лемма 4-т ax\, ax2,... тоонууд өөр өөр тоонд хамаарна. үлдэгдлийн ангиуд, тиймээс өмнөх ангийн ачаар тэдгээр нь үлдэгдлийн багасгасан системийг бүрдүүлдэг.

Модуло үлдэгдэл цагираг nэсвэл тэмдэглэнэ. Бөгжний урвуу элементийн бүлгийн ерөнхий тохиолдлын нэгэн адил түүний үржүүлэх бүлгийг дараах байдлаар тэмдэглэнэ. ∗ × × .

Хамгийн энгийн тохиолдол

Бүлгийн бүтцийг ойлгохын тулд анхны тоо хаана байна гэсэн тусгай тохиолдлыг авч үзээд ерөнхийд нь дүгнэж болно. -ийн хамгийн энгийн тохиолдлыг авч үзье.

Теорем: - мөчлөгийн бүлэг.

Жишээ : Бүлгийг авч үзье

= (1,2,4,5,7,8) Бүлгийн үүсгэгч нь 2 тоо юм. ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ Бидний харж байгаагаар бүлгийн аль ч элементийг хаана хэлбэрээр төлөөлж болно ≤ℓφ . Өөрөөр хэлбэл, бүлэг нь мөчлөгтэй байдаг.

Ерөнхий хэрэг

Ерөнхий тохиолдлыг авч үзэхийн тулд анхдагч үндэсийг тодорхойлох шаардлагатай. Анхны язгуур модуль нь анхны дугаар нь үлдэгдлийн ангийн хамт бүлэг үүсгэдэг тоо юм.

Жишээ нь: 2 11 ; 8 - анхдагч үндэс модуль 11 ; 3 нь анхдагч үндэс модуль биш юм 11 .

Бүхэл бүтэн модулийн хувьд тодорхойлолт нь адилхан.

Бүлгийн бүтцийг дараах теоремоор тодорхойлно: Хэрэв p нь сондгой анхны тоо, l нь эерэг бүхэл тоо бол модулийн үндсэн язгуурууд байдаг, өөрөөр хэлбэл цикл бүлэг юм.

Жишээ

Өгөгдсөн модулийн үлдэгдлийн систем нь үлдэгдлийн ангиллуудаас бүрдэнэ: . Үлдэгдэл ангиудад тодорхойлсон үржүүлгийн хувьд тэдгээр нь бүлэг үүсгэдэг бөгөөд тэдгээр нь мөн харилцан урвуу байдаг (өөрөөр хэлбэл, ⋅ ), мөн тэдгээрийн урвуу байдаг.

Бүлгийн бүтэц

Тэмдэглэгээ нь "n дарааллын мөчлөгийн бүлэг" гэсэн утгатай.

Бүлгийн бүтэц (З/ n Z) ×

	×	φ	λ	Бүлгийн генератор			×	φ	λ	Бүлгийн генератор			×	φ	λ	Бүлгийн генератор			×	φ	λ	Бүлгийн генератор
1	C 1	1	1	0		33	C 2 × C 10	20	10	2, 10		65	C 4 × C 12	48	12	2, 12		97	C 96	96	96	5
2	C 1	1	1	1		34	C 16	16	16	3		66	C 2 × C 10	20	10	5, 7		98	C 42	42	42	3
3	C 2	2	2	2		35	C 2 × C 12	24	12	2, 6		67	C 66	66	66	2		99	C 2 × C 30	60	30	2, 5
4	C 2	2	2	3		36	C 2 × C 6	12	6	5, 19		68	C 2 × C 16	32	16	3, 67		100	C 2 × C 20	40	20	3, 99
5	C 4	4	4	2		37	C 36	36	36	2		69	C 2 × C 22	44	22	2, 68		101	C 100	100	100	2
6	C 2	2	2	5		38	C 18	18	18	3		70	C 2 × C 12	24	12	3, 69		102	C 2 × C 16	32	16	5, 101
7	C 6	6	6	3		39	C 2 × C 12	24	12	2, 38		71	C 70	70	70	7		103	C 102	102	102	5
8	C 2 × C 2	4	2	3, 5		40	C 2 × C 2 × C 4	16	4	3, 11, 39		72	C 2 × C 2 × C 6	24	6	5, 17, 19		104	C 2 × C 2 × C 12	48	12	3, 5, 103
9	C 6	6	6	2		41	C 40	40	40	6		73	C 72	72	72	5		105	C 2 × C 2 × C 12	48	12	2, 29, 41
10	C 4	4	4	3		42	C 2 × C 6	12	6	5, 13		74	C 36	36	36	5		106	C 52	52	52	3
11	C 10	10	10	2		43	C 42	42	42	3		75	C 2 × C 20	40	20	2, 74		107	C 106	106	106	2
12	C 2 × C 2	4	2	5, 7		44	C 2 × C 10	20	10	3, 43		76	C 2 × C 18	36	18	3, 37		108	C 2 × C 18	36	18	5, 107
13	C 12	12	12	2		45	C 2 × C 12	24	12	2, 44		77	C 2 × C 30	60	30	2, 76		109	C 108	108	108	6
14	C 6	6	6	3		46	C 22	22	22	5		78	C 2 × C 12	24	12	5, 7		110	C 2 × C 20	40	20	3, 109
15	C 2 × C 4	8	4	2, 14		47	C 46	46	46	5		79	C 78	78	78	3		111	C 2 × C 36	72	36	2, 110
16	C 2 × C 4	8	4	3, 15		48	C 2 × C 2 × C 4	16	4	5, 7, 47		80	C 2 × C 4 × C 4	32	4	3, 7, 79		112	C 2 × C 2 × C 12	48	12	3, 5, 111
17	C 16	16	16	3		49	C 42	42	42	3		81	C 54	54	54	2		113	C 112	112	112	3
18	C 6	6	6	5		50	C 20	20	20	3		82	C 40	40	40	7		114	C 2 × C 18	36	18	5, 37
19	C 18	18	18	2		51	C 2 × C 16	32	16	5, 50		83	C 82	82	82	2		115	C 2 × C 44	88	44	2, 114
20	C 2 × C 4	8	4	3, 19		52	C 2 × C 12	24	12	7, 51		84	C 2 × C 2 × C 6	24	6	5, 11, 13		116	C 2 × C 28	56	28	3, 115
21	C 2 × C 6	12	6	2, 20		53	C 52	52	52	2		85	C 4 × C 16	64	16	2, 3		117	C 6 × C 12	72	12	2, 17
22	C 10	10	10	7		54	C 18	18	18	5		86	C 42	42	42	3		118	C 58	58	58	11
23	C 22	22	22	5		55	C 2 × C 20	40	20	2, 21		87	C 2 × C 28	56	28	2, 86		119	C 2 × C 48	96	48	3, 118
24	C 2 × C 2 × C 2	8	2	5, 7, 13		56	C 2 × C 2 × C 6	24	6	3, 13, 29		88	C 2 × C 2 × C 10	40	10	3, 5, 7		120	C 2 × C 2 × C 2 × C 4	32	4	7, 11, 19, 29
25	C 20	20	20	2		57	C 2 × C 18	36	18	2, 20		89	C 88	88	88	3		121	C 110	110	110	2
26	C 12	12	12	7		58	C 28	28	28	3		90	C 2 × C 12	24	12	7, 11		122	C 60	60	60	7
27	C 18	18	18	2		59	C 58	58	58	2		91	C 6 × C 12	72	12	2, 3		123	C 2 × C 40	80	40	7, 83
28	C 2 × C 6	12	6	3, 13		60	C 2 × C 2 × C 4	16	4	7, 11, 19		92	C 2 × C 22	44	22	3, 91		124	C 2 × C 30	60	30	3, 61
29	C 28	28	28	2		61	C 60	60	60	2		93	C 2 × C 30	60	30	11, 61		125	C 100	100	100	2
30	C 2 × C 4	8	4	7, 11		62	C 30	30	30	3		94	C 46	46	46	5		126	C 6 × C 6	36	6	5, 13
31	C 30	30	30	3		63	C 6 × C 6	36	6	2, 5		95	C 2 × C 36	72	36	2, 94		127	C 126	126	126	3
32	C 2 × C 8	16	8	3, 31		64	C 2 × C 16	32	16	3, 63		96	C 2 × C 2 × C 8	32	8	5, 17, 31		128	C 2 × C 32	64	32	3, 127

Өргөдөл

Хэцүү байдал дээр Farm, Hooley, . Уоринг Вилсоны теоремыг томъёолж, Лагранж үүнийг баталжээ. Эйлер анхдагч язгуурууд нь анхны тооны модулиар оршин тогтнохыг санал болгосон. Гаусс үүнийг нотолсон. Артин өгөгдсөн бүхэл тоо нь анхдагч язгуур болох анхны тоонуудын оршин тогтнол, тоон үзүүлэлтийн талаархи таамаглалаа дэвшүүлэв. Браувер нь дараалсан бүхэл тоонуудын олонлогийн оршин тогтнох асуудалд хувь нэмрээ оруулсан бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь k-р хүч юм. Билхарз Артины таамаглалын аналогийг баталжээ. Hooley алгебрийн тооны талбарт Риеманы өргөтгөсөн таамаглалыг хүчинтэй гэж үзэн Артины таамаглалыг баталжээ.

Тэмдэглэл

Уран зохиол

• Ирланд К., Розен М.Орчин үеийн тооны онолын сонгодог танилцуулга. - М.: Мир, 1987.
• Алферов А.П., Зубов А.Ю., Кузьмин А.С. Черемушкин А.В.Криптографийн үндэс. - Москва: "Гелиос ARV", 2002 он.
• Ростовцев А.Г., Маховенко Е.Б.Онолын криптограф. - Санкт-Петербург: NPO "Мэргэжлийн", 2004 он.

Ихэвчлэн модулийн суутгалын бүрэн систем хэлбэрээр мхамгийн бага сөрөг бус үлдэгдлийг авдаг

0,1,...,м − 1

эсвэл тооноос бүрдэх үнэмлэхүй хамгийн бага хасалтууд

,

сондгой тохиолдолд мболон тоонууд

тэнцүү тохиолдолд м .

Мөн үзнэ үү

Уран зохиол

• I. M. ВиноградовТооны онолын үндэс. - М.-Л.: Улс. ed. техник, онолын уран зохиол, 1952. - 180 х.

Викимедиа сан.

2010 он.

Бусад толь бичгүүдээс "Суутгалын бүрэн систем" гэж юу болохыг харна уу.

Модуло m, тоонуудын анги тус бүрээс нэг тоог агуулсан бүхэл тоонуудын аль ч цуглуулга m модуль (хэрэв a b нь m-д хуваагддаг бол a ба b хоёр бүхэл тоо нь m модулийн нэг ангилалд хамаарна; Бууруулах хэсгийг үзнэ үү). P.s хувьд. В. илүү олон удаа …… Модуль гэдэг нь өөр хоорондоо зүйрлэшгүй бүхэл тоонуудын багц юм. Ихэвчлэн P. s. В. хамгийн бага сөрөг бус үлдэгдлийг модуль 0, 1, . . ., m 1 буюу 0, +1, тооноос бүрдэх хамгийн бага үлдэгдэл. . ., V……

Математик нэвтэрхий толь бичиг Үлдэгдлийн иж бүрэн системийн нэг хэсэг (Үлдэгдлийн иж бүрэн системийг үзнэ үү), модуль m-тэй харьцуулах тооноос бүрддэг. P.S. В. φ(m) тоонуудыг агуулна [φ(m) m-тэй харьцуулсан тооны тоо ба m-ээс бага]. Харьцуулж болохгүй φ(m) тоонууд m ба... ...

Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Тооны онолд харьцуулалт нь натурал n тоо, түүнд хуваагдах чадвартай холбоотой, заасан тоогоор тодорхойлогдсон бүхэл тоонуудын олонлог дээрх эквивалент хамаарлыг модуль болгон [тодруулъя]. Энэ хамаарлын хүчин зүйлийн орон зайг “цагираг” гэж нэрлэдэг ... ... Википедиа

Цасан ширхгийн тэгш хэм нь 60°-ын үржвэртэй өнцгөөр эргэх бүлэгтэй холбоотой байдаг. Энэ нь хязгаарлагдмал тооны элементүүдийг агуулсан алгебрийн бүлэг юм (энэ тоог түүний дараалал гэж нэрлэдэг). Цаашилбал, бүлгийг үржүүлэгч гэж үздэг, өөрөөр хэлбэл ... ... Википедиа дахь үйл ажиллагаа.

k функцийг чадлын цуваагаар илэрхийлж болно. А ангийн ач холбогдлыг арилгана. f. дараах байдлаар тодорхойлогддог. Нэгдүгээрт, энэ анги нь нэлээд өргөн хүрээтэй: энэ нь математикийн үндсэн асуултуудад тулгардаг ихэнх функцуудыг хамардаг ... ... Модуль гэдэг нь өөр хоорондоо зүйрлэшгүй бүхэл тоонуудын багц юм. Ихэвчлэн P. s. В. хамгийн бага сөрөг бус үлдэгдлийг модуль 0, 1, . . ., m 1 буюу 0, +1, тооноос бүрдэх хамгийн бага үлдэгдэл. . ., V……

I Агуулга: I. Нийтийн анхан шатны боловсрол. II. Гадаадад төрийн анхан шатны боловсрол: Австри-Унгар, Англи, Бельги, Болгар, Герман, Голланд, Дани, Испани, Итали, Норвеги, Португал, Румын, Серби, ... ... Нэвтэрхий толь бичиг Ф.А. Брокхаус ба И.А. Эфрон

- - 1799 оны 5-р сарын 26-нд Москвад, Немецкая гудамжинд Скворцовын гэрт төрсөн; 1837 оны 1-р сарын 29-нд Санкт-Петербургт нас барсан. Аавынхаа талд Пушкин эртний язгууртны гэр бүлд харьяалагддаг байсан бөгөөд удам угсаагаар "... ...-аас гаралтай" удам угсаатай байжээ. Том намтар нэвтэрхий толь бичиг

1-р шатны предикат логикийн хаалттай томъёоны багц. E. t Th(K) ангиллын алгебрийн системүүд гэж нэрлэдэг. 1-р шатны предикатуудын логикийн бүх хаалттай томьёоны багц K ангиллын бүх систем дээр үнэн гарын үсэг. Хэрэв анги... ... Модуль гэдэг нь өөр хоорондоо зүйрлэшгүй бүхэл тоонуудын багц юм. Ихэвчлэн P. s. В. хамгийн бага сөрөг бус үлдэгдлийг модуль 0, 1, . . ., m 1 буюу 0, +1, тооноос бүрдэх хамгийн бага үлдэгдэл. . ., V……

Өмнөх догол мөрөнд  харьцаа гэж тэмдэглэсэн мхарьцуулах модуль дурын мбүхэл тооны олонлог дээрх эквивалент хамаарал юм. Энэхүү эквивалент хамаарал нь бүхэл тооны багцыг өөр хоорондоо эквивалент элементүүдийн ангилалд хуваахыг өдөөдөг, өөрөөр хэлбэл. хуваах тоо мижил тэнцэл. Эквивалент ангиллын тоо  м(шинжээчид хэлэх болно - "тэнцүү байдлын индекс  м") яг тэнцүү байна м.

Тодорхойлолт.Эквивалент ангиас дурын тоо  мБид үүнийг модулийн үлдэгдэл гэж нэрлэх болно м. Эквивалент анги бүрээс нэгийг авсан хасалтын багц  м, модулийн үлдэгдлийн бүрэн систем гэж нэрлэдэг м(тусгалын бүрэн системд зөвхөн m тоо байдаг). Үлдэгдэл нь өөрөө хуваагдах үед мХамгийн бага сөрөг бус үлдэгдэл гэж нэрлэгддэг бөгөөд мэдээжийн хэрэг модулийн үлдэгдлийн бүрэн системийг бүрдүүлдэг. м. Суутгал ρ ⎪ бол туйлын хамгийн бага гэж нэрлэдэг ρ ⎪ энэ ангийн үлдэгдэл модулиудын хамгийн жижиг нь.

Жишээ: Болъё м= 5. Дараа нь:

0, 1, 2, 3, 4 - хамгийн бага сөрөг бус үлдэгдэл;

2, -1, 0, 1, 2 нь үнэмлэхүй хамгийн бага хасалт юм.

Өгөгдсөн тоонуудын аль аль нь модуль 5-ын үлдэгдлийн бүрэн системийг бүрдүүлдэг.

Лемма 1. 1) Ямар ч ммодулийн хувьд харьцуулах боломжгүй хэсгүүд мтоо нь модулийн үлдэгдлийн бүрэн системийг бүрдүүлдэг м.

2) Хэрэв АТэгээд мхарьцангуй энгийн бөгөөд xмодулийн үлдэгдлийн бүрэн системээр дамждаг м, дараа нь шугаман хэлбэрийн утгууд Аx + б, Хаана б– дурын бүхэл тоо нь модулийн үлдэгдлийн бүрэн системээр дамждаг м.

Баталгаа.Мэдэгдэл 1) тодорхой байна. 2) Тоонууд гэсэн мэдэгдлийг баталцгаая Аx+бгөлгөр мзүйлс. Тэдгээрийг модулийн хувьд харьцуулах боломжгүй гэдгийг харуулъя м. За энэ нь арай өөр байх болтугай x 1 ба x 2 суутгалын бүрэн системээс энэ нь тодорхой болсон сүх 1 + б ≡ сүх 2 + б(mod m). Дараа нь өмнөх догол мөрийн харьцуулалтын шинж чанарын дагуу бид дараахь зүйлийг авна.

сүх 1 ≡ сүх 2 (mod м)

x 1 ≡ x 2 (mod м)

- үүнтэй зөрчилдөж байна x 1 ба x 2 нь өөр бөгөөд хасалтын бүрэн системээс авсан.

Өгөгдсөн эквивалент ангийн бүх тоо  мөгөгдсөн ангийн нэг тооноос үржвэртэй тоог нэмэх замаар олж авна м, тэгвэл энэ ангийн бүх тоонууд модультай байна мижил хамгийн том нийтлэг хуваагч. Зарим шалтгааны улмаас модультай холбоотой хасалтууд нэмэгдэж байгаа нь сонирхол татдаг мнэгтэй тэнцүү хамгийн том нийтлэг хуваагч, i.e. модультай харьцуулсан үлдэгдэл.

Тодорхойлолт.Модулийн суутгалын бууруулсан систем мнь бүрэн системээс модультай харьцуулсан бүх үлдэгдлийн багц юм м.

Багасгасан системийг ихэвчлэн хамгийн бага сөрөг бус үлдэгдэлээс сонгодог. Өгөгдсөн систем модулийн үлдэгдэл гэдэг нь тодорхой байна магуулсан ϕ (м) суутгалын хэсэг, хаана ϕ (м) – Эйлер функц – түүнээс бага тооны тоо мболон харилцан ашигтай м.

Эйлер функц.

Эйлер функц ϕ (а) нь 0, 1, 2,..., цувралын тоонуудын тоо юм. а–1, давах а.

Лемма.Болъё

Т
хэзээ:

ялангуяа, φ( х α) = х α – хα -1 , φ( х) = х–1.

Жишээ. Болъё м= 42. Дараа нь үлдэгдлийн өгөгдсөн систем нь:

1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

Лемма 2. 1) Ямар ч ϕ (м) модулийн хувьд хосоороо харьцуулшгүй тоонууд ммодультай харьцуулж, модулийн үлдэгдлийн багасгасан системийг бүрдүүлнэ м.

2) Хэрэв г(а, м) = 1 ба xмодулийн үлдэгдлийн багасгасан системээр дамждаг м, Тэр Аxмөн модулийн үлдэгдлийн багасгасан системээр дамждаг м.

Баталгаа. Мэдэгдэл 1) тодорхой байна. 2-р мэдэгдлийг баталцгаая). Тоонууд Аxхосоороо харьцуулашгүй (энэ нь энэ догол мөрийн 1-р Лемма-тай ижил аргаар батлагдсан), яг ϕ (м) зүйлс. Тэд бүгд модулийн хувьд харьцангуй анхдагч байх нь тодорхой байна, учир нь г(а, м)=1, г(x,м)=1 ⇒ г(сүх, м)=1. Тиймээс тоонууд Аxүлдэгдэл багассан системийг бүрдүүлнэ.

Лемма 3.Болъё м 1 , м 2 , ..., м к – хосоороо харьцангуй анхдагч ба м 1 м 2 ...м к =М 1 м 1 =М 2 м 2 =...=М к м к , Хаана М j =м 1 ...м j -1 м j +1...м к

1) Хэрэв x 1 , x 2 , ..., x к үлдэгдэл модулийн иж бүрэн системээр дамждаг м 1 , м 2 , ..., м к М 1 x 1 +М 2 x 2 + ...+М к x к модулийн суутгалын иж бүрэн системээр дамжих м = м 1 м 2 ...м к .

2) Хэрэв ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ к багасгасан үлдэгдэл систем модуль дамжуулан ажиллуулах м 1 , м 2 , ..., м күүний дагуу шугаман хэлбэрийн утгууд М 1 ξ 1 +М 2 ξ 2 + ...+М к ξ кмодулийн үлдэгдэл багассан системээр дамжин гүйх м = м 1 м 2 ...м к .

Лемма 4.Болъё x 1 , x 2 , ..., x к , xбүрэн гүйх ба ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ к , ξ – модулийн үлдэгдлийн бууруулсан системээр дамжих м 1 , м 2 ,...,м к Тэгээд м=м 1 м 2 ...м к тус тус хаана (м би м j )=1 цагт би≠ j. Дараа нь бутархай (х 1 /м 1 +x 2 /м 2 +...+x к /м к } бутархайтай давхцдаг (х/м), ба бутархай { ξ 1 /м 1 + ξ 2 /м 2 +...+ ξ к /м к } бутархайтай давхцдаг { ξ /м).

-ээр тэмдэглэе ε к к th үндэс м-Эв нэгдлийн хүч:

Энд к=0,1,...,м-1 - модулийн үлдэгдлийн бүрэн системээр дамждаг м.

ε нийлбэр гэдгийг сануулъя 0 + ε 1 +...+ ε м-1 бүх үндэс маль нэгийн хувьд 0-р хүч нь тэгтэй тэнцүү байна м. Нээрээ ε 0 + ε 1 +...+ ε м-1 = a. Энэ дүнг тэгээс өөр тоогоор үржүүлнэ ε 1. Нарийн төвөгтэй хавтгайд геометрийн аргаар ийм үржүүлэх нь зөвийг эргүүлэх гэсэн үг юм м-гон, оройнуудад ε үндэс байрладаг 0 + ε 1 +...+ ε м-1, тэгээс өөр өнцгөөр 2 π /м. Энэ тохиолдолд үндэс ε байх нь тодорхой байна 0 ε үндэс рүү очно 1 , үндэс ε 1 ε үндэс рүү очно 2 гэх мэт ба язгуур ε м-1ε үндэс рүү очно 0 , өөрөөр хэлбэл нийлбэр ε 0 + ε 1 +...+ ε м-1 өөрчлөгдөхгүй. Бидэнд ε байна 1 a=a, хаана a=0.

Теорем 1.Болъё m>0- бүхэл тоо, а З, xмодулийн үлдэгдлийн бүрэн системээр дамждаг м. Дараа нь бол Аолон м, Тэр

өөрөөр, хэрэв Аолон биш м,

Теорем 2.Болъё m>0бүхэл тоо, ξ нь үлдэгдлийн модулийг багасгасан системээр дамждаг м. Дараа нь (зэрэглэлийн эсрэг дериватив язгууруудын нийлбэр м):

хаана μ( м) – Möbius функц.

Суутгалын бүрэн систем. Өгөгдсөн суутгалын систем. Суутгалын хамгийн түгээмэл системүүд нь: хамгийн бага эерэг, хамгийн бага сөрөг, туйлын бага гэх мэт.

Теорем 1. Үлдэгдлийн бүрэн ба багасгасан системийн шинж чанарууд.

1°.Суутгалын бүрэн тогтолцооны шалгуур. Аливаа цуглуулга ммодулийн хувьд хосоороо харьцуулшгүй бүхэл тоонууд м, модулийн үлдэгдлийн бүрэн системийг бүрдүүлдэг м.

2°. Хэрэв тоонууд x 1 , x 2 , ..., х м– модулийн суутгалын бүрэн систем м, (а, м) = 1, бнь дурын бүхэл тоо, дараа нь тоонууд сүх 1 +б, сүх 2 +б, ..., сүх м+бмөн модулийн суутгалын бүрэн системийг бүрдүүлнэ м.

3°. Суутгалын бууруулсан системийн шалгуур. j(-аас бүрдэх аливаа цуглуулга м) модулийн хувьд хосоороо харьцуулшгүй бүхэл тоо ммодультай давхцаж, модулийн үлдэгдлийн багасгасан системийг бүрдүүлнэ м.

4°. Хэрэв тоонууд x 1 , x 2 , ..., x j ( м) – модулийн үлдэгдэл багассан систем м, (а, м) = 1, дараа нь тоонууд сүх 1 , сүх 2 , ..., а х j ( м) мөн модулийн үлдэгдлийн багасгасан системийг бүрдүүлнэ м.

Теорем 2.Эйлерийн теорем.

Хэрэв тоонууд аТэгээд мхарьцангуй анхдагч, тэгвэл а j ( м) º 1(заг м).

Үр дагавар.

1°. Фермагийн теорем. Хэрэв х– анхны тоо ба а-д хуваагдахгүй х, Тэр a p–1 º 1(mod х).

2°. Фермагийн ерөнхий теорем. Хэрэв хтэгвэл анхны тоо a p º а(mod х) аль ч хувьд аÎ З .

§ 4. Хувьсагчтай харьцуулалтыг шийдвэрлэх

Харьцуулалтыг шийдвэрлэх. Тэнцүү байдал. Харьцуулах зэрэг.

Теорем. Харьцуулалтын шийдлийн шинж чанарууд.

1°. Харьцуулалтын шийдэл нь үлдэгдлийн бүхэл бүтэн анги юм.

2°. (" к)(a k º б к(mod м))Ù к= Þ харьцуулалт º 0 (mod м) ба º 0 (mod м) тэнцүү байна.

3°. Харьцуулалтын хоёр талыг модулийн тоогоор үржүүлбэл анхныхтай дүйцэхүйц харьцуулалт гарна.

4°. Аливаа харьцуулалтын модуль хзэрэг нь хэтрээгүй харьцуулалттай тэнцүү байна х–1.

5°. Харьцуулалт º 0 (mod х), Хаана х– анхны тоо, түүнээс ихгүй байна nянз бүрийн шийдэл.

6°. Вилсоны теорем. ( n-1)! º –1 (mod n) Û nанхны тоо.

§ 5. Нэгдүгээр зэрэглэлийн харьцуулалтыг шийдвэрлэх

сүх º б(mod м).

Теорем. 1°. Хэрэв ( а, м) = 1, тэгвэл харьцуулалт нь шийдэлтэй, өвөрмөц шийдэлтэй байна.

2°. Хэрэв ( а, м) = гТэгээд б-д хуваагдахгүй г, тэгвэл харьцуулалт ямар ч шийдэлгүй болно.

3°. Хэрэв ( а, м) = гТэгээд бхуваасан г, дараа нь харьцуулалт байна гүлдэгдлийн нэг ангиллыг бүрдүүлдэг өөр өөр уусмалууд модуль .

Харьцуулалтыг шийдвэрлэх арга замууд сүх º б(mod м) тохиолдолд ( а, м) = 1:

1) сонголт (суутгалын бүрэн системийн элементүүдийг сонгох);

2) Эйлерийн теоремыг ашиглах;

3) Евклидийн алгоритмыг ашиглах;

4) коэффициентүүдийн өөрчлөлт (теорем 2.2-ын үлдэгдлийн бүрэн системийн 2 ° өмчийг ашиглах);

§ 6. Нэгдүгээр зэргийн тодорхойгүй тэгшитгэл

сүх+by = в.

Теорем. Тэгшитгэл сүх+by = взөвхөн хэрэв тийм бол шийдэгдэх боломжтой в (а, б).

тохиолдолд ( а, б) = 1 тэгшитгэлийн бүх шийдийг томъёогоор өгөгдсөн

тÎ З , Хаана x 0 бол зарим харьцуулах шийдэл юм

сүх º в(mod б), y 0 = .

Диофантийн тэгшитгэл.

БҮЛЭГ 10. Цогцолбор тоо

Комплекс тоонуудын системийн тодорхойлолт. Комплекс тоонуудын систем оршин тогтнох

Комплекс тоонуудын системийн тодорхойлолт.

Теорем. Нарийн төвөгтэй тоонуудын систем байдаг.

Загвар: Р 2 үйл ажиллагаатай

(а, б)+(в, г) = (а+в, б+г), (а, б)×( в, г) = (ac–бд, МЭӨ+зар),

би= (0, 1) ба таних А = (А, 0).

Комплекс тооны алгебрийн хэлбэр

Комплекс тоог дараах байдлаар илэрхийлнэ z = а+би, Хаана а, бÎ Р , би 2 = –1. Ийм дүрслэлийн өвөрмөц байдал. Re zби байна z.

Алгебрийн хэлбэрээр нийлмэл тоон дээр арифметик үйлдлийг гүйцэтгэх дүрэм.

Арифметик n- хэмжээст вектор орон зай C n. Шугаман тэгшитгэлийн систем, матриц, тодорхойлогч C .

Комплекс тоонуудын квадрат язгуурыг алгебрийн хэлбэрээр гаргаж авах.