6 funksjoner av rentesammensatte formler i tabellen. Formler med sammensatt rente. Fremtidig enhetsverdi

17.03.2015 11:00 9922

Standard rentesammensatte funksjoner

Bruken av standard rentesammensatte funksjoner gjør det mulig å beregne verdien av hvilke som helst av elementene som karakteriserer kontantstrømmer fordelt over tid - kostnad, betaling, tid, rente - forutsatt at de andre elementene er kjent.

Som regel snakker vi om 6 funksjoner med renters rente:

• det akkumulerte beløpet av enheten (dens fremtidige verdi),
• akkumulering av en enhet per periode,
• bidrag til dannelsen av kompensasjonsfondet,
• reversion (nåværende enhetsverdi),
• nåverdien av en ordinær livrente,
• enhetsavskrivningsbidrag

Fordi disse funksjonene brukes så mye og hyppig, er det utviklet standardtabeller som inkluderer forhåndsberegnet rentes rentefaktorer. I denne sammenheng er en faktor ett av to eller flere tall som, når de multipliseres, gir et gitt resultat. Alle disse faktorene er opprettet ved å bruke den grunnleggende formelen (1 + i)n, som beskriver den akkumulerte mengden av en enhet, og faktisk er derivater av denne faktoren.

Fremtidig enhetsverdi.

Den fremtidige verdien av en enhet er en funksjon som bestemmer dens akkumulerte beløp etter n perioder if avkastning på kapital er lik i. Funksjonen innebærer at avkastningen på kapitalen mottatt i perioden, sammen med startkapital danner grunnlaget for å fastsette kapitalavkastningen i neste periode.

Det beregnes ved hjelp av formelen:

hvor FV er fremtidig verdi;
PV - nåværende verdi;
i - inntektsrate;

FVF(i;n) = (1 + i)n - faktor for den fremtidige verdien av enheten (akkumulert beløp).

Ved å bruke denne funksjonen kan du beregne den fremtidige verdien sum penger, basert på dens nåværende verdi, avkastningen på kapital og varigheten av akkumuleringsperioden.

For tiden er kostnaden for en tomt på 1000 dollar, med en avkastning på 14%. Den forventes solgt om to år. Dessuten verken dens egenskaper eller markedsforhold vil ikke endre seg. I dette tilfellet vil den fremtidige verdien av tomten være lik $1300:

eller, som er det samme

Akkumulering av enheter over en periode.

Periodeakkumulering er en funksjon som bestemmer den fremtidige verdien av en ordinær livrente (det vil si en serie like periodiske utbetalinger og PMT-innbetalinger) over n perioder med en kapitalavkastningsrente, dvs.
En ordinær livrente er en serie med like periodiske innbetalinger og kvitteringer, hvorav den første gjøres ved slutten av neste periode etter den nåværende. Hvis utbetalinger skjer på forhånd (i begynnelsen av hver periode), snakker vi om en forskuddsrente.

Den fremtidige verdien av en ordinær livrente beregnes ved å bruke formelen:

hvor FVA er fremtidig verdi av en ordinær livrente
PMT – verdien av en av en serie like periodiske betalinger eller kvitteringer
i - inntektsrate;
n - antall perioder;

En faktor i den fremtidige verdien av en ordinær livrente.

Det er nødvendig å beregne den fremtidige verdien av en tomt kjøpt med forbehold om utsatt betaling i seks måneder og kompensasjon på 12% per år. Betalinger gjøres ved slutten av hver måned - i like beløp på $1000 I dette tilfellet vil den fremtidige verdien av tomten være lik $6152.

eller hva som er det samme

Bidrag til dannelsen av et kompensasjonsfond.

Bidrag til dannelsen av kompensasjonsfondet er en funksjon som bestemmer utbetalingsbeløpet for en ordinær livrente, hvis fremtidige verdi etter n perioder, med kurs i, er lik 1.

Med andre ord, ved å bruke bidragsfunksjonen for dannelsen av et kompensasjonsfond, kan du bestemme størrelsen på en lik periodisk betaling (vanlig inntekt) som kreves for å akkumulere et visst beløp til slutten av en spesifisert periode, under hensyntagen til akkumulerte renter, til en viss inntektsrate.

Beløpet for en lik periodisk betaling beregnes ved å bruke formelen:

hvor PMT er beløpet for en lik periodisk betaling;
FV - fremtidig verdi av en ordinær livrente
i - inntektsrate;
n - antall perioder;

Erstatningsfondsfaktor
SFF(i;n) (gjenopprettingsfondsfaktor) er den gjensidige verdien av den fremtidige verdifaktoren til en ordinær livrente:

Det er nødvendig å beregne mengden av årlige besparelser for tilsvarende erstatning av en eksisterende bygning, som genererer en inntekt på 14%, med forutsetning av at ved slutten av perioden økonomisk liv(8 år) vil kostnaden for å erstatte bygningen være $10 000. I dette tilfellet vil de årlige fradragene være $755,70:

Gjeldende enhetsverdi (reversjon).

Nåverdien av en enhet (reversjon) er en funksjon som bestemmer nåverdien av en fremtidig enhet som kan oppnås etter n perioder med en gitt avkastning i. Denne funksjonen lar deg evaluere nåværende verdi inntekt som kan mottas ved salg av en gjenstand ved utløpet av perioden til en gitt diskonteringsrente.

Den nåværende kostnaden for en enhet beregnes ved å bruke formelen:

hvor PV er gjeldende verdi;
FV - fremtidig verdi;
i - inntektsrate (rabatt);
n - akkumuleringsperiode (antall perioder);

Faktor av gjeldende enhetsverdi (reversering).

I matematisk forstand er den nåværende verdien av en enhet den gjensidige av en funksjon av dens fremtidige verdi.

Du må beregne gjeldende verdi av en tomt som vil bli solgt på slutten av året for $ 1000 Ved en diskonteringsrente på 10 % per år, vil den nåværende verdien av tomten være $ 909,09.

Nåverdien av en ordinær livrente.

Nåverdien av en ordinær livrente er en funksjon som bestemmer nåverdien av en serie fremtidige like periodiske utbetalinger (kvitteringer) PMT over n perioder med en diskonteringsrente på i. Beregningen utføres ved hjelp av formelen:

hvor PVA er nåverdien av en ordinær livrente
PMT - verdien av en av en serie like periodiske betalinger (kvitteringer)
i - inntektsrate (rabatt);
n - antall perioder

Ta hensyn til nåverdien av en ordinær livrente.

Nåverdien av en ordinær livrente kan bestemmes som summen av nåverdiene av alle utbetalinger:

Det er nødvendig å bestemme nåverdien av leiebetalinger, forutsatt at tomt ble leid ut for tre år, for en årlig leie på $100. Diskonteringsrenten er 12%. Da vil gjeldende kostnad for betalinger være $240,18:

Bidrag til avskrivning av enheten.

Bidrag til avskrivning av en enhet er en funksjon som bestemmer beløpet vanlig betaling(kvittering) gir inntekt på kapital og dens avkastning til diskonteringsrenten i i n perioder. Avskrivningsbidraget per enhet kan beregnes ved hjelp av formelen:

hvor PMT er betalingsbeløpet for en ordinær livrente;
PV - gjeldende enhetskostnad,
i - diskonteringsrente (inntekt);
n - akkumuleringsperiode (antall perioder);

Bidragsfaktor for enhetsavskrivninger.

Denne funksjonen, samt funksjonen til bidraget til dannelsen av kompensasjonsfondet, gjør det mulig å bestemme RMT-utbetalingen. Men i motsetning til funksjonen for kompensasjonsfondbidrag, som refererer til en betaling for å akkumulere et gitt beløp av FV, refererer enhtil en betaling som tillater tilbakeføring av et for øyeblikket spesifisert PV-beløp. I dette tilfellet inkluderer betalingen to komponenter: den første gir inntekt med en gitt kurs i, den andre gir avkastning av kapital til avkastningsrenten SFF(i; n) i n perioder.

Enhbrukes til å bestemme regelmessige like (annuitets)betalinger for å tilbakebetale et lån hvis det er utstedt for en viss periode til en gitt lånerente. Dessuten inkluderer hver betaling både betaling av hovedstolen på gjelden og påløpte renter. Utbetalingene i seg selv er like store, og fra betaling til betaling endres forholdet mellom inntekts- og tilbakebetalingskomponentene (delen som det betales renter på reduseres, og delen som går til å returnere hovedstolen, det vil si hovedstolen til lån, øker Det vil si at det belastes renter på det ubetalte hovedbeløpet og renten på lånet, etter hvert som det betales tilbake, påløper på et mindre beløp av nåverdien av en ordinær livrente.

Det er nødvendig å beregne mengden av årlig inntekt som tilfaller en bygning som vil være i bruk i 5 år hvis den nåværende verdien er $10 000 og diskonteringsrenten er 15%. Under disse forholdene er den årlige inntekten $2983,16:

eller, som er det samme

Ved å bruke forholdet mellom faktorene til de seks funksjonene med rentes rente, kan vi foreslå å presentere logikken i deres konstruksjon og økonomiske betydning i tabellform.

Forholdet og den økonomiske betydningen av standardfunksjoner med renters rente

Gjenoppta

Tidsverdien av penger teori spiller en viktig rolle i eiendomsvurdering. Med dens hjelp blir en så viktig prosess for evaluering som diskontering forklart, og reflekterer forholdet mellom begrepene nåverdi, fremtidig verdi, vanlig inntekt, tid og avkastning.

Dette forholdet realiseres ved bruk av 6 funksjoner av rentes rente, som gjør det mulig å bestemme ønsket verdi basert på å multiplisere en kjent verdi med den tilsvarende faktoren, hvis verdi kan beregnes eller hentes fra tabeller med 6 funksjoner av sammensatt interesse. Dette forenkler i stor grad de mange beregningene som utføres under vurderingen.

For å bestemme verdien av et investeringsprosjekt eller eiendom, er det nødvendig å bestemme den nåværende verdien av penger som vil bli mottatt en gang i fremtiden. Under inflasjon endrer penger sin verdi over tid. De viktigste operasjonene som gjør det mulig å sammenligne penger på ulike tidspunkt er operasjonene med akkumulering (økning) og diskontering.

Akkumulering – Dette er prosessen med å redusere den nåværende verdien av penger til dens fremtidige verdi, forutsatt at det investerte beløpet forblir på kontoen i en viss tid, og tjener periodisk sammensatt rente.

Rabatter – reduksjonsprosess kontantkvitteringer fra investeringer til nåværende verdi.

1 funksjon. La oss bestemme den fremtidige verdien pengeenhet(akkumulert mengde pengeenheter)

FV - fremtidig verdi av en pengeenhet,

PV – nåværende verdi av pengeenheten,

i – inntektsrate,

n – antall akkumuleringsperioder i år.

Oppgave. Bestem hvilket beløp som skal samles på kontoen innen utgangen av 3 år, hvis du i dag setter inn 10 tusen rubler på kontoen med 10% per år.

2 funksjon. Gjeldende verdi av en pengeenhet (nåværende tilbakesalgsverdi)

Oppgave. Hvor mye trenger du å investere i et investeringsprosjekt i dag for å motta 8 tusen rubler innen utgangen av det femte året? Inntektsgraden er 10%.

3 funksjon. Bestemme gjeldende verdi av en livrente.

Livrente er en serie like betalinger (kvitteringer) fordelt fra hverandre i samme tidsperiode.

Det er ordinære og forskuddsrenter. Hvis utbetalinger foretas ved slutten av hver periode, er livrenten ordinær; hvis først - forhånd.

Formelen for nåverdien av en ordinær livrente er:

PMT – like periodiske betalinger.

Oppgave. Leieavtalen for dacha er på 1 år. Betalinger gjøres månedlig i mengden 1 tusen rubler. Bestem nåverdien av leiebetalinger med en diskonteringsrente på 12 %. n = 12 (antall perioder – måneder).

4 funksjon. Akkumulering av en pengeenhet over en periode. Som et resultat av å bruke denne funksjonen, bestemmes den fremtidige verdien av en serie like periodiske betalinger eller kvitteringer.

Oppgave. Bestem beløpet som vil bli akkumulert på en konto som gir 12% per år innen utgangen av det 5. året, hvis 10 tusen rubler årlig settes inn på kontoen.

5 funksjon. Bidrag til avskrivning av en pengeenhet.

Denne funksjonen er den gjensidige av nåverdien av en ordinær livrente.

Avskrivninger er en prosess definert av denne funksjonen og inkluderer renter på lånet og betaling av hovedstolen.

Oppgave. Bestem hvilke årlige utbetalinger som skal være for å tilbakebetale et lån på 100 000 rubler utstedt til 15% per år innen utgangen av det 7. året.

En livrente kan enten være en kvittering (innkommende kontantstrøm) eller en betaling (utgående kontantstrøm) til investoren. Derfor kan denne funksjonen brukes i tilfelle av å beregne beløpet på et likt avdrag for å tilbakebetale et lån med et kjent antall avdrag og en gitt rente. Dette lånet kalles selvamortiserende lån.

6 funksjon. Betrakter allokeringsfondsfaktoren og er inversen av enhetsakkumuleringsfunksjonen for perioden.

For å bestemme betalingsbeløpet brukes følgende formel:

Oppgave. Bestem hvilke betalinger som skal være for å ha 100 000 rubler på kontoen med en årlig rate på 12% innen utgangen av 5 år.

Grunnlaget for finansiell matematikk er følgende seks funksjoner

renters rente (eller seks funksjoner av penger):

1. Fremtidig enhetsverdi(akkumulert enhetsbeløp) – FV ( Fremtidig verdi).

2. Fremtidig verdi av livrenten(akkumulering av en enhet per periode) – FVA ( Fremtidig verdi av en livrente).

3. Erstatningsfondsfaktor(periodisk innskudd til sparefondet) – SFF ( Synkende fondsfaktor).

4.Gjeldende enhetskostnad(rabatt, tilbakeføring ) – PV ( Nåverdi).

5.Nåverdien av livrenten – PVA ( Nåverdi av livrente).

6.Enhetsavskrivningsbidrag – IAO ( Installasjon av avskrivning en).

Disse funksjonene brukes i ulike økonomiske beregninger. La oss se på hver av disse funksjonene fra dens matematiske formulering og anvendelsesområde.

Øke funksjoner

Fremtidig verdi av en pengeenhet (akkumulert beløp av en enhet)

Denne funksjonen lar deg bestemme den fremtidige verdien av en investert pengeenhet basert på forventet: avkastning (r), akkumuleringsperiode (n) og hyppighet (frekvens) for renteopptjening (m):

FV = PV * (1+ r)n = PV * FM1(r, n),

hvor FV er den fremtidige verdien av penger;

PV – nåværende verdi av penger;

r – inntektsrate;

n – antall akkumuleringsperioder.

FM1(r, n) = (1+ r)n – multiplikasjonsfaktor, hvis verdier beregnes for forskjellige verdier (r) og (n) og presenteres i de tilsvarende økonomiske tabellene. Noen ganger er det betegnet som FVIF(fra engelsk Fremtidig verdi rentefaktor– prosentvis multiplikator av fremtidig verdi).

Økonomisk sans multiplikator FM1(r, n) er at den viser hva én pengeenhet vil være lik etter (n) perioder ved en gitt rente (r). Formelens gyldighet er åpenbar (Figur 6.7).

Hvis et PV-beløp settes inn på innskuddet, vil dette beløpet etter én opptjeningsperiode bli lik:

FV1= PV + PV * r = PV * (1 + r),

etter to perioder vil det være lik:

FV2= FV1+ FV1* r = FV1* (1+ r) = PV (1 + r)2,

FVn= FVn−1 + FVn−1* r = FVn−1* (1+ r) = PV (1 + r)n.

Figur 6.7 – Fremtidig verdi av en pengeenhet

Eksempel.$1000 er investert i banken med 10% per år. Hvilket beløp vil samle seg på kontoen etter 5 år? Vi konverterer 10 % til relative enheter, for å gjøre dette deler vi dem med 100 % og får 10 % / 100 % = 0,1.

FV5= 1000 (1+ 0,1)5= 1610,5.

Regel 72. Noen ganger når du gjør beregninger, må du møte problemet med å bestemme antall opptjeningsperioder hvoretter det opprinnelig innsatte beløpet dobles. Den velkjente "Rule of 72" lar deg løse dette problemet veldig enkelt, i henhold til hvilket antall perioder som kreves for å doble det opprinnelige beløpet, beregnes med formelen:

n=72/r.

Denne regelen lar deg få nøyaktige resultater med r-verdier: 3 %< r < 18%. Срабатывает правило и в обратном порядке для определения ставки дохода, при которой депонированная сумма удвоится.

For eksempel med en rate på 6 % årlig beløp vil dobles på 72/6 = 12 år.

Renter beregnes oftere enn én gang i året. Ovennevnte beregninger var basert på en forutsetning om at det påløper renter én gang i året. Akkumulering kan imidlertid forekomme ikke bare en gang i året, men også oftere, for eksempel en gang i kvartalet, en gang i måneden, etc. I dette tilfellet er det nødvendig å dele renten med frekvensen av akkumulering i løpet av året ( m), og antall år med akkumulering (n ) multiplisert med frekvensen av akkumulering i løpet av året (m). Beregningsformelen vil se slik ut:

FV = PV (1 + r/m)n*m,

hvor m er hyppigheten av renteopptjening per år;

n er antall år som akkumulering skjer.

Jo oftere renter beregnes, jo større akkumulert beløp. Transformasjonen ovenfor er gyldig for alle seks funksjonene.

6.2.1.2. Fremtidig verdi av livrenten (akkumulering av en enhet per periode)

Denne funksjonen viser hva kostnaden for en serie med like vil være

utbetalinger av verdi (A) ved utløp frist deres utvidelser (n) (Figur 6.8).

Figur 6.8 – Fremtidig verdi av en annuitet post-numerando

Fra figur 6.8 er det klart at den fremtidige verdien av originalen kontantstrøm(livrente) post-numerando (FVApst) kan vurderes som summen av opptjent inntekt.

Det er klart at den fremtidige verdien av den siste betalingen sammenfaller med verdien av selve betalingen, siden ingen oppbyggingstid:

Den fremtidige verdien av den nest siste betalingen vil økes over en periode og vil være:

Alle betalinger økes på samme måte. Den fremtidige kostnaden for den første betalingen vil økes over (n-1) perioder og vil være:

FVn-1= A·(1+r) n-1.

Totalen deres kan uttrykkes som:

FVApst = А·(1+r)n-1+ А·(1+r)n-2+ ...+ А·(1+r) + А

La oss ta (A) ut av parentes-tegnet og betegne (1+r) med (q). Vi får uttrykket:

FVA = A·(qn-1+ qn-2+ ...+ q + 1).

Nå er det tydelig synlig at polynomet i parentes kalles multiplikasjonsfaktoren og er betegnet med ( FM3(r, n)), representerer summen av vilkårene for den geometriske progresjonen (S), men skrevet i omvendt rekkefølge:

S = 1 + q + q2... + qn-2+ qn-1

Multipliser begge sider av denne ligningen med (q) og få:

S q = q + q2... + qn-1+ qn

Ved å trekke fra den forrige likningen fra den resulterende likningen får vi:

S·q – S = qn–1.

S = (qn– 1) / (q – 1)

Ved å erstatte verdien (1+r) i stedet for (q), får vi formelen for å beregne multiplikasjonsfaktoren:

FM3(r, n) = S = ((1+r)n– 1)/r

Derfor vil uttrykket for den fremtidige verdien av en ordinær annuitet av verdi (A) for (n) perioder være:

FVApst = А·FM3(r, n) = А·((1+r)n– 1)/r).

Denne multiplikatoren kalles også prosentmultiplikatoren av den fremtidige verdien av livrenten. FVIFA( r , n) – Fremtidig verdi Rentefaktor for livrente. Den økonomiske betydningen av multiplikasjonsfaktoren er at den viser hva den totale verdien av en tidsbestemt (for en viss periode) akkumulert annuitet på en pengeenhet vil være lik ved slutten av gyldighetsperioden.

Siden verdiene til multiplikatoren (FM3(r, n)) bare avhenger av (r) og (n), beregnes de for forskjellige verdier av (r) og (n) og presenteres i den tilsvarende økonomiske tabeller.

Eksempel. Hvis du investerer $900 årlig på en bankkonto med 10 % per år, hvor mye vil det samle seg etter 5 år?

FVA5= 900·((1+0,1)5− 1) / 0,1) = 5494,59

Vurder nå tilfellet med en forskuddsrente (Figur 6.9).

Som i det vanlige tilfellet, vurder de akkumulerte beløpene på slutten av den første, andre... n-te periode:

FV1= А·(1+r) ,

FV2= A·(1+r)2,

…………………………………………….……….

FVn= A (1+r)n

FVApre = А·(1+r)n+А·(1+ r)n −1+...+ А·(1+r)2+ А·(1+r).

Figur 6.9 – Fremtidig verdi av en forskuddsrente (prenumerando)

Ved å sammenligne formlene for beregning av FVApst og FVApre er det enkelt å verifisere det

FVApre = FVApst (1+ r).

Ved å utføre den tilsvarende multiplikasjonen får vi:

FVApre = FVApst·(1+ r) = А· ((1+r)n– 1)/r) (1+ r) =

А· ((1+r)n+1– 1 – r)/r) = А· ((1+r)n+1– 1)/r) – 1).

Gjentakende innskudd kan gjøres mer enn én gang i året, og rentene påløper tilsvarende oftere. Samtidig vil antall periodiseringer øke med m ganger og vil være (n·m), og hastigheten vil reduseres med m ganger og vil være (n/m). Deretter vil den tidligere oppnådde formelen ha formen:

FVАn= А·(((1+r/m)(n+1)m– 1)/r/m) – 1).

Jo oftere bidrag gis, desto større akkumulert beløp.

Eksempel. Hvis du setter inn $75 månedlig til en bankkonto med 10 % per år, hvor mye vil det samle seg etter 5 år?

FVA5= 75 (((1+0,1/12) 5·12– 1) / 0,1/12 = 5807,78.

Erstatningsfondsfaktor

Denne funksjonen lar deg beregne mengden periodisk betaling (A eller SFF, som det kalles i dette tilfellet) som kreves for akkumulering det nødvendige beløpet(FVA) etter (n) betalingsperioder ved en gitt rente (r) (Figur 6.10).

Figur 6.10 – Periodisk innskudd til sparefond

Fra formelen for den fremtidige verdien av en livrente (FVA = A·FM3(r, n)) følger det at verdien av hver utbetaling (SFF eller A) i tilfelle av en ordinær livrente beregnes som følger:

SFFpst = Аpst = FVA / FM3(r, n) = FVA·r/((1 + r)n− 1) = FVA·FM5(r, n) .

hvor FM5(r, n) = r/((1 + r)n− 1) er multiplikasjonsfaktoren, hvis verdier beregnes for forskjellige verdier (r) og (n) og presenteres i tilsvarende økonomiske tabeller.

Den økonomiske betydningen av multiplikatoren FM5(r, n) er at den viser mengden av periodiske betalinger som er nødvendige for å akkumulere én pengeenhet etter (n) perioder.

Eksempel. Du må spare $1000 på 4 år med en bankrente på 10%. Hvor mye må du investere hvert år?

SFF = 1000 (0,1 / ((1 + 0,1)4− 1) = 215,47.

Når det gjelder et forskuddskompensasjonsfond (tilsvarende en forskuddslivrente), er enhetsbetalingsformelen (SFFpre):

SFFpre = FVA·r/((1 + r)(n+1)− 1−r).

Rabattfunksjoner

Beregningen av den reelle verdien (kostnaden) av penger er basert på en midlertidig vurdering av kontantstrømmer, som er basert på følgende. Kjøpesummen for en eiendom bestemmes til syvende og sist av mengden inntekt som investor forventer å motta i fremtiden. Kjøp av fast eiendom og inntektsmottak skjer imidlertid i ulike tidsperioder. Derfor er en enkel sammenligning av størrelsen på kostnader og inntekter i mengden de vil bli reflektert i regnskapet umulig (for eksempel vil 10 millioner rubler av klar inntekt mottatt om 3 år være mindre enn dette beløpet for tiden) . Men verdien av penger påvirkes ikke bare av informasjonsprosesser, men også av hovedbetingelsen for investeringen - de investerte pengene må generere inntekter

Å bringe kontantbeløp som oppstår på forskjellige tidspunkter til en sammenlignbar form kalles et tidsestimat av kontantstrømmer. Disse beregningene er basert på renters rente, som betyr at hele hovedstolen på innskudd må forrentes, inkludert renter som gjenstår på kontoen fra tidligere perioder

Teorien og praksisen for bruk av rentes rentefunksjoner er basert på en rekke forutsetninger: 1. Kontantstrøm der beløpene varierer i størrelse kalles kontantstrøm

2. En kontantstrøm der alle beløp er like kalles en livrente

3. Kontantstrømbeløp oppstår med jevne mellomrom, kalt en periode

4. Inntekter mottatt fra investert kapital tas ikke ut av økonomisk omsetning, men legges til den faste kapitalen

5. Kontantstrømbeløp oppstår ved slutten av perioden (ellers kreves en passende justering)

La oss se nærmere på de seks funksjonene til renters rente

1. Akkumulert enhetsbeløp

Denne funksjonen lar deg bestemme den fremtidige verdien av et eksisterende pengebeløp basert på forventet inntektsfrekvens, akkumuleringsperiode og renteopptjening. Det akkumulerte beløpet til en enhet er en grunnleggende funksjon av renters rente som lar deg bestemme den fremtidige verdien for en gitt periode, rente og et kjent beløp i fremtiden

FV = PV * (1 + i)n Eksempelproblem: Et lån på 150 millioner rubler ble mottatt. for en periode på 2 år, med 15% per år; % opptjening skjer kvartalsvis. Bestem det påløpte beløpet som skal returneres. 2. Gjeldende enhetsverdi (reverseringsfaktor)

Den nåværende verdien av en enhet (reversjon) gjør det mulig å bestemme nåverdien (nåværende, nåværende) av et beløp, hvis verdi er kjent i fremtiden for en gitt periode rente. Dette er en prosess helt motsatt av renters rente.

PV = FV / (1 + i)n Viser nåverdien av en sum penger som skal mottas som et engangsbeløp i fremtiden

Eksempelproblem: Hva er nåverdien av $1000 mottatt ved slutten av det femte året med 10 % sammensatt årlig? 3. Akkumulering av en enhet over en periode (fremtidig verdi av livrenten). Viser hva, etter hele perioden, verdien av en serie med like beløp satt inn ved slutten av hvert periodisk intervall vil være, dvs. den fremtidige verdien av livrenten. (Annuitet er en kontantstrøm der alle beløp er like og oppstår med like intervaller)

FVA = (1 + i)n – 1 i PMT Eksempelproblem: Bestem den fremtidige verdien av vanlige månedlige betalinger på $12 000 i 4 år til en rente på 11,5 % og månedlig sammensetning

4. Nåverdi av en ordinær livrente. Viser nåverdien av en enhetlig inntektsstrøm, for eksempel inntekt generert fra en utleieeiendom. Den første oppføringen skjer ved slutten av den første perioden; påfølgende - ved slutten av hver påfølgende periode

PVA = PMT * 1 - (1 + i)-n i Eksempelproblem: Bestem lånebeløpet hvis det er kjent at $30 000 betales årlig for tilbakebetaling i 8 år med en rate på 15%. 5. Gjenopprettingsfondfaktor Viser beløpet for likt periodisk bidrag som, sammen med renter, kreves for å akkumulere et beløp lik FVA ved slutten av en viss periode. SFF = FVA * i (1 + i)n - 1 Eksempelproblem: Bestem beløpet som skal settes inn i banken månedlig med 15 % per år for å kjøpe et hus verdt $65 000 000 om 7 år. 6. Unit Amortization Payment Viser den lik periodiske betalingen som kreves for å amortisere lånet fullt ut, dvs. lar deg bestemme betalingsbeløpet som kreves for å tilbakebetale lånet, inkludert renter og betaling av hovedstol: PMT = PVA * i 1 - (1 + i)-n Eksempelproblem: Hva bør være månedlige innbetalinger på et selvamortiserende lån på 200 000 dollar forlenget over 15 år til en nominell årlig rente på 12 %? Emne 2. Eiendomsmarkedet og funksjoner i dets funksjon

Rentesammensatte benyttes i tilfeller hvor renter på lån (lån) ikke betales umiddelbart, men legges til gjeldsbeløpet med påfølgende fastsettelse av påløpt beløp på FV. Denne "rente på renter"-beregningsprosedyren kalles kapitalisering. Sammensetningshastigheten øker i geometrisk progresjon, og sammensetningsprosessen (akkumulering) beskrives med ligningen FV= PV(1+i)n

I denne forbindelse brukes følgende formel for å beregne prosentbeløpet:

hvor jeg - årlig rate;

n - antall opptjeningsperioder;

m - antall opptjeningsperioder;

n*m - totalt antall opptjeningstid.

Når intervallene mellom påfølgende betalinger er konstante, kalles en slik sekvens finansiell leie eller livrente. En livrente (en serie med like utbetalinger over n perioder) kalles ordinær hvis utbetalinger skjer ved slutten av hver periode, og forskudd hvis utbetalinger skjer ved begynnelsen av hver periode.

Den første funksjonen til renters rente er den akkumulerte mengden kapital. Vi har allerede sett at, i motsetning til enkel rente, forutsetter sammensatt rente at inntekten ikke bare genereres av det opprinnelige beløpet, men også av renten som tidligere ble mottatt på det. For å bestemme verdien som kapitalen vil ha i løpet av noen få år FV ved bruk av prosedyren for renters rente, bruk en formel som gjenspeiler prosessen med akkumulering (sammensetning), vekst i samsvar med en geometrisk progresjon: FV= PV(1+i)n

hvor FV er den akkumulerte (fremtidige) mengden kapital;

PV - nåværende verdi (investeringskostnad i den første perioden);

i - rente (for eksempel i = 0,10, dvs. 10%);

n - antall opptjeningsperioder.

Denne formelen i finansielle og økonomiske beregninger bestemmer den første funksjonen til renters rente, og uttrykket (1+i)n kalt multiplikatoren (koeffisienten) av økningen eller den fremtidige verdien av en enhet av akkumulert kapital F 1: F 1 = (1+i)n

hvor F 1 er beregnet eller bestemt fra tabellen renters rente.

Dermed er prosessen med å akkumulere innskudd eller investert kapital prosessen med å akkumulere penger til en gitt kurs i over en viss tidsperiode p.

Hvis opphopningen er hyppigere enn én gang i året, inkluderer den faktiske inntekten mottatt ved årets slutt renter som er påløpt i løpet av året. I denne forbindelse skilles det mellom årlige nominelle og årlige faktiske (effektive) renter.

Årlig faktisk rate er den årlige renten tatt i betraktning sammensatt rente. Den årlige faktiske satsen beregnes som en prosentandel av inntekten til kapitalen ved årets slutt, til kapitalbeløpet ved årets begynnelse; i praksis kalles den faktiske satsen effektiv.

Den andre funksjonen til renters rente er den fremtidige verdien av en n-perioders livrente. La oss vurdere en serie like og ensartede betalinger (innskudd) til rente for et visst antall perioder, mens det i hver periode foretas kapitalinnskudd (RMT) av samme beløp (en serie innskudd - en livrente). Denne flyten av betalinger er livrente

Det akkumulerte beløpet til en livrente (n-perioders livrente) er summen av alle medlemmer av livrenten med renter påløpt på slutten av løpetiden.

En livrente kalles ordinær, hvis utbetalinger skjer ved slutten av hver periode (post-numerando annuitet), og forskudd, hvis utbetalinger skjer ved begynnelsen av hver periode (pre-numerando annuitet).

Det påløpte beløpet av livrente for en n-perioders livrente vil være lik:

hvor (1 + i) n – 1/f = F 2 er den andre funksjonen av rentes rente.

I finansielle beregninger kalles det sistnevnte uttrykket også for akkumuleringsfondsfaktoren eller den fremtidige verdien av en n-periodisk livrente med en utbetaling på én pengeenhet (se Inwoods rentesammensetningstabell).

I motsetning til en vanlig livrente, med en forskuddsrente (prenumerando), skjer den første utbetalingen i begynnelsen av den første perioden, det vil si at den genererer inntekt i alle n-perioder. Hver påfølgende betaling fungerer en periode mindre enn den forrige, til slutt genererer den siste betalingen inntekt for bare én periode. Som med en ordinær livrente, danner de fremtidige verdiene for hver utbetaling en geometrisk progresjon med nevneren (1 + i), og første ledd i denne progresjonen er PMT(1 + i). Ved å bruke formelen for å beregne summen og leddene til en geometrisk progresjon, får vi:

I dette tilfellet vil akkumuleringsfondsfaktoren F 2 (den fremtidige verdien av forskuddsrenten med en utbetaling av en pengeenhet) være lik:

Den tredje funksjonen til renters rente (omvendt sekund) - kapitalerstatningsfondsfaktor. Fra den andre funksjonen har vi:

hvor jeg/ (1+i)n –1= F 3 - kompensasjonsfondsfaktor, kompleksets tredje funksjon

prosent.

Koeffisient F 3 viser hvor mye penger som må settes inn ved slutten av hver periode slik at kontosaldoen etter et visst antall perioder er én pengeenhet; og denne faktoren tar hensyn til mottatte renter på bidrag.

Du kan sammenligne akkumuleringsfondsfaktoren F 2 og kompensasjonsfondsfaktoren F 3. Det kan ses at funksjonen F 3 for fast n og i er inversen av akkumuleringsfondsfaktoren F 2 dvs.

Ved å sammenligne akkumuleringsfondsfaktoren (den fremtidige verdien av en forskuddsrente med en utbetaling på én andel) ogren, får vi forholdet:

Den fjerde funksjonen til renters rente (den inverse av den første) er nåverdien av en fremtidig kontantstrøm, dvs. den nåværende verdien av penger (investeringer), PV bestemmes fra uttrykket:

Hvor 1/ (1+i)n= F 4 - den fjerde funksjonen til renters rente, nåverdien av en fremtidig enhet.

Ved å sammenligne den resulterende formelen med faktoren til den første funksjonen ser vi:

Prosessen med å beregne den fremtidige verdien av en sum penger (kontantstrøm); FV kalles nå diskontering, og satsen som diskontering foretas med kalles ofte diskonteringsrente.

Bruker funksjonen F. to spørsmål kan besvares:

1. Hvor mye vil beløpet som investor mottar etter l-perioder være verdt i dag?

2. Hvor mye bør du kjøpe et objekt for (hvor mye bør du investere i objektet) for å sikre den nødvendige inntektsgraden som følge av dets fremtidige salg etter n-perioder?

Den femte funksjonen til renters rente er nåverdien av en livrente. Som den forrige er denne funksjonen knyttet til rabattprosessen. Den femte funksjonen bestemmer nåverdien av en serie med ensartede like kontantinntekter over n-perioder, tatt i betraktning et gitt beløp. Den nåværende verdien av betalingsstrømmen PV er summen av alle medlemmene (livrenter), redusert (diskontert) med renten på et bestemt tidspunkt. Nåverdien kan være en ordinær livrente eller en forskuddsrente n-periode

der PV er summen av i-leddene til en geometrisk progresjon med nevneren 1/1+i og det første leddet PMT/1+c

Herfra, ved å bruke den velkjente formelen for summen av ledd i en geometrisk progresjon, får vi ligningen:

Hvor 1 – (1+i)n/ i= F 5 - den femte funksjonen av renters rente, den nåværende verdien av en vanlig livrente.

En forskuddsrente er bygget opp slik at første utbetaling av RMT 1 i inntektsstrømmen skjer umiddelbart, og etterfølgende utbetalinger skjer med jevne mellomrom. Siden RMT 1 produseres i det første øyeblikket, er det ikke nødvendig å rabattere den. Den neste er 1 betaling og andre er rabattert med tanke på det faktum at kth betaling utføres etter k - 1 perioder fra det første øyeblikket.

I dette tilfellet er summen av kostnadene for alle n-betalinger

geometrisk progresjon med nevner 1/1+i og første termin PMT.

Da vil nåverdien av forskuddsrenten være lik:

Hvis RMT = 1, da får vi et uttrykk for faktoren av dagens verdi av forskuddsrenten F" 5:

Funksjonene F 5 og F " 5 har spesiell betydning i statistiske beregninger, i vurdering investeringsprosjekter, inntektsbringende eiendom.

Den sjette funksjonen til renters rente (revers til den 5.) i praksisen med økonomiske og finansielle beregninger kalles pantekonstanten, eller mengden av betalinger for å dekke gjelden. Basert på den kjente nåverdien (lånets størrelse), bestemmes størrelsen på betalingene:

For PV = 1 får vi verdien av bidraget til svekkelsen av pengeenheten - dette er den sjette funksjonen til rentes rente - F 6 (pantekonstanten).

For ordinære bidrag (post-numerando livrente) har den sjette funksjonen formen:

For forskuddsbetalinger (renta prenumerando) har den sjette funksjonen formen:

Hvert likt avdrag av RMT inkluderer mengden rentepenger I nt og betaling av det opprinnelige beløpet PRN - beløpet på hovedgjelden: RMT = PRN +Int

Det skal presiseres at pantekonstanten funksjon F 6 er relatert til funksjon F 3 som følger: F6 =F3 +i de . boliglån permanent er et bidrag til kapitalavskrivning lik summen av kompensasjonsfondsfaktoren F 3 og kapitalrenten i.

Lik annuitetsmetode for avkastning av anleggsmidler (Inwood-metoden). RMT-betalinger foretas ved periodens slutt i like andeler med økende PRN-beløp for tilbakeføring av hovedstolen av gjeld og med synkende periodisering av rente i - inntekt.

Ensartet rettlinjet metode (Ringmetoden). Netto driftsinntekter synker jevnt med en konstant avkastning på hoved-PRN, og inntekt I nt synker jevnt. I motsetning til Rings metode er Inwoods metode basert på at pantekonstanten er lik summen av gjenvinningsfondsfaktoren F 3 og kapitaliseringsrenten i.

Sjette funksjon renters rente er mye brukt i økonomisk begrunnelse leasingvirksomhet.