Komplett og redusert system for fradrag. Vasilisa Yaviks er en intelligent søkemotor. i morgen er allerede her! Grunnleggende informasjon fra teorien

Som vist i §5 har sammenlignbarhetsrelasjonen modulo m egenskapene refleksivitet, symmetri og transitivitet; derfor er det en ekvivalensrelasjon Ta et vilkårlig heltall a. La oss betegne med o settet med tall som kan sammenlignes med en modulo m: La. La det være nå. Og så videre. Prosessen vil fortsette til de konstruerte settene dekker hele settet med heltall. I dette tilfellet oppstår en partisjon av settet Z i sett a. b, c,..som kalles restklasser modulo m; hvert tall som er inkludert i noen av klassene kalles en rest av denne klassen. Antall restklasser modulo m er lik m Faktisk, resten av å dele et heltall med m tar en av verdiene m - 2 eller m - 1, og derfor faller hvert av tallene inn i en av klassene 01. hvis antall er lik m. Ved å ta ett tall fra hver klasse av rester får vi et system av representanter for klassene av rester, eller et komplett system av rester modulo m. Forskjellige komplette systemer av rester modulo 7: Lemma 3. Tall xm danner et komplett system av rester modulo m hvis og bare hvis de er parvis uforlignelige modulo m. Nødvendigheten er åpenbar. La oss bevise tilstrekkeligheten. Hvis to tall ikke er sammenlignbare modulo, faller de inn i forskjellige restklasser. Siden det er m klasser av rester totalt og tallene som vurderes er mn, utgjør de et komplett system av rester. Lemma 4. La xm være et komplett system av rester modulo m, et heltall a coprime til m, b et vilkårlig heltall. Da danner tallene axi + 6, ax2 + b, ..axm -f b også et komplett system av rester. Settet med reduserte fradrag fra ulike klasser av fradrag kalles et redusert system av fradrag. Eksempel 2. For m = 7 kan det reduserte systemet av rester se slik ut: Restsystemer Euler-funksjonen (p(t) er antall naturlige tall som ikke overstiger m og er gjensidig enkle til m. For eksempel, . Det er lett å se at hvis p er et primtall, er det åpenbart at det reduserte systemet av rester modulo m inneholder tall Lemma 6. La a være et relativt enkelt redusert system av rester modulo m. Da tallene ax\, axk danner også et redusert system av rester modulo m 4 Siden tallene o og X( er coprime til m, har deres produkt ax* samme egenskap. Ved Lemma 4 tilhører tallene ax\, ax2,... forskjellige klasser. av rester, og derfor, i kraft av den forrige, danner de et redusert system av rester.

Modulo restring n betegne eller. Dens multiplikasjonsgruppe, som i det generelle tilfellet med grupper av inverterbare elementer av ringer, er betegnet med ∗ × × .

Den enkleste saken

For å forstå strukturen til gruppen kan du vurdere spesialtilfellet , hvor er et primtall, og generalisere det. La oss vurdere det enkleste tilfellet når , det vil si .

Teorem: - syklisk gruppe.

Eksempel : Tenk på en gruppe

= (1,2,4,5,7,8) Generatoren til gruppen er tallet 2. ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ Som vi ser, kan et hvilket som helst element i gruppen representeres i formen , hvor ≤ℓφ . Det vil si at gruppen er syklisk.

Generell sak

For å vurdere det generelle tilfellet, er det nødvendig å definere en primitiv rot. En primitiv rot modulo a primtall er et tall som sammen med sin restklasse genererer en gruppe.

Eksempler: 2 11 ; 8 - primitiv modulo rot 11 ; 3 er ikke en primitiv rotmodulo 11 .

Når det gjelder en hel modul, er definisjonen den samme.

Strukturen til gruppen bestemmes av følgende teorem: Hvis p er et oddetall og l er et positivt heltall, så er det primitive røtter modulo , det vil si en syklisk gruppe.

Eksempel

Det gitte systemet med modulo-rester består av klasser av rester: . Med hensyn til multiplikasjonen definert for restklasser, danner de en gruppe, og de er også gjensidig inverse (det vil si, ⋅ ), og er også deres inverse.

Gruppestruktur

Notasjonen betyr "syklisk gruppe av orden n".

Gruppestruktur (Z/ n Z) ×

	×	φ	λ	Gruppe generator			×	φ	λ	Gruppe generator			×	φ	λ	Gruppe generator			×	φ	λ	Gruppe generator
1	C 1	1	1	0		33	C 2 × C 10	20	10	2, 10		65	C 4 × C 12	48	12	2, 12		97	C 96	96	96	5
2	C 1	1	1	1		34	C 16	16	16	3		66	C 2 × C 10	20	10	5, 7		98	C 42	42	42	3
3	C 2	2	2	2		35	C 2 × C 12	24	12	2, 6		67	C 66	66	66	2		99	C 2 × C 30	60	30	2, 5
4	C 2	2	2	3		36	C 2 × C 6	12	6	5, 19		68	C 2 × C 16	32	16	3, 67		100	C 2 × C 20	40	20	3, 99
5	C 4	4	4	2		37	C 36	36	36	2		69	C 2 × C 22	44	22	2, 68		101	C 100	100	100	2
6	C 2	2	2	5		38	C 18	18	18	3		70	C 2 × C 12	24	12	3, 69		102	C 2 × C 16	32	16	5, 101
7	C 6	6	6	3		39	C 2 × C 12	24	12	2, 38		71	C 70	70	70	7		103	C 102	102	102	5
8	C 2 × C 2	4	2	3, 5		40	C 2 × C 2 × C 4	16	4	3, 11, 39		72	C 2 × C 2 × C 6	24	6	5, 17, 19		104	C 2 × C 2 × C 12	48	12	3, 5, 103
9	C 6	6	6	2		41	C 40	40	40	6		73	C 72	72	72	5		105	C 2 × C 2 × C 12	48	12	2, 29, 41
10	C 4	4	4	3		42	C 2 × C 6	12	6	5, 13		74	C 36	36	36	5		106	C 52	52	52	3
11	C 10	10	10	2		43	C 42	42	42	3		75	C 2 × C 20	40	20	2, 74		107	C 106	106	106	2
12	C 2 × C 2	4	2	5, 7		44	C 2 × C 10	20	10	3, 43		76	C 2 × C 18	36	18	3, 37		108	C 2 × C 18	36	18	5, 107
13	C 12	12	12	2		45	C 2 × C 12	24	12	2, 44		77	C 2 × C 30	60	30	2, 76		109	C 108	108	108	6
14	C 6	6	6	3		46	C 22	22	22	5		78	C 2 × C 12	24	12	5, 7		110	C 2 × C 20	40	20	3, 109
15	C 2 × C 4	8	4	2, 14		47	C 46	46	46	5		79	C 78	78	78	3		111	C 2 × C 36	72	36	2, 110
16	C 2 × C 4	8	4	3, 15		48	C 2 × C 2 × C 4	16	4	5, 7, 47		80	C 2 × C 4 × C 4	32	4	3, 7, 79		112	C 2 × C 2 × C 12	48	12	3, 5, 111
17	C 16	16	16	3		49	C 42	42	42	3		81	C 54	54	54	2		113	C 112	112	112	3
18	C 6	6	6	5		50	C 20	20	20	3		82	C 40	40	40	7		114	C 2 × C 18	36	18	5, 37
19	C 18	18	18	2		51	C 2 × C 16	32	16	5, 50		83	C 82	82	82	2		115	C 2 × C 44	88	44	2, 114
20	C 2 × C 4	8	4	3, 19		52	C 2 × C 12	24	12	7, 51		84	C 2 × C 2 × C 6	24	6	5, 11, 13		116	C 2 × C 28	56	28	3, 115
21	C 2 × C 6	12	6	2, 20		53	C 52	52	52	2		85	C 4 × C 16	64	16	2, 3		117	C 6 × C 12	72	12	2, 17
22	C 10	10	10	7		54	C 18	18	18	5		86	C 42	42	42	3		118	C 58	58	58	11
23	C 22	22	22	5		55	C 2 × C 20	40	20	2, 21		87	C 2 × C 28	56	28	2, 86		119	C 2 × C 48	96	48	3, 118
24	C 2 × C 2 × C 2	8	2	5, 7, 13		56	C 2 × C 2 × C 6	24	6	3, 13, 29		88	C 2 × C 2 × C 10	40	10	3, 5, 7		120	C 2 × C 2 × C 2 × C 4	32	4	7, 11, 19, 29
25	C 20	20	20	2		57	C 2 × C 18	36	18	2, 20		89	C 88	88	88	3		121	C 110	110	110	2
26	C 12	12	12	7		58	C 28	28	28	3		90	C 2 × C 12	24	12	7, 11		122	C 60	60	60	7
27	C 18	18	18	2		59	C 58	58	58	2		91	C 6 × C 12	72	12	2, 3		123	C 2 × C 40	80	40	7, 83
28	C 2 × C 6	12	6	3, 13		60	C 2 × C 2 × C 4	16	4	7, 11, 19		92	C 2 × C 22	44	22	3, 91		124	C 2 × C 30	60	30	3, 61
29	C 28	28	28	2		61	C 60	60	60	2		93	C 2 × C 30	60	30	11, 61		125	C 100	100	100	2
30	C 2 × C 4	8	4	7, 11		62	C 30	30	30	3		94	C 46	46	46	5		126	C 6 × C 6	36	6	5, 13
31	C 30	30	30	3		63	C 6 × C 6	36	6	2, 5		95	C 2 × C 36	72	36	2, 94		127	C 126	126	126	3
32	C 2 × C 8	16	8	3, 31		64	C 2 × C 16	32	16	3, 63		96	C 2 × C 2 × C 8	32	8	5, 17, 31		128	C 2 × C 32	64	32	3, 127

Søknad

På vanskelighetsgrad, Farm, Hooley, . Waring formulerte Wilsons teorem, og Lagrange beviste det. Euler foreslo eksistensen av primitive røtter modulo et primtall. Gauss beviste dette. Artin la frem sin hypotese om eksistensen og kvantifiseringen av primtall, modulo som et gitt heltall er en primitiv rot. Brouwer bidro til problemet med eksistensen av sett med påfølgende heltall, som hver er den kth power mod p. Bilharz beviste en analog av Artins formodning. Hooley beviste Artins formodning ved å anta gyldigheten av den utvidede Riemann-hypotesen i algebraiske tallfelt.

Notater

Litteratur

• Irland K., Rosen M. En klassisk introduksjon til moderne tallteori. - M.: Mir, 1987.
• Alferov A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. Cheremushkin A.V. Grunnleggende om kryptografi. - Moskva: "Helios ARV", 2002.
• Rostovtsev A.G., Makhovenko E.B. Teoretisk kryptografi. - St. Petersburg: NPO "Professional", 2004.

Vanligvis som et komplett system med modulo-fradrag m de minste ikke-negative restene tas

0,1,...,m − 1

eller de absolutt minste fradragene som består av tall

,

ved oddetall m og tall

i tilfelle jevn m .

Se også

Litteratur

• I. M. Vinogradov Grunnleggende om tallteori. - M.-L.: Stat. utg. teknisk og teoretisk litteratur, 1952. - 180 s.

Wikimedia Foundation.

2010.

Se hva "Full system av fradrag" er i andre ordbøker:

Modulo m, enhver samling av heltall som inneholder ett tall fra hver klasse med tall modulo m (to heltall a og b tilhører samme klasse modulo m hvis a b er delelig med m; se Reduksjon). Som en P. s. V. oftere … … Modulo er ethvert sett med heltall som er uforlignelige modulo med hverandre. Vanligvis som en P. s. V. modulo de minste ikke-negative restene 0, 1, . . ., m 1 eller de absolutt minste rester, bestående av tallene 0, +1, . . ., V… …

Matematisk leksikon Del av et komplett system av rester (Se Komplett system av rester), bestående av tall coprime med modulus m. P.S. V. inneholder φ(m) tall [φ(m) antall tall coprime til m og mindre enn m]. Eventuelle φ(m)-tall som ikke er sammenlignbare modulo m og... ...

Stor sovjetisk leksikon

I tallteori, sammenligning [klargjør] modulo et naturlig tall n, en ekvivalensrelasjon på settet med heltall spesifisert av det angitte tallet, assosiert med delbarhet med det. Faktorrommet i denne relasjonen kalles en "ring" ... ... Wikipedia

Symmetrien til et snøfnugg er assosiert med en gruppe rotasjoner gjennom en vinkel som er et multiplum av 60° En endelig gruppe er en algebraisk gruppe som inneholder et begrenset antall elementer (dette tallet kalles dets rekkefølge). Videre antas gruppen å være multiplikativ, det vil si en operasjon i ... ... Wikipedia

Funksjonen k kan representeres av en potensserie. Eliminerer viktigheten av klasse A. f. er definert som følger. For det første er denne klassen ganske bred: den dekker de fleste funksjonene man møter i de grunnleggende spørsmålene i matematikk og dens... ... Modulo er ethvert sett med heltall som er uforlignelige modulo med hverandre. Vanligvis som en P. s. V. modulo de minste ikke-negative restene 0, 1, . . ., m 1 eller de absolutt minste rester, bestående av tallene 0, +1, . . ., V… …

I Innhold: I. Grunnskoleopplæring generelt. II. Grunnskoleutdanning i utlandet: Østerrike-Ungarn, England, Belgia, Bulgaria, Tyskland, Holland, Danmark, Spania, Italia, Norge, Portugal, Romania, Serbia, ... ... Encyclopedic Dictionary F.A. Brockhaus og I.A. Ephron

- - født 26. mai 1799 i Moskva, på Nemetskaya Street i Skvortsovs hus; døde 29. januar 1837 i St. Petersburg. På sin fars side tilhørte Pushkin en gammel adelig familie, stammet, ifølge slektshistorier, fra en etterkommer "fra ... ... Stort biografisk leksikon

Et sett med lukkede formler for predikatlogikk for det første trinnet. E. t. Th(K) klasse K algebraiske signatursystemer kalt. settet med alle lukkede formler for logikken til predikatene til 1. trinn av signaturen sann på alle systemer fra klassen K. Hvis klassen... ... Modulo er ethvert sett med heltall som er uforlignelige modulo med hverandre. Vanligvis som en P. s. V. modulo de minste ikke-negative restene 0, 1, . . ., m 1 eller de absolutt minste rester, bestående av tallene 0, +1, . . ., V… …

I forrige avsnitt ble det bemerket at forholdet  m sammenlignbarhet modulo vilkårlig m er en ekvivalensrelasjon på settet med heltall. Denne ekvivalensrelasjonen induserer en partisjon av settet med heltall i klasser av elementer som er ekvivalente med hverandre, dvs. tall som når de deles på m identiske balanser. Antall ekvivalensklasser  m(Eksperter vil si - "ekvivalensindeks  m") er nøyaktig lik m.

Definisjon. Et hvilket som helst tall fra ekvivalensklassen  m vi vil kalle det modulo-rest m. Et sett med fradrag tatt en fra hver ekvivalensklasse  m, kalles et komplett system av modulo-rester m(i det komplette fradragssystemet er det derfor bare m tall). Restene selv når de deles med m kalles de minste ikke-negative restene og danner selvfølgelig et komplett system av modulo-rester m. Fradrag ρ kalles absolutt minste hvis ⎪ ρ ⎪ den minste blant restmodulene i denne klassen.

Eksempel: La m= 5. Deretter:

0, 1, 2, 3, 4 - de minste ikke-negative restene;

2, -1, 0, 1, 2 er de absolutt minste fradragene.

Begge gitte sett med tall danner komplette systemer av rester modulo 5.

Lemma 1. 1) Eventuelle m stykker som ikke er sammenlignbare i modul m tall danner et komplett system av modulo-rester m.

2) Hvis EN Og m er relativt enkle, og x går gjennom hele systemet av modulo-rester m, deretter verdiene til den lineære formen ENx + b, Hvor b– et hvilket som helst heltall, løper også gjennom hele systemet med modulo-rester m.

Bevis. Påstand 1) er åpenbart. La oss bevise påstand 2) Tall ENx+b glatt m ting. La oss vise at de ikke er sammenlignbare i modul m. Vel la det være for noen annerledes x 1 og x 2 fra det komplette fradragssystemet viste det seg at øks 1 + b ≡ øks 2 + b(mod m). Så, i henhold til egenskapene til sammenligninger fra forrige avsnitt, får vi:

øks 1 ≡ øks 2 (mod m)

x 1 ≡ x 2 (mod m)

- en motsetning til det x 1 og x 2 er forskjellige og hentet fra hele fradragssystemet.

Siden alle tall fra en gitt ekvivalensklasse  m fås fra ett tall i en gitt klasse ved å legge til et tall som er et multiplum m, så har alle tall fra denne klassen modul m samme største felles deler. Av noen grunner, av økt interesse er de fradragene som har med modulen m største felles deler lik én, dvs. rester som er coprime til modulen.

Definisjon. Det reduserte systemet med modulo-fradrag m er settet av alle rester fra hele systemet som er coprime til modulen m.

Det reduserte systemet velges vanligvis fra de minste ikke-negative restene. Det er klart at det gitte systemet av modulo-rester m inneholder ϕ (m) stykker fradrag, hvor ϕ (m) – Euler-funksjon – antall tall mindre enn m og gjensidig grunning med m.

Euler funksjon.

Euler funksjon ϕ (en) er antall tall fra serien 0, 1, 2,..., en–1, coprime med en.

Lemma. La

T
når:

spesielt, φ( s α) = s α – sα -1 , φ( s) = s–1.

Eksempel. La m= 42. Da er det gitte restsystemet:

1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

Lemma 2. 1) Eventuelle ϕ (m) tall som er parvis uforlignelige i modul m og coprime med modulen, danne et redusert system av modulo-rester m.

2) Hvis d(en, m) = 1 og x går gjennom det reduserte systemet av modulo-rester m, Det ENx går også gjennom det reduserte systemet med modulo-rester m.

Bevis. Påstand 1) er åpenbart. La oss bevise påstand 2). Tall ENx er parvis uforlignelige (dette er bevist på samme måte som i Lemma 1 i dette avsnittet), er det nøyaktig ϕ (m) ting. Det er også klart at alle av dem er relativt prime til modulen, fordi d(en, m)=1, d(x,m)=1 ⇒ d(øks, m)=1. Altså tallene ENx danne et redusert system av rester.

Lemma 3. La m 1 , m 2 , ..., m k – er parvis relativt prime og m 1 m 2 ...m k =M 1 m 1 =M 2 m 2 =...=M k m k , Hvor M j =m 1 ...m j -1 m j +1...m k

1) Hvis x 1 , x 2 , ..., x k kjøre gjennom komplette systemer av rester modulo m 1 , m 2 , ..., m k M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k kjøre gjennom hele systemet med modulo-fradrag m= m 1 m 2 ...m k .

2) Hvis ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k kjøres gjennom de reduserte restsystemer modulo m 1 , m 2 , ..., m k følgelig, da verdiene til den lineære formen M 1 ξ 1 +M 2 ξ 2 + ...+M k ξ k løpe gjennom det reduserte systemet av modulo-rester m= m 1 m 2 ...m k .

Lemma 4. La x 1 , x 2 , ..., x k , x kjøre komplett, og ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ k , ξ – løpe gjennom de reduserte systemene av rester modulo m 1 , m 2 ,...,m k Og m=m 1 m 2 ...m k henholdsvis hvor (m jeg m j )=1 på jeg≠ j. Deretter brøker (x 1 /m 1 +x 2 /m 2 +...+x k /m k } sammenfaller med brøker (x/m), og brøker { ξ 1 /m 1 + ξ 2 /m 2 +...+ ξ k /m k } sammenfaller med brøker { ξ /m).

La oss betegne med ε k k roten m-å kraften til enhet:

Her k=0,1,...,m-1 – går gjennom hele systemet av modulo-rester m.

La meg minne deg på at summen ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 alle røtter m th potens av en er lik null for enhver m. Faktisk, la ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 = a. Multipliser dette beløpet med et tall som ikke er null ε 1. Slik multiplikasjon geometrisk i det komplekse planet betyr å rotere riktig m-gon, ved toppene der røttene ε er plassert 0 + ε 1 +...+ ε m-1, til en vinkel som ikke er null 2 π /m. Det er klart at i dette tilfellet roten ε 0 går til roten ε 1 , rot ε 1 går til roten ε 2 , etc., og roten ε m-1 går til roten ε 0 , dvs. sum ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 vil ikke endre seg. Vi har ε 1 a=a, hvor a=0.

Teorem 1. La m>0– heltall, en Z, x går gjennom hele systemet av modulo-rester m. Så hvis EN flere m, Det

ellers hvis EN ikke et multiplum m,

Teorem 2. La m>0 er et heltall, ξ går gjennom det modulo-reduserte systemet av rester m. Deretter (summen av antiderivative røtter av grad m):

hvor μ( m) – Möbius-funksjon.

Fullt system med fradrag. Det gitte fradragssystemet. De vanligste fradragssystemene er: minst positive, minst ikke-negative, absolutt minst osv.

Teorem 1. Egenskaper til det komplette og reduserte systemet av rester.

1°.Kriterium for et komplett system av fradrag. Enhver samling av m heltall som er parvis uforlignelige i modul m, danner et komplett system av modulo-rester m.

2°. Hvis tallene x 1 , x 2 , ..., x m– et komplett system med modulo-fradrag m, (en, m) = 1, b er et vilkårlig heltall, deretter tallene øks 1 +b, øks 2 +b, ..., øks m+b utgjør også et komplett system av modulo-fradrag m.

3°. Kriterium for redusert fradragsordning. Enhver samling som består av j( m) heltall som er parvis uforlignelige i modul m og coprime med modulen, danner et redusert system av modulo-rester m.

4°. Hvis tallene x 1 , x 2 , ..., x j ( m) – redusert system av modulo-rester m, (en, m) = 1, deretter tallene øks 1 , øks 2 , ..., en x j ( m) danner også et redusert system av modulo-rester m.

Teorem 2. Eulers teorem.

Hvis tallene en Og m relativt godt, altså en j ( m) º 1(mod m).

Konsekvens.

1°. Fermats teorem. Hvis s– et primtall og en ikke delelig med s, Det en s–1º 1(mod s).

2°. Generaliserte Fermats teorem. Hvis s er altså et primtall en s º en(mod s) for noen enÎ Z .

§ 4. Løse sammenligninger med en variabel

Løse sammenligninger. Ekvivalens. Grad av sammenligning.

Teorem. Egenskaper for løsninger til sammenligninger.

1°. Løsningene til sammenligninger er hele klasser av rester.

2°. (" k)(en k º b k(mod m))Ù k= Þ-sammenligning º 0 (mod m) og º 0 (mod m) er likeverdige.

3°. Hvis begge sider av sammenligningen multipliseres med et tall coprime til modulen, vil en sammenligning fås som tilsvarer den opprinnelige.

4°. Enhver sammenligning modulo prime s tilsvarer en sammenligning hvis grad ikke overstiger s–1.

5°. Sammenligning º 0 (mod s), Hvor s– primtall, har ikke mer enn n ulike løsninger.

6°. Wilsons teorem. ( n–1)! º –1 (mod n) Û n primtall.

§ 5. Løse førstegrads sammenligninger

øks º b(mod m).

Teorem. 1°. Hvis ( en, m) = 1, så har sammenligningen en løsning, og en unik.

2°. Hvis ( en, m) = d Og b ikke delelig med d, så har sammenligningen ingen løsninger.

3°. Hvis ( en, m) = d Og b delt på d, så har sammenligningen d forskjellige løsninger som utgjør en klasse av rester modulo.

Måter å løse sammenligninger på øks º b(mod m) i tilfelle når ( en, m) = 1:

1) utvalg (utvalg av elementer i det komplette systemet med fradrag);

2) bruk av Eulers teorem;

3) bruk av den euklidiske algoritmen;

4) variasjon av koeffisienter (bruk av egenskap 2° for hele systemet av rester fra setning 2.2);

§ 6. Ubestemte ligninger av første grad

øks+ved = c.

Teorem. Ligning øks+ved = c løses hvis og bare hvis c (en, b).

I tilfelle ( en, b) = 1 alle løsninger av ligningen er gitt av formlene

tÎ Z , Hvor x 0 er en sammenligningsløsning

øks º c(mod b), y 0 = .

Diofantiske ligninger.

KAPITTEL 10. Komplekse tall

Definisjon av systemet med komplekse tall. Eksistensen av et system av komplekse tall

Definisjon av systemet med komplekse tall.

Teorem. Det er et system av komplekse tall.

Modell: R 2 med operasjoner

(en, b)+(c, d) = (en+c, b+d), (en, b)×( c, d) = (ac–bd, f.Kr+annonse),

jeg= (0, 1) og identifikasjon EN = (EN, 0).

Algebraisk form av komplekst tall

Representasjon av et komplekst tall som z = en+bi, Hvor en, bÎ R , jeg 2 = –1. Det unike med en slik representasjon. Re z, Im z.

Regler for å utføre aritmetiske operasjoner på komplekse tall i algebraisk form.

Aritmetikk n-dimensjonalt vektorrom C n. Systemer av lineære ligninger, matriser og determinanter over C .

Trekke ut kvadratrøtter av komplekse tall i algebraisk form.