Sistema completo e reduzido de deduções. Vasilisa Yaviks é um mecanismo de busca inteligente. amanhã já está aqui! Informações básicas da teoria

Conforme mostrado no §5, a relação de comparabilidade módulo m possui as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade; portanto, é uma relação de equivalência. Tome um número inteiro arbitrário a. Denotemos por o o conjunto de números comparáveis ​​a um módulo m: Let. Deixe ser agora. E assim por diante. O processo continuará até que os conjuntos construídos cubram todo o conjunto de inteiros. Neste caso, surge uma partição do conjunto Z em conjuntos a. b, c,..que são chamadas de classes de resíduos módulo m; cada número incluído em qualquer uma das classes é chamado de resíduo desta classe. O número de classes de resíduos módulo m é igual a m Na verdade, o resto da divisão de um número inteiro por m assume um dos valores m - 2 ou m - 1 e, portanto, cada um dos números cai em uma das classes 01, cujo número é igual a m. Tomando um número de cada classe de resíduos obtemos um sistema de representantes das classes de resíduos, ou um sistema completo de resíduos módulo m. módulo 7: Lema 3. Os números xm formam um sistema completo de resíduos módulo m se e somente se eles são pares incomparáveis ​​módulo m. Vamos provar a suficiência. Se dois números não forem módulos comparáveis, eles se enquadram em classes de resíduos diferentes. Como existem m classes de resíduos no total e os números em consideração são mn, eles constituem um sistema completo de resíduos. Lema 4. Seja xm um sistema completo de resíduos módulo m, um inteiro a coprimo com m, b um inteiro arbitrário. Então os números axi + 6, ax2 + b, ..axm -f b também formam um sistema completo de resíduos. O conjunto de deduções reduzidas de diferentes classes de deduções é denominado sistema reduzido de deduções. Exemplo 2. Para m = 7, o sistema reduzido de resíduos pode ter a seguinte aparência: Sistemas de resíduos A função de Euler (p(t) é o número de números naturais que não excedem m e são mutuamente simples para m. Por exemplo,. É fácil ver que se p é um número primo, é óbvio que o sistema reduzido de resíduos módulo m contém números. Lema 6. Seja a um sistema reduzido de resíduos módulo m relativamente simples. também formam um sistema reduzido de resíduos módulo m 4 Como os números o e X( são coprimos com m, seu produto ax* tem a mesma propriedade. Pelo Lema 4, os números ax\, ax2,... pertencem a classes diferentes. de resíduos e, portanto, em virtude do anterior, formam um sistema reduzido de resíduos.

Anel de resíduo módulo n denotar ou. Seu grupo multiplicativo, como no caso geral de grupos de elementos invertíveis de anéis, é denotado por ∗ × × .

O caso mais simples

Para entender a estrutura do grupo, você pode considerar o caso especial de, onde é um número primo, e generalizá-lo. Vamos considerar o caso mais simples quando, isto é,

Teorema: - grupo cíclico.

Exemplo : Considere um grupo

= (1,2,4,5,7,8) O gerador do grupo é o número 2. ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ Como vemos, qualquer elemento do grupo pode ser representado na forma, onde ≤ℓφ . Ou seja, o grupo é cíclico.

Caso geral

Para considerar o caso geral, é necessário definir uma raiz primitiva. Uma raiz primitiva módulo primo é um número que, junto com sua classe de resíduos, gera um grupo.

Exemplos: 2 11 ; 8 - raiz do módulo primitivo 11 ; 3 não é um módulo raiz primitivo 11 .

No caso de um módulo inteiro, a definição é a mesma.

A estrutura do grupo é determinada pelo seguinte teorema: Se p é um número primo ímpar e l é um número inteiro positivo, então existem raízes primitivas módulo, ou seja, um grupo cíclico.

Exemplo

O dado sistema de módulos de resíduos consiste em classes de resíduos: . Com relação à multiplicação definida para classes de resíduos, eles formam um grupo e também são mutuamente inversos (ou seja, ⋅ ), e também são seu inverso.

Estrutura do grupo

A notação significa "grupo cíclico de ordem n".

Estrutura do grupo (Z/ n Z) ×

	×	φ	λ	Gerador de grupo			×	φ	λ	Gerador de grupo			×	φ	λ	Gerador de grupo			×	φ	λ	Gerador de grupo
1	C1	1	1	0		33	C 2 × C 10	20	10	2, 10		65	C 4 × C 12	48	12	2, 12		97	C 96	96	96	5
2	C1	1	1	1		34	C 16	16	16	3		66	C 2 × C 10	20	10	5, 7		98	C 42	42	42	3
3	C2	2	2	2		35	C 2 × C 12	24	12	2, 6		67	C 66	66	66	2		99	C 2 × C 30	60	30	2, 5
4	C2	2	2	3		36	C 2 × C 6	12	6	5, 19		68	C 2 × C 16	32	16	3, 67		100	C 2 × C 20	40	20	3, 99
5	C4	4	4	2		37	C 36	36	36	2		69	C 2 × C 22	44	22	2, 68		101	C 100	100	100	2
6	C2	2	2	5		38	C 18	18	18	3		70	C 2 × C 12	24	12	3, 69		102	C 2 × C 16	32	16	5, 101
7	C6	6	6	3		39	C 2 × C 12	24	12	2, 38		71	C 70	70	70	7		103	C 102	102	102	5
8	C 2 × C 2	4	2	3, 5		40	C 2 × C 2 × C 4	16	4	3, 11, 39		72	C 2 × C 2 × C 6	24	6	5, 17, 19		104	C 2 × C 2 × C 12	48	12	3, 5, 103
9	C6	6	6	2		41	C 40	40	40	6		73	C 72	72	72	5		105	C 2 × C 2 × C 12	48	12	2, 29, 41
10	C4	4	4	3		42	C 2 × C 6	12	6	5, 13		74	C 36	36	36	5		106	C 52	52	52	3
11	C 10	10	10	2		43	C 42	42	42	3		75	C 2 × C 20	40	20	2, 74		107	C 106	106	106	2
12	C 2 × C 2	4	2	5, 7		44	C 2 × C 10	20	10	3, 43		76	C 2 × C 18	36	18	3, 37		108	C 2 × C 18	36	18	5, 107
13	C 12	12	12	2		45	C 2 × C 12	24	12	2, 44		77	C 2 × C 30	60	30	2, 76		109	C 108	108	108	6
14	C6	6	6	3		46	C 22	22	22	5		78	C 2 × C 12	24	12	5, 7		110	C 2 × C 20	40	20	3, 109
15	C 2 × C 4	8	4	2, 14		47	C 46	46	46	5		79	C 78	78	78	3		111	C 2 × C 36	72	36	2, 110
16	C 2 × C 4	8	4	3, 15		48	C 2 × C 2 × C 4	16	4	5, 7, 47		80	C 2 × C 4 × C 4	32	4	3, 7, 79		112	C 2 × C 2 × C 12	48	12	3, 5, 111
17	C 16	16	16	3		49	C 42	42	42	3		81	C 54	54	54	2		113	C 112	112	112	3
18	C6	6	6	5		50	C 20	20	20	3		82	C 40	40	40	7		114	C 2 × C 18	36	18	5, 37
19	C 18	18	18	2		51	C 2 × C 16	32	16	5, 50		83	C 82	82	82	2		115	C 2 × C 44	88	44	2, 114
20	C 2 × C 4	8	4	3, 19		52	C 2 × C 12	24	12	7, 51		84	C 2 × C 2 × C 6	24	6	5, 11, 13		116	C 2 × C 28	56	28	3, 115
21	C 2 × C 6	12	6	2, 20		53	C 52	52	52	2		85	C 4 × C 16	64	16	2, 3		117	C 6 × C 12	72	12	2, 17
22	C 10	10	10	7		54	C 18	18	18	5		86	C 42	42	42	3		118	C 58	58	58	11
23	C 22	22	22	5		55	C 2 × C 20	40	20	2, 21		87	C 2 × C 28	56	28	2, 86		119	C 2 × C 48	96	48	3, 118
24	C 2 × C 2 × C 2	8	2	5, 7, 13		56	C 2 × C 2 × C 6	24	6	3, 13, 29		88	C 2 × C 2 × C 10	40	10	3, 5, 7		120	C 2 ×C 2 ×C 2 ×C 4	32	4	7, 11, 19, 29
25	C 20	20	20	2		57	C 2 × C 18	36	18	2, 20		89	C 88	88	88	3		121	C 110	110	110	2
26	C 12	12	12	7		58	C 28	28	28	3		90	C 2 × C 12	24	12	7, 11		122	C 60	60	60	7
27	C 18	18	18	2		59	C 58	58	58	2		91	C 6 × C 12	72	12	2, 3		123	C 2 × C 40	80	40	7, 83
28	C 2 × C 6	12	6	3, 13		60	C 2 × C 2 × C 4	16	4	7, 11, 19		92	C 2 × C 22	44	22	3, 91		124	C 2 × C 30	60	30	3, 61
29	C 28	28	28	2		61	C 60	60	60	2		93	C 2 × C 30	60	30	11, 61		125	C 100	100	100	2
30	C 2 × C 4	8	4	7, 11		62	C 30	30	30	3		94	C 46	46	46	5		126	C 6 × C 6	36	6	5, 13
31	C 30	30	30	3		63	C 6 × C 6	36	6	2, 5		95	C 2 × C 36	72	36	2, 94		127	C 126	126	126	3
32	C 2 × C 8	16	8	3, 31		64	C 2 × C 16	32	16	3, 63		96	C 2 × C 2 × C 8	32	8	5, 17, 31		128	C 2 × C 32	64	32	3, 127

Aplicativo

Na dificuldade, Farm, Hooley, . Waring formulou o teorema de Wilson e Lagrange o provou. Euler propôs a existência de raízes primitivas módulo um número primo. Gauss provou isso. Artin apresentou sua hipótese sobre a existência e quantificação de números primos, módulo em que um determinado número inteiro é uma raiz primitiva. Brouwer contribuiu para o problema da existência de conjuntos de inteiros consecutivos, cada um dos quais é a k-ésima potência mod p. Bilharz provou ser um análogo da conjectura de Artin. Hooley provou a conjectura de Artin assumindo a validade da hipótese estendida de Riemann em campos de números algébricos.

Notas

Literatura

• Irlanda K., Rosen M. Uma introdução clássica à moderna teoria dos números. - M.: Mundo, 1987.
• Alferov A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. Cheremushkin A.V. Noções básicas de criptografia. - Moscou: “Helios ARV”, 2002.
• Rostovtsev A.G., Makhovenko E.B. Criptografia teórica. - São Petersburgo: NPO “Professional”, 2004.

Geralmente como um sistema completo de deduções de módulo eu os menores resíduos não negativos são considerados

0,1,...,eu − 1

ou as menores deduções absolutas consistindo em números

,

em caso de estranho eu e números

em caso de mesmo eu .

Veja também

Literatura

• IM Vinogradov Fundamentos da Teoria dos Números. - M.-L.: Estado. Ed. literatura técnica e teórica, 1952. - 180 p.

Fundação Wikimedia.

2010.

Veja o que é “Sistema completo de deduções” em outros dicionários:

Módulo m, qualquer coleção de inteiros contendo um número de cada classe de números módulo m (dois inteiros aeb pertencem à mesma classe módulo m se a b for divisível por m; veja Redução). Como um P.s. V. com mais frequência… … O módulo é qualquer conjunto de inteiros que são módulos incomparáveis ​​entre si. Geralmente como um P. s. V. módulo os menores resíduos não negativos 0, 1, . . ., m 1 ou os resíduos absolutamente menores, consistindo nos números 0, +1, . . ., V… …

Enciclopédia Matemática Parte de um sistema completo de resíduos (ver Sistema completo de resíduos), composto por números primos com módulo m. P.S. V. contém números φ(m) [φ(m) o número de números coprimos com m e menores que m]. Quaisquer números φ(m) que não sejam comparáveis ​​módulo m e... ...

Grande Enciclopédia Soviética

Na teoria dos números, a comparação [esclarece] módulo um número natural n, uma relação de equivalência no conjunto de inteiros especificados pelo número designado, associada à divisibilidade por ele. O espaço fatorial nesta relação é chamado de “anel” ... ... Wikipedia

A simetria de um floco de neve está associada a um grupo de rotações através de um ângulo que é múltiplo de 60°. Um grupo finito é um grupo algébrico que contém um número finito de elementos (esse número é chamado de ordem). Além disso, o grupo é considerado multiplicativo, ou seja, uma operação em ... ... Wikipedia

A função k pode ser representada por uma série de potências. Elimina a importância da classe A. f. é definido como segue. Em primeiro lugar, esta classe é bastante ampla: cobre a maioria das funções encontradas nas questões básicas da matemática e suas... ... O módulo é qualquer conjunto de inteiros que são módulos incomparáveis ​​entre si. Geralmente como um P. s. V. módulo os menores resíduos não negativos 0, 1, . . ., m 1 ou os resíduos absolutamente menores, consistindo nos números 0, +1, . . ., V… …

I Conteúdo: I. Ensino primário público em geral. II. Ensino primário público no estrangeiro: Áustria-Hungria, Inglaterra, Bélgica, Bulgária, Alemanha, Holanda, Dinamarca, Espanha, Itália, Noruega, Portugal, Roménia, Sérvia, ... ... Dicionário Enciclopédico F.A. Brockhaus e I.A. Efrom

- - nascido em 26 de maio de 1799 em Moscou, na rua Nemetskaya, na casa de Skvortsov; morreu em 29 de janeiro de 1837 em São Petersburgo. Por parte de pai, Pushkin pertencia a uma antiga família nobre, descendente, segundo as genealogias, de um descendente “de ... ... Grande enciclopédia biográfica

Um conjunto de fórmulas fechadas de lógica de predicados da 1ª etapa. E. t. Th(K) classe K sistemas algébricos de assinatura chamados. o conjunto de todas as fórmulas fechadas da lógica de predicados do 1º estágio da assinatura verdadeira em todos os sistemas da classe K. Se a classe... ... O módulo é qualquer conjunto de inteiros que são módulos incomparáveis ​​entre si. Geralmente como um P. s. V. módulo os menores resíduos não negativos 0, 1, . . ., m 1 ou os resíduos absolutamente menores, consistindo nos números 0, +1, . . ., V… …

No parágrafo anterior observou-se que a relação  eu módulo de comparabilidade arbitrário eué uma relação de equivalência no conjunto de inteiros. Esta relação de equivalência induz uma partição do conjunto de inteiros em classes de elementos equivalentes entre si, ou seja, números que quando divididos por eu saldos idênticos. Número de classes de equivalência  eu(os especialistas dirão - “índice de equivalência  eu") é exatamente igual eu.

Definição. Qualquer número da classe de equivalência  eu vamos chamá-lo de módulo resíduo eu. Um conjunto de deduções retiradas uma de cada classe de equivalência  eu, é chamado de sistema completo de resíduos de módulo eu(no sistema completo de deduções, portanto, existem apenas m números). Os próprios restos quando divididos por eu são chamados de menores resíduos não negativos e, claro, formam um sistema completo de resíduos de módulo eu. Dedução ρ é chamado absolutamente menor se ⎪ ρ ⎪ o menor entre os módulos residuais desta classe.

Exemplo: Deixar eu= 5. Então:

0, 1, 2, 3, 4 - os menores resíduos não negativos;

2, -1, 0, 1, 2 são as menores deduções absolutas.

Ambos os conjuntos de números dados formam sistemas completos de resíduos módulo 5.

Lema 1. 1) Qualquer eu peças que não são comparáveis ​​em módulo eu números formam um sistema completo de resíduos de módulo eu.

2) Se UM E eu são relativamente simples e x percorre o sistema completo de resíduos de módulo eu, então os valores da forma linear UMx + b, Onde b– qualquer número inteiro, também executado através do sistema completo de resíduos de módulo eu.

Prova. A afirmação 1) é óbvia. Vamos provar a afirmação 2) Números UMx+b suave eu coisas. Vamos mostrar que eles não são comparáveis ​​em módulo eu. Bem, deixe ser por algo diferente x 1 e x 2 do sistema completo de deduções descobriu-se que machado 1 + b ≡ machado 2 + b(mod m). Então, de acordo com as propriedades das comparações do parágrafo anterior, obtemos:

machado 1 ≡ machado 2 (modificação eu)

x 1 ≡ x 2 (modificação eu)

- uma contradição com o fato de que x 1 e x 2 são diferentes e retirados do sistema completo de deduções.

Como todos os números de uma determinada classe de equivalência  eu são obtidos de um número de uma determinada classe adicionando um número que é múltiplo eu, então todos os números desta classe têm módulo eu o mesmo máximo divisor comum. Por alguns motivos, de maior interesse são aquelas deduções que acompanham o módulo eu máximo divisor comum igual a um, ou seja, resíduos que são primos em relação ao módulo.

Definição. O sistema reduzido de deduções de módulo eué o conjunto de todos os resíduos do sistema completo que são coprimos com o módulo eu.

O sistema reduzido é geralmente escolhido entre os menores resíduos não negativos. É claro que o dado sistema de resíduos de módulo eu contém ϕ (eu) pedaços de deduções, onde ϕ (eu) – Função de Euler – o número de números menores que eu e mutuamente primos com eu.

Função de Euler.

Função de Euler ϕ (um) é o número de números da série 0, 1, 2,..., um–1, coprimo com um.

Lema. Deixar

T
quando:

em particular, φ( p α) = p α – pα -1 ,φ( p) = p–1.

Exemplo. Deixar eu= 42. Então o sistema de resíduos dado é:

1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41.

Lema 2. 1) Qualquer ϕ (eu) números que são pares incomparáveis ​​em módulo eu e coprimos com o módulo, formam um sistema reduzido de resíduos de módulo eu.

2) Se d(um, eu) = 1 e x atravessa o sistema reduzido de resíduos de módulo eu, Que UMx também atravessa o sistema reduzido de resíduos de módulo eu.

Prova. A afirmação 1) é óbvia. Vamos provar a afirmação 2). Números UMx são incomparáveis ​​​​aos pares (isso é provado da mesma forma que no Lema 1 deste parágrafo), existem exatamente ϕ (eu) coisas. Também está claro que todos eles são relativamente primos ao módulo, porque d(um, eu)=1, d(x,eu)=1 ⇒ d(machado, eu)=1. Então os números UMx formar um sistema reduzido de resíduos.

Lema 3. Deixar eu 1 , m 2 , ..., m k – são pares relativamente primos e eu 1 eu 2 ...m k =M 1 eu 1 =M 2 eu 2 =...=M k eu k , Onde M j =m 1 ...m j -1m j +1...m k

1) Se x 1 , x 2 , ..., x k percorrer sistemas completos de módulo de resíduos eu 1 , m 2 , ..., m k M 1 x 1 +M 2 x 2 + ...+M k x k percorrer o sistema completo de deduções de módulo m = m 1 eu 2 ...m k .

2) Se ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ k percorrer o módulo de sistemas de resíduos reduzidos eu 1 , m 2 , ..., m k respectivamente, então os valores da forma linear M 1 ξ 1 +M 2 ξ 2 + ...+M k ξ k percorrer o sistema reduzido de resíduos de módulo m = m 1 eu 2 ...m k .

Lema 4. Deixar x 1 , x 2 , ..., x k , x execução completa e ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ k , ξ – percorrer os sistemas reduzidos de módulo de resíduos eu 1 , m 2 ,...,m k E m = m 1 eu 2 ...m k respectivamente, onde (m eu eu j )=1 no eu≠ j. Então frações (x 1 /m 1 +x 2 /m 2 +...+x k /m k } coincidem com frações (x/m) e frações { ξ 1 /m 1 + ξ 2 /m 2 +...+ ξ k /m k } coincidem com frações { ξ /m).

Vamos denotar por ε k k a raiz m- oh poder da unidade:

Aqui k=0,1,...,eu-1 – percorre todo o sistema de resíduos de módulo eu.

Deixe-me lembrá-lo de que a soma ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 todas as raízes eu a ésima potência de um é igual a zero para qualquer eu. Na verdade, seja ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 = um. Multiplique esse valor por um número diferente de zero ε 1. Tal multiplicação geométrica no plano complexo significa girar o correto eu-gon, em cujos vértices estão localizadas as raízes ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1, para um ângulo diferente de zero 2 π /m. É claro que neste caso a raiz ε 0 vai para a raiz ε 1 , raiz ε 1 vai para a raiz ε 2 , etc., e a raiz ε m-1 vai para a raiz ε 0 , ou seja soma ε 0 + ε 1 +...+ ε m-1 não mudará. Temos ε 1 uma = uma, onde uma=0.

Teorema 1. Deixar m>0– inteiro, um Z, x percorre o sistema completo de resíduos de módulo eu. Então se UM múltiplo eu, Que

caso contrário, se UM não é um múltiplo eu,

Teorema 2. Deixar m>0é um número inteiro, ξ percorre o sistema de resíduos módulo reduzido eu. Então (soma das raízes antiderivadas de grau eu):

onde μ( eu) – Função de Möbius.

Sistema completo de deduções. O determinado sistema de deduções. Os sistemas de deduções mais comuns são: menos positivo, menos não negativo, absolutamente mínimo, etc.

Teorema 1. Propriedades do sistema completo e reduzido de resíduos.

1°.Critério para um sistema completo de deduções. Qualquer coleção de eu inteiros que são pares incomparáveis ​​em módulo eu, forma um sistema completo de resíduos de módulo eu.

2°. Se os números x 1 , x 2 , ..., x m– um sistema completo de deduções de módulo eu, (um, eu) = 1, bé um número inteiro arbitrário, então os números machado 1 +b, machado 2 +b, ..., machado m+b também compõem um sistema completo de deduções modulares eu.

3°. Critério para o regime reduzido de deduções. Qualquer coleção consistindo em j( eu) inteiros que são incomparáveis ​​​​aos pares em módulo eu e coprime com o módulo, forma um sistema reduzido de resíduos de módulo eu.

4°. Se os números x 1 , x 2 , ..., x j ( eu) – sistema reduzido de resíduos de módulo eu, (um, eu) = 1, então os números machado 1 , machado 2 , ..., um x j ( eu) também formam um sistema reduzido de resíduos de módulo eu.

Teorema 2. Teorema de Euler.

Se os números um E eu relativamente primo, então um j ( eu)º 1(mod eu).

Conseqüência.

1°. Teorema de Fermat. Se p– um número primo e um não divisível por p, Que um p–1º 1(mod. p).

2°. Teorema de Fermat generalizado. Se pé um número primo, então um p º um(modelo p) para qualquer umÎ Z .

§ 4. Resolvendo comparações com uma variável

Resolvendo comparações. Equivalência. Grau de comparação.

Teorema. Propriedades de soluções para comparações.

1°.As soluções para comparações são classes inteiras de resíduos.

2°. (" k)(um k º bk(modelo eu))Ù k= Þ comparação º 0 (mod eu) e º 0 (mod eu) são equivalentes.

3°. Se ambos os lados da comparação forem multiplicados por um número primo ao módulo, será obtida uma comparação equivalente à original.

4°. Qualquer comparação módulo prime pé equivalente a uma comparação cujo grau não excede p–1.

5°. Comparação º 0 (mod p), Onde p– número primo, não tem mais que n várias soluções.

6°. Teorema de Wilson. ( n–1)! º –1 (mod. n) Û n número primo.

§ 5. Resolvendo comparações de primeiro grau

machado º b(modelo eu).

Teorema. 1°. Se ( um, eu) = 1, então a comparação tem uma solução e uma solução única.

2°. Se ( um, eu) = d E b não divisível por d, então a comparação não tem soluções.

3°. Se ( um, eu) = d E b dividido por d, então a comparação tem d diferentes soluções que constituem uma classe de resíduos módulo .

Maneiras de resolver comparações machado º b(modelo eu) no caso em que ( um, eu) = 1:

1) seleção (seleção de elementos do sistema completo de deduções);

2) utilização do teorema de Euler;

3) utilização do algoritmo euclidiano;

4) variação de coeficientes (utilização da propriedade 2° do sistema completo de resíduos do Teorema 2.2);

§ 6. Equações indeterminadas de primeiro grau

machado+por = c.

Teorema. Equação machado+por = c solucionável se e somente se c (um, b).

Em caso ( um, b) = 1 todas as soluções da equação são dadas pelas fórmulas

tÎ Z , Onde x 0 é alguma solução de comparação

machado º c(modelo b), sim 0 = .

Equações diofantinas.

CAPÍTULO 10. Números complexos

Definição do sistema de números complexos. Existência de um sistema de números complexos

Definição do sistema de números complexos.

Teorema. Existe um sistema de números complexos.

Modelo: R 2 com operações

(um, b)+(c, d) = (um+c, b+d), (um, b)×( c, d) = (ac–bd, a.C.+anúncio),

eu= (0, 1) e identificação UM = (UM, 0).

Forma algébrica de número complexo

Representação de um número complexo como z = um+bi, Onde um, bÎ R , eu 2 = –1. A singularidade de tal representação. Ré z, Eu sou z.

Regras para realizar operações aritméticas com números complexos na forma algébrica.

Aritmética n espaço vetorial tridimensional C n. Sistemas de equações lineares, matrizes e determinantes sobre C .

Extração de raízes quadradas de números complexos na forma algébrica.