Cele mai multe împrumuturi de astăzi sunt rambursate folosind plăți de anuitate, sume lunare egale. În mod similar, depozitele primesc o dobândă stabilă. Aceeași sumă în fiecare lună. În practica bancară, acest calcul al dobânzii se numește simplu. Astfel, în cazul unui împrumut, în fiecare lună proprietarul acestuia va trebui să ramburseze nu doar o parte din suma principală, ci și dobânda calculată pentru utilizarea acestuia. Acest format de parteneriat este legal. Este cu totul altceva dacă împrumutatul este taxat dobândă compusă. Formula de calcul a acesteia va fi discutată mai jos.

Împotriva legii, sau Cum profită băncile de pe urma debitorilor fără experiență?

Mulți vor fi interesați să afle, dar perceperea dobânzii compuse pentru un împrumut este ilegală. Acest format de cooperare face ca produsul bancar să fie foarte profitabil pentru instituțiile financiare și complet neprofitabil pentru client. Un format ilegal de calculare a dobânzii este efectuat atunci când rata dobânzii se modifică sistematic pe toată durata împrumutului. Este posibil să sesizeze acțiuni ilegale ale băncii doar atunci când există o întârziere, care de fapt nu ar trebui să existe. În timpul proceduri judiciare se poate dovedi că banca nu a perceput dobânda corectă.

Deci, ce este asta - dobânda compusă la împrumuturi și depozite?

Formula pentru dobânda compusă pentru un împrumut va clarifica faptul că acumularea se efectuează nu numai asupra sumei principale a datoriei, ci și asupra sumei fondurilor care s-a format după acumulare. dobândă bancară. Mai simplu spus, dobânda compusă este dobânda care se compune pe sine. În practica bancară se mai numesc dobândă dublă.

Oamenii se confruntă adesea cu situații în care micile lor datorii se transformă într-o sumă ordonată de bani. Esența problemei este că, după ce instituția financiară înregistrează întârzierea, va adăuga dobândă la suma datoriei. Următoarea acumulare se va efectua asupra cuantumului principal al datoriei plus dobânda calculată anterior asupra acesteia. Datoria față de bancă crește exponențial. Dobânda compusă nefavorabilă pentru debitor devine un real avantaj pentru investitori, deoarece, similar cu creșterea datoriilor, oferă o creștere rapidă a profiturilor.

Dobândă compusă: formulă pentru debitori

În practica financiară, schema de calcul a dobânzii compuse este foarte comună. Este relevant dacă fondurile de dobândă nu sunt plătite în fiecare lună, ci sunt adăugate la suma datoriei principale, care devine noua bază pentru cheltuielile băncii. Dacă împrumutul durează un an sau mai mult, împrumutatul se poate confrunta cu insolvență.

FV = PV + % = PV + PV * % = PV * (1 + %)

Pentru a calcula supraplata pentru două perioade de acumulare, puteți utiliza următoarea formulă:

FV = (PV + %) * (% + 1) = PV * (1 + %) * (1 + %) = PV * (1 + %) 2

FV = PV * (1 + %) N = PV * Kn, unde:

• FV este suma acumulată a datoriei.
• PV este valoarea principală a datoriei.
• % - rata pentru perioada de acumulare.
• N este numărul de perioade de acumulare.
• Кн - coeficientul de acumulare a dobânzii compuse.

Creșterea dobânzii simple și compuse

Formulele pentru dobânda simplă și compusă vă permit să determinați suma plății în exces și să estimați în prealabil beneficiile produs bancar. Pentru creditele pe termen scurt, dobânda simplă este mai profitabilă pentru bănci. Totuși, dacă termenul de împrumut are tendințe pe termen mediu sau lung, diferența poate fi destul de vizibilă pentru client. De aici rezultă următoarele modele:

Indiferent de rata dobânzii:

1. 0 < N < 1 , то (1 + N * %) >(1 + %) N.
2. N > 1, apoi (1 + N * %)< (1 + %) N .
3. N = 1, apoi (1 + N * %) = (1 + %) N.

După cum vedem, instituțiile financiare care acordă împrumuturi beneficiază de mai multe simplu interes când toate veniturile sunt acumulate o singură dată la sfârșitul întregului termen al împrumutului. Dobânda compusă aduce beneficii numai dacă împrumutul a fost în desfășurare de cel puțin un an. Ambele tipuri de dobândă oferă băncii un profit identic dacă împrumutul este pe o perioadă de un an, iar dobânda se calculează o singură dată la încheierea parteneriatului.

Formula pentru dobânda compusă la depozite

Dobânda compusă este folosită de bănci nu numai pentru a beneficia de împrumuturi. Formatul de angajamente este folosit și la efectuarea depozitelor, determinând astfel beneficiile pentru investitori. Suma totală a depozitului poate fi calculată folosind următoarea formulă:

S = D * (1 + % * i / Y / 100) * N

Pentru a calcula profitul pe un depozit, este eficient să folosiți alte formule:

Sp = S - D = D * (1 + % * i / Y / 100) * N - D

Sp = D * ((1 + % * i / Y / 100) * N - 1)

Pentru a compara profitabilitatea depozitelor care sunt emise pentru perioade diferite și fiecare dintre ele are propria sa dobândă compusă, formula va arăta diferit. Vă va permite să determinați procentul pe care investitorul îl va primi după capitalizare.

P1 = 100 * ((1 + % * i / Y / 100) * N - 1), unde:

• D este dimensiunea depozitului primar.
• S - suma totală a depozitului cu dobânda acumulată.
• % - dobândă.
• Sp - venit.
• N - numărul de încărcări.
• i - numărul de zile pentru acumularea dobânzii.
• Y - zilele anului.

Rata finală a băncii, calculată ținând cont de capitalizarea dobânzii, se numește efectivă. Instituțiile financiare nu iau în considerare data încheierii parteneriatului dacă folosesc o schemă complexă de calcul al profitului.

Un exemplu de calcul al angajamentelor complexe pe un depozit

Formula de calcul a dobânzii compuse ajută fiecare investitor să estimeze preliminar valoarea venitului său. Să încercăm să calculăm volumul total al depozitului și profitul primit separat de acesta, dacă dimensiunea investiției primare a fost de 100.000 de ruble pentru o perioadă de 90 de zile cu o rată de 16%.

S = 100000 + (100000 * 16% * 90 / 365)

Sp = 100000 * 16% * 90 / 365

Ce să cauți?

Pentru fiecare format de parteneriat cu o bancă, trebuie să utilizați o opțiune de calcul individuală. În funcție de durata depozitului și de frecvența plăților, se va forma dobânda compusă finală. Formula de calcul va varia de la caz la caz. Pentru a evita greșelile și pentru a alege cel mai mult program profitabil depozite, trebuie să apelați la experți. Reprezentanții pot ajuta în această problemă institutie financiara. Deși nu au dreptul să recomande depozite, ei sunt obligați să furnizeze, la cerere, o schemă completă de calcul a dobânzii la acestea.

Capitalizarea la investiții pe piețele valutare

Capitalizarea dobânzii se găsește nu numai în bănci, ci și în piata valutara„Forex”. Investitorii care își investesc capitalul în managementul încrederii, aveți ocazia de a urmări depozitele lor crescând exponențial. Specificul acestui tip de investiție este că atunci când se primește un profit, acesta nu este retras imediat, ci este distribuit la sfârșitul perioadei de tranzacționare. În perioada de tranzacționare, care poate fi de o săptămână, o lună sau chiar câteva luni, dobânda compusă va fi calculată automat datorită specificului tranzacționării. Formula dobânzii compuse la depozite nu este potrivită pentru calcularea corectă a venitului. Motivul este lipsa unei rate stabile. Profitul este determinat de calitatea tranzacționării managerului, strategia și politica sa de gestionare a banilor și alți parametri ai sistemului de tranzacționare.

Notă pentru investitori

Pentru a calcula venitul în timpul capitalizării, nu se utilizează o singură formulă a dobânzii compuse pentru împrumuturi și depozite, ci mai multe. Acest lucru se datorează conditii diferite parteneriat cu banca. Dobânda poate fi adunată pe dobândă în fiecare zi, ceea ce este foarte rar, în fiecare săptămână, în fiecare lună și chiar în fiecare an (pentru investiții pe termen lung).

Un depozit cu capitalizare lunară poate fi considerată cea mai bună opțiune pe care nu este greu de găsit și va aduce beneficii destul de mari. Acumularea dobânzii la dobândă este cu cât mai profitabilă pentru investitor, cu atât mai des se realizează acumularea. În ciuda ratelor mai scăzute ale dobânzii la produsele bancare cu capitalizare, profitul este în cele din urmă cu un ordin de mărime mai mare decât în ​​cazul unei scheme simple de angajamente.

Un alt punct interesant este că, cu cât depozitul este mai lung în bancă, cu atât va crește mai repede. Creșterea veniturilor se va produce ca urmare a adăugării de taxe la suma de bază a fondurilor. Dacă pe parcursul anului avantajele capitalizării nu sunt atât de vizibile, după o duzină de ani îndoielile cu privire la avantajele acestei propuneri bancare vor dispărea. Astfel, alegând o dobândă mai mică, dar concentrându-vă pe capitalizare, puteți obține un profit mai mare la depozitul dumneavoastră.

Când deschideți un depozit bancar, trebuie să acordați atenție nu numai mărimii ratei dobânzii, ci și tipului de dobândă acumulată. Există calcule simple și complexe ale dobânzii. În acest articol, vom analiza diferența dintre tipurile de calcul al ratei dobânzii și, de asemenea, vom determina beneficiile uneia sau alteia metode de calcul.

Care este diferența dintre dobânda simplă și cea compusă?

De obicei, băncile oferă dobândă simplă. Ce înseamnă? Aceasta înseamnă că dobânda va fi acumulată pentru depozitul dvs. numai la sfârșitul termenului. Aceste. Să presupunem că ați deschis un depozit de 10% pe an și ați investit 10.000 de ruble. După un an, veți fi creditat cu 1.000 de ruble ca dobândă. Dacă lăsați depozitul pentru al doilea an, atunci după această perioadă veți fi creditat cu încă 1.000 de ruble.

Timp de 2 ani, cu un calcul simplu al dobânzii, suma dvs. totală va fi: 12.000 de ruble.

Dacă ar exista un calcul complex al dobânzii, atunci imaginea s-ar schimba puțin. După 1 an, contul tău ar avea și 11.000 de ruble (10.000 este contribuția ta + 1.000 de ruble în dobândă).

Cu toate acestea, această mie acumulată va fi adăugată la corpul principal al depozitului la sfârșitul primei perioade. Și toată dobânda ar fi deja acumulată pentru această sumă totală. Aceste. în al doilea an ai primi 10%, numai că nu de la 10.000 de ruble, ci de la 11 mii. În termeni monetari, se dovedește a fi 1.100 de ruble.

Total, timp de 2 ani cu calcul complex, suma dvs. va fi: 12.100 de ruble

Cred că nu are rost să explici ce vei alege: 12.000 sau 12.100 de ruble. În plus, un avantaj suplimentar al dobânzii compuse este faptul că este inclus și în. Aceste. Dacă licența băncii este revocată, atunci toate dobânzile acumulate trebuie, de asemenea, returnate deponentului.

Cu acumulare simplă, banii se plătesc doar la sfârșitul termenului, adică. de fapt, nu au fost creditate, chiar dacă a mai rămas doar o zi până la încheierea contribuției tale! Și în acest caz, aveți dreptul să returnați doar capitalul principal.

Deosebit de atractiv este un depozit cu capitalizare lunară sau trimestrială a dobânzii. Cu cât perioada de valorificare a depozitului este mai mică, cu atât mai mult venituri mari el dă. Este o chestiune de efect cumulativ. Atunci când dobânda acumulată sub formă de profit acumulează și profit. Uneori dobânda compusă se numește dobândă. luând în considerare reinvestirea sau capitalizare. Fiți atenți la acest lucru atunci când încheiați un acord cu banca. Dacă acordul prevede că dobânda se acumulează la sfârșitul termenului de depozit, atunci vorbim de dobândă simplă.

Nu ofer bănci foarte des. Chiar dacă dobânda este calculată lunar sau trimestrial, băncile preferă să nu folosească profiturile primite pentru a acumula dobândă pentru acestea. dobândă suplimentară, dar sunt transferate într-un cont separat. Ideea aici, așa cum sa menționat mai sus, este efectul de refinanțare, când rata efectivă a dobânzii datorată capitalizării va fi mai mare decât cea declarată inițial de bancă.

Exemplu. La o rată nominală de 9% pe an, rata efectivă reală, luând în considerare reinvestirea, ar fi de 9,4% pe an. La 10% această cifră s-ar ridica la 10,5%, iar la 11% s-ar ridica la 11,6%.

Băncile cotează de obicei o rată nominală a dobânzii, deoarece rata efectivă a dobânzii presupunând că dobânda este retrasă este posibil să nu apară.

Formula pentru calcularea dobânzii compuse la depozitele bancare

Pentru cei care doresc să înțeleagă singuri câți bani vor primi investind bani la o dobândă compusă într-o bancă, există o formulă specială pentru reinvestirea sau valorificarea unui depozit:

S=K*(1+r/t)™

K este suma inițială pe care ați depus-o în bancă,

r este rata anuală a dobânzii la care ați depus în bancă, de exemplu, 10% pe an este 0,1, 12% pe an este 0,12

t este numărul de plăți de dobândă pe an, de exemplu, dacă dobânda se acumulează anual, atunci t=1, trimestrial t=4, lunar t=12

TM - numărul de perioade de dobândă, adică dacă ați deschis un depozit timp de 2 ani, atunci cu acumulare trimestrială perioadele vor fi 8, cu TM lunar vor fi 24.

S este suma care va fi în contul dvs. după expirarea depozitului.

Exemplu.

Ai deschis un depozit pe o perioada de 2 ani, la 12% pe an, capitalizarea dobanzii este trimestriala. Ai depus 10.000 de ruble.

Câți bani vei avea la sfârșitul mandatului?

K=10 000
r=0,12%
t=4
TM=8

Obținem, S=10.000 * (1+0.12/4)∧8 = 12.668 ruble.

În total, peste 2 ani, un astfel de depozit vă va aduce 2.668 de ruble sau 26,68% profitabilitate.

Dacă, de exemplu, luăm dobândă simplă acumulată la același 12% pe an timp de 2 ani, cu acumulare anuală, dar fără capitalizare, atunci la sfârșitul termenului suma va fi puțin mai mică, și anume 2.400 de ruble sau randamentul de 24% .

Desigur, diferența de 2,68% nu este atât de mare. Dar totul se schimbă dacă suma depozitului se modifică în sus sau termenul depozitului crește. La intervale lungi de timp diferența dintre calculul simplu și complex al dobânzii este cel mai vizibilă. Pe perioade lungi de timp, diferența dintre rezultatul obținut poate varia semnificativ. Nu e de mirare că Rothschild (cea mai bogată familie de pe planetă) au numit dobânda compusă „”.

Daria Nikitina

Timp de citire: 11 minute

A A

Dobânda compusă Se obișnuiește să se numească efectul atunci când dobânda pe profit se adaugă la suma principală și, ulterior, participă la crearea de noi profituri.
Formula dobânzii compuse- aceasta este formula prin care se calculeaza suma totala tinand cont de capitalizare (dobanzi).

În acest articol:

Calcul simplu al dobânzii compuse

Pentru a înțelege mai bine calculul dobânzii compuse, să ne uităm la un exemplu.
Să ne imaginăm că ai depus 10.000 de ruble în bancă cu 10 la sută pe an.
Un an mai târziu pe tine cont bancar suma va fi SUM = 10.000 + 10.000*10% = 11.000 de ruble.
Profitul tău este de 1000 de ruble.
Decizi să lași 11.000 de ruble în bancă pentru al doilea an la aceeași dobândă de 10%.
După 2 ani, banca va fi acumulat 11.000 + 11.000*10% = 12.100 de ruble.

Profitul pentru primul an (1000 de ruble) a fost adăugat la suma principală (10000 de ruble), iar în al doilea an a generat deja profit nou. Apoi, în al 3-lea an, profitul pentru al 2-lea an va fi adăugat la suma principală și va genera el însuși un nou profit. Și așa mai departe.

Acest efect se numește dobândă compusă.

Când tot profitul este adăugat la suma principală și apoi produce un nou profit.

Formula dobânzii compuse:

SUMA = X * (1 + %) n

Unde
SUMĂ- suma finală;
X - suma inițială;
% — rata dobânzii, procente pe an /100;
n — numărul de perioade, ani (luni, trimestre).

Calculul dobânzii compuse: Exemplul 1.
Ai depus 50.000 de ruble în bancă la 10% pe an timp de 5 ani. Câți bani vei avea peste 5 ani? Să calculăm folosind formula dobânzii compuse:

SUM = 50.000 * (1 + 10/100) 5 = 80.525,5 rub.

Dobânda compusă poate fi folosită atunci când deschideți depozit la termenîn bancă. Conform termenilor acord bancar Dobânda poate fi acumulată, de exemplu, trimestrial sau lunar.

Calculul dobânzii compuse: Exemplul 2.
Să calculăm care va fi suma finală dacă puneți 10.000 de ruble pentru 12 luni la 10% pe an cu dobândă acumulată lunar.

SUM = 10000 * (1+10/100/12) 12 = 11047,13 rub.

Profitul s-a ridicat la:

PROFIT = 11047,13 - 10000 = 1047,13 ruble

Rentabilitatea a fost (în procente pe an):

% = 1047,13 / 10000 = 10,47 %

Adică când acumulare lunară randamentul dobânzii se dovedește a fi mai mare decât atunci când dobânda este calculată o dată pentru întreaga perioadă.

Dacă nu vă retrageți profiturile, atunci intră în joc dobânda compusă.

Formula dobânzii compuse pentru depozitele bancare

De fapt, formula dobânzii compuse în raport cu depozitele bancare este ceva mai complicată decât cea descrisă mai sus. Rata dobânzii pentru depozit (%) se calculează după cum urmează:

% = p * d / y

Unde
p— rata dobânzii (procent pe an / 100) la depozit,
de exemplu, dacă rata este de 10,5%, atunci p = 10,5 / 100 = 0,105;
d— perioada (numărul de zile) pe baza rezultatelor căreia are loc capitalizarea (se acumulează dobânda),
de exemplu, dacă capitalizarea este lunară, atunci d = 30 zile
dacă capitalizarea este o dată la 3 luni, atunci d = 90 zile;
y— numărul de zile dintr-un an calendaristic (365 sau 366).

Adică puteți calcula rata dobânzii pentru diferite perioade de depozit.

Formula dobânzii compuse pentru depozite bancare arata asa:

SUMA = X * (1 + p*d/y)n

Atunci când calculați dobânda compusă, trebuie să țineți cont de faptul că, în timp, acumularea de bani se transformă într-o avalanșă. Acesta este apelul dobânzii compuse. Imaginează-ți o minge mică de zăpadă de mărimea unui pumn care a început să se rostogolească pe un munte înzăpezit. În timp ce nodul se rostogolește, zăpada se lipește de el din toate părțile și o piatră uriașă de zăpadă va zbura până la picior. La fel și cu dobânda compusă. La început, creșterea creată de dobânda compusă este aproape invizibilă. Dar după un timp ea se arată în toată gloria ei. Acest lucru poate fi văzut clar în exemplul de mai jos.

Calcularea dobânzii compuse: Exemplul 3.
Să luăm în considerare 2 opțiuni:
1. Dobândă simplă. Ai investit 50.000 de ruble timp de 15 ani la 20%. Contribuții suplimentare Nu. Retrageți toate profiturile.
2. Dobânda compusă. Ai investit 50.000 de ruble timp de 15 ani la 20%. Nu există taxe suplimentare. În fiecare an, profiturile din dobândă sunt adăugate la suma principală.

Suma de pornire: 50.000 de ruble
Dobândă: 20% pe an
	Interes simplu	Dobânda compusă
	Sumă	Profit pe an	Sumă	Profit pe an
Dupa 1 an	60.000 de ruble.	10.000 de ruble.	60.000 de ruble.	10.000 de ruble.
Dupa 2 ani	70.000 de ruble.	10.000 de ruble.	72.000 de ruble.	12.000 de ruble.
Dupa 3 ani	80.000 de ruble.	10.000 de ruble.	86.400 de ruble.	14.400 de ruble.
Dupa 4 ani	90.000 de ruble.	10.000 de ruble.	103.680 RUB	17.280 RUB
In 5 ani	100.000 de ruble.	10.000 de ruble.	124.416 RUB	20.736 RUB
Dupa 6 ani	110.000 de ruble.	10.000 de ruble.	149.299 RUB	24.883 RUR
Dupa 7 ani	120.000 de ruble.	10.000 de ruble.	179.159 RUB	29.860 RUB
Dupa 8 ani	130.000 de ruble.	10.000 de ruble.	214.991 RUR	35.832 RUB
După 9 ani	140.000 de ruble.	10.000 de ruble.	257.989 RUB	42.998 RUB
In 10 ani	150.000 de ruble.	10.000 de ruble.	309.587 RUB	51.598 RUB
După 11 ani	160.000 de ruble.	10.000 de ruble.	371.504 RUB	61.917 RUB
După 12 ani	170.000 de ruble.	10.000 de ruble.	445.805 RUB	74.301 RUB
După 13 ani	180.000 de ruble.	10.000 de ruble.	534.966 RUB	89.161 RUB
După 14 ani	190.000 de ruble.	10.000 de ruble.	641.959 RUB	106.993 RUB
După 15 ani	200.000 de ruble.	10.000 de ruble.	770.351 RUB	128.392 RUB
Profit total:	150.000 de ruble.		720.351 RUB

De la simplu la complex...

De ce își duce o persoană economiile la bancă? Desigur, pentru a le asigura siguranța și, cel mai important, pentru a genera venituri. Și aici cunoașterea formulei pentru dobânda simplă sau compusă, precum și capacitatea de a face un calcul preliminar al dobânzii la un depozit, vor fi mai utile ca niciodată. La urma urmei, prognozarea dobânzii la depozite sau a dobânzii la împrumuturi este una dintre componentele gestionării rezonabile a finanțelor tale. Este bine să efectuați astfel de previziuni înainte de a semna contracte și a vă angaja tranzactii financiare, precum și în perioadele de acumulare regulată a dobânzii și adăugarea acestora la depozit conform unui contract de depozit deja încheiat.

Pentru a calcula dobânda la depozite, precum și la împrumuturi, se folosesc următoarele formule:

1. formula simplă a dobânzii,


2. formula dobânzii compuse.

Procedura de calculare a dobânzii conform formulelor de mai sus se efectuează folosind o rată fixă ​​sau variabilă. Pentru a nu reveni la această problemă Pe viitor, voi explica imediat sensul cuvintelor și diferențele dintre o rată fixă ​​și o rată variabilă.

O rată fixă ​​este atunci când rata dobânzii stabilită pentru un depozit bancar este fixată în contractul de depozit și rămâne neschimbată pe toată perioada investiției, adică. fix. Acest tarif se poate modifica doar în momentul prelungirii automate a contractului pt termen nou sau când încetare anticipată relații contractuale și plata dobânzii pe perioada efectivă a investiției la rata „la cerere”, care este prevăzută de condiții.

O rată variabilă este atunci când rata dobânzii stabilită inițial prin acord se poate modifica pe toată perioada investiției. Condițiile și procedura de modificare a ratelor sunt specificate în contractul de depozit. Ratele dobânzii se pot modifica: din cauza modificărilor ratei de refinanțare, modificărilor cursului de schimb, transferului sumei depozitului într-o altă categorie și alți factori.

Pentru a calcula dobânda folosind formule, trebuie să cunoașteți parametrii pentru investirea fondurilor într-un cont de depozit, și anume:

• suma depozitului,
• rata dobânzii la depozitul selectat (depozit),
• Ciclicitatea calculului dobânzii (zilnic, lunar, trimestrial etc.),
• termenul de plasare a contribuției (depozit),
• uneori se cere tipul de rată a dobânzii utilizată – fixă ​​sau flotantă.

Acum să ne uităm la formulele standard ale dobânzii menționate mai sus, care sunt folosite pentru a calcula dobânda la depozite.

Formula simplă a dobânzii

Formula dobânzii simple se aplică dacă dobânda acumulată la depozit se adaugă la depozit doar la sfârșitul perioadei de depozit sau nu se adaugă deloc, ci este transferată într-un cont separat, adică. calculul dobânzii simple nu prevede capitalizarea dobânzii.

Atunci când alegeți tipul de depozit, ar trebui să acordați atenție procedurii de calculare a dobânzii. Atunci când suma depozitului și perioada de plasare sunt semnificative, iar banca utilizează formula dobânzii simple, aceasta duce la o subestimare a veniturilor din dobânzi ale deponentului. Formula pentru dobânda simplă la depozite arată astfel:

Formula simplă a dobânzii

Semnificația simbolurilor:
S - suma numerar urmând a fi returnat deponentului la expirarea perioadei de depozit. Constă din suma inițială de bani plasată plus dobânda acumulată.
I – rata anuală a dobânzii

P – suma inițială de fonduri atrase către depozit

Formula simplă a dobânzii

Semnificația simbolurilor:
Sp – suma dobânzii (venituri).
I – rata anuală a dobânzii
t – numărul de zile de acumulare a dobânzii la depozitul atras
K – numărul de zile dintr-un an calendaristic (365 sau 366)
P – suma de fonduri atrase de depozit.

Voi da exemple condiționate de calculare a dobânzii simple și a sumei depozit bancar cu dobanda simpla:

Exemplul 1. Să presupunem că banca a acceptat un depozit în valoare de 50.000 de ruble pentru o perioadă de 30 de zile. Rata fixă ​​a dobânzii - 10,5% pe an. Aplicând formulele, obținem următoarele rezultate:

S = 50000 + 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 50431,51

Sp = 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 431,51

Exemplul 2. Banca a acceptat un depozit în aceeași sumă de 50.000 de ruble pentru o perioadă de 3 luni (90 de zile) rata fixă 10,5 la sută „pe an”. Doar termenul de investiție s-a schimbat în condiții.

S = 50000 + 50000 * 10,5 * 90 / 365 / 100 = 51294,52

Sp = 50000 * 10,5 * 90 / 365 / 100 = 1294,52

Când comparăm cele două exemple, este clar că valoarea dobânzii acumulate lunar folosind formula dobânzii simple nu se modifică.

431,51 * 3 luni = 1294,52 ruble.

Exemplul 3. Banca a acceptat un depozit în valoare de 50.000 de ruble pentru o perioadă de 3 luni (90 de zile) la o rată fixă ​​de 10,5 la sută pe an. Depozitul este completat, iar în a 61-a zi depozitul a fost completat în valoare de 10.000 de ruble.

S1 =50000 + 50000 * 10,5 * 60 / 365 / 100 = 50863,01
Sp1 = 50000 * 10,5 * 60 / 365 / 100 = 863,01

S2 = 60000 + 60000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 60517,81
Sp2 = 60000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 517,81

Sp = Sp1 + Sp2 = 50000 * 10,5 * 60 / 365 / 100 + 60000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 863,01 + 517,81 = 1380,82

Exemplul 4. Banca a acceptat un depozit în aceeași sumă de 50.000 de ruble pentru o perioadă de 3 luni (90 de zile), la o rată variabilă. Pentru prima lună (30 de zile) rata dobânzii este de 10,5%, pentru următoarele 2 luni (60 de zile) rata dobânzii este de 12%.

S1 = 50000 + 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 50000 + 431,51 = 50431,51
Sp1 = 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 431,51

S2 = 50000 + 50000 * 12 * 60 / 365 / 100 = 50000 + 986,3 = 50986,3
Sp2 = 50000 * 12 * 60 / 365 / 100 = 986,3

Sp = 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 + 50000 * 12 * 60 / 365 / 100 = 431,51 + 986,3 = 1417,81

Formula dobânzii compuse

Formula dobânzii compuse se aplică dacă dobânda la un depozit se acumulează la intervale regulate (zilnic, lunar, trimestrial) și dobânda acumulată se adaugă la depozit, adică calculul dobânzii compuse implică capitalizarea dobânzii (cumularea dobânzii la dobândă). ).

Majoritatea băncilor oferă depozite cu capitalizare trimestrială (Sberbank of Russia, VTB etc.), adică. cu dobândă compusă. Iar unele bănci, în ceea ce privește depozitele, oferă capitalizare la sfârșitul perioadei de investiție, adică. atunci când depozitul este extins la următorul termen, ceea ce, ca să spunem ușor, se referă la un truc publicitar care încurajează deponentul să nu retragă dobânda acumulată, dar dobânda în sine este calculată de fapt după formula dobânzii simple. Și repet, atunci când suma depozitului și perioada de plasare sunt semnificative, o astfel de „capitalizare” nu duce la o creștere a sumei veniturilor din dobânzi ale deponentului, deoarece se acumulează dobânzi la cele primite în perioadele anterioare. venituri din dobânzi Nu.
Formula dobânzii compuse arată astfel:

Formula dobânzii compuse

Semnificația simbolurilor:




S - suma de fonduri care urmează să fie returnată deponentului la sfârșitul perioadei de depozit. Se compune din suma depozitului plus dobânda.

Calcularea doar a dobânzii compuse folosind formula va arăta astfel:

Calculați doar dobânda compusă

Semnificația simbolurilor:
I – rata anuală a dobânzii;
j – numărul de zile calendaristice din perioada după care banca valorifică dobânda acumulată;
K – numărul de zile dintr-un an calendaristic (365 sau 366);
P – suma inițială a fondurilor atrase către depozit;
n - numarul de operatiuni de capitalizare a dobanzii acumulate in perioada termen total atragerea de fonduri;
Sp – suma dobânzii (venituri).

Voi da un exemplu condiționat de calculare a dobânzii compuse și a sumei unui depozit bancar cu dobândă compusă:

Exemplul 5. A fost acceptat un depozit de 50 de mii de ruble. pentru o perioadă de 90 de zile la o rată fixă ​​de 10,5 la sută pe an. Dobânda se calculează lunar. În consecință, numărul operațiunilor de valorificare a dobânzilor acumulate (p) în termen de 90 de zile va fi de 3. Iar numărul de zile calendaristice din perioada următoare căreia banca valorifică dobânda acumulată (j) va fi de 30 de zile (90/3). Care va fi suma dobânzii?

S = 50000 * (1 + 10,5 * 30 / 365 / 100)3 = 51305,72
Sp = 50000 * (1 + 10,5 * 30 / 365 / 100)3 - 50000 = 1305,72
Vă puteți asigura că suma dobânzii calculată folosind metoda dobânzii compuse este corectă verificând calculul folosind formula dobânzii simple.

Pentru a face acest lucru, vom împărți perioada de depozit în 3 perioade independente (3 luni) a câte 30 de zile și vom calcula dobânda pentru fiecare perioadă folosind formula dobânzii simple. Vom lua suma depozitului în fiecare perioadă ulterioară ținând cont de dobânda pentru perioadele anterioare. Rezultatul calculului a fost:

Deci, suma totală a dobânzii, ținând cont valorificare lunară(dobânda pe dobândă) este:

Sp = Sp1 + Sp2 + Sp3 = 431,51 + 435,23+ 438,98 = 1305,72
Aceasta corespunde sumei calculate folosind dobânda compusă din exemplul nr. 5.
Și când se calculează dobânda pentru aceeași perioadă folosind formula dobânzii simple din exemplul nr. 2, venitul s-a ridicat la doar 1294,52 ruble. Capitalizarea dobânzii a adus investitorului încă 11,2 ruble. (1305,72 – 1294,52), adică. Se obțin randamente mai mari din depozitele cu capitalizare a dobânzii atunci când se aplică dobânda compusă.

La calcularea dobânzii, trebuie luată în considerare încă o mică nuanță. La determinarea numărului de zile pentru acumularea dobânzii la un depozit (t) sau a numărului de zile calendaristice din perioada următoare căreia banca valorifică dobânda acumulată (j), nu se ia în considerare ziua închiderii (retragerii) depozitului. . Deci, de exemplu, pe 2 noiembrie 2007, banca a acceptat un depozit pentru o perioadă de 7 zile. Perioada completă de depunere este de la 02.11.07 până la 09.11.07, i.e. 8 zile calendaristice. Iar perioada de acumulare a dobânzii la depozit va fi de la 02.11.07 până la 08.11.07, i.e. – 7 zile calendaristice. Nu se ia in calcul ziua 09.11.07 deoarece depozitul a fost returnat clientului.

Încheind materialul, aș dori să vă atrag încă o dată atenția asupra faptului că folosind formulele de dobândă date puteți calcula și dobânda la împrumuturi. Mult succes la numărarea veniturilor și cheltuielilor.

CALCULUL DOBÂNZIEI COMPUSE

Secțiunea II. Calculul dobânzii compuse

2.1 Dobânda compusă

Dobânda compusă este utilizată în operațiunile financiare și de credit pe termen lung dacă dobânda nu este plătită periodic imediat după ce a fost acumulată în ultima perioadă de timp, ci se adaugă la valoarea datoriei. Adăugarea dobânzii acumulate la suma care a servit drept bază pentru determinarea acesteia este adesea numită

nutriţionalizarea de interes.

Formula dobânzii compuse

Fie valoarea inițială a datoriei egală cu P, apoi după un an valoarea datoriei cu dobândă adăugată va fi P(1+i), după 2 ani P(1+i)(1+i)=P(1+). i) 2, după n ani -P( 1+i) n . Astfel, obținem formula de compus pentru dobânda compusă

S=P(1+i)n

unde S este suma acumulată, i - rata anuală dobândă compusă, n - termenul împrumutului, (1+i) n - multiplicatorul de angajamente.

În calculele practice se folosesc în principal procente discrete, adică. dobânzi acumulate la intervale de timp egale (an, semestru, trimestru etc.). Creșterea dobânzii compuse reprezintă creșterea conform legii progresiei geometrice, al cărei prim termen este egal cu P și numitorul este (1+i).

Rețineți că pentru termenul limită n<1 наращение по простым процентам дает больший результат, чем по сложным, а приn>1 este opusul. Acest lucru este ușor de verificat folosind exemple numerice specifice. Cel mai mare excedent al sumei acumulate la dobândă simplă față de suma acumulată la dobândă complexă (la aceleași rate ale dobânzii) se realizează în mijlocul perioadei.

Formula pentru dobânda compusă atunci când rata se modifică în timp

În cazul în care rata dobânzii compuse se modifică în timp, formula de combinare are următoarea formă

S = P(1 + i) n 1	(1+ i )n 2	...(1+ i )nk ,

unde i1, i2,..., ik sunt valori succesive ale ratelor dobânzii în vigoare în perioadele n1, n2,..., respectiv nk.

Contractul prevede rata variabila dobândă compusă, definită ca 20% pe an plus o marjă de 10% în primii doi ani, 8% în al treilea an, 5% în al patrulea an. Determinați valoarea multiplicatorului de creștere pentru 4 ani.

(1+0,3)2 (1+0,28)(1+0,25)=2,704

CALCULUL DOBÂNZIEI COMPUSE

Formula pentru dublarea sumei

Pentru a-și evalua perspectivele, un creditor sau debitor poate pune întrebarea: în câți ani va crește suma împrumutului de N ori la un anumit dobândă. Acest lucru este de obicei necesar atunci când vă prognozați oportunitățile de investiții în viitor. Obținem răspunsul echivalând factorul de creștere cu N:

a) pentru dobândă simplă

(1+niprim) = N, de unde
	N - 1
	ave ost.

b) pentru dobânda compusă

(1+icomplex )n = N, de unde

N = 2 este folosit mai ales des. Atunci formulele (21) și (22) se numesc formule de dublare și iau următoarea formă:

a) pentru dobândă simplă

b) pentru dobânda compusă

Dacă formula (23) este ușor de utilizat pentru calcule brute, atunci formula (24) necesită utilizarea unui calculator. Cu toate acestea, pentru ratele dobânzilor mici (să zicem, mai puțin de 10%), poate fi folosită o aproximare mai simplă. Este ușor de obținut dacă luăm în considerare că ln 2 0,7, iar ln(1+i) i. Apoi

n ≈ 0,7/i.

a) Cu dobândă simplă:
	ave ost.

CALCULUL DOBÂNZIEI COMPUSE

b) Cu dobândă compusă și formula exactă:

					ln(1+ 01,)
		complex n.

c) Cu dobândă compusă și o formulă aproximativă: n ≈ 0,7/i = 0,7/0,1 = 7 ani.

1) Aceeași valoare a dobânzilor simple și compuse duce la rezultate complet diferite.

2) La valori scăzute ale ratei dobânzii compuse, formulele exacte și aproximative dau rezultate aproape identice.

Acumulare dobândă anuală cu un număr fracționar de ani

Pentru ani fracționari se calculează dobânda în moduri diferite: 1) Conform formulei dobânzii compuse

	S=P(1+i)n,
	Pe baza unei metode mixte, conform căreia, pentru un număr întreg de ani,
dobândă compusă, iar pentru dobândă fracționată - simplă
	S=P(1+i)a (1+bi),
unde n=a+b, a este un număr întreg de ani, b este o parte fracțională a unui an.
	Un număr de bănci comerciale aplică o regulă conform căreia pentru un segment
Pentru perioade mai mici decât perioada de acumulare, nu se acumulează dobândă, adică
	S=P(1+i)a.

Ratele nominale și efective ale dobânzii

Rata nominală. Fie rata dobânzii compuse anuale j, iar numărul de perioade de acumulare într-un an m. Apoi de fiecare dată dobânda este calculată la rata j/m. Rata j se numește nominală. Dobânda se calculează la rata nominală după formula:

unde N/ τ este numărul (posibil fracțional) de perioade de calcul a dobânzii, τ este perioada de calcul a dobânzii,

CALCULUL DOBÂNZIEI COMPUSE

2) După o formulă mixtă

S = P(1 +		)a (1+ b

unde a este numărul întreg de perioade de acumulare (adică a = este partea întreagă a împărțirii întregului termen N al împrumutului la perioada de acumulare τ ),

b - partea fracțională rămasă din perioada de acumulare (b=N/ τ -a).

Mărimea împrumutului este de 20 de milioane de ruble. Acordat pentru 28 de luni. Rata nominală este de 60% pe an. Dobânda se calculează trimestrial. Calculați suma acumulată în trei situații: 1) când se percepe dobândă compusă pentru partea fracționată, 2) când se percepe dobândă simplă pentru partea fracționată, 3) când partea fracțională este ignorată. Comparați rezultatele.

Dobânda se calculează trimestrial. Sunt 3 = 91 3 blocuri în total.

S = 20(1+ 06,/4)9

73,713 milioane de ruble.

S = 20(1+

73,875 milioane de ruble.

3) S=20(1+0,6/4) 9 = 70,358 milioane de ruble.

Dintr-o comparație a sumelor acumulate vedem că aceasta atinge cea mai mare valoare în al doilea caz, adică. la calcularea dobânzii simple la partea fracționată.

Rata efectivă arată ce rată anuală a dobânzii compuse dă același rezultat financiar, deoarece este o creștere unică pe an la rata j/m.

Dacă dobânda este capitalizată de m ori pe an, de fiecare dată la o rată j/m, atunci, prin definiție, putem scrie egalitatea pentru factorii de angajamente corespunzători:

(1+ie)n =(1+j/m)mn,

unde i e este rata efectivă, аj este rata nominală. Din aceasta obținem că relația dintre ratele efective și nominale este exprimată prin relație

i e =(1 +				−1
Relația inversă are forma
j=m[(1+ie)1/m -1].

Calcula rata efectivă dobândă, dacă banca percepe dobândă trimestrial, pe baza unei rate nominale de 10% pe an.

CALCULUL DOBÂNZIEI COMPUSE

Soluția i e =(1+0,1/4) 4 -1=0,1038, adică. 10,38%.

Exemplul 10.

Stabilește ce ar trebui să fie rata nominală cu dobândă compusă trimestrial pentru a oferi o rată efectivă de 12% pe an.

Soluţie. j =4[(1+0,12) 1/4 -1]=0,11495, i.e. 11,495%.

Contabilitate (actualizare) la o rată a dobânzii compusă

Aici, ca și în cazul dobânzii simple, vor fi luate în considerare două tipuri de contabilitate - matematică și bancară.

Contabilitate matematică. În acest caz, se rezolvă problema inversă a acumulării dobânzii compuse. Să notăm formula inițială pentru creștere

S=P(1+i)n

și rezolvă-l pentru P

P = S(1 + 1 i ) n = Svn ,

v n =(1 + 1 i ) n =(1 +i ) − n

factor contabil sau de reducere.

Dacă dobânda este calculată de m ori pe an, atunci obținem

	P=S
				(1+ j/m )mn
	unde P și S echivalent în sensul că plata în cuantum S prin n ani este echivalent cu suma P în prezent în curs de plată. Diferența D=S-P se numește discount. Contabilitate bancara. În acest caz, se presupune că va fi utilizată o rată de actualizare complexă. Reducerea la o rată de actualizare complexă se efectuează conform formulei P=S(1-dsl)n, (39) unde d sl este rata de actualizare anuală complexă. Reducerea în acest caz este egală cu D=S-P=S-S(1-dsl)n =S. (40) CALCULUL DOBÂNZIEI COMPUSE Atunci când se utilizează o rată de actualizare complexă, procesul de actualizare are loc cu o încetinire progresivă, deoarece rata de actualizare este de fiecare dată aplicată unei sume reduse în perioada anterioară cu valoarea reducerii. Ratele nominale și efective ale dobânzii Rata nominală de actualizare. În cazurile în care reducerea este utilizată o dată pe an, utilizați rata nominală de actualizare f. Apoi, în fiecare perioadă egală cu 1/m parte a anului, actualizarea este efectuată la o rată de actualizare complexă f/m. Procesul de actualizare pentru această contabilitate complexă m o dată pe an este descris de formula P=S(1-f/m)N, unde N - numărul total perioade de actualizare (N=mn). Reducerea nu o dată, ci de m ori pe an reduce valoarea reducerii mai rapid. Rata de actualizare efectivă. Rata efectivă de actualizare este înțeleasă ca o rată de actualizare anuală compusă echivalentă (cu rezultate financiare) nominale, aplicate pentru un anumit număr de reduceri pe an. În conformitate cu definiția ratei efective de actualizare, vom găsi relația acesteia cu rata nominală din egalitatea factorilor de actualizare Rețineți că rata efectivă de actualizare este întotdeauna mai mică decât rata nominală. Creșteți la o rată de actualizare complexă. Creșterea este problema inversă pentru ratele de actualizare. Formulele de combinare la rate complexe de actualizare pot fi obținute prin rezolvarea formulelor corespunzătoare de actualizare (39 și 41) în raport cu S. Obținem din P=S(1-d sl ) n S = P (1− d sl )n şi de la P=S(1-f/m)N S = P (1− f /m )N Exemplul 11. Ce sumă trebuie introdusă în factură, dacă suma reală emisă este de 20 de milioane de ruble, perioada de rambursare este de 2 ani. Factura este calculată pe baza unei rate de actualizare anuală compusă de 10%. S = (1 − 20 0,1) 2 = 24,691358 milioane de ruble.