Cum se calculează dobânda compusă. Formula dobânzii compuse

Daria Nikitina

Timp de citire: 11 minute

A A

interes compus Este obișnuit să se numească efectul atunci când procentul de profit este adăugat la suma principală și în viitor ei înșiși participă la crearea de noi profituri.
Formula dobânzii compuse este o formulă prin care se calculează suma totală, luând în considerare capitalizarea (cumularea dobânzii).

În acest articol:

Calcul simplu al dobânzii compuse

Pentru a înțelege mai bine calculul dobânzii compuse, să ne uităm la un exemplu.
Imaginați-vă că puneți 10.000 de ruble într-o bancă cu 10% pe an.
Un an mai târziu pe tine cont bancar suma SUMA \u003d 10000 + 10000 * 10% \u003d 11.000 de ruble va fi.
Profitul tău este de 1000 de ruble.
Decizi să lași 11.000 de ruble pentru al doilea an în bancă la același 10 la sută.
După 2 ani, banca va acumula 11.000 + 11.000 * 10% = 12.100 ruble.

Profitul pentru primul an (1.000 de ruble) a fost adăugat la suma principală (10.000 de ruble), iar în al doilea an a generat deja profit nou. Apoi, în al 3-lea an, profitul pentru al 2-lea an va fi adăugat la suma principală și va genera el însuși un nou profit. Și așa mai departe.

Acest efect se numește dobândă compusă.

Când întregul profit este adăugat la suma principală și în viitor el însuși produce un nou profit.

Formula dobânzii compuse:

SUMA = X * (1 + %)n

Unde
SUMĂ- cantitate finala;
X este suma inițială;
% - rata dobânzii, procente pe an / 100;
n este numărul de perioade, ani (luni, trimestre).

Calculul dobânzii compuse: Exemplul 1.
Pune 50.000 de ruble în bancă la 10% pe an timp de 5 ani. Cât vei avea peste 5 ani? Calculați folosind formula dobânzii compuse:

SUM \u003d 50000 * (1 + 10/100) 5 \u003d 80.525,5 ruble.

Dobânda compusă poate fi folosită atunci când deschideți depozit la termen in banca. Termeni acord bancar dobânda poate fi calculată, de exemplu, trimestrial sau lunar.

Calculul dobânzii compuse: Exemplul 2.
Să calculăm care va fi suma finală dacă puneți 10.000 de ruble timp de 12 luni la 10% pe an cu dobândă lunară.

SUMA \u003d 10000 * (1 + 10/100/12) 12 \u003d 11047,13 ruble.

Profitul s-a ridicat la:

PROFIT \u003d 11047,13 - 10000 \u003d 1047,13 ruble

Randamentul a fost (ca procent pe an):

% = 1047,13 / 10000 = 10,47 %

Adică, cu dobânda lunară, randamentul este mai mare decât cu dobânda acumulată o singură dată pe întreaga perioadă.

Dacă nu retrageți profituri, atunci dobânda compusă începe să funcționeze.

Formula dobânzii compuse pentru depozitele bancare

De fapt, formula dobânzii compuse în raport cu depozitele bancare este ceva mai complicată decât cea descrisă mai sus. Rata dobânzii pentru depozit (%) se calculează după cum urmează:

% = p * d / y

Unde
p- rata dobânzii (procent pe an / 100) la depozit,
De exemplu, dacă rata este de 10,5%, atunci p = 10,5 / 100 = 0,105;
d— perioada (numărul de zile), după rezultatele căreia are loc capitalizarea (se calculează dobânda),
de exemplu, dacă capitalizarea este lunară, atunci d=30 zile
dacă capitalizarea este o dată la 3 luni, atunci d=90 zile;
y— numărul de zile dintr-un an calendaristic (365 sau 366).

Adică se poate număra dobândă pentru diferite perioade de depozit.

Formula dobânzii compuse pentru depozituri bancare arata asa:

SUMA = X * (1 + p*d/y) n

Atunci când calculați dobânda compusă, trebuie să țineți cont de faptul că, în timp, acumularea de bani se transformă într-o avalanșă. Aceasta este frumusețea interesului compus. Imaginați-vă un mic bulgăre de zăpadă de mărimea unui pumn care începe să se rostogolească pe un munte înzăpezit. În timp ce nodul se rostogolește, zăpada se lipește de el din toate părțile și o piatră uriașă de zăpadă va zbura până la picior. La fel și cu dobânda compusă. La început, creșterea creată de dobânda compusă este aproape imperceptibilă. Dar după un timp, ea se arată în toată gloria ei. Acest lucru poate fi văzut clar în exemplul de mai jos.

Calculul dobânzii compuse: Exemplul 3.
Luați în considerare 2 opțiuni:
1. Dobândă simplă. Ai investit 50.000 de ruble timp de 15 ani la 20%. Contribuții suplimentare Nu. Retrageți toate profiturile.
2. Dobânda compusă. Ai investit 50.000 de ruble timp de 15 ani la 20%. Nu există contribuții suplimentare. În fiecare an, la suma principală se adaugă dobânda pe profit.

Suma initiala: 50 000 de ruble
Dobândă: 20% pe an
	interes simplu	Interes compus
	Sumă	Profit intr-un an	Sumă	Profit intr-un an
Dupa 1 an	60 000 de ruble.	10 000 de ruble.	60 000 de ruble.	10 000 de ruble.
După 2 ani	70 000 de ruble.	10 000 de ruble.	72 000 de ruble.	12 000 de ruble.
3 ani mai tarziu	80 000 de ruble.	10 000 de ruble.	86 400 rub.	14 400 de ruble.
Dupa 4 ani	90 000 de ruble.	10 000 de ruble.	103 680 rub.	17 280 rub.
Dupa 5 ani	100 000 de ruble.	10 000 de ruble.	124 416 rub.	20 736 rub.
Dupa 6 ani	110 000 de ruble.	10 000 de ruble.	149 299 rub.	24 883 rub.
Dupa 7 ani	120 000 de ruble.	10 000 de ruble.	179 159 rub.	29 860 rub.
Dupa 8 ani	130 000 de ruble.	10 000 de ruble.	214 991 rub.	35 832 rub.
După 9 ani	140 000 de ruble.	10 000 de ruble.	257 989 rub.	42 998 rub.
După 10 ani	150 000 de ruble.	10 000 de ruble.	309 587 rub.	51 598 rub.
După 11 ani	160 000 de ruble.	10 000 de ruble.	371 504 rub.	61 917 rub.
După 12 ani	170 000 de ruble.	10 000 de ruble.	445 805 rub.	74 301 rub.
După 13 ani	180 000 de ruble.	10 000 de ruble.	534 966 rub.	89 161 rub.
După 14 ani	190 000 de ruble.	10 000 de ruble.	641 959 rub.	106 993 rub.
După 15 ani	200 000 de ruble.	10 000 de ruble.	770 351 rub.	128 392 rub.
Profit total:	150 000 de ruble.		720 351 rub.

. Baza de calcul a dobânzii compuse, spre deosebire de dobânda simplă, nu rămâne constantă. Noah - crește cu fiecare pas în timp. Suma absolută a dobânzii acumulate crește și procesul creșterea volumului datoriilor se accelerează. Acreție de către interes compus poate fi văzut ca un adept noua reinvestire a fondurilor investite sub pro simplecenți pentru o perioadă de acumulare ( perioada de rulare ). A te alaturase numește adesea adăugarea dobânzii acumulate la suma care a servit drept bază pentru calculul acestora capitalizarea dobânzii.

Să găsim o formulă pentru calcularea sumei acumulate conform condiției dobânda respectivă se acumulează și se capitalizează o dată aan (dobândă anuală). Pentru aceasta, se aplică devenirea complexă kaextensii. Pentru a scrie formula de creștere, le aplicămaceeași notație ca și în formula de creștere prin pro simplu cenți:

P - valoarea inițială a datoriei (împrumuturi, credit, capital la, etc.),

S - suma acumulată la sfârșitul termenului de împrumut,

P - termenul, numărul de ani de angajare,

i - nivelul dobânzii anuale, reprezentat de defracție de cent.

Evident, la sfârșitul primului an, dobânda este egală cu valoarea R i , iar suma acumulată va fi K concîn al doilea an va atinge valoarea ÎN sfârşitul n - al-lea an, suma acumulată va fi este egal cu

(4.1)

Dobânda pentru aceeași perioadă în ansamblu este următoarea:

(4.2)

Unele dintre ele se învață calculând dobânda pe dobândă. Ea este

(4.3)

După cum se arată mai sus, creșterea dobânzii compuse esteeste un proces corespunzător unei progresii geometrice si, al cărui prim termen este egal cu R , iar numitorul este .Ultimul membru al progresiei este egal cu suma acumulată la sfârșit termenul de împrumut.

valoarea numit multiplicator incremental la dobândă compusă. Semnificațiile acestui lucrumultiplicator pentru numere întregi P sunt date în tabele complexe la sută.Acuratețea calculului multiplicatorului în calculele practiceeste determinată de gradul admisibil de rotunjire a acumulatuluisume (până la ultimul ban, rublă etc.).

Timpul de construcție a ratei compuse măsoară de obicei Xia ca AST/ A SF.

După cum puteți vedea, valoarea multiplicatorului de acumulare depinde de doi parametri - iȘi P. Trebuie remarcat faptul că pentru o lungă perioadă de timpchiar și o mică modificare a ratei afectează în mod semnificativprin valoarea multiplicatorului. La rândul său, un timp foarte lungduce la rezultate înspăimântătoare chiar și cu un micdobândă.

Se obține formula de acumulare a dobânzii compusepentru o rată anuală a dobânzii și un termen măsurat în ani.Cu toate acestea, poate fi aplicat și pentru alte perioade de angajamente.niya. În aceste cazuriiînseamnă rata pentru o perioadă de acumulare (lună, trimestru etc.) și n este numărul de astfel de perioade. Pe exemplu dacă i– rata de jumătate de an, atunci P – numărul de semestre etc.

Formulele (4.1) - (4.3) presupun că dobânda la procenți sunt percepute la aceeași rată ca atunci când se percepe pentru suma principală a datoriei. Vom complica condițiile de calcul al dobânziicamarad Să se calculeze dobânda la datoria principală la rataiși dobânda la dobândă – la rata În acest caz

Seria dintre paranteze drepte reprezintă geometriao progresie cu primul termen egal cu 1 și numitorul. Ca urmare, avem

(4.4)

· Exemplul 4.1

2. Calculul dobânzii în perioadele calendaristice adiacente. Tu Anterior, la calcularea dobânzii, nu s-a luat în considerare locația perioadei de calcul a dobânzii în raport cu perioadele calendaristice. Cu toate acestea, adesea datele de început și de încheiere ale împrumutului sunt în două perioade. Este clar că acumulate pe întregul termen, dobânda nu poate fi atribuită doar ultimuluimenstruația lui. În contabilitate, fiscalitate,În sfârșit, în analiza activității financiare a întreprinderii Nu există nicio problemă de distribuire a dobânzii acumulate pe perioade.

Durata totală a împrumutului este împărțită în două perioaden 1 Și n 2 . Respectiv,

Unde

· Exemplul 4.2

3. Tarife variabile. Formula presupune o constantărata pe toată perioada dobânzii. Instabilitatea pieței monetare face necesară modernizarea schemei „clasice”, de exemplu, folosind pareri rate variabile ( plutitoare rată). Desigur, calcululpentru viitor la astfel de rate este foarte condiționat. Alt lucru -calcul post factum. În acest caz și, de asemenea, cândmărimile pariurilor sunt fixate în contract, multiplicatorul total Agentul de extensie este definit ca produsul coeficientilor, i.e.

(4.5)

unde - valori consecutive ale ratelor; - perioadele în care corespunzătoare ratele.

· Exemplul 4.3

4. Calculul dobânzii pentru un număr fracționar de ani. Adesea, timpul în th dax pentru calculul dobânzii nu este un număr întreg. În regulile unui număr de bănci comerciale pentru unele operațiuni dobânda se percepe numai pentru un număr întreg de ani sau alte perioade de acumulare. Partea fracțională a perioadei este eliminată. În cele mai multe cazuri, se ia în considerare întregul termen. în carese folosesc două metode. Conform primei, să-i spunem general, calculul se efectuează după formula:

(4.6)

Al doilea, sm nebun,metoda presupune calcularea dobânzii pe ansamblunumărul de ani folosind formula dobânzii compuse și pentru partea fracționată termen conform formulei interes simplu:

,(4.7)

Unde - termenul de împrumut, A este un număr întreg de ani,b - parte fracțională a anului.

O metodă similară se aplică în cazurile în careacumularea la domiciliu este semestrial, trimestrial sau lunar.

Atunci când alegeți o metodă de calcul, trebuie avut în vedere faptul că multerezidentul creșterii conform metodei mixte se dovedește a fi ceva mai mare decât conform metodei generale, deoarece pentru P < 1 este corectin relatie

Se observă cea mai mare diferență dat la b = 1/2.

· Exemplul 4.4

5. Comparația creșterii în interes compus și simplu. Fie ca baza de timp pentru acumulare să fie aceeași, nivelul ratelor dobânzilor este același, atunci:

1) pentru o perioadă mai mică de un an, dobânda simplă este mai mare decât dobânda compusă

2) de mai bine de un an

3) pe o perioadă de 1 an, multiplicatorii de angajamente sunt egali între ei

Folosind factorul simplu de acumulare a dobânzii compuse, puteți determina timpul necesar pentru a crește suma inițială în n o singura data. Pentru aceasta, este necesar ca coeficienții de creștere să fie egali cu valoarea n:

1) pentru dobândă simplă

2) pentru dobândă compusă

Formulele de dublare a capitalului sunt:

Fără îndoială, profitabilitatea unui depozit bancar determină în primul rând rata dobânzii. La urma urmei, fiecare client potențial este ghidat de el. Dar, de fapt, investitorul trebuie, în special, să acorde atenție nu la rata anuală a dobânzii, ci la metoda de acumulare a profitului. La urma urmei, în sistem financiar bancă, există două concepte: dobândă simplă și dobândă compusă. Și pentru fiecare deponent, trebuie să știi exact ce sunt dobânda simplă și compusă, conceptul și formulele, pentru a determina care depozit îi va fi cel mai benefic.

Ce este dobânda simplă

În primul rând, dobânda simplă este acumularea dobânzii pentru plasarea unui depozit într-un cont bancar pe toată perioada de păstrare a fondurilor. Dacă să vorbească în cuvinte simple, atunci dobânda simplă se percepe numai la sfârșitul termenului contractului de depozit, se determină în rata anuală a dobânzii. Mai mult, dacă contractul este prelungit automat pentru perioada următoare, atunci remunerația pentru perioada anterioară nu este inclusă în corpul depozitului.

Pentru a înțelege cât mai exact posibil ce este un sistem simplu de acumulare a profitului, luați în considerare un exemplu. Ai depus 50.000 de ruble într-o bancă cu 7% pe an timp de un an. La sfârșitul contractului, profitul tău va fi de 50.000 × 0,07 = 3.500 de ruble. Odată cu prelungirea automată a contractului pentru următorul termen, profitul dvs. va fi din nou de 3.500 de ruble. Adică după 2 ani vei putea primi 50.000 + 3.500 + 3.500 = 57.000 de ruble de la bancă.

Important! Formula de calcul a dobânzii simple este următoarea: K=D×p. Unde K este suma profitului, D este corpul depozitului, p este rata anuală a dobânzii (în formulă trebuie să indicați nu rata anuală, ci rata împărțită la 100).

Dacă plasați fonduri pentru o perioadă mai mică de un an, atunci, în consecință, rata dobânzii anuale este împărțită la 12 și înmulțită cu numărul de luni în care fondurile au fost în contul bancar. De exemplu, dacă termenul depozitului este de 3 luni, iar rata dobânzii este de 10% pe an, atunci profitul total se calculează după cum urmează: 0,1/12×3=0,025. De exemplu, dacă ați plasat 50.000 de ruble pentru o perioadă de 3 luni, atunci profitul la sfârșitul contractului va fi după cum urmează: 50.000 × 0,025 = 1.250 de ruble.

Formule pentru dobândă simplă și compusă

Dobânda compusă la depozite

Diferența dintre dobânda simplă și dobânda compusă este de fapt destul de mare. Atunci când alegeți un produs de depozit, probabil că toată lumea a auzit despre un astfel de concept precum capitalizarea. Adică, aceasta este schema de acumulare a profitului, în care profitul acumulat este adăugat la corpul depozitului, iar venitul este acumulat din nou pe acesta în viitor.

Vă rugăm să rețineți că capitalizarea se realizează cu o anumită frecvență, de exemplu, o dată pe săptămână, o lună, un trimestru sau un an.

Din aceasta putem concluziona că capitalizarea vă permite să obțineți mai mult profit în comparație cu dobânda simplă. Pentru a vedea acest lucru clar, luați în considerare formula pentru calcularea dobânzii compuse și va arăta astfel: B=(K×H×P/N)/100, Unde:

• B este valoarea profitului acumulat;
• K – corp de depozit;
• H- rata anuala;
• P este numărul de zile în care are loc capitalizarea;
• N este numărul de zile dintr-un an.

Pentru a înțelege clar cum va fi calculată dobânda compusă. Să luăm în considerare un exemplu simplu. Suma depozitului este de 50.000 de ruble, rata anuală a dobânzii este de 7%, capitalizarea se efectuează lunar, contractul este valabil un an. Să calculăm profitul pentru prima lună de utilizare a depozitului: B=(50000×7×30/365)/100=287,6 ruble – acesta este profitul pentru prima lună. În perioada următoare, calculul va arăta astfel: B=(50287,6×7×31/365)/100=298,9 ruble.

Din exemplul de mai sus, putem concluziona că capitalizarea vă permite să obțineți mai mult profit în fiecare lună în comparație cu cea anterioară. Dar atunci când alegeți o ofertă de depozit, asigurați-vă că acordați atenție cât de des este capitalizată dobânda, cu cât mai des, cu atât clientul primește mai multe beneficii.

Care este diferența

De fapt, sistemul de calcul al dobânzii la depozite diferă foarte mult, în primul rând pentru că odată cu valorificarea dobânzii, beneficiul depozitului poate fi mult mai mare decât în ​​cazul unui sistem simplu. Pentru că cu un sistem simplu, profitul crește în progresie aritmetică, iar cu un sistem complex, în progresie geometrică. Pentru a vedea acest lucru clar, mai jos este un grafic al dobânzii compuse în comparație cu un grafic al dobânzii simple.

Schema de dobândă compusă versus schema de dobândă simplă

Dar, această problemă are și capcane. Condițiile depozitelor bancare sunt strict individuale, prin urmare, atunci când alegeți un produs de depozit, acordați atenție, în primul rând, la numărul de perioade de capitalizare pe întreaga durată a contractului. De exemplu, banca indică faptul că contractul dvs. de depozit prevede capitalizarea dobânzii, dar se efectuează o dată la 6 luni, adică veți primi primul venit la șase luni de la încheierea contractului cu banca. În același timp, ați decis să plasați fonduri doar pentru 3 luni, respectiv, veți primi fondurile înainte ca banca să capitalizeze dobânda, iar în acest caz este mai oportun să alegeți un simplu calcul al dobânzii la depozit.

Important! Majoritatea băncilor oferă același lucru oferta de depozit clientii lor sa aleaga sa primeasca profit la o anumita frecventa sau sa se considere corpul depozitului, respectiv, clientul are posibilitatea de a alege care sistem este simplu sau complex, si-ar dori sa-si primeasca venitul.

De fapt, pentru a înțelege care este diferența fundamentală dintre dobânda simplă și cea compusă este destul de simplă, dar totuși nuanța este că băncile în contract nu indică concepte precum dobânda simplă și compusă, fiecare potențial deponent trebuie să acorde atenție tuturor termenilor. a contractului. În cazul în care acordul prevede că dobânda este plătită la sfârșitul contractului, în consecință, capitalizarea în temeiul unui astfel de acord nu este prevăzută.

Dobânda compusă este utilizată în tranzacțiile financiare și de credit pe termen lung, dacă dobânda nu este plătită periodic imediat după ce a fost acumulată pentru intervalul de timp trecut, ci se adaugă la suma datoriei. Adăugarea dobânzii acumulate la suma care a servit drept bază pentru determinarea acestora este adesea numită capitalizare la sută.

formula dobânzii compuse

Să fie datoria inițialăP, apoi într-un an suma datoriei cu dobândă adăugată va fiP(1+ i) , după 2 ani P(1+ i)(1+ i)= P(1+ i) 2 , prin n ani - P(1+ i) n. Astfel, obținem formula de angajamente pentru dobânda compusă

S=P(1+i)n, (19)

Unde S- suma acumulatăi- rata anuală a dobânzii compuse,n- termenul împrumutului (1+ i) n- multiplicatorul incremental.

În calculele practice, procentele discrete sunt utilizate în principal, adică. dobânzi acumulate pentru aceleași intervale de timp (an, jumătate de an, trimestru etc.). Interesul compus este creșterea conform legii unei progresii geometrice, al cărei prim termen este egal cuP, și numitorul (1+ i).

Rețineți că la momentul respectivn<1 acumularea dobânzii simple dă un rezultat mai mare decât dobânda compusă, iar cun>1 - viceversa. Este ușor să vedeți acest lucru în exemple numerice specifice. Cel mai mare excedent al sumei acumulate la dobânda simplă față de suma acumulată la dobânda compusă (la aceleași rate ale dobânzii) se realizează în mijlocul perioadei.

Formula dobânzii compuse
când rata se modifică în timp

În cazul în care rata dobânzii compuse se modifică în timp, formula de angajamente are următoarea formă

(20)

unde i 1 , i 2 ,..., i k - valorile succesive ale ratelor dobânzilor în vigoare în perioadele respective n1,n2,...,nk respectiv.

Exemplul 6

Contractul prevede rata variabila dobândă compusă, definită ca 20% pe an plus o marjă de 10% în primii doi ani, 8% în al treilea an, 5% în al patrulea an. Determinați valoarea multiplicatorului de acumulare pentru 4 ani.

Soluţie.

(1+0,3) 2 (1+0,28)(1+0,25)=2,704

Dublarea formulei sumei

Pentru a-și evalua perspectivele, un creditor sau un debitor poate întreba: în câți ani va crește suma împrumutului cuNori la o anumită rată a dobânzii. Acest lucru este de obicei necesar atunci când vă preziceți oportunitățile de investiții în viitor. Obținem răspunsul echivalând factorul de creștere cu valoareaN:

A) pentru dobândă simplă

(1+ nisimplu.) = N, Unde

. (21)

B) pentru dobânda compusă

(1+ icomplicat) n= N, Unde

. (22)

Mai ales folosit în mod obișnuitN=2. Atunci formulele (21) și (22) se numesc formule de dublare și iau următoarea formă:

A) pentru dobândă simplă

, (23)

B) pentru dobânda compusă

. (24)

Dacă formula (23) este ușor de aplicat pentru estimarea calculelor, atunci formula (24) necesită utilizarea unui calculator. Cu toate acestea, la rate scăzute ale dobânzii (să zicem, mai puțin de 10%), poate fi folosită o aproximare mai simplă. Este ușor de obținut, având în vedere că ln 2  0,7 și ln (1+ i )  i . Apoi

n» 0,7/ i. (25)

Exemplul 7

Soluţie.

a) La dobanda simpla:

ani.

b) Cu dobândă compusă și formula exactă:

Al anului.

c) Cu dobândă compusă și o formulă aproximativă:

n» 0,7/ i\u003d 0,7 / 0,1 \u003d 7 ani.

Concluzii:

1) Aceeași valoare a ratelor dobânzii simple și compuse duce la rezultate complet diferite.

2) La rate ale dobânzii compuse scăzute, formulele exacte și aproximative dau practic aceleași rezultate.

Calculul dobânzii anuale pentru un număr fracționar de ani

Cu un număr fracționar de ani, dobânda este calculată în diferite moduri:

1) Conform formulei dobânzii compuse

S=P(1+i)n, (26)

2) Pe baza unei metode mixte, conform căreia se percepe dobândă compusă pentru ani întregi și dobândă simplă pentru ani fracționari

S=P(1+i) a (1+bi), (27)

Unde n= A+ b, Aeste un număr întreg de anibeste partea fracțională a anului.

3) Într-un număr de bănci comerciale se aplică regula potrivit căreia nu se acumulează dobândă pentru perioade de timp mai mici decât perioada de acumulare, adică.

S=P(1+i) a. (28)

Ratele nominale și efective ale dobânzii

Rata nominală . Fie rata dobânzii compuse anualej, și numărul de perioade de acumulare pe anm. Apoi de fiecare dată dobânda este calculată la rata j/m. Licitați jnumit nominal. Dobânda se calculează la rata nominală după formula:

S=P(1+j/m) N, (29)

Unde N- numărul de perioade de acumulare.

Dacă termenul împrumutului este măsurat printr-un număr fracționar de perioade de acumulare, atunci lamdobândă acumulată unică pe an, suma acumulată poate fi calculată în mai multe moduri, ducând la rezultate diferite:

1) Formula dobânzii compuse

S=P(1+j/m) N/t, (30)

Unde N/ t- numărul (eventual fracțional) de perioade de dobândă,t- perioada de calcul a dobânzii,

2) Formula mixtă

, (31)

Unde A- un număr întreg de perioade de acumulare (de ex.A= [ N/ t] - parte întreagă a împărțirii întregului termen al împrumutuluiNpentru perioada de acumularet),

b- fracțiunea rămasă din perioada de acumulare ( b= N/ t- A).

Exemplul 8

Valoarea împrumutului este de 20 de milioane de ruble. Furnizat timp de 28 de luni. Rata nominală este de 60% pe an. Dobânda se calculează trimestrial. Calculați suma acumulată în trei situații: 1) când se percepe dobândă compusă pentru partea fracțională, 2) când se percepe dobândă simplă pentru partea fracțională, 3) când partea fracțională este ignorată. Comparați rezultatele.

Soluţie.

Dobânda se calculează trimestrial. În total sunt sferturi.

1) = 73,713 milioane de ruble.

2) = 73,875 milioane de ruble

3) S=20(1+0,6/4) 9= 70,358 milion frecați .

Dintr-o comparație a sumelor acumulate, vedem că acesta atinge valoarea maximă în al doilea caz, adică. la calcularea părţii fracţionale a dobânzii simple.

Rata efectivă arată ce dobândă anuală compusă dă același rezultat financiar cam- creștere o singură dată pe an la rataj/ m.

Dacă dobânda este capitalizatămo dată pe an, de fiecare dată cu un tarifj/ m, atunci, prin definiție, putem scrie egalitatea pentru factorii de creștere corespunzători:

(1+iuh) n =(1+j/m) mn, (32)

Unde iuheste rata efectivă șij- nominală. Din aceasta obținem că relația dintre ratele efective și nominale este exprimată prin relație

(33)

Relația inversă are forma

j=m[(1+iuh) 1/m -1].(34)

Exemplul 9

Calculați rata efectivă a dobânzii dacă banca calculează dobânda trimestrial, pe baza unei rate nominale de 10% pe an.

Soluţie

iuh=(1+0,1/4) 4 -1=0,1038, adică 10,38%.

Exemplul 10

Determinați care ar trebui să fie rata nominală pentru combinarea trimestrială a dobânzii pentru a oferi o rată efectivă de 12% pe an.

Soluţie.

j=4[(1+0,12) 1/4 -1]=0,11495, adică 11,495%.

Contabilitate (actualizare) la o rată a dobânzii compusă

Aici, ca și în cazul dobânzii simple, vor fi luate în considerare două tipuri de contabilitate - matematică și bancară.

Contabilitate matematică . În acest caz, problema este rezolvată invers cu dobânda compusă. Să notăm formula inițială pentru creștere

S=P(1+i)n

si rezolva ptP

, (35)

Unde

(36)

discount sau factor de reducere.

Dacă se percepe dobândămo dată pe an, primim

, (37)

Unde

(38)

multiplicator de reducere.

valoarea Pobtinut prin reducereS, numit contemporan sau Valoarea curentă sau dat magnitudinea S. Sume PȘi Ssunt echivalente în sensul că plata în cuantumS prin nani este egal cu sumaPplătit în prezent.

Diferență D= S- Pnumit reducere.

Contabilitate bancara. În acest caz, se presupune utilizarea unei rate de actualizare complexe. Reducerea la o rată de actualizare complexă se efectuează conform formulei

P=S(1-dsl)n, (39)

Unde dsl- Rata de actualizare anuală compusă.

Reducerea în acest caz este

D=S-P=S-S(1-dsl) n =S.(40)

Atunci când se utilizează o rată de actualizare complexă, procesul de actualizare are loc cu o încetinire progresivă, deoarece rata de actualizare se aplică de fiecare dată sumei reduse pentru perioada anterioară cu valoarea reducerii.

Ratele de actualizare nominale și efective ale dobânzii

Rata nominală de actualizare . Când se utilizează reducereamo dată pe an, folosiți rata nominală de actualizare f. Apoi în fiecare perioadă egală cu 1/ mparte a anului, actualizate la o rată de actualizare compusăf/ m. Procesul de actualizare pentru această contabilitate complexămo dată pe an este descrisă prin formula

P=S(1-f/m) N, (41)

Unde N - numărul total perioade de reducere (N= mn).

Reducerea nu este una dar mo dată pe an reduce rata de actualizare mai rapid.

Rata de actualizare efectivă. Rata efectivă de actualizare este înțeleasă ca rata de actualizare anuală compusă, care este echivalentă (conform rezultate financiare) nominal aplicat pentru un anumit număr de reduceri pe anm.

În conformitate cu definiția ratei efective de actualizare, găsim relația acesteia cu rata nominală din egalitatea factorilor de actualizare

(1-f/m) mn =(1-dsl)n,

din care rezultă că

dsl=1-(1-f/m) m. (42)

Rețineți că rata efectivă de actualizare este întotdeauna mai mică decât cea nominală.

Acreție la o rată de actualizare complexă. Acreția este problema inversă pentru ratele de actualizare. Formulele de acumulare la rate complexe de actualizare pot fi obținute prin rezolvarea formulelor corespunzătoare de actualizare (39 și 41) cu privire laS. Primim

din P=S(1-d sl) n

, (43)

iar din P= S(1- f/ m) N

. (44)

Exemplul 11.

Ce sumă ar trebui să fie menționată în biletul la ordin, dacă suma emisă efectiv este de 20 de milioane de ruble, scadența este de 2 ani. Factura este calculată pe baza unei rate de actualizare anuală compusă de 10%.

Soluţie.

milioane de ruble

Exemplul 12.

Rezolvați problema anterioară, cu condiția ca acumularea la o rată de actualizare complexă să fie efectuată nu o dată, ci de 4 ori pe an.

Soluţie.

milioane de ruble

Acumulare și reducere

Suma acumulată la dobândă discretă este determinată de formula

S= P(1+ j/ m) mn,

Unde jeste rata nominală a dobânzii șim- numărul de perioade de dobândă pe an.

Cu atât mai mult m, cu atât intervalele de timp dintre momentele de calcul ale dobânzii sunt mai scurte. În limita lam® ¥ avem

S= lim P(1+j/m) mn =P lim [(1+j/m) m ] n . (45)

m ® ¥ m ® ¥

Se știe că

lim (1+j/m) m =lim [(1+j/m) m/j ] j =e j ,

m ® ¥ m ® ¥

Unde eeste baza logaritmilor naturali.

Folosind această limită în expresia (45), constatăm în sfârșit că suma acumulată în cazul acumulării continue a dobânzii la rataj este egal cu

S= Pejn. (46)

Pentru a distinge rata dobânzii continue de ratele dobânzii discrete, se numește forța de creștere și se notează cu simbolul d. Apoi

S=Pedn. (47)

Puterea creșterii d reprezintă rata nominală la sută lam® ¥ .

Decontarea pe baza ratelor dobânzii continue se efectuează conform formulei

P=Se-dn. (48)

Relația dintre ratele dobânzii discrete și continue

Dobânzile discrete și continue sunt într-o relație funcțională, datorită căreia se poate face trecerea de la calculul dobânzii continue la discrete și invers. Formula pentru tranziția echivalentă de la o rată la alta poate fi obținută prin echivalarea multiplicatorilor de acumulare corespunzători

(1+i)n=edn. (49)

Din egalitatea scrisă rezultă că

d = ln(1+ i) , (50)

i= ed-1 . (51)

Exemplul 13

Rata anuală a dobânzii compuse este de 15%, care este rata de creștere echivalentă,

Soluţie.

Folosim formula (50)

d = ln(1+ i)= ln(1+0,15)=0,13976,

acestea. forța de creștere echivalentă este de 13,976%.

Calculul termenului de împrumut și al ratelor dobânzii

Într-o serie de probleme practice, inițial ( P) și final (S ) sumele sunt specificate prin contract, iar se impune determinarea fie a termenului de plată, fie a ratei dobânzii, care în acest caz poate servi drept măsură de comparație cu indicatorii de piață și caracteristică a rentabilității operațiunii pentru creditor. . Aceste valori sunt ușor de găsit din formulele originale de creștere sau reducere. De altfel, în ambele cazuri problema inversă este rezolvată într-un anumit sens.

Termenul împrumutului

La elaborarea parametrilor acordului și estimarea momentului de obținere a rezultatului dorit, se impune determinarea duratei operațiunii (termenul împrumutului) prin intermediul parametrilor rămași ai tranzacției. Să luăm în considerare această întrebare mai detaliat.

i.

S=P(1+i)n

urmează că

(52)

unde logaritmul poate fi luat în orice bază, deoarece este prezent atât la numărător, cât și la numitor.

mo dată pe an de la formulă

S=P(1+j/m)mn

primim

(53)

d. Din formula

P=S(1-d)n

avem (54)

m odata pe an. Din

P=S(1-f/m)mn

ajungem la formula

(55)

Când construiți pe o forță constantă de creștere. Bazat

S= Pedn

primim

ln( S/ P)= d n. (56)

Calculul ratei dobânzii

Din aceleași formule inițiale ca mai sus, obținem expresii pentru ratele dobânzii.

A) Când se acumulează la o rată anuală compusăi. Din formula de creștere originală

S=P(1+i)n

urmează că

(57)

B) La creșterea la o rată nominală a dobânziimo dată pe an de la formulă

S=P(1+j/m)mn

primim (58)

C) Când sunt actualizate la o rată de actualizare anuală compusăd. Din formula

P=S(1-d)n

avem (59)

D) Când sunt actualizate la o rată de actualizare nominalăm odata pe an. Din

P=S(1-f/m)mn

ajungem la formula

(60)

E) Când se construiește pe o forță constantă de creștere. Bazat

S= Pedn

primim

(61)

Dobânda și inflația

Rezultatul inflației este o scădere putere de cumpărare bani, care pentru perioadancaracterizat prin indiceJ n. Indicele puterii de cumpărare este egală cu reciproca indicelui prețurilorJp, adică

J n=1/ Jp. (62)

Indice de pretAfișează de câte ori au crescut prețurile într-o anumită perioadă de timp.

Acumularea dobânzii simple

Daca crescut pt n ani suma de bani esteS, iar indicele prețurilor esteJp, atunci suma de bani efectiv acumulată, ținând cont de puterea lor de cumpărare, este egală cu

C=S/Jp. (63)

Fie rata medie anuală așteptată a inflației (care caracterizează creșterea prețurilor pe an) să fie egală cu h . Atunci va fi indicele anual al prețurilor (1+ h).

Dacă se face majorarea la un ritm simplu pe parcursulnani, apoi creșterea reală la rata inflației h va fi

(64)

unde in general

(65)

și, în special, la o rată constantă de creștere a prețurilorh,

Jp =(1+h)n. (66)

Rata dobânzii care compensează inflația atunci când se calculează dobânda simplă este

(67)

O modalitate de a compensa deprecierea banilor este creșterea ratei dobânzii cu suma așa-numitului prima de inflatie. Rata ajustată în acest mod se numește rata bruta. Rata bruta, pe care o vom nota prin simbolr, se găsește din egalitatea multiplicatorului de angajamente ajustat în funcție de inflație la rata brută cu multiplicatorul de angajamente la rata reală a dobânzii

(68)

Unde

(69)

Creșterea dobânzii compuse

Extins interes compus suma până la sfârșitul termenului de împrumut, ținând cont de scăderea puterii de cumpărare a banilor (adică în ruble constante) va fi

(70)

unde indicele prețurilor este determinat prin expresia (65) sau (66), în funcție de variabilitatea sau constanța ratei inflației.

În acest caz, scăderea puterii de cumpărare a banilor este compensată cu ratai= h, oferind egalitateC= P.

aplica două moduri de a compensa pierderile din scăderea puterii de cumpărare a banilor la calcularea dobânzii compuse.

A) Ajustarea ratei dobânzii, de-a lungul căruia se face incrementul, cu valoarea prima de inflatie. Rata dobânzii majorată cu prima de inflație se numește rata brută. O vom nota prin simbolr. Presupunând că rata anuală a inflaţiei esteh, putem scrie egalitatea factorilor de creștere corespunzători

(71)

Unde i- rata reala.

De aici obținem formula Fisher

r=i+h+ih. (72)

Adică prima de inflație esteh+ ih.

B) Indexarea sumei inițiale P . În acest caz, sumaPajustat în funcție de mișcarea unui indice prestabilit. Apoi

S=PJ p (1+i) n. (73)

Este ușor de observat că atât în ​​cazul A) cât și în cazul B) ajungem la aceeași formulă de creștere (73). În ea, primii doi factori din partea dreaptă reflectă indexarea sumei inițiale, iar ultimii doi - ajustarea ratei dobânzii.

Măsurarea ratei reale a dobânzii

În practică, este necesară și rezolvarea problemei inverse - găsirea ratei reale a dobânzii în termeni de inflație. Din aceleași rapoarte dintre multiplicatorii de acumulare, nu este dificil să se obțină formule care determină rata realăila o rată brută dată (sau anunțată). r .

La calcularea dobânzii simple, rata dobânzii reale anuale este egală cu

(74)

La calcularea dobânzii compuse, rata reală a dobânzii este determinată de următoarea expresie

(75)

Aplicații practice ale teoriei

Să luăm în considerare câteva aplicații practice ale teoriei pe care am luat-o în considerare. Să arătăm cum se aplică formulele obținute mai sus în rezolvarea unor probleme reale de calcul al eficienței unora tranzactii financiare Să comparăm diferite metode de calcul.

Conversia valutară și calculul dobânzii

Luați în considerare combinația dintre conversia valutară (schimbul) și acumularea interes simplu, comparați rezultatele din plasarea directă a disponibilului Baniîn depozite sau după un schimb preliminar cu o altă valută. În total, există 4 opțiuni pentru acumularea dobânzii:

1. Nicio conversie. Fondurile în valută sunt plasate ca depozit în valută, suma inițială se majorează la cursul valutar prin aplicarea directă a formulei dobânzii simple.

2. Cu conversie. Iniţială fonduri valutare sunt convertite în ruble, acumularea este la rata rublei, la sfârșitul operațiunii, suma rublei este convertită înapoi în moneda inițială.

3. Nicio conversie. Suma rublei este plasată sub forma unui depozit de ruble, pe care se acumulează dobândă la rata rublei conform formulei dobânzii simple.

4. Cu conversie. Suma rublei este convertită într-o anumită monedă, care este investită într-un depozit în valută. Dobânda se percepe la cursul de schimb valutar. Suma acumulată la sfârșitul operațiunii este convertită înapoi în ruble.

Operațiunile fără conversie nu sunt dificile. Există două surse de venit în operațiunea de acumulare a dublei conversii: acumularea dobânzii și modificarea cursului de schimb. Mai mult, calculul dobânzii este o sursă necondiționată (rata este fixă, inflația nu este încă luată în considerare). O modificare a cursului de schimb poate fi într-una sau în cealaltă direcție și poate fi atât o sursă venit suplimentarși duce la pierderi. În continuare, ne vom concentra în mod special pe două opțiuni (2 și 4), care oferă o conversie dublă.

Să introducem mai întâi următoarea notație:

Pv- suma depozitului in valuta,

Relatii cu publicul- suma depozitului în ruble,

Sv- suma acumulată în valută,

S r- suma acumulată în ruble,

K 0 - cursul de schimb la începutul tranzacției (cursul de schimb în ruble)

K 1 - cursul de schimb la finalul tranzacției,

n- termenul depozitului,

i- rata de acumulare pentru sumele de ruble (ca fracție zecimală),

j- rata de acumulare pentru o anumită monedă.

OPȚIUNE: VALUTĂ ® RUBLE ® RUBLE ® VALUTĂ

Operațiunea constă în trei etape: schimbul de monedă pentru ruble, acumularea sumei rublei, conversia inversă a sumei rublei în moneda originală. Suma acumulată primită la finalul tranzacției în valută va fi

.

După cum puteți vedea, cele trei etape ale operațiunii sunt reflectate în această formulă sub forma a trei factori.

Multiplicatorul creșterii, luând în considerare dubla conversie, este egal cu

,

Unde k= K 1 / K 0 - rata de creştere a cursului de schimb pe perioada operaţiunii.

Vedem că factorul de creșteremeste liniar legată de ratăiși inversați cu cursul de schimb la sfârșitul tranzacțieiK 1 (sau cu rata de creștere a cursului de schimbk).

Studiem teoretic dependenta profitabilitatii totale a unei operatii de dubla conversie conform schemei CURRENCY® RUBLE ® RUBLE ® VALUTĂ din raportul dintre cursurile de schimb finale și inițialek .

Dobânda anuală simplă, care caracterizează rentabilitatea operațiunii în ansamblu, este egală cu

.

Înlocuiți în această formulă expresia scrisă anterior pentruS v

.

Astfel, cu o creșterek rentabilitateai eff cade de-a lungul unei hiperbole cu asimptota -1 / n . Vezi fig. 2.

Orez. 2.

Să studiem punctele singulare ale acestei curbe. Rețineți că atunci cândk =1 rentabilitatea operațiunii este egală cu rata rublei, adică.i eff = i . Lak >1 i eff < i , și atunci cândk <1 i eff > i . Pe fig. 1 poate fi văzut, la o anumită valoare criticăk , pe care o vom nota cak * , rentabilitatea (eficiența) operațiunii se dovedește a fi egală cu zero. Din egalitatei eff =0 aflăm căk * =1+ ni , care la rândul său înseamnăK * 1 = K 0 (1+ ni ).

CONCLUZIA 1: Dacă valorile aşteptatek sauK 1 depășesc valorile lor critice, atunci operațiunea este în mod clar neprofitabilă (i eff <0 ).

Acum să definim valoarea maximă admisă a cursului de schimb la sfârșitul operațiunii K 1 , la care eficiența va fi egală cu rata existentă la depozitele în valută, iar utilizarea dublei conversii nu oferă niciun beneficiu suplimentar. Pentru a face acest lucru, echivalăm factorii de creștere pentru două operații alternative

.

Din egalitatea scrisă rezultă că

sau

.

CONCLUZIA 2: Un depozit în valută prin conversie în ruble este mai profitabil decât un depozit în valută dacă se așteaptă ca cursul de schimb la sfârșitul tranzacției să fie mai micmaxK 1 .

OPȚIUNE: RUBLE® VALUTĂ® VALUTĂ® RUBLE

Să luăm acum în considerare opțiunea cu conversie dublă, când există o sumă inițială în ruble. În acest caz, cele trei etape ale operațiunii corespund celor trei factori din următoarea expresie pentru suma acumulată

.

Și aici, multiplicatorul de angajamente depinde liniar de rată, dar acum de rata dobânzii valutare. De asemenea, depinde liniar de cursul de schimb final.

Să efectuăm o analiză teoretică a eficacității acestei operațiuni cu dublă conversie și să determinăm punctele critice.

.

Prin urmare, înlocuind expresia pentruS r , primim

.

Dependența indicatorului de eficiențăi eff dink liniar, este prezentat în fig. 3

Orez . 3.

La k=1 i eff =j , la k>1 i eff >j , la k<1 i eff .

Să găsim acum valoarea criticăk * , la carei eff =0 . Se dovedește a fi egal

sau .

CONCLUZIA 3: Dacă valorile aşteptatek sauK 1 mai puțin decât valorile sale critice, atunci operațiunea este în mod clar neprofitabilă (i eff <0 ).

Valoarea minimă admisăk (rata de creștere a cursului de schimb pentru întreaga perioadă a tranzacției), care oferă aceeași rentabilitate ca un depozit direct în ruble, este determinată prin echivalarea multiplicatorilor de angajamente pentru tranzacții alternative (sau din egalitatei eff = i )

,

Unde min saumin .

CONCLUZIA 4: Un depozit de sume în ruble prin conversie valutară este mai profitabil decât un depozit în ruble dacă se așteaptă ca cursul de schimb la sfârșitul tranzacției să fie mai mareminK 1 .

Acum luați în considerare combinația dintre conversia valutară și acumularea interes compus. Ne vom limita la o singură variantă.

OPȚIUNE: MONEDĂ® RUBLE® RUBLE® VALUTĂk =1 i uh = i , lak >1 i uh < i , și atunci cândk <1 i uh > i .

valoare criticak , la care randamentul operatiei este egal cu zero, i.e.i uh =0 ,

definit cak * =(1+ i ) n , ceea ce înseamnă că rata medie anuală de creștere a cursului de schimb este egală cu rata anuală de creștere la rata rublei: .

CONCLUZIA 5: Dacă valorile aşteptatek sauK 1 este mai mare decât valorile sale critice, atunci operațiunea considerată cu dublă conversie este în mod clar neprofitabilă (i uh <0 ).

Valoarea maximă admisăk , la care rentabilitatea operațiunii va fi egală cu rentabilitatea investiției directe a valutei străine la curs

Schița unei tranzacții financiare

Operațiunile financiare sau de credit implică un echilibru între investiții și rentabilitate. Conceptul de echilibru poate fi explicat pe grafic.

Orez. 5.

Lăsați suma împrumutuluiD 0 eliberat pentru o perioadăT . În această perioadă, de exemplu, se fac două plăți intermediare pentru achitarea datorieiR 1 ȘiR 2 , iar la sfârșitul termenului se achită soldul datorieiR 3 echilibrarea operatiei.

Pe intervalul de timpt 1 datoria se ridică laD 1 . Pe momentt 1 datoria se reduce laK 1 = D 1 - R 1 etc. Operațiunea se încheie cu primirea de către creditor a soldului datorieiR 3 . În acest moment, datoria este rambursată integral.

Să numim tipul de grafic b) schița unei tranzacții financiare. O operațiune echilibrată are în mod necesar o buclă închisă, adică. ultima plată acoperă integral soldul datoriei. Structura tranzacției este de obicei aplicată la achitarea datoriilor cu plăți parțiale de reper.

Cu ajutorul plăților parțiale succesive, obligațiile pe termen scurt sunt uneori rambursate. În acest caz, există două metode pentru calcularea dobânzii și determinarea soldului datoriei. Primul se numește actuarialși este utilizat în principal în tranzacțiile cu termen peste un an. A doua metodă este numită regula comerciantului. Este de obicei folosit de firmele comerciale în tranzacțiile cu un termen nu mai mult de un an.

Cometariu: La calcularea dobânzii, de regulă, dobânda obișnuită este utilizată cu un număr aproximativ de zile de perioade de timp.

metoda actuarială

Metoda actuarială presupune calculul secvenţial al dobânzii la valoarea reală a datoriei. Plata parțială este destinată în primul rând rambursării dobânzii acumulate la data plății. Dacă suma plății depășește suma dobânzii acumulate, atunci diferența se duce la rambursarea sumei principale a datoriei. Soldul restant al datoriei servește drept bază pentru calcularea dobânzii pentru perioada următoare etc. Dacă plata parțială este mai mică decât dobânda acumulată, atunci nu se efectuează compensații în valoarea datoriei. Acest venit se adaugă la următoarea plată.

Pentru cazul prezentat în fig. 5 b), obținem următoarele formule de calcul pentru determinarea soldului datoriilor:

K1 =D0 (1+t1i)-R1; K2 =K1 (1+t2i)-R2; K2 (1+t 3 i)-R 3 \u003d 0,

unde perioade de timpt 1 , t 2 , t 3 - sunt date în ani, iar rata dobânziii - anual.

Regula comerciantului

Regula comerciantului este o altă abordare a calculării ratelor. Două situații sunt posibile aici.

1) În cazul în care termenul împrumutului nu depășește, suma datoriei cu dobândă acumulată pe întregul termen rămâne neschimbată până la rambursarea integrală. În același timp, se acumulează plăți parțiale cu dobândă acumulată asupra acestora până la sfârșitul termenului.

2) În cazul în care perioada depășește un an, se fac calculele de mai sus anual perioada de îndatorare. La sfârșitul anului, suma acumulată a plăților parțiale acumulate este dedusă din valoarea datoriei. Restul se plătește anul viitor.

Cu termen total de împrumutT £ 1 algoritm poate fi scris după cum urmează

,

UndeS - soldul datoriei la sfarsitul termenului,

D - suma acumulată a datoriilor,

K - suma acumulată a plăților,

Rj - suma de plată parțială,

tj - intervalul de timp de la momentul plății până la sfârșitul termenului,

m - numărul de plăți parțiale (interimare).

Suma variabilă a facturii și calculul dobânzii

Luați în considerare o situație în care un cont de economii este deschis într-o bancă, iar valoarea contului se modifică în timpul perioadei de stocare: fondurile sunt retrase, se fac contribuții suplimentare. Apoi, în practica bancară, atunci când calculează dobânda, ei folosesc adesea o metodă de calcul cu calculul așa-numitului numere procentuale. De fiecare dată când soldul contului se modifică, se calculează un procentCj pentru perioada trecutăj , timp în care suma din cont a rămas neschimbată, conform formulei

,

Undetj - duratăj -a-a perioadă în zile.

Pentru a determina valoarea dobânzii acumulate pentru întregul termen, toate numerele de dobândă sunt adunate și suma lor este împărțită la un divizor constantD :

,

UndeK - baza de timp (numărul de zile dintr-un an, adică 360 sau 365 sau 366),i - rata anuală a dobânzii simple (în %).

La închiderea contului, proprietarul va primi o sumă egală cu ultima valoare a sumei de pe cont plus suma dobânzii.

Exemplul 14

Să presupunem că la 20 februarie a fost deschis un cont la vedere în valoare deP 1 \u003d 3000 de ruble, rata dobânzii la depozit a fost egală cui =20% pe an. Depunerea suplimentară în cont a fostR 1 =2000 rub. și a fost făcută pe 15 august. Retragere din cont în sumăR 2 = -4000 rub. înregistrată la 1 octombrie, iar la 21 noiembrie contul a fost închis. Este necesar să se determine suma dobânzii și suma totală primită de deponent la închiderea contului.

Soluţie.

Calculul se va efectua conform schemei (360/360). Există trei perioade în care suma din cont a rămas neschimbată: din 20 februarie până în 15 august (P 1 =3000, t 1 \u003d 10 + 5 * 30 + 15 \u003d 175), de la 15 august până la 1 octombrie (P 2 = P 1 + R 1 \u003d 3000 + 2000 \u003d 5000 de ruble,t 2

Suma plătită la închiderea unui cont este egală cu

P3 +I=1000+447,22=1447 freca. 22 poliţist.

Acum vom arăta legătura acestei tehnici cu formula dobânzii simple. Luați în considerare exemplul de mai sus în formă algebrică.

CUmmah a plătit la închiderea unui cont, găsim după cum urmează

Astfel, am obtinut o expresie din care rezulta ca pentru fiecare suma adaugata sau retrasa din cont se percepe dobanda din momentul in care se face tranzactia corespunzatoare pana la inchiderea contului. Această schemă urmează regula comerciantului discutată în secțiunea 6.2.

Modificarea termenilor contractului

În practică, adesea devine necesară modificarea termenilor contractului: de exemplu, debitorul poate cere o întârziere a scadenței datoriei sau, dimpotrivă, își poate exprima dorința de a o rambursa înainte de termen, în unele cazuri. poate fi nevoie de a combina (consolida) mai multe obligații de datorie într-una singură etc. În toate aceste cazuri, se aplică principiul echivalenței financiare a obligațiilor vechi (înlocuite) și noi (de înlocuire). Pentru a rezolva problemele de modificare a termenilor contractului, așa-numitul ecuația de echivalență, în care valoarea plăților de înlocuire, ajustată la un moment dat, este egală cu valoarea plăților pentru noua obligație, ajustată la aceeași dată. Pentru contractele pe termen scurt se aplică dobânzi simple, în timp ce pentru contractele pe termen mediu și lung se aplică rate compuse.

Oamenii s-au gândit mereu la viitorul lor. Au încercat și încearcă să se protejeze pe ei înșiși, copiii și nepoții lor de dificultăți financiare, construind cel puțin o mică insulă de încredere în viitor. Începând să-l construiți acum cu ajutorul unor depozite bancare mici, vă puteți asigura stabilitatea și independența în viitor.

Principiul de bază al operațiunilor bancare este că fondurile pot crește doar atunci când sunt în circulație constantă. Pentru ca clienții să navigheze cu încredere în domeniul serviciilor financiare și să poată alege condițiile potrivite care le sunt benefice într-o anumită perioadă de timp, trebuie să cunoașteți o serie de reguli simple. Acest articol se va concentra asupra investițiilor pe termen lung care permit pentru un anumit număr de ani de la o cantitate relativ mică de capital inițial să obțină un profit semnificativ sau să utilizeze depozitul în continuare, retrăgând angajamente pentru nevoile de zi cu zi.

Pentru calcularea corectă a profitului este necesară efectuarea unor operații aritmetice simple pe baza formulelor de mai jos.

Formula dobânzii compuse (calculată în ani)

De exemplu, decideți să puneți 100.000,00 de ruble. la 11% pe an pentru a profita de economii în 10 ani, care au crescut semnificativ ca urmare a capitalizării. Pentru a calcula suma totală, ar trebui să aplicați metoda de calcul a dobânzii compuse.

Utilizarea dobânzii compuse presupune că la sfârșitul fiecărei perioade (an, trimestru, lună) se adaugă la contribuție profitul acumulat. Suma primită stă la baza creșterii ulterioare a profitului.

Pentru a calcula dobânda compusă, folosim o formulă simplă:

• S - suma totală („corpul” depozitului + dobândă) care urmează a fi returnată deponentului la expirarea depozitului;
• P este valoarea inițială a contribuției;
• n - numărul total de operațiuni de capitalizare a dobânzii pe întreaga perioadă de strângere de fonduri (în acest caz, corespunde numărului de ani);
• I este rata anuală a dobânzii.

Înlocuind valorile în această formulă, vedem că:

după 5 ani suma va fi freca.,

si in 10 ani va fi freca.

Dacă am calcula pentru o perioadă scurtă, atunci ar fi mai convenabil să calculăm dobânda compusă folosind formula

• K este numărul de zile din anul curent,
• J - numărul de zile din perioadă, în urma rezultatelor cărora banca valorifică dobânda acumulată (alte denumiri sunt aceleași ca în formula anterioară).

Dar pentru cei care consideră că este mai convenabil să retragă lunar dobânda pe un depozit, este mai bine să vă familiarizați cu conceptul „Capitalizarea depozitului”, implicând calculul dobânzii simple.

Graficul arată cum va crește capitalul atunci când dobânda la depozit este capitalizată, dacă investiți 100.000,00 ruble. timp de 10 ani la 10%, 15% și 20%

Formula dobânzii compuse (calculată în luni)

Există o altă metodă, mai profitabilă pentru client, de acumulare și adăugare a unei rate a dobânzii – lunar. Pentru aceasta, se aplică următoarea formulă:

unde n corespunde și numărului de tranzacții de capitalizare, dar este deja exprimat în luni. Indicatorul procentual de aici este împărțit suplimentar la 12, deoarece există 12 luni într-un an și trebuie să calculăm rata lunară a dobânzii.

Dacă s-ar folosi această formulă pentru acumularea trimestrială a depozitului, atunci procentul anual ar fi împărțit la 4, iar indicatorul n ar fi egal cu numărul de trimestre, iar dacă dobânda ar fi calculată pe jumătate de ani, atunci dobânda rata ar fi împărțită la 2, iar denumirea n ar corespunde numărului de semestri.

Deci, dacă am făcut o contribuție în valoare de 100.000,00 ruble. cu capitalizarea lunară a dobânzii, atunci:

dupa 5 ani (60 luni) suma depozitului ar fi crescut la 172.891,57 ruble, adică aproximativ 10.000 de ruble. mai mult decât în ​​cazul valorificării anuale a depozitului; freca.

și după 10 ani (120 luni) suma „acumulată” s-ar fi ridicat la 298.914,96 ruble, ceea ce înseamnă deja până la 15.000 de ruble. depășește cifra calculată folosind formula dobânzii compuse, care prevede calculul în ani.

freca.

Aceasta înseamnă că randamentul dobânzii lunare este mai mare decât al dobânzii anuale. Și dacă profitul nu este retras, atunci dobânda compusă funcționează în favoarea deponentului.

Formula dobânzii compuse pentru depozitele bancare

Formulele dobânzii compuse descrise mai sus sunt cel mai probabil exemple ilustrative pentru ca clienții să înțeleagă cum este calculată dobânda compusă. Aceste calcule sunt oarecum mai simple decât formula aplicata de banci la depozitele bancare reale.

Unitatea folosită aici este coeficientul ratei dobânzii pentru depozit (p). Se calculeaza astfel:

Dobânda compusă („suma acumulată”) pentru depozitele bancare se calculează folosind următoarea formulă:

Pe baza acestuia și luând ca exemplu aceleași date, vom calcula dobânda compusă folosind metoda bancară.

În primul rând, determinăm coeficientul ratei dobânzii pentru depozit:

Acum înlocuim datele în formula principală:

freca. - aceasta este suma depozitului, „in creștere” pe 5 ani*;

freca. - timp de 10 ani*.

*Calculele din exemple sunt aproximative, deoarece nu iau în considerare anii bisecți și numărul variabil de zile dintr-o lună.

Dacă comparăm sumele din aceste două exemple cu cele anterioare, atunci ele sunt ceva mai mici, dar totuși beneficiul din capitalizarea dobânzii este evident. Prin urmare, dacă sunteți hotărât să puneți bani în bancă pentru o lungă perioadă de timp, atunci este mai bine să faceți un calcul preliminar al profitului folosind formula „bancară” - acest lucru vă va ajuta să evitați dezamăgirea.