ระบบการหักเงินที่สมบูรณ์และลดจำนวนลง บรรยายเรื่องทฤษฎีจำนวน แบบฝึกหัดสำหรับงานอิสระ

ชุดตัวเลขเทียบเคียงได้กับ กโมดูโล่ มเรียกว่า คลาสของตัวเลขโมดูโล่ ม(หรือคลาสที่เทียบเท่า) หมายเลขทั้งหมดของคลาสหนึ่งมีแบบฟอร์ม ภูเขา+ รคงที่ ร.

สำหรับการให้ ม, รสามารถรับค่าได้ตั้งแต่ 0 ถึง ม-1 เช่น ทุกสิ่งมีอยู่ มคลาสของตัวเลขแบบโมดูโล มและจำนวนเต็มใดๆ จะจัดอยู่ในคลาสโมดูโลคลาสใดคลาสหนึ่ง ม- ดังนั้น,

ซี= ม ม … [ม-1]ม, ที่ไหน [ ร]ม={xซี: x≡ร(รุ่น ม)}

จำนวนคลาสเท่าใดก็ได้ [ ร]มเรียกว่า ลบโมดูโล่ มสัมพันธ์กับตัวเลขทุกตัวในคลาสเดียวกัน จำนวนเท่ากับเศษ ร, เรียกว่า การหักลบที่ไม่เป็นลบน้อยที่สุด.

การหักเงินที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยที่สุดเรียกว่า การหักเงินที่น้อยที่สุดอย่างแน่นอน.

ตัวอย่าง

ลองใช้โมดูลกัน ม=5. และปล่อยให้ ก=8. มาแบ่งกัน กบน มที่เหลือ:

ที่เหลือ ร=3. ซึ่งหมายความว่า 8 5 และค่าตกค้างที่ไม่เป็นลบที่น้อยที่สุดของหมายเลข 8 โมดูโล 5 คือ 3

การหักเงินที่น้อยที่สุดแบบสัมบูรณ์สามารถพบได้โดยการคำนวณ r-m=3-5=-2 และเปรียบเทียบค่าสัมบูรณ์ |-2| และ |3|. |-2|<|3|, значит -2 – абсолютно наименьший вычет числа 8 по модулю 5.

เราได้รับการหักเงินหนึ่งครั้งจากแต่ละชั้นเรียน หักเงินเต็มระบบโมดูโล่ ม- หากตัวเลขเหล่านี้ทั้งหมดเป็นค่าตกค้างแบบโมดูโลที่ไม่เป็นลบน้อยที่สุด มแล้วจึงเรียกว่าระบบการหักเงินดังกล่าว มีระบบสารตกค้างที่ไม่เป็นลบน้อยที่สุดและเขียนแทนด้วย Z ม.

{0; 1;…; ม-1) = Z ม– ระบบที่สมบูรณ์ของสารตกค้างที่ไม่เป็นลบน้อยที่สุด

(– ;…; 0;…; ) (ถ้า ม–เลขคี่) ;

( - ,…,-1, 0, 1,…, ) หรือ (- ,…, -1, 0, 1,…, ) (ถ้า มเลขคู่) เป็นระบบที่สมบูรณ์มีสารตกค้างน้อยที่สุดอย่างแน่นอน

ตัวอย่าง

ถ้า ม=11 ดังนั้น ระบบที่สมบูรณ์ของสารตกค้างที่ไม่เป็นลบน้อยที่สุดคือ (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10) และระบบที่สมบูรณ์ของสารตกค้างน้อยที่สุดอย่างแน่นอนคือ (–5 ; –4; –3 ;

คำชี้แจง 1

ใดๆ มตัวเลขที่มีโมดูลัสเทียบกันไม่ได้แบบคู่ มจะสร้างระบบสารตกค้างที่สมบูรณ์สำหรับโมดูลนี้

การพิสูจน์:

อันที่จริงเนื่องจากความหาที่เปรียบมิได้ ตัวเลขเหล่านี้จึงอยู่ในคลาสที่แตกต่างกันและตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ของพวกเขา มแต่ละคลาสที่มีอยู่จะมีตัวเลขเพียงตัวเดียวเท่านั้น

คำชี้แจง 2

ถ้า ( ก, ม) = 1 และ xไหลผ่านสารตกค้างโมดูโลทั้งระบบ ม, ที่ ขวาน+ข, ที่ไหน ข– จำนวนใดๆ จาก Z จะวิ่งผ่านระบบทั้งหมดของเรซิดิวโมดูโลด้วย ม.

การพิสูจน์:

ตัวเลข ขวาน+ขมันจะราบรื่น มสิ่งของ. ก็ยังคงต้องพิสูจน์ว่าเลข 2 ตัวใดตัวหนึ่ง ขวาน 1 +ขและ ขวาน 2 +ขหาที่เปรียบมิได้ในโมดูลัส ม, ถ้า x 1 x 2 (รุ่น ม)

พิสูจน์โดยความขัดแย้ง สมมุติว่า ขวาน 1 +ข≡ ขวาน 2 +ข(รุ่น ม) เนื่องจากศักดิ์สิทธิ์ที่ 4 แห่งการเปรียบเทียบ ขวาน 1 ≡ ขวาน 2 (รุ่น ม) เนื่องจากลักษณะของการเปรียบเทียบข้อ 9 และข้อเท็จจริงที่ว่า ( ก, ม) = 1 เราได้ x 1 ≡ x 2 (รุ่น ม- เรามีความขัดแย้งกับความจริงที่ว่า x 1 x 2 (รุ่น ม- ดังนั้นสมมติฐานจึงเป็นเท็จ ซึ่งหมายความว่าสิ่งที่ตรงกันข้ามจะเป็นจริง นั่นก็คือ ขวาน 1 +ขและ ขวาน 2 +ขหาที่เปรียบมิได้ในโมดูลัส ม, ถ้า x 1 x 2 (รุ่น ม) ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

โดยปกติแล้วจะเป็นระบบการหักเงินแบบโมดูโลที่สมบูรณ์ มสารตกค้างที่ไม่เป็นลบที่เล็กที่สุดจะถูกนำไปใช้

0,1,...,ม − 1

หรือการหักเงินที่น้อยที่สุดที่ประกอบด้วยตัวเลข

,

ในกรณีที่แปลก มและตัวเลข

ในกรณีที่เท่ากัน ม .

ดูเพิ่มเติม

วรรณกรรม

• ไอ. เอ็ม. วิโนกราดอฟพื้นฐานของทฤษฎีจำนวน - ม.-ล.: รัฐ. เอ็ด วรรณกรรมด้านเทคนิคและทฤษฎี พ.ศ. 2495 - 180 น.

มูลนิธิวิกิมีเดีย

2010.

ดูว่า "การหักเงินเต็มระบบ" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:

โมดูโล m คือกลุ่มของจำนวนเต็มใดๆ ที่มีตัวเลขหนึ่งตัวจากแต่ละกลุ่มของตัวเลขโมดูโล m (จำนวนเต็มสองตัว a และ b อยู่ในคลาสโมดูโล m เดียวกัน หาก a b หารด้วย m ลงตัว ดูการลดลง) ในฐานะป.ส. วี. บ่อยขึ้น…… โมดูโลคือชุดของจำนวนเต็มใดๆ ที่เป็นโมดูโลที่หาที่เปรียบมิได้ต่อกัน โดยปกติแล้วจะเป็นป. วี. โมดูโล่สารตกค้างที่ไม่เป็นลบที่เล็กที่สุด 0, 1, . - ., m 1 หรือสารตกค้างที่เล็กที่สุดประกอบด้วยตัวเลข 0, +1, . - ., วี……

สารานุกรมคณิตศาสตร์ ส่วนหนึ่งของระบบสารตกค้างที่สมบูรณ์ (ดูระบบสารตกค้างที่สมบูรณ์) ประกอบด้วยตัวเลขโคไพรม์พร้อมโมดูลัส m ป.ล. วี. มีตัวเลข φ(m) [φ(m) จำนวนตัวเลขที่เป็นจำนวนเฉพาะถึง m และน้อยกว่า m] ตัวเลข φ(m) ใดๆ ที่ไม่สามารถเทียบเคียงได้กับโมดูโล m และ... ...

สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต

การเปรียบเทียบแบบโมดูโลจำนวนธรรมชาติ n ในทฤษฎีจำนวนคือความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันบนวงแหวนของจำนวนเต็มที่เกี่ยวข้องกับการหารด้วย n ลงตัว วงแหวนตัวประกอบในความสัมพันธ์นี้เรียกว่าวงแหวนเรซิดิว ชุดของอัตลักษณ์ที่สอดคล้องกันและ... ... Wikipedia

ในทฤษฎีจำนวน การเปรียบเทียบ [ชี้แจง] แบบโมดูโลของจำนวนธรรมชาติ n ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันของเซตของจำนวนเต็มที่ระบุโดยตัวเลขที่กำหนด ซึ่งสัมพันธ์กับการหารลงตัวด้วย พื้นที่ตัวประกอบในความสัมพันธ์นี้เรียกว่า "วงแหวน" ... ... Wikipedia

ความสมมาตรของเกล็ดหิมะสัมพันธ์กับกลุ่มของการหมุนผ่านมุมที่เป็นผลคูณของ 60° กลุ่มจำกัดคือกลุ่มพีชคณิตที่มีองค์ประกอบจำนวนจำกัด (จำนวนนี้เรียกว่าลำดับ) นอกจากนี้ถือว่ากลุ่มเป็นการคูณนั่นคือการดำเนินการใน ... ... Wikipedia โมดูโลคือชุดของจำนวนเต็มใดๆ ที่เป็นโมดูโลที่หาที่เปรียบมิได้ต่อกัน โดยปกติแล้วจะเป็นป. วี. โมดูโล่สารตกค้างที่ไม่เป็นลบที่เล็กที่สุด 0, 1, . - ., m 1 หรือสารตกค้างที่เล็กที่สุดประกอบด้วยตัวเลข 0, +1, . - ., วี……

ฟังก์ชัน k สามารถแสดงได้ด้วยอนุกรมกำลัง ขจัดความสำคัญของคลาส A.f. มีการกำหนดไว้ดังนี้ ประการแรก ชั้นเรียนนี้ค่อนข้างกว้าง โดยครอบคลุมฟังก์ชันส่วนใหญ่ที่พบในคำถามพื้นฐานของคณิตศาสตร์และวิชาของมัน... ... พจนานุกรมสารานุกรม F.A. บร็อคเฮาส์ และ ไอ.เอ. เอฟรอน

- - เกิดเมื่อวันที่ 26 พฤษภาคม พ.ศ. 2342 ที่กรุงมอสโกบนถนน Nemetskaya ในบ้านของ Skvortsov เสียชีวิตเมื่อวันที่ 29 มกราคม พ.ศ. 2380 ในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก พุชกินอยู่ฝั่งพ่อของเขาเป็นของตระกูลขุนนางเก่าแก่ซึ่งสืบเชื้อสายมาจากลูกหลาน "จาก ... ... สารานุกรมชีวประวัติขนาดใหญ่

ชุดของสูตรปิดของตรรกะภาคแสดงของระยะที่ 1 E. t. Th(K) คลาส K ระบบพีชคณิตที่เรียกว่า ชุดของสูตรปิดทั้งหมดของตรรกะของภาคแสดงของขั้นตอนที่ 1 ของลายเซ็นจริงในทุกระบบจากคลาส K ถ้าคลาส... ... โมดูโลคือชุดของจำนวนเต็มใดๆ ที่เป็นโมดูโลที่หาที่เปรียบมิได้ต่อกัน โดยปกติแล้วจะเป็นป. วี. โมดูโล่สารตกค้างที่ไม่เป็นลบที่เล็กที่สุด 0, 1, . - ., m 1 หรือสารตกค้างที่เล็กที่สุดประกอบด้วยตัวเลข 0, +1, . - ., วี……

หรือต่อเนื่องกัน พีตัวเลข

ระบบนี้เรียกว่า ระบบตัวเลขที่สมบูรณ์ซึ่งหาที่เปรียบมิได้ในโมดูลัส พีหรือ ระบบการหักเงินแบบโมดูโลที่สมบูรณ์ พี- เห็นได้ชัดว่าทุกประเภท พีตัวเลขที่ต่อเนื่องกันจะสร้างระบบดังกล่าว

ตัวเลขทั้งหมดที่อยู่ในประเภทเดียวกันมีคุณสมบัติทั่วไปหลายประการ ดังนั้นเมื่อสัมพันธ์กับโมดูลัส จึงถือเป็นตัวเลขเดียวได้ แต่ละตัวเลขที่รวมอยู่ในการเปรียบเทียบเป็นผลรวมหรือตัวประกอบสามารถแทนที่ได้โดยไม่ละเมิดการเปรียบเทียบด้วยตัวเลขที่เทียบเคียงได้เช่น โดยมีหมายเลขอยู่ในกลุ่มเดียวกัน

องค์ประกอบอื่นที่เหมือนกันกับจำนวนทั้งหมดของคลาสที่กำหนดคือตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของแต่ละองค์ประกอบของคลาสและโมดูลนั้น พี.

อนุญาต กและ ขเทียบเคียงได้ในโมดูลัส พี, แล้ว

ทฤษฎีบท 1. ถ้าเข้า. ขวาน+ขแทน xลองแทนที่ทุกอย่างตามลำดับ พีสมาชิกของระบบจำนวนเต็ม

ดังนั้นตัวเลขทั้งหมด ขวาน+ข, ที่ไหน x=1,2,...พี-1 ไม่สามารถเทียบเคียงได้ในโมดูลัส พี(มิฉะนั้นหมายเลข 1,2,... พี-1 จะเทียบเคียงได้ในโมดูลัส พี.

หมายเหตุ

1) ในบทความนี้ เราจะเข้าใจว่าคำว่า number เป็นจำนวนเต็ม

วรรณกรรม

• 1. เค. ไอร์แลนด์, เอ็ม. โรเซน บทนำคลาสสิกเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนสมัยใหม่ - M: Mir, 1987
• 2. ก. ดาเวนพอร์ต. เลขคณิตที่สูงขึ้น - ม: Nauka, 1965.
• 3. พี.จี. เลอเฌิน ดิริชเลต์. บรรยายเรื่องทฤษฎีจำนวน - มอสโก พ.ศ. 2479

ตามคุณสมบัติของการเปรียบเทียบหมายเลข 15 จำนวนโมดูโลคลาสเดียวกัน มมีกับโมดูล ม GCD เดียวกัน คลาสที่เท่ากับ 1 มีความสำคัญอย่างยิ่ง

เราได้หนึ่งหมายเลขจากแต่ละคลาสเหล่านี้ ระบบการหักเงินที่ลดลงโมดูโล่ ม- โดยปกติจะถูกแยกออกจากระบบของสารตกค้างแบบโมดูโลที่ไม่เป็นลบน้อยที่สุด ม.

ระบบที่ลดลงของสารตกค้างแบบโมดูโลที่ไม่เป็นลบน้อยที่สุด มแสดงโดย U ม.

จำนวนตัวเลขในระบบโมดูโลที่กำหนดของสารตกค้าง มเห็นได้ชัดว่าเท่ากับ φ( ม).

ตัวอย่าง:

ระบบการหักเงินแบบโมดูโล 15 ที่กำหนดคือ (1; 2; 4; 7; 8; 11; 13; 14) โปรดทราบว่า φ(15)=(5–1)∙(3–1)= 8 และแท้จริงแล้ว ในระบบที่กำหนดของสารตกค้างแบบโมดูโล 15 มีองค์ประกอบ 8 ตัวพอดี

คำชี้แจง 1

φใดๆ ( ม) ตัวเลขที่มีโมดูลัสเป็นคู่เทียบกันไม่ได้ มและสำคัญร่วมกันด้วย ม,เกิดระบบการตกค้างลดลง

(หลักฐานเห็นชัดตามข้อ 1 จุดที่ 2)

คำชี้แจง 2

ถ้า ( ก, ม) = 1, xไหลผ่านระบบรีดิวซ์สารตกค้างแบบโมดูโล ม, ที่ ขวานยังไหลผ่านระบบรีดิวซ์สารตกค้างแบบโมดูโล ม- (หลักฐานปรากฏชัดเจนตามข้อ 2 จุดที่ 2)

องค์ประกอบย้อนกลับ

พวกเขาบอกว่าธาตุนั้น ขเรียกว่า ย้อนกลับถึง กโมดูโล่ ม, ถ้า ก∙ข≡1(ดัดแปลง ม) และเขียน ข ≡ ก–1 (รุ่น ม).

โดยทั่วไป ทฤษฎีจำนวนคลาสสิกไม่จำเป็นต้องมีแนวคิดที่เป็นองค์ประกอบผกผัน ดังที่เห็นได้จากการอ่าน เช่น อย่างไรก็ตาม วิทยาการเข้ารหัสลับใช้ระบบตกค้างทั้งในด้านทฤษฎีจำนวนและพีชคณิต ดังนั้น เพื่อความสะดวกในการนำเสนอรากฐานพีชคณิตของวิทยาการเข้ารหัสลับ เราจึงแนะนำแนวคิดขององค์ประกอบผกผัน

คำถามเกิดขึ้น: เป็นจริงสำหรับองค์ประกอบทั้งหมดในโมดูลนี้หรือไม่? มมีการผกผัน (โดยการคูณ) และหากองค์ประกอบบางอย่างมีการผกผันอยู่ จะหาได้อย่างไร?

เพื่อตอบคำถามนี้ เราจะใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิดแบบขยาย ก่อนอื่นมาพิจารณาจำนวนโคไพรม์กันก่อน กและโมดูล ม- เห็นได้ชัดว่า ( ก,ม)=1. อัลกอริธึมแบบยุคลิดแบบขยายช่วยให้คุณได้รับตัวเลข xและ ยเช่นนั้น ขวาน+ฉัน=(ก,ม) หรือซึ่งเหมือนกัน ขวาน+ของฉัน=1. จากนิพจน์สุดท้ายเราจะได้การเปรียบเทียบ ขวาน+ของฉัน≡1(ดัดแปลง ม- เนื่องจาก ของฉัน≡0(ม็อด ม), ที่ ขวาน≡1(ดัดแปลง ม) ซึ่งหมายถึงจำนวนที่ได้รับโดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิดแบบขยาย xเป็นองค์ประกอบผกผันที่จำเป็นของตัวเลขอย่างแม่นยำ กโมดูโล่ ม.

ตัวอย่าง.

ก=5, ม=7. จำเป็นต้องค้นหา ก-1 ม็อด ม.

ลองใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิดแบบขยาย

ย้อนกลับ:

1=5–2∙2=5–(7–5∙1)∙2=5∙3–7∙2.

x=3, ย=–2.

5 -1 ≡3(รุ่น 7)

ตรวจสอบ: 5∙3=15 15≡1(รุ่น 7)

อันที่จริง 3 เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามของ 5 โมดูโล 7

ดังนั้นเราจึงตรวจสอบอย่างสร้างสรรค์ว่าสำหรับจำนวนไพรม์กับโมดูลัส จะมีการผกผันกับโมดูลัสนี้ มีองค์ประกอบผกผันสำหรับตัวเลขที่ไม่อยู่ในโมดูลัสหรือไม่?

อนุญาต ( ก,ม)=ง≠1. จากนั้น a และ m สามารถแสดงในรูปได้ ก=ง∙ก 1 , ม=ง∙ม 1. สมมติว่าสำหรับ a มีองค์ประกอบโมดูโล m ผกผัน นั่นคือ ข: ก∙ข≡1(ดัดแปลง ม- แล้ว ก∙ข= ม∙เค+1. หรือสิ่งที่เหมือนกันคือ ง∙ก 1 ∙ข= ง∙ม 1 ∙เค+1. แต่แล้วตามทฤษฎีบทที่ 2 จาก §1 หน้า 1 เนื่องจากทั้งด้านซ้ายของสมการนี้และเทอมแรกทางด้านขวาถูกแบ่งออกเป็น ง, ที่ ง\1 แต่นี่ไม่เป็นความจริงเพราะว่า ง≠1. เรามีความขัดแย้ง ดังนั้นสมมติฐานเกี่ยวกับการมีอยู่ขององค์ประกอบผกผันจึงไม่ถูกต้อง

เราก็เลยพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทการพลิกกลับได้

ก-1 (รุ่น ม) (ก, ม) = 1.

เมื่อสรุปเหตุผลทั้งหมดของประเด็นนี้ เราสามารถพูดได้ว่าเฉพาะจำนวนที่ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะและมีมอดุลัสเท่านั้นที่สามารถกลับด้านได้ และสามารถพบได้โดยใช้อัลกอริธึมแบบยุคลิดแบบขยาย

ข้อมูลพื้นฐานจากทฤษฎี

6. 1. คำจำกัดความ 1.

คลาสของตัวเลขโมดูโล m คือเซตของจำนวนเต็มเหล่านั้นทั้งหมดและเฉพาะจำนวนเต็มเหล่านั้นที่เมื่อหารด้วย m แล้วจะมีเศษเหลือเท่ากัน นั่นคือ โมดูโล m ที่เทียบเคียงได้ (m Î เอ็น, ที> 1).

การกำหนดประเภทของตัวเลขที่มีเศษ ร: .

แต่ละหมายเลขจากชั้นเรียน เรียกว่าสารตกค้างแบบโมดูโล m และคลาสนั้นเอง เรียกว่าคลาสของสารตกค้างโมดูโล m

6. 2. คุณสมบัติของชุดคลาสโมดูโลเรซิดิว ต:

1) โมดูโลทั้งหมด ตจะ ตประเภทของการหักเงิน: ซี ที = { , , , … , };

2) แต่ละคลาสมีชุดจำนวนเต็ม (สารตกค้าง) ของรูปแบบอนันต์: = ( ก= ตรม+ r/qÎ ซี, 0£ ร< ม}

3) "กÎ : กº ร(ม็อด ม);

4) "ก, ขÎ : กº ข(ม็อด ม) นั่นคือ สารตกค้างสองตัวใด ๆ ที่ได้มา จากหนึ่งระดับ, เทียบเคียงได้โมดูโล่ ต;

5) "กÎ , " ขÎ : ก ข(ม็อด ม) นั่นคือไม่มีการหักเงินสองครั้ง; ถ่าย จากที่แตกต่างกันชั้นเรียน, หาที่เปรียบมิได้โมดูโล่ ต.

6. 3. คำจำกัดความ 3

ระบบสมบูรณ์ของสารตกค้างแบบโมดูโล m คือชุดของตัวเลข m ใดๆ ที่นำมาเพียงชุดเดียวจากแต่ละประเภทของสารตกค้างแบบโมดูโล m

ตัวอย่าง: ถ้า ม= 5 ดังนั้น (10, 6, – 3, 28, 44) เป็นระบบที่สมบูรณ์ของสารตกค้างแบบโมดูโล 5 (ไม่ใช่เพียงระบบเดียว!)

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง

ชุด (0, 1, 2, 3, … , ม–1) เป็นระบบ ไม่เป็นลบน้อยที่สุดการหักเงิน;

ชุด (1, 2, 3, … , ม –1, ต) เป็นระบบ บวกน้อยที่สุดการหักเงิน

6. 4. โปรดทราบว่า:

ถ้า ( เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 , … , xt) – ระบบการหักแบบโมดูโลที่สมบูรณ์ ต, ที่

.

6. 5. ทฤษฎีบท 1

ถ้า {เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 , … , xt} – ระบบการหักเงินแบบสมบูรณ์แบบโมดูโลที, "ก, ขÎ ซีและ(ที่) = 1, – แล้วระบบตัวเลข {โอ้ 1 +ข, โอ้ 2 + ข, … , อ่า+ข} ยังก่อให้เกิดระบบสารตกค้างแบบโมดูโลทีที่สมบูรณ์ .

6. 6. ทฤษฎีบท 2

สารตกค้างทั้งหมดของสารตกค้างประเภทเดียวกันแบบโมดูโล m มีตัวหารร่วมมากเหมือนกันด้วยตัวเลข m: "ก, ขÎ Þ ( ก; ต) = (ข; ต).

6. 7. คำจำกัดความที่ 4

ชั้นหักเงิน สำหรับโมดูโล m ที่กำหนดนั้นเรียกว่า coprime ของโมดูโล m,ถ้าสารตกค้างในชั้นนี้อย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นโคไพรม์กับ t

โปรดทราบว่าในกรณีนี้ตามทฤษฎีบทที่ 2 ทั้งหมดจำนวนของคลาสนี้จะเป็นโคไพรม์พร้อมโมดูลัส ต.

6. 8. คำจำกัดความที่ 5

ระบบรีดิวซ์ของสารตกค้างสำหรับโมดูลัส m ที่กำหนด คือระบบของสารตกค้างที่นำมาเพียงตัวเดียวจากแต่ละคลาสโคไพรม์ด้วยโมดูลัส m

6. 9. โปรดทราบว่า:

1) ลดระบบการตกค้างแบบโมดูโล ตมีเจ( ต) ตัวเลข ( เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 ,…, };

2) : .

3) "x ฉัน : (x ฉัน, ม) = 1;

ตัวอย่าง : ให้โมดูโล่ ต= 10 มีการหักเงิน 10 ระดับ:

ซี 10 = ( , , , , , , , , , , ) – ชุดของคลาสสารตกค้างแบบโมดูโล 10 ระบบการหัก mod ที่สมบูรณ์ตัวอย่างเช่น 10 จะเป็นดังนี้: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

สารตกค้างหลายประเภท สำคัญซึ่งกันและกันพร้อมโมดูล ม= 10: ( , , , )(เจ(10) = 4)

ระบบการหักเงินที่ลดลงโมดูโล่ 10 จะเป็นเช่น

(1, 3, 7, 9) หรือ (11, 43, – 5, 17) หรือ ( – 9, 13, – 5, 77) เป็นต้น (ทุกที่ j(10) = 4 หมายเลข)

6.10. ในทางปฏิบัติ: เพื่อประกอบหนึ่งในระบบที่ลดลงที่เป็นไปได้ของสารตกค้าง mod m, จำเป็นต้องเลือกจากระบบที่สมบูรณ์ของสารตกค้าง mod m ซึ่งจะมีจำนวนดังกล่าวเจ( ต).

6.11. ทฤษฎีบท 3

ถ้า{เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 ,…, } – ลดระบบการหักเงินแบบโมดูโลทีและ

(ก, ม) = 1, – แล้วระบบตัวเลข {โอ้ 1 , โอ้ 2 , … , ขวานเจ (t)} แบบฟอร์มด้วย

ลดระบบการหักเงินแบบโมดูโลที .

6.12. คำนิยาม 6

จำนวน( Å ) คลาสการหักลดหย่อน และ +b เท่ากับผลรวมของการหักเงินสองครั้ง โดยนำมาหนึ่งรายการจากแต่ละประเภทที่กำหนด และ : Å = , ที่ไหน"กÎ , "ขÎ .

6.13. คำนิยาม 7

การทำงาน( Ä ) คลาสการหักลดหย่อน และ โมดูโล m คือคลาสของสารตกค้าง นั่นคือคลาสของสารตกค้างที่ประกอบด้วยตัวเลข a ´ b เท่ากับผลคูณของสารตกค้างสองตัวใดๆ ที่นำมาจากแต่ละประเภทที่กำหนด และ : Ä = , ที่ไหน"กÎ , "ขÎ .

ดังนั้นในชุดของคลาสโมดูโลเรซิดิว ต: ซี ที= ( , , ,…, ) มีการกำหนดการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตสองรายการ - "การบวก" และ "การคูณ"

6.14. ทฤษฎีบท 4

เซตของคลาสสารตกค้าง Z m โมดูโล m เป็นวงแหวนแบบเชื่อมโยง-สับเปลี่ยนที่มีเอกลักษณ์:

< ซี ที , +, · > = < { , , ,…, }, +, · > – แหวน.

งานทั่วไป

1. โมดูโล่ ต= 9:

1) ระบบที่สมบูรณ์ของการหักเงินที่เป็นบวกน้อยที่สุด

2) ระบบที่สมบูรณ์ของสารตกค้างที่ไม่เป็นลบน้อยที่สุด

3) ระบบการหักเงินที่สมบูรณ์โดยพลการ;

4) ระบบที่สมบูรณ์ของการหักค่าสัมบูรณ์ที่เล็กที่สุด

คำตอบ:1) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; 2) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};

2. สร้างระบบการหักเงินแบบโมดูโลที่ลดลง ต= 12.

สารละลาย.

1) มาสร้างระบบที่สมบูรณ์ของโมดูโลตกค้างที่เป็นบวกน้อยที่สุดกัน ต= 12:

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12) (รวม ต= 12 หมายเลข)

2) ให้เราลบตัวเลขที่ไม่ตรงกับเลข 12 ออกจากระบบนี้:

{1, 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 , 10 , 11, 12 }.

3) จำนวนที่เหลือ ซึ่งมีจำนวนเฉพาะเท่ากับ 12 ก่อให้เกิดระบบรีดิวซ์ของสารตกค้างแบบโมดูโลที่ต้องการ ต= 12 (รวมเจ( ต) = j(12) = 4 หมายเลข)

คำตอบ:(1, 5, 7, 11) – ระบบรีดิวซ์ของสารตกค้างแบบโมดูโล ต= 12.

130. ทำ 1) ระบบที่สมบูรณ์ของการหักเงินที่เป็นบวกน้อยที่สุด 2) ระบบที่สมบูรณ์ของสารตกค้างที่ไม่เป็นลบน้อยที่สุด 3) ระบบการหักเงินตามอำเภอใจ 4) ระบบที่สมบูรณ์ของการหักค่าสัมบูรณ์ที่เล็กที่สุด 5) ระบบการหักเงินที่ลดลง: ก) แบบโมดูโล ม= 6; b) โมดูโล ม = 8.

131. เซต (9, 2, 16, 20, 27, 39, 46, 85) เป็นระบบโมดูโล 8 ตกค้างแบบสมบูรณ์หรือไม่

132 เซต (20, – 4, 22, 18, – 1) เป็นระบบสารตกค้างที่สมบูรณ์โดยโมดูลัสใด

133. สร้างระบบการหักแบบโมดูโลที่ลดลง มถ้ามี) ม= 9; ข) ม= 24; วี) ม= 7 ระบบดังกล่าวควรมีตัวเลขจำนวนเท่าใด

134. กำหนดคุณสมบัติหลักของระบบสารตกค้างทั้งระบบและระบบโมดูโลสารตกค้างแบบรีดิวซ์ ม .

135. องค์ประกอบใดที่แตกต่างกันระหว่างระบบที่ลดลงและระบบที่สมบูรณ์ของสารตกค้างแบบโมดูโลง่ายน้อยที่สุดที่ไม่เป็นลบ?

136. ตัวเลขอยู่ภายใต้เงื่อนไขใด กและ - กเป็นสารตกค้างโมดูโลประเภทเดียวกัน ม?

137. จำนวนเฉพาะทั้งหมดอยู่ในคลาสโมดูโล 8 ที่เหลืออยู่ในคลาสใด รลูกบาศก์ 3 ?

138. เซตตัวเลข (0, 2 0, 2 1, 2 2, ..., 2 9) ก่อให้เกิดระบบโมดูโล 11 ที่ตกค้างแบบสมบูรณ์หรือไม่?

139. สารตกค้างแบบโมดูโล 21 มีกี่ประเภทที่อยู่ในสารตกค้างทั้งหมดจากสารตกค้างประเภทโมดูโล 7 หนึ่งประเภท

140. เซตของจำนวนเต็ม ซีกระจายตามประเภทของสารตกค้างแบบโมดูโล 5 สร้างตารางการบวกและการคูณในชุดผลลัพธ์ของประเภทของสารตกค้าง ซี 5. เป็นชุด ซี 5: ก) กลุ่มที่มีการดำเนินการเพิ่มคลาส? b) กลุ่มที่มีการคูณคลาส?

§ 7. ทฤษฎีบทของ EULER ทฤษฎีบทเล็กๆ ของแฟร์มาต์

ข้อมูลพื้นฐานจากทฤษฎี

7. 1. ทฤษฎีบท 1

ถ้ากÎ ซี,ตÎ เอ็น, ที>1 และ(ก;ต) = 1, – จากนั้นอยู่ในลำดับอนันต์ของกำลัง a 1 , ก 2 , ก 3 , ... , กส , … , กที... มีกำลังอย่างน้อยสองตัวที่มีเลขยกกำลัง s และ t(ส<ที) เช่นนั้น . (*)

7. 2. ความคิดเห็น- กำหนดแล้ว ที– ส = เค> 0 จาก (*) เราได้รับ: - ยกการเปรียบเทียบทั้งสองฝ่ายนี้ให้เป็นกำลัง nÎ เอ็นเราได้รับ: - ซึ่งหมายความว่ามีจำนวนยกกำลังของจำนวนอนันต์ กการเปรียบเทียบที่น่าพอใจ (**) แต่ ยังไงหาตัวบ่งชี้เหล่านี้เจอใช่ไหม? อะไร น้อยที่สุดตัวบ่งชี้ที่เปรียบเทียบได้ (**) ? คำถามแรกได้รับคำตอบแล้ว ทฤษฎีบทของออยเลอร์(1707 – 1783).

7. 3. ทฤษฎีบทของออยเลอร์

ถ้ากÎ ซี,ตÎ เอ็น, ที>1 และ(ก;ต) = 1, - ที่ . (13)

ตัวอย่าง. อนุญาต ก = 2,ต = 21, (ก; ต) = (2; 21) = 1 จากนั้น - เนื่องจาก j (21) = 12 ดังนั้น 2 12 º 1(mod 21) อันที่จริง: 2 12 = 4096 และ (4096 – 1) 21 เห็นได้ชัดว่า 2 24 º 1(mod 21), 2 36 º 1(mod 21) และอื่นๆ แต่เป็นเลขชี้กำลัง 12 - เล็กที่สุดการเปรียบเทียบที่น่าพอใจ 2 n 1(ม็อด 21) ? ปรากฎว่าไม่ ตัวบ่งชี้ต่ำสุดจะ n= 6: 2 6 º 1(mod 21) เพราะ 2 6 – 1 = 63 และ 63 21 โปรดทราบว่า น้อยที่สุดควรมองหาตัวบ่งชี้ เฉพาะตัวหารจำนวนเท่านั้นเจ( ต) (ในตัวอย่างนี้ – ในกลุ่มตัวหารของตัวเลข j(21) = 12)

7. 4. ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์ (1601 – 1665)

สำหรับจำนวนเฉพาะ p และจำนวน a ใดๆÎ ซี, หารด้วย p ไม่ได้, มีการเปรียบเทียบ . (14)

ตัวอย่าง. อนุญาต ก = 3,ร= 5 โดยที่ 3 ไม่ใช่ 5 จากนั้น หรือ .

7. 5. ทฤษฎีบททั่วไปของแฟร์มาต์

สำหรับจำนวนเฉพาะ p และจำนวนเฉพาะ aÎ การเปรียบเทียบ Z เกิดขึ้น (15)

งานทั่วไป

1. พิสูจน์ว่า 38 73 º 3(mod 35)

สารละลาย.

1) เนื่องจาก (38; 35) = 1 จากนั้นเป็นไปตามทฤษฎีบทของออยเลอร์ - j(35) = 24 ซึ่งหมายถึง

(1).

2) จากการเปรียบเทียบ (1) โดยข้อพิสูจน์ 2 ของคุณสมบัติของการเปรียบเทียบเชิงตัวเลข 5 0 เรามี:

3) จากการเปรียบเทียบ (2) โดยผลที่ตามมา 1 ของคุณสมบัติ 5 0 การเปรียบเทียบ: 38 72 ×38 º 1×38 (mod 35) Þ Þ38 73 º38 º 38–35 = 3(mod 35) Þ 38 73 º 3 (mod 35 ) ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

2. ให้ไว้: ก = 4, ต= 15. ค้นหาเลขชี้กำลังที่เล็กที่สุด เคพอใจในการเปรียบเทียบ (*)

สารละลาย.

1) เนื่องจาก ( ก; ม) = (4; 25) = 1 จากนั้นตามทฤษฎีบทของออยเลอร์ , j(25) = 20 ดังนั้น .

2) เป็นเลขชี้กำลังที่พบ – ตัวเลข 20 – เล็กที่สุดจำนวนธรรมชาติที่ตรงกับการเปรียบเทียบ (*)? หากมีเลขชี้กำลังน้อยกว่า 20 จะต้องเป็นตัวหารของตัวเลข 20 ซึ่งหมายความว่าเลขชี้กำลังที่น้อยที่สุดที่ต้องการ เคคุณต้องค้นหาตัวเลขจำนวนมาก n= (1, 2, 4, 5, 10, 20) – ตัวหารของจำนวน 20

3) เมื่อใด n = 1: ;

ที่ n = 2: ;

ที่ n= 3: (ไม่ต้องพิจารณา);

ที่ n = 4: ;

ที่ n = 5: ;

ที่ n= 6, 7, 8, 9: (ไม่ต้องพิจารณา);

ที่ n = 10: .

ดังนั้น, เล็กที่สุดเลขชี้กำลัง เคการเปรียบเทียบที่น่าพอใจ(*) คือ เค= 10.

คำตอบ: .

แบบฝึกหัดสำหรับการทำงานอิสระ

141. ตามทฤษฎีบทของออยเลอร์ - ที่ ก = 3, ต= 6 เรามี: .

เนื่องจาก j(6) = 2 แล้ว 3 2 º1(mod 6) หรือ 9º1(mod 6) จากนั้น ตามบทแทรก (9 – 1) 6 หรือ 8 6 (ทั้งหมด!?) ผิดพลาดตรงไหน?

142. พิสูจน์ว่า: ก) 23 100 º1(mod 101); ข) 81 40 1(ม็อด100); ค) 2 73 º 2 (รุ่น 73)

143. พิสูจน์ว่า ก) 1 16 + 3 16 + 7 16 + 9 16 º 4 (รุ่น 10);

ข) 5 4 n + 1 + 7 4n+1 หารด้วย 12 ลงตัวโดยไม่มีเศษ.

144. พิสูจน์ทฤษฎีบทของออยเลอร์: ถ้า กเจ ( ม) º 1(รุ่น ม), ที่ ( เช้า) =1.

145. ค้นหาเลขชี้กำลังที่เล็กที่สุด เคÎ ยังไม่มีข้อความเป็นไปตามการเปรียบเทียบนี้: ก) - ข) - วี) - ช) ;

ง) - จ) - และ) - ชม) .

และ) - ถึง) - ล) - ม) .

146. ค้นหาส่วนที่เหลือของการหาร:

ก) 7,100 ถึง 11; ข) 9,900 ถึง 5; ค) 5 176 x 7; ง) 2 1999 ถึง 5; จ) 8,377 ถึง 5;

จ) 26 57 x 35; ก) 35,359 x 22; ซ) 5,718 ถึง 103; ผม) 27 260 x 40; เจ) 25 1998 เวลา 62

147*. พิสูจน์ว่า ก 561 º ก(รุ่น 11)

148*. ถ้าขยายตามบัญญัติของจำนวนธรรมชาติ nไม่มีตัวประกอบ 2 และ 5 แล้วยกกำลัง 12 ของเลขนี้จะลงท้ายด้วยเลข 1 พิสูจน์

149*. พิสูจน์ว่า 2 64 º 16 (mod 360)

150*. พิสูจน์: ถ้า ( เอ, 65) =1 , (ข 65) =1 แล้ว ก 12 –ข 12 หารด้วย 65 ลงตัวโดยไม่มีเศษ.

บทที่ 3 การประยุกต์ใช้ทางคณิตศาสตร์

ทฤษฎีการเปรียบเทียบเชิงตัวเลข

§ 8. ตัวเลขเชิงระบบ

ข้อมูลพื้นฐานจากทฤษฎี

1. ตัวเลขทั้งหมดอย่างเป็นระบบ

8. 1. คำจำกัดความ 1.

ระบบตัวเลขเป็นวิธีหนึ่งในการเขียนตัวเลข สัญลักษณ์ที่ใช้เขียนตัวเลขเหล่านี้เรียกว่าตัวเลข

8. 2. คำจำกัดความ 2

จำนวนเต็มเชิงระบบที่ไม่เป็นลบซึ่งเขียนในระบบเลขตำแหน่งแบบ t-ary เรียกว่า ตัวเลข n ในรูปแบบ

,ฉันอยู่ที่ไหน(ฉัน = 0,1, 2,…, เค) – จำนวนเต็มไม่เป็นลบ - ตัวเลข, และ 0 £ ฉัน £ ที– 1, เสื้อ – ฐานของระบบตัวเลข tÎ ยังไม่มีข้อความ> 1.

ตัวอย่างเช่น การเขียนตัวเลขในระบบ 7 ราศีมีรูปแบบ: (5603) 7 = 5 × 7 3 + 6 × 7 2 + 0 × 7 1 + 3 ในที่นี้ ฉัน– เหล่านี้คือ 5, 6, 0, 3 – ตัวเลข; พวกเขาทั้งหมดเป็นไปตามเงื่อนไข: 0 £ ฉัน 6 ปอนด์ เมื่อ ที=10 พูดว่า: หมายเลข nบันทึกไว้ใน ระบบเลขทศนิยม,และดัชนี เสื้อ= 10 อย่าเขียน.

8. 3. ทฤษฎีบท 1

จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบใดๆ สามารถแสดงเป็นจำนวนเชิงระบบของฐาน t ใดๆ ในลักษณะเฉพาะได้ โดยที่ tÎ ยังไม่มีข้อความ> 1.

ตัวอย่าง:(1 3 9) 10 = (3 5 1) 6 = (1 0 2 4) 5 = …

8. 4. โปรดทราบว่า:

1) กำหนดจำนวนศูนย์ทางด้านซ้ายอย่างเป็นระบบ ไม่เปลี่ยนแปลงหมายเลขนี้:

(3 4) 5 = (0 3 4) 5 .

2) การกำหนดหมายเลขที่เป็นระบบ สศูนย์ทางด้านขวาจะเท่ากัน การคูณหมายเลขนี้โดย ทีเอส: (3 4) 5 = 3×5 1 + 4; (3 4 0 0) 5 = 3×5 3 + 4×5 2 + 0×5 1 + 0 = 5 2 ×(3×5 1 + 4)

8. 5. อัลกอริทึมสำหรับการแปลงตัวเลขที่เขียนที ระบบ -ary เป็นทศนิยม:

ตัวอย่าง: (287) 12 = 2×12 2 + 8×12 1 +7×12 0 = 2×144 + 8×12 + 7 = 288 + 96 +7 = (391) 10.

8. 6. อัลกอริทึมสำหรับการแปลงตัวเลขที่เขียนเป็นทศนิยม ระบบในที -ไอซี:

ตัวอย่าง: (3 9 1) 10 = (เอ็กซ์) 12. หา เอ็กซ์

8. 7. การดำเนินการเกี่ยวกับตัวเลขที่เป็นระบบ

2. เศษส่วนอย่างเป็นระบบ

8. 8. คำจำกัดความ 3

เศษส่วนเชิงระบบของ t-ary ตัวสุดท้ายในระบบตัวเลขที่มีฐาน t คือตัวเลขในรูปแบบหนึ่ง

ที่ไหนค 0 Î ซี, ด้วย i – ตัวเลข– จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ, และ 0 £ กับฉัน£ ที– 1, ทีÎ ยังไม่มีข้อความ> 1, เคÎ เอ็น .

การกำหนด: a = ( ค 0 , กับ 1 กับ 2 …กับเค)ที- ที่ ที= 10 เศษส่วนเรียกว่า ทศนิยม.

8. 9. ข้อพิสูจน์ 1.

เศษส่วนเชิงระบบจำกัดทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะที่สามารถแสดงเป็นได้ , ที่ไหนÎ ซีบีÎ เอ็น.

ตัวอย่าง. ก = (3 1, 2 4) 6 = 3×6 + 1 + =19 + – จำนวนตรรกยะ ข้อความสนทนาโดยทั่วไปแล้วเป็นเท็จ ตัวอย่างเช่น เศษส่วนไม่สามารถแปลงเป็นเศษส่วนระบบสุดท้าย (ทศนิยม) ได้

8.10. คำจำกัดความที่ 4

เศษส่วนระบบบวกแบบอนันต์ของ t-ary ในระบบจำนวนที่มีฐาน t คือตัวเลขในรูปแบบหนึ่ง

, โดยที่ ค 0Î เอ็น, กับฉัน(ฉัน =1, 2, …, ถึง, …) - ตัวเลข– จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ, และ 0 £ กับฉัน£ ที–1, ทีÎ ยังไม่มีข้อความ> 1, เคÎ เอ็น.

การกำหนด: a = ( กับ 0 , กับ 1 กับ 2 … กับเค…) ที- ที่ ทีเรียกว่าเศษส่วน = 10 ทศนิยม.

8.11. คำจำกัดความที่ 5

เศษส่วนของระบบอนันต์ที่เป็นไปได้มีสามประเภท:

ฉัน = ( กับ 0 , )ที= = ที, โดยที่ = = = … ในกรณีนี้คือหมายเลขก เรียกว่าเศษส่วนคาบเป็นอนันต์ล้วนๆ(กับ 1 กับ 2 … กับเค) – ระยะเวลา, k – จำนวนหลักในช่วงเวลา – ความยาวของระยะเวลา

ครั้งที่สอง ก = .

ในกรณีนี้คือตัวเลข a เรียกว่าเศษส่วนคาบผสมอนันต์ – ก่อนช่วง, () – ระยะเวลา, k – จำนวนหลักในช่วง – ความยาวของช่วง l – จำนวนหลักระหว่างส่วนจำนวนเต็มและช่วงแรก – ความยาวของช่วงก่อน

III ก = ( กับ 0 , กับ 1 กับ 2 … กับเค …)ที . ในกรณีนี้คือหมายเลขก เรียกว่าเศษส่วนที่ไม่ใช่คาบเป็นอนันต์

งานทั่วไป

1. หมายเลข ( ก) 5 = (2 1 4 3) 5 ซึ่งกำหนดไว้ในระบบ 5 ary แปลงเป็นระบบ 7 ary กล่าวคือ หา เอ็กซ์, ถ้า (2 1 4 3) 5 = ( เอ็กซ์) 7 .

สารละลาย.

1) แปลงตัวเลขนี้ (2 1 4 3) 5 เป็นตัวเลข ( ที่) 10 เขียนในระบบทศนิยม:

2. ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

1) (7) 8 + (5) 8 ; 2) (7) 8 × (5) 8 ; 3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 ;

4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 ; 5) (4 2 3) 5 × (3 2) 5 ; 6) (3 0 1 4 1) 5: (4 2 3) 5 .

สารละลาย.

1) (7) 8 + (5) 8 = (7) 10 + (5) 10 = (12) 10 = 1×8 + 4 = (1 4) 8 ;

2) (7) 8 × (5) 8 = (7) 10 × (5) 10 = (35) 10 = 4×8 + 3 = (4 3) 8 ;

3) (3 6 4 2) 6 + (4 3 5 1) 6 (1 2 4 3 3) 6	บันทึก:	4+5 = 9 = 1×6+3 เขียน 3 1 ไปที่หลักถัดไป 6+3+1=10 =1×6+4 เขียน 4 1 ไปที่หลักถัดไป 3+4+ 1= 8 = 1×6+2 เขียน 2 โดย 1 ไปที่หลักถัดไป
4) (5 2 3 4) 7 – (2 3 5 1) 7 (2 5 5 3) 7	บันทึก:	“ครอบครอง” หน่วยของหมวดหมู่สูงสุด เช่น “1” = 1×7: (3 + 1×7) – 5 = 10 – 5 = 5, (1 + 1×7) – 3 = 8 – 3 = 5 ,
5) (4 2 3) 5 ' (3 2) 5 (1 4 0 1) 5 + (2 3 2 4) 5__ (3 0 1 4 1) 5	บันทึก:	เมื่อคูณด้วย 2: 3 ×2 = 6 = 1×5 + 1 เขียน 1, 1 ไปที่หลักถัดไป 2 ×2 +1=5 = 1×5 +0 เขียน 0, 1 ไปที่หลักถัดไป , 2 ×4 +1=9 = 1×5 +4 เขียน 4, 1 ไปที่หลักถัดไป เมื่อคูณด้วย 3: 3 ×3 = 9 = 1×5 + 4 เขียน 4, 1 ไปที่หลักถัดไป หลัก, 3 × 2 +1=7 = 1×5 +2, เขียน 2, 1 ไปที่หลักถัดไป, 3 ×4 +1=13=2×5 +3, เขียน 3, 2 ไปที่หลักถัดไป

6) (3 0 1 4 1) 5 | (4 2 3) 5

2 3 2 4 (3 2) 5

1 4 0 1 คำตอบ: 1) (1 4) 8 ; 2) (4 3) 8 ; 3) (1 2 4 3 3) 6 ; 4) (2 5 5 3) 7 ;

(0) 5 5) (3 0 1 4 1) 5 ; 6) (3 2) 5 .

แบบฝึกหัดสำหรับการทำงานอิสระ

151. ตัวเลขที่ให้มา ทีระบบ -ary แปลงเป็นระบบทศนิยม:

ก) (2 3 5) 7 ; ข) (2 4 3 1) 5 ; ค) (1 0 0 1 0 1) 2 ; ง) (1 3 ) 15 ;

จ) (2 7) 11; ฉ) (3 2 5 4) 6 ; ก.) (1 5 0 1 3) 8 ; ชั่วโมง) (1 1 0 1 1 0 0 1) 2 ;

ผม) (7 6 2) 8 ; เจ) (1 1 1 1) 20 .

152. ตัวเลข กำหนดไว้ในระบบทศนิยม ให้แปลงเป็น ที-ระบบไอซี ทำการตรวจสอบ

ก) (1 3 2) 10 = ( เอ็กซ์) 7 ; ข) (2 9 8) 10 = ( เอ็กซ์) 5 ; ค) (3 7) 10 = ( เอ็กซ์) 2 ; ง) (3 2 4 5) 10 = ( เอ็กซ์) 6 ;

จ) (4 4 4 4) 10 = ( เอ็กซ์) 3 ; จ) (5 6 3) 10 = ( เอ็กซ์) 12 ; ก.) (5 0 0) 10 = ( เอ็กซ์) 8 ; ชั่วโมง) (6 0 0) 10 = ( เอ็กซ์) 2 ;

และ)(1 0 0 1 5) 10 =( เอ็กซ์) 20 ; เจ) (9 2 5) 10 = ( เอ็กซ์) 8 ; ล.) (6 3 3) 10 = ( เอ็กซ์) 15 ; ม) (1 4 3) 10 = ( เอ็กซ์) 2 .

153. ตัวเลขที่ให้มา ทีระบบ -ary แปลงเป็น ถาม-ระบบอารี (โดยผ่านระบบทศนิยม)

ก) (3 7) 8 = ( เอ็กซ์) 3 ; ข) (1 1 0 1 1 0) 2 = ( เอ็กซ์) 5 ; ค) ( 6 2) 11 = ( เอ็กซ์) 4 ;

ง) (4) 12 = ( เอ็กซ์) 9 . จ) (3 3 1 3 1) 5 = ( เอ็กซ์) 12 .

154. ก) ตัวเลข (1 2 3) 5 จะเปลี่ยนไปอย่างไรหากมีการเพิ่มศูนย์ทางด้านขวา?

b) ตัวเลข (5 7 6) 8 จะเปลี่ยนไปอย่างไรหากมีการเพิ่มศูนย์สองตัวทางด้านขวา?

155. ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

ก) (3 0 2 1) 4 + (1 2 3 3) 4 ; ข) (2 6 5 4) 8 + (7 5 4 3) 8 ; ค) (1 0 1 1 0 1) 2 +(1 1 0 1 10) 2 ;

ง) (5 2 4 7) 9 + (1 3 7 6) 9 ; จ) (4 7 6) 9 – (2 8 7) 9; ฉ) (2 4 5 3) 7 – (1 6 4 5) 7 ;

ก) (8 3) 12 – (5 7 9) 12; ซ) (1 7 5) 11 – (6) 11; ผม) (3 6 4 0 1) 7 – (2 6 6 6 3) 7 ;

เจ) (1 0 0 1 0) 2 × (1 1 0 1) 2 ; ฎ) (7 4 1) 8 × (2 6) 8 ; ม.) (5 3 7 2) 8 × (2 4 6) 8 ;

น) (3 3 2 1) 4 × (2 3 0) 4 ; ต) (1 0 2 2 2 2) 3: (1 2 2) 3 ; น) (2 1 0 3 2) 4: (3 2 3) 4 ;

น) (2 6 1 7 4) 8: (5 4 6) 8 ; ค) (4 3 2 0 1) 5: (2 1 4) 5 ; ต)(1 1 0 1 0 0 1 0) 2:(1 0 1 0 1) 2

ป) (1 1 0 1 1 0) 2: (1 1 1) 2 ; ฉ) (1 1 1 0) 6: (2 1 5) 6 ; x)(3 2 3 8 2 2 1 7 0) 9:(7 6 4 2) 9 .

ท) (1 6 3 5) 8 + (7 6 4) 8 ; ชั่วโมง) (1 1 1 1) 3 – (2 1 2) 3 ; ก)(1 2 7) 12 +(9 1 3 5 ) 12b" × ข 1 จากนั้น:

ฉัน ถ้าเป็นตัวส่วน ข = ข"(มีเพียง "2" และ/หรือ "5") - จากนั้นเศษส่วนจะถูกแปลงเป็น สุดท้ายเศษส่วนทศนิยม จำนวนตำแหน่งทศนิยมเท่ากับจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด ล ลº 0( ม็อด ข").

II ถ้าเป็นตัวส่วน ข = ข 1(ไม่มี “2” และ “5”) จากนั้นเศษส่วนจะถูกแปลงเป็น อนันต์เป็นระยะอย่างหมดจดเท่ากับจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด เคการเปรียบเทียบที่น่าพอใจ 10 เค® 1( ม็อด ข 1).

III ถ้าเป็นตัวส่วน ข = ข"× ข 1 (ประกอบด้วย “2” และ/หรือ “5” รวมถึงตัวประกอบเฉพาะอื่นๆ) จากนั้นเศษส่วนจะถูกแปลงเป็น ระยะผสมอนันต์สิบ-

เศษส่วนที่แน่นอน

ความยาวของคาบเท่ากับจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด เคการเปรียบเทียบที่น่าพอใจ 10 เค® 1( รุ่น b1).

ความยาวของช่วงก่อนจะเท่ากับจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุด ลการเปรียบเทียบที่น่าพอใจ 10 ลº 0( ม็อด ข").

9. 2. ข้อสรุป

9. 3. โปรดทราบว่า:

จำนวนตรรกยะคือเศษส่วนทศนิยมจำกัดหรือเศษส่วนทศนิยมคาบไม่สิ้นสุด

จำนวนอตรรกยะคือเศษส่วนทศนิยมที่ไม่ใช่คาบไม่จำกัด

งานทั่วไป

1. แปลงเศษส่วนธรรมดาที่เขียนในระบบทศนิยมให้เป็น

ทศนิยม ก่อนหน้านี้โดยการกำหนดประเภทของเศษส่วนที่ต้องการ (จำกัดหรืออนันต์; เป็นงวดหรือไม่ใช่เป็นงวด; ถ้าเป็นคาบ, เป็นคาบล้วนๆ หรือคาบผสม); ในกรณีหลังนี้ - ค้นหาล่วงหน้าตัวเลข เค– ความยาวและจำนวนงวด ล– ความยาวของช่วงก่อน 1) ; 2) ; 3) .

สารละลาย.

1) เศษส่วน = ตัวส่วน – ตัวเลข ข= 80 = 2 4 × 5 มีเพียง "2" และ "5" ดังนั้นเศษส่วนนี้จึงถูกแปลงเป็น สุดท้ายเศษส่วนทศนิยม จำนวนตำแหน่งทศนิยม ฉันชื่อกำหนดจากเงื่อนไข: 10 ล 00(โมเดอเรเตอร์ 80):

2) เศษส่วน = ตัวส่วน – ตัวเลข ข= 27 = 3 3 ไม่มี "2" และ "5" ดังนั้นเศษส่วนนี้จึงถูกแปลงเป็นอนันต์ เป็นระยะอย่างหมดจดเศษส่วนทศนิยม ระยะเวลา ชื่อเคกำหนดจากเงื่อนไข: 10 เค 1(ม็อด27):

3) เศษส่วน = ตัวส่วน – ตัวเลข ข= 24 = 2 3 ×3 นั่นคือมันมีรูปแบบ: ข = ข"× ข 1 (นอกเหนือจาก “2” หรือ “5” แล้ว ยังมีปัจจัยอื่นๆ ในกรณีนี้คือหมายเลข 3) ดังนั้นเศษส่วนนี้จึงถูกแปลงเป็นอนันต์ ผสมเป็นระยะเศษส่วนทศนิยม ระยะเวลา ชื่อเคกำหนดจากเงื่อนไข: 10 เคº1(mod3) จากที่ไหน ชื่อเค= 1 นั่นคือความยาวของคาบ เค= 1. ระยะเวลาก่อนงวด ฉันชื่อกำหนดจากเงื่อนไข: 10 ลº0(mod8) จากที่ไหน ฉันชื่อ= 3 คือ ความยาวของช่วงก่อนช่วง ล = 3.

ตรวจสอบ: หาร 5 ด้วย 24 ด้วย “มุม” แล้วได้: = 0.208 (3)

คำตอบ: 1) 0, 0375; 2) 0, (074); 3) 0, 208 (3).

แบบฝึกหัดสำหรับการทำงานอิสระ

156. แปลงเศษส่วนสามัญเหล่านี้ที่เขียนในระบบทศนิยมให้เป็นเศษส่วนทศนิยม หากเศษส่วนทศนิยมเป็นงวดแล้ว ก่อนหน้านี้ค้นหาหมายเลข เค- ความยาวและจำนวนงวด ล- ความยาวของช่วงก่อน

157. แปลงเศษส่วนสามัญเหล่านี้ที่เขียนในระบบทศนิยมให้เป็น ที- เศษส่วนอย่างเป็นระบบ ค้นหาตัวเลข เค- ความยาวของงวดและ ล- ความยาวของช่วงก่อน

158*. ในระบบตัวเลขใด คือ ตัวเลข (4 6) 10 เขียนด้วยตัวเลขเดียวกันแต่เป็น

ในลำดับย้อนกลับ?

159*. มีอะไรมากกว่า: หน่วยหลักที่ 8 ในระบบไบนารี่หรือหน่วยหลักที่ 4 ในระบบฐานแปด

§ 10. ทฤษฎีบทของปาสคาล สัญญาณของการแบ่งแยก

ข้อมูลพื้นฐานจากทฤษฎี

10. 1. ทฤษฎีบทของปาสคาล (1623 – 1662).

ให้จำนวนธรรมชาติ: t > 1และ n เขียนในระบบ t - ary:

,โดยที่ i – – ตัวเลข: a iÎ ยังไม่มีข้อความ 0 £ ฉัน £ ที–1 (ฉัน = 0,1, 2,…, เค), ทีÎ ยังไม่มีข้อความ> 1.

อนุญาต n= (อั๊ค อัค – 1 … ก 1 ก 0) 10 = เค×10 เค +เอก – 1×10 เค – 1 +…+ก 1×10+ ก 0 , ม=3 และ ม = 9.

1) มาหากัน ข ฉัน: โมดูโล่ม = 3 โมดูโลม = 9

10 0 º1(mod3) เช่น ข 0 =1, 10 0 º1(mod9) เช่น ข 0 =1,

10 1 º1(mod3) เช่น ข 1 =1, 10 1 º1(mod9) เช่น ข 1 =1,

10 2 º1(mod3) เช่น ข 2 =1, 10 2 º1(mod9) เช่น ข