6 функций процента. Формулы сложных процентов. Текущая стоимость единицы
^
Математические основы оценочной деятельности
Данная тема рассматривает математические основы оценочной деятельности, которые включают в себя шесть функций денежной единицы.
^
3.1. Шесть функций денежной единицы
Для определения стоимости собственности, приносящей доход, необходимо определить текущую стоимость денег, которые будут получены через некоторое время в будущем.
Известно, что в условиях инфляции куда более очевидно, что деньги изменяют свою стоимость с течением времени. Основными операциями, позволяющими сопоставить разновременные деньги, являются операции накопления (наращивания) и дисконтирования.
Накопление – это процесс приведения текущей стоимости денег к их будущей стоимости, при условии, что вложенная сумма удерживается на счету в течение определенного времени, принося периодически накапливаемый процент.
Дисконтирование – это процесс приведения денежных поступлений от инвестиций к их текущей стоимости.
В оценке эти финансовые расчеты базируются на сложном процессе, когда каждое последующее начисление ставки процента осуществляется как на основную сумму, так и на начисленные за предыдущие периоды невыплаченные проценты.
Всего рассматривают 6 функций денежной единицы (см. табл. 5), основанных на сложном проценте. Для упрощения расчетов разработаны таблицы функций для известных ставок дохода и периода накопления (I и n), кроме того, используют финансовый калькулятор для расчета искомой величины.
^
Таблица 5
Структура таблиц шести функций денег
| Функция денег | Будущая стоимость единицы | Накопление единицы за период | Фактор фонда возмещения | Текущая стоимость единицы | Текущая стоимость аннуитета | Взнос на амортизацию единицы |
| Формула | | | | | |
|
| Задано: | PV, i, n | PMT, i, n | FV, i, n | FV, i, n | PMT, i, n | PV, i, n |
| Определить | FV | FV | PMT | PV | PV | PMT |
| Тип решаемых задач | Будущая стоимость текущей денежной суммы | Стоимость платежей к концу периода | Норма погашения основной части кредита | Текущая стоимость денежной суммы, которая будет получена в будущем | Текущая стоимость денежных платежей | Регулярный периодический платеж по кредиту, включающий проценты и выплату кредита |
1 функция:
Будущая стоимость денежной единицы (накопленная сумма денежной единицы).
Где, FV – будущая стоимость денежной единицы;
PV – текущая стоимость денежной единицы;
I – ставка дохода;
N – число периодов накопления, в годах.
Если начисления осуществляются чаще, чем один раз в год, то формула преобразуется в следующую:
Где, k
– частота накоплений в год.
Данная функция используется в том случае, когда известна текущая стоимость денег и необходимо определить будущую стоимость денежной единицы при известной ставке доходов на конец определенного периода (n).
Правило «72-х» : Для примерного определения срока удвоения капитала (в годах) необходимо 72 разделить на целочисленное значение годовой ставки дохода на капитал. Правило действует для ставок от 3 до 18%.
Типичным примером определения будущей стоимости денежной единицы может служить такая задача.
Определить, какая сумма будет накоплена на счете к концу 3-го г., если сегодня положить на счет, приносящий 10% годовых, 10 000 рублей.
Решение: FV=10000[(1+0,1) 3 ]=13310
2 функция:
Текущая стоимость единицы (текущая стоимость реверсии перепродажи).
Если начисление процентов осуществляется чаще, чем один раз в год, то
Примером формулы может служить следующая задача:
Сколько нужно вложить сегодня, чтобы к концу 5-го г. получить на счете 8000, если годовая ставка дохода 10%.
Решение: 
3 функция:
Текущая стоимость аннуитета.
Аннуитет – это серия равновеликих платежей (поступлений), отстоящих друг от друга на один и тот же промежуток времени.
Выделяют обычный и авансовый аннуитеты. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то аннуитет обычный, если в начале – авансовый.
Формула текущей стоимости обычного аннуитета:
Где, PMT – равновеликие периодические платежи.
Если частота начислений превышает 1 раз в год, то
Формула текущей стоимости авансового аннуитета:
Типовой пример:
Договор аренды дачи составлен на 1 год. Платежи осуществляются ежемесячно по 1000 рублей. Определить текущую стоимость арендных платежей при 12% ставке дисконтирования, если а) платежи осуществляются в конце месяца; б) платежи осуществляются в начале каждого месяца.
4 функция:
Накопление денежной единицы за период. В результате использования данной функции определяется будущая стоимость серии равновеликих периодических платежей (поступлений).
Платежи так же могут осуществляться в начале и в конце периода.
Формула обычного аннуитета:
Авансовое начисление (или авансовый аннуитет):
Типовой пример:
Определить сумму, которая будет накоплена на счете, приносящем 12% годовых, к концу 5-го г., если ежегодно откладывать на счет 10 000 рублей а) в конце каждого г.; б) в начале каждого года. Решение:
5 функция:
Взнос на амортизацию денежной единицы. Функция является обратной величиной текущей стоимости обычного аннуитета.
Взнос на амортизацию денежной единицы используется для определения величины аннуитетного платежа в счет погашения кредита, выданного на определенный период при заданной ставке по кредиту.
Амортизация – это процесс, определяемый данной функцией, включает проценты по кредиту и оплату основной суммы долга.
1
2
При платежах, осуществляемых чаще, чем 1 раз в год используется вторая формула
Аннуитет (по определению) может быть как поступлением (входящим денежным потоком), так и платежом (исходящим денежным потоком) по отношению к инвестору. Поэтому данная функция может использоваться в случае необходимости расчета величины равновеликого взноса на погашение кредита при известном числе взносов и заданной процентной ставке. Такой кредит называют «самоамортизирующийся кредит» .
Примером может служить следующая задача:
Определить, какими должны быть ежегодные платежи, чтобы к концу 7-го года погасить кредит в 100 000 рублей, выданный под 15% годовых. Решение:
Заемщик уплатит кредитору за 7 лет:
24036 * 7 = 168 252 руб
6 функция:
Фактор фонда возмещения. Данная функция обратная функции накопления единицы за период. Фактор фонда возмещения показывает аннуитетный платеж, который необходимо депонировать под заданный процент в конце каждого периода для того, чтобы через заданное число периодов получить искомую сумму.
Для определения величины платежа используется формула:
При платежах (поступлениях), осуществляемых чаще, чем 1 раз в год:
Примером может служить такая задача:
Определить, какими должны быть платежи, чтобы к концу 5-го г. иметь на счете, приносящем 12% годовых, 100 000 рублей. Платежи осуществляются в конце каждого г.
Аннуитетный платеж, определяемый данной функцией, включает выплату основной суммы без выплат процента.
^ ТЕМА 4.
Подготовка информации в процессе оценки
Данная тема рассматривает всю информацию, которая может понадобиться оценщику в процессе подготовки отчета об оценке объекта стоимости. Разделение информации на внешнюю и внутреннюю позволяет студенту лучше разобраться в данной теме.
Информация, используемая в процессе оценки, должна отвечать требованиям:
достоверности;
точности;
комплексности.
Существуют различные порядки организации информации: хронологический, журналистский, логический.
Хронологический порядок предусматривает последовательный переход от прошлого к будущему (или от будущего к прошлому). Например, в отчете об оценке описание процесса производства начинается с истории компании.
При журналистском порядке материал располагается от более важного к менее важному. Так, при анализе финансовой информации, как правило, не имеет смысла описывать всю ретроспективную информацию, внимание акцентируется на наиболее важных пропорциях или коэффициентах.
При логическом порядке информация распределяется от общего к частному или от частного к общему. Например, прежде чем перейти к анализу оцениваемой компании, проводится обзор макроэкономической ситуации, позволяющий определить инвестиционный климат в стране.
Оценка бизнеса основана на анализе стоимости предприятия как товара инвестиционного, то есть с учетом прошлых затрат, текущего состояния и будущего потенциала. Для реализации такого комплексного подхода необходимо провести сбор и анализ большого количества информации, которую можно классифицировать следующим образом:
внешняя информация характеризует условия функционирования приятия в регионе, отрасли и экономике в целом;
внутренняя информация отражает деятельность оцениваемого предприятия.
В основе анализа всех информационных блоков лежит следующая последовательность:
Нормальное функционирование бизнеса возможно при оптимальном сочетании объема продаж, получаемой прибыли и финансовых ресурсов для обеспечения запланированного роста, что в значительной степени определяется внешними факторами функционирования предприятия. К последним относятся макроэкономические и отраслевые факторы: уровень инфляции, темпы экономического развития страны, условия конкуренции в отрасли и т. д.
^
4.1. Внешняя информация
Блок внешней информации, как отмечалось ранее, охватывает условия функционирования предприятия в отрасли и экономике.
Объем и характер внешней информации различаются в зависимости от целей оценки. При составлении отчета надо показать, что информационная база, собранная и изученная оценщиком, является необходимой и достаточной для итогового заключения о стоимости предприятия. Если обзор информации растянут, не ориентирован на оцениваемый объект, его следует признать неуместным.
Макроэкономические показатели содержат информацию о том, как отражается или отразится на деятельности предприятия изменение макроэкономической ситуации. Данные показатели характеризуют инвестиционный климат в стране. В зависимости от целей оценки макроэкономический обзор может выделяться как отдельный раздел отчета об оценке или рассматриваться в общем контексте отчета.
Факторы макроэкономического риска образуют систематический риск, который возникает из внешних событий, влияющих на рыночную экономику, и не могут быть устранены диверсификацией в рамках национальной экономики.
Риск – степень определенности, характеризующая достижимость в будущем ожидаемых результатов.
Диверсификация - сокращение риска с помощью портфельных инвестиций (приобретение широкого спектра ценных бумаг).
В большинстве случаев риск воспринимается как возможность потери. Любое возможное отклонение в большую или меньшую сторону от прогнозируемой величины есть отражение риска. Анализ фактора риска субъективен: оценщики, уверенные в будущем росте компании, определяют ее текущую стоимость выше по сравнению с аналитиком, составляющим пессимистичный прогноз. Другими словами, чем шире разброс ожидаемых будущих доходов вокруг «наилучшей» оценки, тем рискованнее инвестиции.
Текущая стоимость компании, деятельность которой связана с высоким риском, будет ниже, чем текущая стоимость аналогичной компании, функционирующей в условиях меньшего риска.
Понимание инвестором фактора риска можно изобразить графически (см. рис. 6)
Чем выше оценка инвестором уровня риска, тем большую ставку дохода он ожидает. В мире большинство заказов на оценку связано с анализом закрытых компаний, владельцы которых не диверсифицируют свои акции в той же мере, что и владельцы открытых компаний. Поэтому при оценке компаний закрытого типа оценщик наряду с анализом систематического (макроэкономического) риска должен учитывать факторы несистематического риска. К последним относятся отраслевые риски и риски инвестирования в конкретную компанию.
Рис. 6. Соотношение между ожидаемым риском и ставкой дохода
Основные факторы макроэкономического риска:
уровень инфляции;
темпы экономического развития страны;
изменение ставок процента;
изменение валютного курса;
уровень политической стабильности.
В соответствии с данными факторами выделяют следующие риски.
Инфляционный риск – это риск непрогнозируемого изменения темпов роста цен. Инвестор стремится получить доход, покрывающий инфляционное изменение цен. Высокая или непрогнозируемая инфляция может свести к нулю ожидаемые результаты производственной деятельности; инфляция обеспечивает перераспределение доходов в экономике и повышает предпринимательский риск, результатом чего является занижение реальной стоимости имущества предприятия.
программы Правительства;
Интернет (сайты «РосБизнесКонсалтинг», «Эксперт», «Recep.ru», «Финмаркет»).
Основные источники информации:
программы Правительства;
аналитические обзоры информационных агентств;
периодическая экономическая печать;
Интернет.
Основные источники информации:
информационные агентства;
периодическая экономическая печать;
Интернет.
При составлении прогноза объемов продаж на следующий год оценщик может провести расчеты в рублях, учитывая прогнозируемые инфляционные ожидания, или пересчитать прогнозируемые величины по курсу доллара, инфляционные ожидания по которому ниже. Не учитывать инфляционные ожидания по любому виду валюты нельзя.
Основные источники информации:
программы Правительства;
информационные агентства;
периодическая экономическая печать;
Интернет.
Основные источники информации:
Данные аналитических обзоров, проводимые агентствами «EURO-MONEY», «Moody’S», «Standard & Poors», «Valuation Center For Central & Eastern Europe», «Dun & Bradstreet»;
Российские аналитические рейтинговый и информационные агентства;
Законодательство РФ.
Уровень странового риска измеряется на основе:
количественных методов оценки (статистических данных);
качественных методов оценки (экспертной оценки);
эконометрических методов оценки (прогноз риска на основе выявленных тенденций при изучении статистических данных);
комбинированных методов оценки.
1. экономические данные (25%);
2. политический риск (25%);
3. долговые показатели (10%);
4. невыплачиваемые или реструктурированные во времени долги (10%);
6. доступ к банковским финансам (5%);
7. доступ к краткосрочным финансам (5%);
8. доступ к рынкам капитала (5%);
9. дискаунт по форфейтингу (5%).
Оценка политического риска производится на основе экспертных заключений по шкале от 0 до 10 (высокий риск).
Внешняя информация. кроме макроэкономической включает отраслевую информацию: состояние и перспективы развития отрасли, в которой функционирует оцениваемое предприятия. Содержание данного блока определяется степенью доступности отраслевых данных. В нем должны быть отражены условия конкуренции в отрасли; рынки сбыта и возможные варианты использования производимой продукции; факторы, влияющие на потенциальный объем производимой продукции, динамику изменения спроса на нее. Условия функционирования предприятия в отрасли могут оказать серьезное влияние на итоговую величину стоимости.
Основные факторы отраслевого риска:
нормативно-правовая база;
рынки сбыта;
условия конкуренции.
Нормативно-правовая база.
Она определяется с учетом наличия ограничений для вступления в отрасль, условий конкуренции и ценообразования.
Основные источники информации:
законодательство РФ (правовые базы данных «Гарант», «Консультант-плюс» и др.);
информационные отраслевые бюллетени;
Для анализа выбранной предприятием стратегии сбыта товаров можно использовать, например, матрицу Ансоффа, которая предполагает четыре стратегии:
Проникновение на уже сложившийся рынок с тем же продуктом, что и конкуренты.
Развитие рынка за счет создания новых сегментов рынка.
Разработка принципиально новых товаров или модернизация существующих
Диверсификация производимой продукции для освоения новых рынков.
Спрос представляет собой количество товаров и услуг, которое будет куплено по определенной цене за определенный период.
Спрос на товары в количественном выражении измеряется в обратной зависимости от цены при прочих равных условиях. Рыночная цена в итоге устанавливается в результате взаимодействия спроса и предложения.
В процесс сбора информации важны так же отношения с поставщиками с учетом юридической определенности договоров и их надежности.
Цель сбора данной информации - определение потенциала отечественного (если необходимо, и зарубежного) рынка сбыта товара: объем продаж в текущих ценах, ретроспектива за последние 2 – 5 лет по оцениваемому предприятию, объем продаж в текущих ценах по конкурентам, прогнозы по расширению рынков сбыта в России и за ее пределами.
Основные источники информации: :
данные Государственного комитета по статистике РФ;
данные отдела маркетинга оцениваемого предприятия;
периодическая экономическая печать;
Интернет (сайты «КГ Кэпитал», «Бизнес-лист», «Финмаркет»);
личные контакты.
Условия конкуренции. В рыночной экономике наиболее типичны рынки несовершенной конкуренции, на которых механизм свободного конкурентного ценообразования имеет серьезные ограничения.
Оценка конкурентоспособности предприятия проводится с учетом типа рынка, следовательно, наличия ограничений для вступления в отрасль конкурентов, производящих товары-заменители. Анализ должен дополняться сведениями об объеме производства конкурирующего товара в натуральном и стоимостном выражении, характеристикой продукции конкурентов (объем, качество обслуживания, цены, каналы сбыта, реклама), о доле реализуемой продукции в общем объеме отечественного производства, а также перечнем основных российских импортеров этого товара.
Основные источники информации:
Государственный комитет по статистике РФ;
данные отдела маркетинга оцениваемого предприятия;
фирмы-дилеры;
таможенное управление;
отраслевые информационные издания;
бизнес-план.
Особое внимание следует уделять сбору бухгалтерской и ценовой информации по предприятиям-конкурентам. Она требуется для доходного и сравнительного подходов к оценке бизнеса. Цель анализа - определение места оцениваемой компании в отрасли в зависимости от важнейших финансовых показателей и расчета мультипликаторов.
Основные источники информации:
базы данных информационно-аналитических агентств («АК&М», РА «Эксперт» и др.);
русскоязычные сайты Интернет:
сайт ФКЦБ - электронная анкета раскрытия информации эмитентов ценных бумаг;
сайт СКРИН НАУФОР - система комплексного раскрытия информации НАУФОР (предоставляет в свободном доступе профили предприятий-эмитентов, а также котировки обыкновенных и привилегированных акций);
сайт РА «Эксперт»;
РТС (Российская торговая система);
ММВБ (Московская межбанковская валютная биржа);
МФБ (Московская фондовая биржа);
СПВБ (Санкт-Петербургская валютная биржа);
ФБ «СП» (фондовая биржа «Санкт-Петербург»);
ЕФБ (Екатеринбургская фондовая биржа);
НКС (внебиржевой рынок - Национальная котировальная система) и др.;
англоязычные сайты и ресурсы:
Б) Bloomberg и др.
^
4.2. Внутренняя информация
Внутренняя информация характеризует деятельность оцениваемого предприятия. Если читатель отчета не знаком с предприятием, он должен получить максимально полную и точную информацию, чтобы понять особенности оцениваемого предприятия.
Информационный блок обычно включает:
ретроспективные данные об истории компании;
описание маркетинговой стратегии предприятия (условия конкуренции);
производственные мощности;
сведения о рабочем и управленческом персонале;
внутреннюю финансовую информацию (данные бухгалтерского баланса, отчет о финансовых результатах и движении денежных средств за 3-5 лет);
прочую информацию.
Если на предприятии разработан бизнес-план, то в разделе, посвященном описанию предприятия, приводятся основные сведения о предприятии: виды деятельности, характеристика отрасли, факторы, влияющие на деятельность предприятия, основные показатели текущего финансового состояния предприятия и т. д. Кроме того, в бизнес-плане должны быть следующие данные: организационно-правовая форма; размер уставного капитала; сведения о владельцах наибольших долей уставного капитала, контрольных пакетов акций; принадлежность предприятия к концернам, ассоциациям, холдингам.
История компании . В отчете описывается процесс производства продукции по каждому виду производимой продукции и начинается описание с истории компании.
Маркетинговая стратегия предприятия
. Маркетинговая стратегия предприятия определяется внешними факторами, а также фазой жизненного цикла производимых товаров и наличием производственных мощностей (рис. 8).
^
Рис. 8. Фазы жизненного цикла товара
I – II фазы - разработка и внедрение товара на рынок; III фаза - рост объемов продажи товара. Увеличение объемов сбыта продукции обеспечивает преодоление предприятием точки безубыточности. Условно-постоянные издержки фиксированы, и выручка покрывает растущие переменные затраты; IV фаза - насыщение рынка производимой продукцией, предельная отдача снижается; V фаза - сокращение объемов реализации, необходимость выработки дальнейшей стратегии: модернизация выпускаемой продукции или освоение новой
Анализируя маркетинговую стратегию предприятия, оценщик должен сопоставить следующую информацию:
объемы продаж за прошлый (ретроспективный), текущий и прогнозируемый периоды;
себестоимость реализованной продукции;
цены товаров и услуг, их динамику;
прогнозируемое изменение объемов спроса;
производственные мощности.
Производственные мощности . Объем выпускаемой продукции определяется, с одной стороны, спросом на нее; с другой - наличием производственных мощностей для ее производства. Поэтому оценщик, особенно при составлении прогнозов, учитывает данные о наличии производственных мощностей на предприятии и будущие капиталовложения.
Пример. Анализируя рынки сбыта, оценщик пришел к выводу, что с учетом освоения рынка стран СНГ можно удвоить объем реализуемой продукции, что составит по г.м:
2003 г. - 200 млн шт.;
2004 г. - 250 млн шт.
Однако производственные мощности предприятия с учетом будущих капиталовложений позволят провести соответственно следующие объемы:
2003 г. – 180 млн. шт.
2004 г. – 200 млн. шт.
В итоге прогноз объемов реализуемой продукции будет скорректирован на производственные мощности.
Рабочий и управленческий персонал
. Данный фактор производства оказывает значительное влияние на величину стоимости предприятия. В компаниях закрытого типа труд работников может частично компенсироваться акциями компании (программа участия служащих в прибыли), и работники предприятия могут рассматриваться как совладельцы предприятия, владеющие определенным пакетом акций.
Управляющий предприятием может быть «ключевой фигурой», обеспечивать эффективное управление и развитие бизнеса. Данный факт должен быть учтен в процессе оценки, например, при расчете ставок дисконта, т. к. в случае продажи предприятия его планы в отношении будущей деятельности могут измениться.
Важен также уровень заработной платы на предприятии по сравнению со среднеотраслевыми данными. Отклонение в большую или меньшую сторону рассматривается оценщиком с целью выявления особенностей оцениваемого бизнеса и может корректироваться при нормализации отчетности.
Основные источники информации:
бизнес-план;
интервью с руководителем предприятия;
данные отдела маркетинга;
ретроспективная финансовая отчетность.
Внутренняя финансовая информация . Целью анализа текущей и ретроспективной финансовой отчетности является определение реального финансового состояния предприятия на дату оценки, действительной величины чистой прибыли, финансового риска и рыночной стоимости материальных и нематериальных активов.
В зависимости от целей оценки направления анализа финансового состояния фирмы меняются. Например, если оценивается стоимость миноритарного (неконтрольного) пакета акций предприятия, то потенциального инвестора в большей степени будет интересовать прогнозная оценка рентабельности фирмы, ее способности выплачивать дивиденды.
Основные документы финансовой отчетности, анализируемые в процессе оценки:
бухгалтерский баланс;
отчет о финансовых результатах;
отчет о движении денежных средств.
В случае, если требуется оценка активов предприятия, необходимо запросить расшифровку по наиболее важным счетам баланса:
1. Необоротные активы:
нематериальные активы;
основные средства;
долгосрочные финансовые вложения.
Образец формы запрашиваемой информации
2. Оборотные средства:
запасы;
дебиторская задолженность;
краткосрочные финансовые вложения.
Образец формы запрашиваемой информации
3. Обязательства:
кредиторская задолженность;
долгосрочная задолженность.
Образец формы запрашиваемой информации
Образец формы запрашиваемой информации
Форма представления запроса информации может содержать:
перечень документов, анализируя которые оценщик собирает необходимую информацию;
перечень данных, заполняемый ответственными сотрудниками предприятия по форме, представленной оценщиком;
перечень документов и данных в соответствии с запросом оценщика.
Пример. Приведем запрос информации, включающий перечень только документов предприятия:
Название и реквизиты предприятия:
Устав.
Бухгалтерская отчетность за последние 3 года (баланс, приложения – ф. 1-5), пояснительная записка к годовому балансу.
Бизнес-план.
Лицензии на осуществляемые виды деятельности (копии патентов и лицензионных договоров, сведения об уплате пошлин).
Отчеты о проводимых на предприятии переоценках основных фондов.
Амортизационная ведомость.
Паспорта БТИ по объектам недвижимости.
Договора аренды.
Договора с крупнейшими дебиторами.
Кредитные договора.
Договора (контракты) на поставку оборудования.
Целью работы оценщика по сбору внутренней информации являются:
анализ истории компании с целью выявления будущих тенденций;
сбор информации для прогнозирования объемов продаж, денежных потоков, прибыли;
учет факторов несистематического риска, характерных для оцениваемого бизнеса;
анализ финансовой документации;
интервью с руководителями и сбор дополнительной информации, позволяющей сделать оценку более реалистичной (в любой компании, особенно закрытого типа, существует набор важных документов, а также информация общего характера, которая может быть получена оценщиком непосредственно от руководителей предприятия).
17.03.2015 11:00 9922
Стандартные функции сложного процента
Применение стандартных функций сложного процента даёт возможность рассчитать величину любого из элементов, характеризующих распределенные во времени денежные потоки - стоимость, платеж, время, ставку, - при условии, что другие элементы известны.
Как правило, речь идет о 6 функциях сложного процента:
- накопленная сумма единицы(её будущая стоимость),
- накопление единицы за период,
- взнос в формирование фонда возмещения,
- реверсия (текущая стоимость единицы),
- текущая стоимость обычного аннуитета,
- взнос на амортизацию единицы
Поскольку эти функции применяют весьма широко и часто, разработаны стандартные таблицы, которые включают заранее рассчитанные факторы сложного процента. В данном контексте фактором называется одно из двух или более чисел, которые, будучи перемноженными, дают заданный результат. Все эти факторы созданы с применением базовой формулы (1 + i)n, дающей описание накопленной суммы единицы, и по сути, представляют собой производные от этого фактора.
Будущая стоимость единицы.
Будущая стоимость единицы – функция, которая определяет ее накопленную сумму спустя n периодов, если ставка дохода на капитал равна i. Функция подразумевает, что доход на капитал, полученный за период, вместе с первоначальным капиталом формирует базу, с которой будет определяться доход на капитал в следующий период.
Её рассчитывают по формуле:
где FV - будущая стоимость;
PV - текущая стоимость;
i - ставка дохода;
FVF(i;n) = (1 + i)n - фактор будущей стоимости единицы (накопленной суммы).
С помощью этой функции можно вычислить будущее значение денежной суммы, опираясь на ее текущее значение, размер ставки дохода на капитал и длительность срок накопления.
В текущий момент стоимость земельного участка составляет 1000 долл., при уровне доходности 14%. Предполагается, что он будет продан через два года. При этом ни его характеристики, ни рыночные условия не изменятся. В данном случае будущая стоимость земельного участка станет равной 1300 долл.:
или, что одно и то же
Накопление единицы за период.
Накопление за период – функция, которая определяет будущую стоимость обычного аннуитета (то есть серии равновеликих периодических платежей и поступлений PMT) на протяжении n периодов при размере ставки дохода на капитал i.
Обычный аннуитет – это серия равновеликих периодических платежей и поступлений, причём первый из них производится в конце следующего, после текущего, периода. Если платежи производятся авансом, (в начале каждого периода), речь идёт об авансовом аннуитете.
Будущую стоимость обычного аннуитета рассчитывают по формуле:
где FVA - будущая стоимость обычного аннуитета
PMT – величина одного из серии равновеликих периодических платежей или поступлений
i - ставка дохода;
n - число периодов;
Фактор будущей стоимости обычного аннуитета.
Нужно рассчитать будущую стоимость земельного участка, приобретенного при условии отсрочки платежа на полгода и компенсации 12% годовых. Платежи вносятся в конце каждого месяца - равными суммами по 1000 долл. В таком случае будущая стоимость земельного участка окажется равной 6152 долл.:
или, что то же самое
Взнос на формирование фонда возмещения.
Взносы на формирование фонда возмещения - функция, которой определяется величина платежей для обычного аннуитета, чья будущая стоимость через n периодов, при величине ставки i, равна 1.
Иначе говоря, с помощью функции взноса на формирование фонда возмещения можно определить размер равновеликого периодического платежа (регулярного дохода), нужного для накопления до конца установленного периода определенной суммы, с учетом накопленных процентов, при некоторой ставке дохода.
Расчет величины равновеликого периодического платежа осуществляется по формуле:
где PMT – величина равновеликого периодического платежа;
FV - будущая стоимость обычного аннуитета
i - ставка дохода;
n - число периодов;
Фактор фонда возмещения
SFF (i;n) (фактор фонда возмещения) является обратной величиной фактора будущей стоимости обычного аннуитета:
Нужно рассчитать величину ежегодных накоплений с целью равноценной замены существующего здания, которое приносит доход в 14%, с условием, что к окончанию периода экономической жизни (8 лет) затраты на замену здания составят 10000 долл. В данном случае величина ежегодных отчислений составит 755,70 долл.:
Текущая стоимость единицы (реверсии).
Текущая стоимость единицы (реверсии) – функция, которая определяет текущую стоимость будущей единицы, которую можно получить по истечении n периодов при заданной ставке дохода i. Данная функция позволяет осуществить оценку текущей стоимости дохода, который может быть получен от реализации объекта в конце периода при данной ставке дисконта.
Текущую стоимость единицы рассчитывают по формуле:
где PV - текущая стоимость;
FV - будущая стоимость;
i - ставка дохода (дисконта);
n - срок накопления (число периодов);
Фактор текущей стоимости единицы (реверсии).
В математическом смысле текущая стоимость единицы – это обратная величина функции ее будущей стоимости.
Требуется вычислить текущую стоимость земельного участка, который в конце года будет продан по цене 1000 долл. При ставке дисконта 10% в год текущая стоимость участка будет равной 909,09 долл.
Текущая стоимость обычного аннуитета.
Текущая стоимость обычного аннуитета – функция, которая определяет текущую стоимость серии будущих равновеликих периодических платежей (поступлений) PMT на протяжении n периодов при ставке дисконта i. Вычисление осуществляют по формуле:
где PVA - текущая стоимость обычного аннуитета
PMT - величина одного из серии равновеликих периодических платежей (поступлений)
i - ставка дохода (дисконта);
n - число периодов
Фактор текущей стоимости обычного аннуитета.
Текущая стоимость обычного аннуитета может быть определена как сумма текущих стоимостей всех платежей:
Нужно определить текущую стоимость платежей по аренде, при условии, что земельный участок был сдан на три года, за ежегодную арендную плату 100 долл. Ставка дисконта равна 12%. Тогда текущая стоимость платежей составит 240,18 долл.:
Взнос на амортизацию единицы.
Взнос на амортизацию единицы – функция, при помощи которой определяют величину регулярного платежа (поступления), обеспечивающего доход на капитал и его возврат при ставке дисконта i за n периодов. Взнос на амортизацию единицы можно рассчитать по формуле:
где PMT - величина платежа для обычного аннуитета;
PV - текущая стоимость единицы,
i - ставка дисконта (дохода);
n - срок накопления (число периодов);
Фактор взноса на амортизацию единицы.
Эта функция, равно как и функция взноса на формирование фонда возмещения, даёт возможность определения платежа РМТ. Но в отличие от функции взноса на формирование фонда возмещения, связанной с платежом с целью накопления заданной суммы FV, функция взноса на амортизацию единицы имеет отношение к платежу, позволяющему вернуть заданную на текущий момент сумму PV. При этом платеж включает две составляющие: первая обеспечивает доход по заданной ставке i, вторая обеспечивает возврат капитала по норме возврата SFF(i; n) за n периодов.
Функция взноса на амортизацию единицы используется при определении регулярных равновеликих (аннуитетных) платежей в счет погашения кредита, если он выдан на некоторый период по заданной ставке по кредиту. При этом каждый платеж включает в себя и выплаты основной суммы долга, и начисленных процентов. Сами платежи при этом равновеликие, и от платежа к платежу соотношение доходной и возвратной составляющих меняется (уменьшается часть, с которой идёт выплата процентов, и увеличивается та часть, которая идёт на возврат принципала, то есть основной суммы кредита. То есть процент начисляется на невыплаченную сумму принципала и процентная ставка по кредиту, по мере его погашения, начисляется на меньшую сумму. Функция взноса на амортизацию единицы при этом обратна функции текущей стоимости обычного аннуитета.
Нужно рассчитать величину ежегодного дохода, который приходится на здание, которое будет эксплуатироваться в течение 5 лет, если его текущая стоимость равна 10000 долл., а ставка дисконта - 15%. При таких условиях размер ежегодного дохода составляет 2983,16 долл.:
или, что одно и то же
Используя взаимосвязь факторов шести функций сложного процента, можно предложить представить логику их построения и экономический смысл в табличной форме.
Взаимосвязь и экономический смысл стандартных функций сложного процента
Резюме
В оценке недвижимости важную роль играет теория стоимости денег во времени. С ее помощью объясняется такой значимый для оценки процесс, как дисконтирование, отражающий взаимосвязь между понятиями текущая стоимость, будущая стоимость, регулярный доход, время, ставка дохода.
Данная взаимосвязь реализуется на основе использования 6 функций сложного процента, позволяющих определить искомую величину на основе умножения известной величины на соответствующий фактор, значение которого может быть вычислено или взято из таблиц 6 функций сложного процента. Это существенно облегчает выполняемые при оценке многочисленные расчеты.
Л.О. Григорьева
Управление инвестициями
Учебный модуль
Улан-Удэ
Издательство ВСГТУ
| введение………………………………………………………………….………………………………… | ||
| Тема 1. Понятие и классификация инвестиций………………………………………..……. | ||
| 1.1. | Понятие инвестиций и их классификация……………………………………...……………………. | |
| 1.2. | Инвестиционный процесс и механизм инвестиционного рынка……………………….…………. | |
| 1.3. | Шесть функций сложного процента……………………………………………………………….... | |
| Тема 2. Экономические, правовые и организационные основы инвестиционной деятельности в РФ……………………..……………………….................... | ||
| 2.1 | Нормативная база инвестиционной деятельности в РФ…………………………………………… | |
| 2.2 | Методы государственного регулирования инвестиционной деятельности………………………. | |
| Контрольные вопросы………………………………………………………………………………………. | ||
| Тесты…………………………………………………………………………………………………………. | ||
| Тема 3. Источники финансирования инвестиционной деятельности…………. | ||
| 3.1 | Классификация источников финансирования инвестиционной деятельности предприятия…… | |
| 3.2 | Основные методы финансирования инвестиционной деятельности……………………………… | |
| 3.3 | Анализ цены и структуры капитала…………………………………………………………………. | |
| 3.4 | Методы расчета потребности в инвестициях………………………………………………………. | |
| Контрольные вопросы………………………………………………………………………………………. | ||
| Тесты…………………………………………………………………………………………………………. | ||
| Тема 4. Планирование инвестиций. Этапы составления бизнес-плана……….. | ||
| 4.1 | Сущность и классификация инвестиционных проектов…………………………………………… | |
| 4.2 | Жизненный цикл инвестиционного проекта……………………………………………………….. | |
| 4.3 | Методика составления и структура бизнес-плана инвестиционного проекта……………………. | |
| Контрольные вопросы………………………………………………………………………………………. | ||
| Тесты…………………………………………………………………………………………………………. | ||
| Тема 5. Оценка эффективности инвестиционного проекта…….………………….. | ||
| 5.1 | Основные аспекты оценки эффективности инвестиционных проектов…………………………. | |
| 5.2 | Оценка финансовой состоятельности инвестиционного проекта………………………………… | |
| 5.3 | Оценка экономической эффективности инвестиционных проектов……………………………… | |
| Контрольные вопросы………………………………………………………………………………………. | ||
| Тесты…………………………………………………………………………………………………………. | ||
| Задачи для практических занятий…………………………………………………………………………. | ||
| Тема 6. Риск- менеджмент инвестиционного проекта ………………………………. | ||
| 6.1 | Сущность и классификация рисков инвестиционного проекта………………………………….. | |
| 6.2 | Риск- менеджмент инвестиционного проекта………………………………………………………. | |
| 6.3 | Методы оценки проектного риска…………………………………………………………................ | |
| 6.4 | Приемы по управлению рисками проекта…………………………………………………………… | |
| Контрольные вопросы……………………………………………………………………………………….. | ||
| Тесты………………………………………………………………………………………………………….. | ||
| Тема 7. Оценка инвестиционных качеств и эффективности финансовых инвестиций ……………………………………………………………………………………………… | ||
| 7.1. | Расчет доходности по операциям с ценными бумагами……………………………………………. | |
| 7.2 | Расчет будущего капитала в финансовых инвестициях……………………………………………. | |
| 7.3 | Расчет курсовой стоимости ценных бумаг…………………………………………………………... | |
| 7.4 | Особенности оценки инвестиций в вексельном обращении………………………………………. | |
| Контрольные вопросы………………………………………………………………………………………. | ||
| Тесты…………………………………………………………………………………………………………. | ||
| Задачи для практических занятий………………………………………………………………………….. | ||
| Тема 8. Формирование инвестиционного портфеля…………………………………… | ||
| 8.1 | Понятие и виды инвестиционных портфелей……………………………………………………… | |
| 8.2 | Доходность портфеля………………………………………………………………………………… | |
| 8.3 | Риск портфеля………………………………………………………………………………………… | |
| Контрольные вопросы………………………………………………………………………………………. | ||
| Тесты…………………………………………………………………………………………………………. | ||
| Задачи для практических занятий…………………………………………………………………………… | ||
| ПриложениЕ1………………………………………………………………………………………………. | ||
| ПриложениЕ2………………………………………………………………………………………………. | ||
| Приложение 3……………………………………………………………………………………………… |
Тема 1. Инвестиции. Сущность инвестиционного процесса
Шесть функций сложного процента
Первая функция сложного процента – это фактор будущей стоимости текущего (сегодняшнего) капитала.
| FV = PV*(1+i) n | (1.4) |
FV – это будущая стоимость текущего капитала (future value);
PV – текущая стоимость капитала (present value);
i – ставка процента;
n – количество периодов.
В каких случаях используется формула сложного процента:
Мы имеем какую-то сумму денег. Мы хотим положить ее в банк под определенный процент, на определенный срок (год, месяц, квартал). При этом мы хотим знать: сколько будут стоить наши деньги в конце срока вклада.
Пример. Допустим у нас есть 1 руб. и мы кладем его в начале года в банк, под 10% годовых на 5 лет. Сколько будет стоить этот руб. через 5 лет?
FV = 1 руб.*(1+10%) 5 = 1,61 руб.
Пример . Вы положили деньги в банк 1000 руб. под 24% годовых на 1 год. Аккумулирование (т.е. начисление %) происходит два раза в год по фиксированной годовой ставке. Надо определить периодическую ставку (i p), будущую стоимость текущего капитала (FV), величину дохода на капитал (Д) и фактическую годовую ставку (i ф).
Определим периодическую ставку, в данном случае – полугодовую: i p = i г /2 = 24% /2 =12%
Определим будущую стоимость текущего капитала: FV =1000(1+0,12) 2 = 1254,4 руб.
Определим величину дохода на капитал: Д = FV – PV = 1254,4 – 1000 = 254,4 руб.
Определим фактическую годовую ставку: i ф = (FV–PV)/PV=(1254,4–1000)/1000=0,2544=25%
Фактическая ставка включает начисленные сложные проценты, поэтому она всегда больше, чем номинальная ставка. Кроме того, чем больше периодов начисления процентов в году, тем эта разница будет существеннее.
Пример . Через сколько лет произойдет удвоение капитала, если известно, что годовая номинальная ставка, под которую положили деньги в банк равна 12%?
Решение этой задачки основано на использовании так называемого «правила 72-х». Согласно этому правилу, количество лет, через которое произойдет удвоение вложенной суммы, определяется по формуле: 72 / номинальная годовая ставка %
72 / 12% = 6 лет.
Правило дает удовлетворительный ответ при ставке, находящейся в диапазоне от 3 до 18%.
Вторая функция сложного процента – фактор будущей стоимости аннуитета.
Она предназначена для определения будущей стоимости равновеликих накоплений капитала за определенное число периодов, т.е. когда мы, например, будем вкладывать одну и ту же суму денег (РМТ) в течение какого-то времени(1,2,3 года и т.п.).
РМТ (payment ) – единовременный платеж в периоде k. (периоды одинаковые).
Серия таких платежей называется аннуитетом .
Различают обычный и авансовый аннуитет .
Будущая стоимость обычного аннуитета (платежи в конце каждого периода). Его будущая стоимость выражается в формуле:
Пример . Чтобы накопить себе на автомобиль, вы решили откладывать в банк по 1000 $ каждый год при 12% годовых в течение 5 лет. Как лучше откладывать деньги (в конце или в начале года), чтобы получить через 5 лет большую сумму и сколько денег окажется на вашем счете через 5 лет?
Определим, сначала, сколько денег мы получим через 5 лет, если будем откладывать в конце каждого года:
Таким образом, получается, что вкладывать в начале каждого года гораздо выгоднее, чем в конце.
Третья функция сложного процента – фактор фонда возмещения.
Фактор фонда возмещения – это величина платежа, который необходимо депонировать (вкладывать) в каждом периоде при заданной ставке годового процента, чтобы в последнем периоде получить на счете определенную (желаемую) сумму. Т.е. допустим, мы хотим получить 1 миллион рублей через пять лет. Для этого можно положить деньги в банк. Нам известна величина банковского процента. Фактор фонда возмещения (ФФВ) определяет величину периодических равновеликих платежей, которые нам придется платить эти 5 лет. То есть ФФВ - это то же РМТ.
Различают Фактор Фонда Обычного Возмещения и Фактор Фонда Авансового Возмещения, в зависимости от того, когда (в конце или начале периода) производятся платежи.
Фактор Фонда Обычного Возмещения (платежи в конце каждого периода):
2-я и 3-я функции сложного процента взаимосвязаны между собой через формулы. 2-я функция – это определение FV, а 3-я – это определение PV.
Пример . Вы взяли у своего знакомого в долг и через 5 лет должны вернуть 1000$. Чтобы проще было расплатиться с долгами, вы решили откладывать деньги в банк каждый год. Банковская ставка также равна 15% годовых. Как выгоднее депонировать деньги – в начале года или в конце года? Какую сумму вы должны депонировать в банке, чтобы в конце 5-го года выплатить эту 1000$?
1. Фактор Фонда Обычного Возмещения:
| ФФОВ = | _____15%___ | *1000$ | = 148 $ |
| (1+15%) 5 - 1 |
- Фактор Фонда Авансового Возмещения:
2. Фактор Фонда Авансового Возмещения:
| ФФАВ = | ________1,25%__________ | *10000$ | = 111,5 $ |
| (1+1,25%) 5*12+1 – (1+1,25%) |
Каждый месяц вам выгоднее откладывать по 111,5 $.
Четвертая функция сложного процента – фактор текущей стоимости будущего капитала.
Текущая стоимость будущего капитала – это сегодняшняя стоимость капитала, который должен быть получен в будущем. Математически выразить текущую стоимость будущего капитала можно следующим образом:
PV = FV /(1+i) n (1.9)
Как вы заметили 4-я и 1-я функция сложного процента взаимосвязаны между собой одной формулой. 1-я функция определяет будущую стоимость текущего капитала.
Пример. Вы решили накопить 12000$. Эта сумма понадобится вам через 4 года. Сколько денег сегодня вы должны положить в банк под 10% годовых, чтобы через 4 года получить 12000$.
PV = 12000$ /(1+10%) 4 = 8196 $
Пятая функция сложного процента – фактор текущей стоимости аннуитета.
5-я функция предназначена для определения текущей стоимости (PV) равновеликих накоплений капитала за определенное число периодов, т.е. когда мы, например, будем вкладывать одну и ту же сумму денег (РМТ) в течение какого-то времени (1,2,3 года и т.д.) при известной норме прибыли (i ).
В этом смысле, 5-я функция несколько похожа на 2-ю функцию сложного процента, с той лишь разницей, что 2-я определяет FV.
Различают фактор текущей стоимости Обычного аннуитета (платежи в конце каждого периода) и Авансового Аннуитета (платежи в начале каждого периода).
Текущая стоимость обычного аннуитета:
2. Если платежи будут производится в начале каждого года:
Авансовый взнос на амортизацию (платежи в начале периода):
2. Если платежи в начале года:
| РМТн = | 15000$*12%_____ | = 3715$ |
| (1+12%) – (1+12%) – (5 – 1) |
Контрольные вопросы
1. Охарактеризуйте понятие инвестиций, приведите варианты их классификации.
2. В чем заключаются основные отличия между инвестициями и капитальными вложениями?
3. Что представляет собой инвестиционная деятельность, и из каких этапов она состоит?
4. Какие субъекты инвестиционной деятельности можно выделить? Их отличия и основные характеристики?
5. Объекты инвестиционной деятельности, их отличия и основные характеристики.
6. Реципиент, как субъект инвестиционной деятельности?
7. Какова структура инвестиционного рынка?
8. Какова структура инвестиционного рынка в России? Перечислить и охарактеризовать его составляющие.
1.1. Какие из приведенных ниже вложений в большинстве случаев не относятся к инвестициям?
а) приобретение иностранной валюты;
б) вложения в облигации на вторичном рынке;
в) вложения в депозитные сертификаты;
г) лизинговое финансирование;
д) вложения в акции на первичном рынке.
1.2. Основными целями инвестирования являются:
а) получение прибыли;
б) достижение социального эффекта;
в) накопление капитала
1.1. Прямые инвестиции предполагают:
а) привлечение финансовых посредников к реализации инвестиционных проектов;
б) использование внутренних источников финансирования инвестиций;
в) непосредственное участие инвестора в выборе объектов инвестирования и вложения капитала.
1.2. Какой из перечисленных ниже субъектов экономики не является участником (исполнителем) инвестиционной деятельности?
а) инвестор;
б) исполнитель;
в) проектировщик;
г) подрядчик;
д) страховое общество.
1.3. В какой сфере протекает инвестиционная деятельность?
б) обращения;
в) материального производства;
г) нематериального производства.
1.4. Инвестиционная деятельность коммерческих банков в сфере реального инвестирования имеет следующие формы:
а) инвестиционное кредитование;
б) инвестирование в ценные бумаги;
в) проектное финансирование;
г) долевое участие.
1.7. Какие из приведенных ниже элементов относятся к материальным элементам инвестиций?
а) коммуникации;
б) природные ресурсы;
в) вложения в человеческий капитал;
г) ценные бумаги;
д) патенты, лицензии.
1.8. Что лежит в основе деления инвестиций на реальные, финансовые и инвестиции в нематериальные активы?
а) объекты вложения инвестиций;
б) воспроизводственные формы;
в) стадии инвестиционного процесса;
г)субъекты инвестиционной деятельности.
1.9. Концепцию инвестиционного мультипликатора разработал:
а) Р.Ф. Кан;
б) Самуэльсон;
в) Дж. М. Кейнс.
1.10. Инвестиции в нематериальные активы - это:
а) вложения в торговые марки, товарные знаки, авторские права и т.д.;
б) затраты на приобретение объектов природопользования;
в) вложения в оборотные средства предприятия.
Задачи для практических занятий
Задача 1.1.
Рассчитайте ежегодный взнос для оплаты квартиры стоимостью 800 тыс. руб., купленной в рассрочку на 10 лет под 12%.
Задача 1.2.
Рассчитайте ежегодный взнос под 12% для покупки через 10 лет квартиры стоимостью 800 тыс. руб.
Задача 1.3.
Рассчитайте взнос под 12% для покупки через 10 лет квартиры стоимостью 800 тыс. руб.
Задача 1.4.
Квартира продана за 800 тыс. руб., деньги приносят 12% годового дохода. Какова предельная стоимость недвижимости, которую можно будет купить через 10 лет?
Задача 1.5.
Какова предельная стоимость недвижимости, которую можно будет купить через 10 лет, если ежегодно откладывать по 80 тыс. руб. под 12%?
Задача 1.6.
Сколько стоила квартира, купленная в рассрочку на 10 лет под 12% годовых, если ежегодный взнос составляет 80 тыс. руб.?
Сложные проценты применяют в тех случаях, когда процент по кредитам (ссудам) выплачивают не сразу, а его присоединяют к сумме долга с последующим определением наращенной суммы FV. Такая процедура начисления «процент на процент» называется капитализацией. Наращение идет по сложному проценту в геометрической прогрессии, а процесс компаудинга (накопления) описывается уравнением FV= PV(1+i) n
В связи с этим для расчета процентной суммы используется следующая формула:
где i - годовая ставка;
n - количество периодов начисления;
m - число периодов начисления;
n*m - общее число периода начисления.
Когда интервалы между очередными платежами постоянны, то такую последовательность называют финансовой рентой или аннуитетом. Аннуитет (серия равновеликих платежей в течение n-периодов) называется обычным, если платежи осуществляются в конце каждого периода, и авансовым, если платежи осуществляются в начале каждого периода.
Первая функция сложного процента - аккумулированная сумма капитала. Мы уже убедились, что в отличие от простого процента сложный предполагает, что доход приносит не только первоначальная сумма, но и полученный ранее процент на нее. Для определения стоимости, которую будет иметь капитал через несколько лет FV при использовании процедуры сложных процентов, используют формулу, отражающую процесс аккумулирования (компаундинга), наращения в соответствии с геометрической прогрессией: FV= PV(1+i) n
где FV- аккумулированная (будущая) сумма капитала;
PV - текущая стоимость (стоимость инвестиций в начальный период);
i - ставка процента (например, i = 0,10, т.е. 10%);
n - количество периодов начисления.
Эта формула в финансово-экономических расчетах и определяет первую функцию сложного процента, а выражение (1+i) n называется множителем (коэффициентом) наращения или будущей стоимостью единицы аккумулированного капитала F 1: F 1 =(1+i) n
где F 1 рассчитывается или определяется по таблице сложных процентов.
Таким образом, процесс аккумулирования депонированного, или инвестированного, капитала есть процесс накопления денег по заданной ставке i в течение определенного периода времени п.
При более частом, чем один раз в год, аккумулировании фактически полученный доход в конце года включает начисленные в году проценты. В связи с этим различают годовую номинальную и годовую фактическую (эффективную) процентные ставки.
Годовая фактическая ставка - это годовая ставка, учитывающая начисленные сложные проценты. Расчет годовой фактической ставки ведется как процентное отношение дохода к капиталу в конце года, к величине капитала в начале года; в практике фактическую ставку называют эффективной.
Вторая функция сложного процента - это будущая стоимость п-периодного аннуитета. Рассмотрим серию равновеликих и равномерных платежей (вкладов) под процент на определенное количество периодов, при том что в каждом периоде производятся вклады капиталов (РМТ) одной и той же величины (серия вкладов - аннуитет). Этот поток платежей и есть аннуитет.
Наращенная сумма ренты (n-периодного аннуитета) представляет собой сумму всех членов ренты с начисленными на них процентами к концу ее срока.
Аннуитет называется обычным, если платежи осуществляются в конце каждого периода (рента пост- нумерандо), и авансовым, если платежи осуществляются в начале каждого периода (рента пренумерандо).
Наращенная сумма ренты n-периодного аннуитета будет равна:
где (1 + i) n – 1/f = F 2 - вторая функция сложного процента.
В финансовых расчетах последнее выражение также называют фактором фонда накопления или будущей стоимостью п- периодного аннуитета с платежом в одну денежную единицу (см. таблицу сложных процентов Инвуда).
В отличие от обычного аннуитета при авансовом аннуитете (пренумерандо) первый платеж осуществляется в начале первого периода, т. е. он приносит доход в течение всех n-периодов. Каждый последующий платеж работает на один период меньше, чем предыдущий, наконец, последний платеж приносит доход в течение только одного периода. Как и в случае обычного аннуитета, будущие стоимости каждого платежа образуют геометрическую прогрессию со знаменателем (1 + i), а первый член этой прогрессии - РМT(1 + i). Используя формулу расчета суммы и членов геометрической прогрессии, получим:
В этом случае фактор фонда накопления F 2 (будущая стоимость авансового аннуитета с платежом в одну денежную единицу) будет равен:
Третья функция сложного процента(обратная второй) - фактор фонда возмещения капитала. Из второй функции имеем:
Где i/(1+i) n –1 = F 3 - фактор фонда возмещения, третья функция сложного
процента.
Коэффициент F 3 показывает денежную сумму, которую необходимо вносить в конце каждого периода для того, чтобы через определенное число периодов остаток на счете составил одну денежную единицу; причем данный фактор учитывает получаемый по взносам процент.
Можно сравнить фактор фонда накопления F 2 и фактор фонда возмещения F 3 Видно, что функция F 3 при фиксированных n и i есть величина, обратная фактору фонда накопления F 2 т.е.
Сравнивая фактор фонда накопления (будущую стоимость авансового аннуитета с платежом в одну единицу) и фактор авансового фонда возмещения, получим соотношение:
Четвертая функция сложного процента (обратная первой) - это текущая стоимость будущего денежного потока, т.е. текущая стоимость денег (инвестиций), PV определится из выражения:
Где 1/ (1+i) n = F 4 - четвертая функция сложного процента, текущая стоимость будущей единицы.
Сравнивая полученную формулу с фактором первой функции, видим:
Процесс пересчета будущей стоимости денежной суммы (потока денег); FV в настоящую называется дисконтированием, а ставка, по которой осуществляется дисконтирование, часто называют ставкой дисконта.
C помощью функции F. можно ответить на два вопроса:
1. Сколько будет стоить сегодня сумма, которую получит инвестор через л-периодов?
2. За сколько нужно купить объект (сколько нужно вложить в объект), чтобы в результате будущей его продажи через n-периодов обеспечить требуемую норму дохода на?
Пятая функция сложного процента - это текущая стоимость аннуитета. Как и предыдущая, данная функция связана с процессом дисконтирования. Пятая функция определяет текущую стоимость серии равномерных равновеликих поступлений денежных средств в течение n-периодов с учетом заданной суммы. Современная величина потока платежей PV - это сумма всех его членов (аннуитетов), уменьшенная (дисконтированная) на величину процентной ставки на конкретный момент времени. Текущая стоимость может быть обычного аннуитета или авансового n-периодного аннуитета
где PV - представляет собой сумму я членов геометрической прогрессии со знаменателем 1/1+i и первым членом PMT/1+c
Отсюда, пользуясь известной формулой суммы членов геометрической прогрессии, получим уравнение:
Где1 – (1+i) n / i= F 5 - пятая функция сложного процента, текущая стоимость " обычного аннуитета.
Авансовый аннуитет построен таким образом, что первый платеж РМТ 1 в потоке доходов производится немедленно, а последующие платежи - через равные промежутки времени. Так как РМТ 1 производится в начальный момент времени, дисконтировать его не нужно. Последующий же я - 1 платеж и другие дисконтируются с учетом того, что k-й платеж производится через k - 1 периодов от начального момента.
В данном случае сумма стоимости всех n-платежей - это
геометрическая прогрессия со знаменателем 1/1+i и первым членом PMT.
Тогда текущая стоимость авансового аннуитета будет равна:
Если РМТ = 1, то получим выражение для фактора текущей стоимости авансового аннуитета F " 5:
Функции F 5 и F " 5 имеют особое значение в статистических расчетах, в оценке инвестиционных проектов, имущества, приносящего доход.
Шестая функция сложного процента (обратная к 5-й) в практике экономико-финансовых вычислений имеет название ипотечная постоянная, или размер платежей для покрытия долга. По известной текущей стоимости (размеру кредита) определяется размер платежей:
Для PV = 1 получим значение взноса на амортизацию денежной единицы - это и есть шестая функция сложного процента - F 6 (ипотечная постоянная).
Для обычных взносов (рента постнумерандо) шестая функция имеет вид:
Для авансовых взносов (рента пренумерандо) шестая функция имеет вид:
Каждый равновеликий взнос РМТ включает сумму процентных денег I nt и уплату первоначальной суммы PRN - суммы основного долга: РМТ=PRN +I nt
Нужно подчеркнуть, что ипотечная постоянная функция F 6 связана с функцией F 3 следующим образом: F 6 =F 3 +i т.е. ипотечная постоянная - это взнос на амортизацию капитала, равный сумме фактора фонда возмещения F 3 и ставки процента на капитал i.
Равномерно-аннуитетный метод возврата основных средств (метод Инвуда). Платежи РМТ идут в конце периода равными долями с увеличивающимися размерами PRN возврата основной суммы долга и с уменьшающимися начислениями процентов i - доходов.
Равномерно-прямолинейный метод (метод Ринга). Чистый операционный доход равномерно снижается при постоянной норме возврата основного долга PRN, а доход I nt равномерно уменьшается. В отличие от метода Ринга метод Инвуда основан на том, что ипотечная постоянная равна сумме фактора фонда возмещения F 3 и ставки капитализации i.
Шестая функция сложного процента широко применяется в экономическом обосновании лизинговых операций.
Теория стоимости денег во времени
По теории стоимости денег во времени одна денежная единица сегодня стоит дороже, чем полученная в будущем.
Весь период до появления будущих доходов денежная единица приносит прибыль или новую стоимость. Сумма денег приписываемая к определенному моменту времени называется денежными потоками. Основной операцией позволяющей сопоставить разновременные деньги являются операции накопления и дисконтирования.
Накопление – это процесс определения будущей стоимости.
Дисконтирование – это процесс приведения денежных поступлений от инвестиций к их текущей стоимости.
На этих двух операциях строится весь финансовый анализ, так как денежная единица рассматривается как капитал.
Задачи накопления наиболее наглядно показаны примерами из области кредитных отношений, при этом используется формула начисления сложного процента.
Одним из основных критериев является процентная ставка (i ) – это отношение чистого дохода к вложенному капиталу. В случае операции накопления – эта ставка называется ставкой дохода на капитал. При дисконтировании называется ставкой дисконта или ставкой дисконтирования.
Суммы денег, получаемые (отдаваемые) регулярно (ежемесячно, ежеквартально, ежегодно) называются аннуитетом - они бывают простые и авансовые, в зависимости от того, в конце или в начале периода они выплачиваются.
Риск – это неопределенность, связанная с инвестициями, т. е. вероятность того, что прогнозируемые доходы от инвестиций окажутся больше или меньше предполагаемых величин.
Финансовые расчеты могут основываться на простом и сложном проценте.
Простой процент – приращение дохода на вложенную сумму денег по единой процентной ставке в течение всего срока.
Сложный процент – приращение дохода на вложенную сумму денег по сумме остатка предыдущего периода времени в течение срока инвестиций или кредита.
Расчет простого процента:
Расчет сложного процента:
FV = PV × (1+ i ) n (2)
PV – текущая стоимость, руб (у.е.);
FV – будущая стоимость, руб (у.е.);
n – период (срок) вклада, лет (мес.).
Таблица 1 - Получение простого и сложного процента
|
Операции | |||
|
Получен процент | |||
|
Остаток на конец года | |||
|
Получен процент | |||
|
Остаток на конец года | |||
|
Получен процент | |||
|
Остаток на конец года | |||
|
Получен процент | |||
|
Остаток на конец года | |||
|
Получен процент | |||
|
Остаток на конец года | |||
Разница в расчетах по простому и сложному проценту заключается в том, что при простом проценте ставка начисляется каждый раз на первоначально – вложенный капитал, при сложном проценте каждое последующие начисление ставки осуществляется в предшествующий период суммы, т. е. идет начисления процента на процент.
Правило 72-х :
Применяется для примерного расчета количества лет, необходимых для увеличения денежной суммы в 2 раза:
n =72 / i (3)
Выделяют шесть функций сложного процента:
Накопленная сумма денежной единицы
Текущая стоимость единицы (реверсии)
Накопление денежной единицы за период
Фонд возмещения
Взнос на амортизацию единицы
Текущая стоимость аннуитета (платежа)
Теперь рассмотрим каждую функцию по отдельности.
Накопленная сумма денежной единицы
Экономический смысл – показывает, какая сумма будет накоплена на счете к концу определенного периода при заданной ставке дохода, если сегодня положить на счет одну денежную единицу.
При начислении процентов 1 раз в год:
FV = PV × (1+ i ) n (4)
При начислении процентов чаще, чем 1 раз в год:
FV = PV × (1+ i / k ) n × k (5)
i – ставка дисконта, %
n – период (срок) вклада, лет (месяц)
k – число начислений процентов в год
(1+ i ) n – фактор накопленной суммы единицы при ежегодном начислении процентов
(1+i/k) n * k – фактор накопленной суммы денежной единицы при начислении процентов чаще, чем раз в 1 год.
Задача 1: Определить какая сумма будет накоплена на счете к концу 28,5 года, если сегодня положить на счет, приносящий 26 % годовых, 4450 руб. Начисление процентов осуществляется в конце каждого полугодия.
FV = 4 450×(1+0,26/2) 28,5×2 = 4 718 796,94 руб.
Текущая стоимость единицы
Экономический смысл – показывает, какова при заданной ставке дисконта текущая стоимость одной денежной единицы, получаемой в конце определенного периода времени.
Определяется по формулам:
(6)
(7)
1/(1+ i ) n – фактор текущей стоимости единицы при ежегодном начислении процентов;
1/(1+ i / k ) n × k – фактор текущей стоимости единицы при более частом, чем 1 раз в год начислении процентов.
Задача 2: Определить текущую стоимость 3100 руб., которые будут получены в конце 9-го года при ставке дисконта 9%. Начисление процентов каждый день.
PV= 3 100×1/(1+0,09/365) 9×365 = 1 379,20 руб
Накопление денежной единицы за период
Экономический смысл – показывает, какая сумма будет накоплена на счете при заданной ставке, если регулярно в течение определенного срока откладывать на счет одну денежную единицу.
Будущая стоимость обычного аннуитета:
(8)
(9)
Будущая стоимость авансового аннуитета:
(10)
(11)
PMT – равновеликие периодические платежи, руб;
((1+ i ) n - 1) / i – фактор накопления денежной единицы за период
Задача 3: Определить сумму, которая будет накоплена на счете, приносящем 34 % годовых к концу 49 месяца, если ежемесячно откладывать на счет 6300 руб. платежи осуществляются: а) в начале месяца; б) в конце месяца.
а)
б)
Формирование фонда возмещения
Экономический смысл – показывает, сколько нужно откладывать на счет регулярно в течение определенного времени, чтобы при заданной ставке дохода иметь на счете к концу этого срока одну денежную единицу.
Определяется по формулам:
(12)
(13)
i / (1+ i ) n -1 – фактор фонда возмещения.
Задача 4: Определить, какими должны быть платежи, чтобы к концу 9-го года иметь на счете, приносящем 8% годовых, 78 000 руб. платежи осуществляются: а) в конце каждого полугодия; б) в конце каждого квартала.
а)
б)
Взнос на амортизацию
Экономический смысл – показывает, какими должны быть аннуитетные платежи в счет погашения кредита в одну денежную единицу, выданного при заданной процентной ставке на определенный срок.
Определяется по формулам:
(14)
(15)
–фактор
взноса на амортизацию;
Задача 5: Кредит в размере 345 000 рублей выдан на 29 лет под 18% годовых. Определить размер аннуитетных платежей. Погашение кредита осуществляется в конце каждого месяца.
Текущая стоимость аннуитета
Экономический смысл – показывает, какова при заданной ставке дисконта текущая стоимость серии платежей в одну денежную единицу, поступающих в течение определенного срока.
Определяется по формулам:
1. Обычный аннуитет:
(16)
(17)
2. Авансовый аннуитет:
(18)
(19)
PV - настоящий платеж, руб;
PMT - регулярный периодический платеж, руб;
i – ставка дисконта, %;
k - количество начислений в год (период);
n – период (срок) вклада, лет (месяц);
–фактор
текущей стоимости обычного аннуитета;
–фактор
текущей стоимости авансового аннуитета
Задача 6: Договор аренды квартиры составлен на 24 месяца. Определить текущую стоимость арендных платежей при 8% ставке дисконтирования. Арендная плата 2550 руб / мес. При условиях:
а) Арендная плата выплачивается в начале квартала;
б) Арендная плата выплачивается в конце каждого квартала.
Решение:
а)
б)
