Математическая экономика. Сборник задач по курсу математическая экономика. Другие формулы макроэкономики

Основная цель экономики - обеспечение общества предметами потребления. В экономике действуют устойчивые количественные закономерности, поэтому возможно их формализованное математическое описание.

Объект изучения учебной дисциплины - экономика и ее подразделения.

Предмет - математические модели экономических объектов.

Метод - системный анализ экономики как сложной динамической системы.

Модель - это объект, который замещает оригинал, отражает наиболее важные для данного исследования черты и свойства оригинала.

Модель, представляющая собой совокупность математических соотношений, называется математической .

ЭЛЕМЕНТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Система - это совокупность взаимосвязанных элементов, совместно реализующих определенные цели.

Надсистема - окружающая систему среда, в которой функционирует система.

Подсистема - подмножество элементов, реализующих цели, согласованные с целями системы (подсистема может осуществлять часть целей системы).

Экономическая система: размешает ресурсы, производит продукцию, распределяет предметы потребления и осуществляет накопление.

Надсистема национальной экономики - природа, мировая экономика и общество.

Главные подсистемы экономики - производственная и финансово-кредитная.

ОСОБЕННОСТИ ЭКОНОМИКИ КАК ОБЪЕКТА МОДЕЛИРОВАНИЯ

В экономике невозможны модели подобные техническим, т.к. нельзя построить точную копию, экономики и на этой копии отрабатывать варианты экономической политики.

В экономике ограничены возможности экспериментов, поскольку все ее части жестко взаимосвязаны друг с другом.

Прямые эксперименты с экономикой имеют как положительную, так и отрицательную стороны.

Положительная сторона - сразу видны краткосрочные результаты проводимой экономической политики.

Отрицательная сторона - невозможно напрямую предвидеть средне- и долгосрочные последствия принимаемых решений,.

Таким образом, для выработки правильных экономических решений необходим учет как всего прошлого опыта, так и результатов, полученных в расчетах по математическим моделям, адекватным данной экономической ситуации.

Разработка математических моделей трудоемка, но весьма перспективна. Так, модель Кейнса, отражающая возможности рыночной экономики адаптироваться к возмущающим воздействиям, была построена под впечатлением кризиса 1929-1933 гг. Однако применение этой модели для выхода из послевоенного кризиса в Германии и Японии было весьма успешным и получило название «экономического чуда».

РАССМОТРИМ СТРУКТУРУ ЭКОНОМИКИ КАК ОБЪЕКТА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Экономика - сложная система, состоящая из производственных и непроизводственных (финансовых) ячеек (хозяйственных единиц), находящихся в производственно - технологических и (или) организационно-хозяйственных связях друг с другом.

По отношению к экономической системе каждый член общества выступает в двоякой роли: с одной стороны, как потребитель, а с другой - как работник.

Кроме рабочей силы, материальными ресурсами являются природные ресурсы и средства производства

Все отрасли материального производства создают валовой внутренний продукт (ВВП).

В натурально-вещественной форме ВВП – это средства труда и предметы потребления,

В стоимостной форме - фонд возмещения выбытия основных фондов (амортизационный фонд) и вновь созданную стоимость (национальный доход).

В процессе создания ВВП производится и вновь потребляется промежуточный продукт.

По материально-вещественному составу промежуточный продукт - это предметы труда, использованные для текущего производственного потребления, их стоимость целиком переходит в стоимость средств труда или предметов потребления, входящих в ВВП.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИКИ В ЭКОНОМИКЕ ПОЗВОЛЯЕТ:

1. выделить и формально описать наиболее важные связи экономических переменных и объектов;

2. получить новые знание об объекте;

3. оценить вид зависимостей факторов и параметры переменных, сделать выводы.

ЧТО ТАКОЕ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ?

Это упрощенное формальное описание экономических явлений.

Математическая модель экономического объекта это его отображение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, графиков.

Модели позволяют выявить особенности функционирования экономического объекта и на этой основе предсказать поведение объекта в будущем при изменении параметров.

ЭТАПЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ:

1. формулируются предмет и цели исследования;

2. в экономической системе выделяются структурные или функциональные элементы, соответствующие данной цели;

3. выявляются наиболее важные качественные характеристики этих элементов;

4. словесно, качественно описываются взаимосвязи между элементами;

5. вводятся символические обозначения для характеристик экономического объекта и формулируются взаимосвязи между ними;

6. проводятся расчеты по модели и анализируются полученные результаты;

СТРУКТУРА МОДЕЛИ:

Для построения модели нужно определить экзогенные и эндогенные переменные и параметры.

Экзогенные переменные – задаются вне модели, т.е. известны к моменту расчетов.

Эндогенные переменные – определяются в ходе расчетов по модели.

Параметры – коэффициенты уравнений.

КЛАССЫ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Экономико-математические модели делятся на следующие классы:

1. По уровню обобщения

a. Макроэкономические – описывают экономику как единое целое, связывают укрупненные показатели: ВВП, потребление, инвестиции, занятость. Макромодели отражают функционирование и развитие всей экономической системы или ее достаточно крупных подсистем. В макромоделях хозяйственные ячейки считаются неделимыми.

b. Микроэкономические – описывают взаимодействие структурных и функциональных составляющих экономики. Микромодели - функционирование хозяйственных единиц и их объединений. В микромоделях хозяйственная единица может рассматриваться как сложная система.

2. По уровню абстракции

a. Теоретические – позволяют изучить общие свойства экономики путем вывода из формальных предпосылок. Используются для изучения общих свойств экономики и ее элементов (модели спроса и предложения)

b. Прикладные – дают возможность оценить параметры функционирования конкретного экономического объекта и выработать рекомендации по принятию решений. Используются для оценки параметров конкретных экономических объектов. Сюда относятся эконометрические модели, применяющие методы математической статистики.

3. Модели равновесные и роста

a. Равновесные – дескриптивные (описательные) модели. Они описывают такое сотояние экономики, когда результирующая всех сил, стремящихся вывести экономику из этого состояния равна нулю. Пример - модель Леонтьева (затраты-выпуск),

b. Модели роста – предназначены для определения того как должна развиваться экономика при определенных критериях. Пример – Модель Солоу, Самуэльсона-Хикса

4. По учету фактора времени.

a. Статические – описывают состояние объекта в конкретный момент или период времени.

b. Динамические – включают взаимосвязи переменных во времени. Обычно используют аппарат дифференциальных уравнения.

5. По учету фактора случайности.

a. Детерминированные – предполагают жесткие функциональные связи между переменными модели.

b. Стохастические – допускают случайные воздействия на показатели и используют теорию вероятностей и математическую статистику.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое экономико-математическое моделирование? Его место в экономическом анализе и прогнозировании.

2. Этапы моделирования. Факторы модели.

3. Классы экономико-математических моделей .

Жанр: Экономика

Издательство: «ЮНИТИ-ДАНА»

Формат: DjVu

Качество: Отсканированные страницы

Количество страниц: 399

Описание: В основу книги положен многолетний опыт кафедры прикладной математики Государственного университета управлении по чтению курсов лекций, посвященных применению математических методов и моделей для исследования экономики: «Математическая экономика» (Менеджмент - 061100), «Математические методы и модели анализа экономики» (Информационные системы в управлении - 071900), «Математические методы исследования экономики» (Национальная экономика - 060700), «Динамика экономических систем» (Национальная экономика - 060700) и др.
Учебник подготовлен в соответствии с программами указанных дисциплин, он может быть использован как математическая поддержка курсов «Макроэкономика», «Микроэкономика», будет также полезен аспирантам, слушателям факультетов магистерской подготовки и послевузовского экономического образования.
Книга подготовлена с использованием отечественной и зарубежной литературы по математической экономике. По сравнению с первым изданием учебник существенно дополнен и переработан: в нем гораздо подробнее отражена экономическая динамика, представлены модели прогнозирования валютных кризисов и финансовых рисков, а также приведены новые результаты, полученные автором с помощью трехсекторной модели экономики.
Цмь книги - дать возможность читателю взглянуть на экономику глазами исследователя, пытающегося понять и формализовать мотивы поведения потребителей, производителей, финансистов и государства как организации, представляющей все общество и потому пытающейся примирить, направить в созидательное русло различные интересы субъектов экономики.
«Математическая экономика» ориентирована на системное изучение экономики с помощью математических моделей макро- и микроуровней, а также в разрезе важнейших функциональных подсистем экономики (производственной и финансово-кредитной).
Книга состоит из двенадцати глав, сгруппированных в три част и: «Математические модели макроэкономики», «Математические модели микроэкономики», «Математические модели анализа, прогнозирования и регулирования экономики». Каждая глава снабжена примерами, вопросами и задачами. Параграфы, примеры, таблицы и рисунки имеют двухступенчатую нумерацию (номер главы и номер параграфа (примера, таблицы, рисунка) в главе, а формулы - трехступенчатую (добавляется номер формулы в параграфе).
Для удобства читателей начало и конец выводов, доказательств и рассуждений, приводящих к определенным результатам, отмечены пустым (не зачерненным) и залитым квадратиками (□ и ■), а начало и конец примеров - пустым и залитым кружками (О и ) соответственно.
Обозначения максимального приближены к сложившимся в математический экономике и описываются в тексте. Как правило, большими буквами обозначаются абсолютные показатели и матрицы, малыми буквами - относительные показатели, векторы, элементы векторов и матриц с соответствующими индексами.
Автор выражает искреннюю признательность рецензентам - зав. кафедрой экономики производственных предприятий Российской экономической академии им. Г. В. Плеханова, д-ру экон. наук, проф. О.И. Волкову, зав. кафедрой исследования операций Московского государственного института электроники и математики (Технический университет), д-ру физмат, наук, проф. В А. Каштанову, а также сотрудникам кафедры прикладной математики и студентам ГУУ, принявшим участие в компьютерном наборе рукописи, - Л.В. Сынковой, Н Балайкиной, О. Садовниковой. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МАКРОЭКОНОМИКИ
Глава 1. Статические модели макроэкономики
1.1. Макроэкономические производственные функции
1.2. Модель Леонтьева
Глава 2. Линейные динамические модели макроэкономики с дискретным временем
2.1. Экономика как динамическая система
Динамическая модель Кейнса
Модель Самуэльсона - Хикса
2.2. Динамическая модель Леонтьева
2.3. Модель Неймана
Глава 3. Линейные динамические модели макроэкономики с непрерывным временем
3.1. Математические методы исследования экономических динамических систем
3.1.1. Линейный динамический элемент
3.1.2. Мультипликатор
3.1.3. Акселератор
3.1.4. Инерционное звено
3.1.5. Экономика в форме динамической модели Кейнса как инерционное звено
3.1.6. Передаточная функция
3.1. 7. Колебательное звено
3.1.8. Экономика в форме модели Самуэльсона-Хикса как линейное динамическое звено второго порядка
3.1.9. Характеристики динамического звена
3.2. Анализ и синтез динамических систем, переходные процессы в них
3.2.1. Передаточная функция последовательного соединения
3.2.2. Передаточная функция параллельного соединения
3.2.3. Передаточная функция замкнутого контура с обратной связью
3.2.4. Введение мультипликатора в контур обратной связи с динамической моделью Кейнса
3.2.5. Введение акселератора в контур положительной обратной связи с динамической моделью Кейнса
3.2.5. Устойчивость линейных динамических систем
3.2. 7. Условия устойчивости экономики в форме модели Самуэльсона-Хикса
3.3. Линейные многосвязные динамические системы
Экономика в форме динамического межотраслевого баланса как многосвязная линейная динамическая система
3.4. Нелинейные динамические системы. Конъюнктурные циклы в экономике
3.4.1. Нелинейная динамическая модель Кейнса
3.4.2. Конъюнктурные циклы в экономике
3.5. Оптимальное управление динамическими системами
3.5.1. Принцип максимума Понтрягина
3.5.2. Необходимые условия оптимальности (принцип максимума)
Глава 4. Малосекторные нелинейные динамические модели макроэкономики
4.1. Модель Солоу
4.1.1. Переходный режим в модели Солоу
4.1.2. Золотое правило накопления
4.1.3. Выигрыш, в текущем потреблении - проигрыш, в ближайшей перспективе
4.2. Учет запаздывания при вводе фондов
4.3. Односекторная модель оптимального экономического роста
4.4. Трехсекторная модель экономики
4.5. Производственные функции секторов экономики РФ
4.6. Моделирование стагнации и сбалансированного экономического роста
4.6.1. Стагнация
4.6.2. Сбалансированный экономический рост
4.7. Исследование сбалансированных стационарных состояний
4.7.1. Золотое правило распределения труда и инвестиций между секторами
4.7.3. Альтернативный способ определения технологического оптимума
ЧАСТЬ II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОЭКОНОМИКИ
Глава 5. Модели поведения потребителей
5.1. Предпочтения потребителя и его функция полезности
Модель поведения потребителя
5.2. Уравнение Слуцкого
5.2.1. Изменение спроса при увеличении цены с компенсацией
5.2.2. Изменение спроса при изменении дохода
Глава 6. Модели поведения производителей
6.1. Модель фирмы
6.1. 1 Реакция производителя на изменение цены выпуска
61.2. Реакция производителя на изменение цен ресурсов
6.2. Поведение фирм на конкурентных рынках
6.2.1. Равновесие Курно
Глава 7. Модели взаимодействия потребителей и производителей
7.1. Модели установления равновесной цены
7.1.1. Паутинообразная модель
7.1. 2. Модель Эванса
7.2. Модель Вальраса
ЧАСТЬ III. МОДЕЛИ АНАЛИЗА, ПРОГНОЗИРОВАНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ
Глава 8. Математические модели рыночной экономики
8.1. Классическая модель рыночной экономики
8.1.1. Рынок рабочей силы
8.1.2. Рынок денег
8.2. Модель Кейнса
8.3. Математические модели финансового рынка
8.3.1. Финансовые операции
8.3.2. Финансовый риск
8.3.3. Равновесие на рынке ценных бумаг
8.4. Прогнозирование валютных кризисов и финансовых рисков
8.4.1. Модель прогнозирования финансовых рисков
8.4.2. Прогнозирование валютных кризисов
Глава 9. Моделирование инфляции
9.1. Сущность инфляции
9.2. Исследование инфляции с помощью трехсекторной модели экономики
9.2.1. Первый полувиток инфляции
9.2.2. Второй полувиток инфляции
9.3. Условия возникновения и самоподдержания инфляции
9.4. Влияние инфляции на производство
Глава 10. Математические модели государственного регулирования экономики
10.1. Роль и функции налогов в обществе
10.2. Налоги в трехсекторной экономике
10.3. Влияние повышения налогов на производство и потребление
Глава 11. Моделирование внешней торговли
11.1. Модель открытой трехсекторной экономики
11.2. Условия возможности и целесообразности вхождения национальной экономики в мировой рынок
11.2.1. Вхождение в мировой рынок при фиксации долей ресурсов, поступающих в фондосоздающий сектор
11.3. Золотое правило внешней торговли
11.3.1. Золотое правило распределения ресурсов
11.4. Влияние внешней торговли на национальную экономику
11.4.1. Перераспределение ресурсов между материальным и потребительским секторами
11.4.2. Перераспределение ресурсов между материальным и фондосоздающим секторами
Глава 12. Моделирование цели общественного развития
12.1. Математическая теория общественного выбора
12.2. Модели сотрудничества и конкуренции
12.2.1. Кооперативные игры
12.2.2. Сотрудничество и конкуренция в трехсекторной экономике
12.3. Моделирование научно-технического прогресса
12.3.1. Эволюторные модели научно-технического прогресса
12.3.2. Модель смены технологического уклада
12.3.3. Модель перевооружения трехсекторной экономики
Приложение 1. Свойства неразложимой матрицы прямых затрат
Приложение 2. Линейные дифференциальные уравнения и системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Приложение 3. Исследование выражений, определяющих поведение трехсекторной экономики в стационарном состоянии
Приложение 4. Оптимальный сбалансированный рост в трехсекторной экономике
Приложение 5. Условия Куна-Таккера
Литература

Математическая экономика - теоретическая и прикладная наука, предметом которой являются математические модели экономических объектов и процессов и методы их исследования.

Возникновение математических наук, несомненно, было связано с потребностями экономики. Требовалось, например, узнать, сколько земли засеять зерном, чтобы прокормить семью, как измерить засеянное поле и оценить будущий урожай.

С развитием производства и его усложнением росли и потребности экономики в математических расчетах. Современное производство - это строго сбалансированная работа многих предприятий, которая обеспечивается решением огромного числа математических задач. Этой работой занята огромная армия экономистов, плановиков и бухгалтеров, а расчеты ведут тысячи электронных вычислительных машин. Среди таких задач и проведение расчетов планов производства, и определение наиболее выгодного размещения строительных объектов, и выбор наиболее экономных маршрутов перевозок и т.д. Математическая экономика занимается также формализованным математическим описанием уже известных экономических явлений, проверкой различных гипотез на экономических системах, описанных некоторыми математическими соотношениями.

Рассмотрим два несложных примера, демонстрирующих применение математических моделей в этих целях.

Пусть спрос S и предложение D товара зависят от цены Р. Для равновесия цена на рынке должна быть такой (Р *), чтобы товар был распродан и не было его излишков:

D(P *) = S(P *). (1)

Но если, например, предложение запаздывает на один временной интервал, то, как показано на рис. 1 (где изображены кривые спроса и предложения как функций цены), при цене Р 0 спрос S 0 превышает предложение D 0 . И так как предложение меньше спроса, то цена возрастает и товар раскупается по цене Р 1 > Р 0 . При такой цене предложение возрастает до величины S 1 ; теперь уже предложение выше спроса и производители вынуждены распродать товар по цене Р 2 < Р 1 , после чего предложение падает и процесс повторяется. Получилась простая модель экономического цикла. Постепенно рынок приходит в равновесие: спрос, цена и предложение устанавливаются на уровне S * , P * , D * .

Рис. 1 соответствует решение уравнения (1) методом последовательных приближений, который определяет корень этого уравнения, т.е. равновесные цену P * и соответствующее значение спроса и предложения S * , D * .

Рассмотрим более сложный пример - «золотое правило» накопления. Величина выпуска предприятием (в рублях) конечной продукции Y t в момент времени t определяется затратами труда L t , производительность которого зависит от отношения степени насыщенности его оборудованием K t к затратам труда. Математическая запись этого такова:

Y t = f(K t /L t)L t . (2)

Конечная продукция распределяется на потребление С t , и накопление оборудования. Если обозначить долю выпуска продукции, идущую на накопление, через s, то

C t = (l - s)Y t . (3)

В экономике s называют нормой накопления. Ее значение заключено между нулем и единицей.

За единицу времени объем оборудования изменяется на величину накопления

K t+1 - K t = sY t . (4)

При сбалансированном росте экономики все ее составляющие растут с одинаковым темпом роста λ. По формуле сложных процентов получаем:

Y t = (1+λ) t Y, L t = (1+λ) t L, K t = (1+λ) t K, C t = (1+λ) t C.

Если ввести величины, характеризующие потребление с = C/L, объем оборудования R = K/L и выпуск продукции у = Y/L на одного работника, то система соотношений (2)-(4) перейдет в систему

y=f(R), λR=sf(R), c=f(R) - sf(R). (5)

Второе из этих соотношений при заданных темпах роста λ и потреблении s определит фондовооруженность труда R как точку пересечения кривой у = sf(R) и прямой y = λR на рис. 2. Эти линии обязательно пересекутся, так как функция f(R), хотя и монотонно, растет, что означает рост выпуска с ростом вооруженности труда R, однако все более полого, т. е. это вогнутая функция. Последнее обстоятельство отражает тот факт, что пополнительное увеличение оборудования, приходящегося на одного рабочего, из-за роcта его загруженности становится все менее эффективным («закон убывающей полезности»). Различным значениям нормы накопления S отвечает семейство кривых у = sf(R). Длина f(R) - sf(R) отрезка AB, как следует из формулы (5), равна потреблению с. При s = 1 (точка А 0 на рис. 2) потребления совсем нет - вся продукция идет на накопление оборудования. Уменьшим теперь норму накопления s. Тогда потребление с (длина АВ) будет уже ненулевым, хотя темп роста λ экономики (угол наклона прямой ОВ) остается тем же. В точке с ординатой R * , для которой касательная к кривой у = f(R) параллельна прямой у = λR потребление с * максимально. Ей соответствует кривая семейства у = s * f(R) с некоторой нормой накопления s * , называемой «золотой нормой накопления».

Нелегкой проблемой в математической экономике является сопоставление теории и практики: экономические показатели измерять крайне трудно - измеряются они не на лабораторных установках, наблюдения удается проводить крайне редко (вспомните переписи!), проводятся они в разных условиях и содержат массу неточностей. Поэтому здесь трудно использовать опыт измерений, накопленный в других науках, и требуется разработка специальных методов.

Развитие математической экономики вызвало появление многих математических теорий, объединяемых названием «математическое программирование» (о линейном программировании можно прочитать в статье «Геометрия»).

Вопросы применения математических методов в экономике были разработаны в трудах советского математика Л. В. Канторовича, которые были отмечены Ленинской и Нобелевской премиями.

В первую очередь необходимо рассмотреть формулы по экономике, которые касаются спроса и предложения. Уравнение функции спроса можно представить в виде следующей формулы:

y= к*x+b

Сама функция спроса выглядит следующим образом:

QD= к*P+b

Функция предложения:

Qs= к*P+b

Если рассмотреть показатели эластичности, то можно выделить формулы по экономике, определяющие эластичность спроса по цене:

EDP= Δ QD (%) : Δ P (%)

EDP= (Q2 –Q1)/(Q2 + Q1) : (P2 –P1)/(P2 + P1)

Вторая формула представляет собой расчет средней точки, здесь значение P1 – цена продукции до изменения, P2 – цена продукции после изменения, Q1 – спрос до изменения цены, Q2 –спрос после изменения цены.

Формула коэффициента эластичности спроса в общем виде:

EDI= (Q2 –Q1)/ Q1: (Р2 –Р1)/ Р1

Формулы макроэкономики

Формулы по экономике включают в себя формулы по микроэкономике (спрос и предложение, издержки фирмы и др.), а также формулы по макроэкономике. Важной формулой по макро экономике является формула расчета необходимого в обращении количества денег:

КД = ∑ ЦТ – К + СП – ВП / СО

КД - количество денег в обращении,

ЦТ - сумма цен на товары;

К - товары, продаваемые в кредит;

СП - срочные платежи;

ВП - взаимно погашаемые платежи по бартерным сделкам;

СО - годовая скорость оборота денежной единицы.

Для того чтобы определить денежную массу в обращении необходимо воспользоваться следующей формулой:

М = Р * Q / V

Здесь M - денежная масса, которая находится в обращении;

V - скорость обращения денег;

Р - средние цены на продукцию;

Q - количество выпущенной продукции в постоянных ценах.

Уравнение обмена может быть представлено следующим равенством:

M*V = P*Q

Это уравнение отражает, равенство совокупных расходов в денежном выражении и стоимости всех товаров и услуг, которые выпущены в государстве.

Другие формулы макроэкономики

Рассмотрим еще несколько формул по экономике, среди которых важное место занимает формула вычисления реального дохода:

РД = НД / ИПЦ * 100 %

Здесь РД – реальный доход,

НД – номинальный доход,

ИПЦ – показатель индекса потребительских цен.

Формула для вычисления индекса потребительских цен представлена следующим выражением:

ИПЦ = СТТГ / СТБГ

СТТГ – стоимость потребительской корзины в текущем году,

СТБГ – в базовом году.

В соответствии с показателем индексов цен можно определить темп инфляции по соответствующей формуле:

ТИ =(ИПЦ1 – ИПЦ0) / ИПЦ0 * 100 %

В соответствии с темпами инфляции можно выделить несколько видов:

1. Ползучая инфляция с ростом цен до 5 % годовых,

2. Умеренная инфляция до 10 % годовых,

3. Галопирующая инфляция с ростом цен 20-200% годовых,

4. Гиперинфляция с катастрофическим ростом цен более 200 % в год.

Формулы для расчета процентов

Экономические расчеты часто требуют расчета процентов. Формулы по экономике включают расчет, как сложного, так и простого процента. Формула расчета простого процента представлена следующим образом:

С = Р * (1 + in/360)

Здесь P — сумма долга, включая проценты;

С — общая сумма кредита;

n – количество дней;

i — годовой процент в долях.

Формула для вычисления сложного процента выглядит так:

С = Р (1 + in/360)k

K – количество лет.

Формула для расчёта сложного процента, который вычисляется за несколько лет:

С = Р (1+i)k

Формула безработицы, занятости и ВНП

УБ = Число безработных/ЧРС * 100%

Здесь ЧРС – численность рабочей силы.

Формула для вычисления уровня занятости выглядит следующим образом:

УЗ = Число занятых / ЧРС * 100 %

Формула для вычисления валового национального продукта вычисляется так:

ВНП = % + ЗП + Тр + КНал – ЧС + Р + Ам + ДС

Здесь Тр – корпорации,

Кнал – косвенные налоги,

ЧС – чистые субсидии,

Р – рента,

Ам – сумма амортизации,

ДС – доходы от собственности.

Формула расчёта ВНП в соответствии с расходами:

ВНП = ЛПР + ГЗ + ВЧВИ – ЧИ

Расчет выручки, прибыли и издержек

Формулы по экономике при расчете выручки и прибыли:

TR = P*Q

Прибыль = TR — TC

Формула для вычисления средних общих издержек выглядит так:

АС = AFC + AVC или

АС = TC / Q

ТС = TFC + TVC

Формула для вычисления средних постоянных издержек.

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Владимирский государственный университет

А.А. ГАЛКИН

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

ЭКОНОМИКА

Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебника

для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности «Прикладная информатика (в экономике)»

Владимир 2006

УДК 330.45: 519.85 ББК 65 В 631

Рецензенты:

Доктор технических наук, профессор зав. кафедрой автоматизированных информационных и управляющих систем Тульского государственного университета

В.А. Фатуев

Доктор технических наук, профессор зав. кафедрой информационных систем

Тверского государственного технического университета

Б.В. Палюх

Доктор экономических наук, профессор зав. кафедрой экономики и управления на предприятиях

Владимирского государственного университета

В.Ф. Архипова

Доктор физико-математических наук, профессор зав. кафедрой алгебры и геометрии Владимирского государственного университета

Н.И. Дубровин

Печатается по решению редакционно-издательского совета Владимирского государственного университета

Галкин, А. А.

Г16 Математическая экономика: учебник / А. А. Галкин; Владим. гос. ун-т. – Владимир: Изд-во Владим. гос. ун-та, 2006. – 304 с. – ISBN 5-89368-624-1.

Рассматривается широкий круг типовых оптимизационных задач, возникающих в экономике, и алгоритмов, позволяющих решать эти задачи. Даны методика формализации указанных задач и их классификация. Представлены методы решения детерминированных задач статической и динамической оптимизации. По каждому типу задач и алгоритмов приведены примеры, демонстрирующие технику практического использования этих алгоритмов, а также набор задач для самостоятельного решения.

Предназначен для студентов вузов, обучающихся по специальности 080801 – прикладная информатика (в экономике), а также студентов, магистрантов и аспирантов смежных специальностей очного, заочного обучения, лиц, получающих второе высшее образование, а также специалистов-практиков.

Табл. 80. Ил. 60. Библиогр.: 39 назв.

§ 6.8. Задача об оптимальном поэтапном распределении выделенных средств между предприятиями в течение

§ 8.6. Задача об управлении линейной динамической системой

с минимизацией обобщенного квадратичного интегрального

§ 9.2. Управление линейной дискретной системой произвольного порядка с оптимизацией суммарного обобщенного

Список принятых сокращений

ЦФ – целевая функция ОДР – область допустимых решений

ЛП – линейное программирование ЗЛП – задача ЛП КЗЛП – каноническая ЗЛП

ТЗ – транспортная задача ПО – пункты отправления, ПН – пункты назначения в ТЗ

МСЗУ – метод северо-западного угла МЗС – метод золотого сечения ДП – динамическое программирование ВИ – вариационное исчисление ПМ – принцип максимума; ДУ – дифференциальное уравнение

ПРЕДИСЛОВИЕ

В подготовке студентов различных технических и экономических специальностей и направлений значительное место занимает изучение типичных для соответствующей предметной области математических моделей и методов, позволяющих, оперируя этими моделями, объяснять поведение рассматриваемых систем, оценивать их характеристики, обоснованно принимать конструктивные, технологические, экономические, организационные и другие решения.

Освоение этих моделей и методов основывается на фундаменте, заложенном в довольно универсальной классической дисциплине, обычно называемой «Высшая математика». Математический аппарат, позволяющий решать типовые и наиболее важные для соответствующей сферы приложений задачи, изучается в специальных дисциплинах.

Для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная информатика (в экономике)», одной из таких дисциплин является «Математическая экономика». В соответствии с действующим государственным образовательным стандартом (ГОС) в программу этой дисциплины включен большой объем учебного материала, связанного с проведением математических расчетов в сфере экономики. Этот материал делится на две части.

В первой части изучаются задачи финансового анализа, которые в ГОС предшествующего поколения рассматривались в специальной дисциплине – «Финансовая математика».

Вторая часть программы содержит с точки зрения математики более сложные задачи и методы, связанные с отысканием наилучших, т.е. оптимальных, решений различных задач, встречающихся в области прикладной экономики. Ранее студенты осваивали этот материал при изучении дисциплины «Теория оптимального управления в экономических системах».

Учебная программа дисциплины «Математическая экономика» содержит широкий спектр довольно сложных для изучения вопросов. Поскольку объем времени, выделенного для аудиторных занятий по этой дисциплине, довольно небольшой, особое значение приобретает самостоятельная работа студентов с учебной литературой.

Следует отметить, что за последние 30 лет в нашей стране было издано много различных монографий, учебников и учебных пособий по математическим методам, применяемым в экономике. Однако при работе с ними у студентов возникают серьезные затруднения. Во-первых, многие из этих книг сейчас практически недоступны для студентов, так как либо отсутствуют в библиотеках вузов, либо имеются в единичных экземплярах. Во-вторых, для изучения всего предусмотренного программой материала одного учебника недостаточно, а в разных книгах, как правило, используются разный стиль изложения, разные обозначения. Нередко уровень изложения материала недоступен «реальному» студенту. В-третьих, при организации учебного процесса по дисциплинам математического характера принципиально важное значение имеет приобретение студентами практических навыков в использовании изучаемых методов, а для этого необходимы задачи для самостоятельного решения. Большинство учебных пособий по рассматриваемой тематике содержит примеры и задачи для иллюстрации техники применения излагаемых методов, но их недостаточно для того, чтобы выдать всем студентам обычной учебной группы индивидуальные задания.

Предлагаемый учебник предназначен для изучения второй, более сложной части дисциплины «Математическая экономика», в которой рассматриваются оптимизационные задачи, возникающие в экономике, и алгоритмы их решения. Он подготовлен с учетом изложенных выше обстоятельств.

В книге приведены формулировки типовых оптимизационных задач, возникающих в экономической сфере, осуществлена их формализация, изложена сущность методов и алгоритмов, позволяющих выполнять решение с иллюстрацией техники этих алгоритмов на конкретных примерах. Кроме того, по каждой теме представлен достаточно большой набор задач для самостоятельного решения, позволяющий каждому студенту дать свое индивидуальное задание.

Из огромного разнообразия возможных оптимизационных задач и предлагаемых современной наукой методов для включения в этот учебник выбраны детерминированные задачи и алгоритмы статической и динамической оптимизации. Из-за ограниченного объема книги задачи оптимизации с неопределенностями, в том числе вероятностно-статистические, интервальные, нечеткие и другие задачи и модели, а также задачи векторной оптимизации, не рассматриваются.

Книга включает девять глав. В первой даны примеры оптимизационных задач экономического характера, на которых продемонстрирована методика формализации, т.е. получения математической модели решаемой задачи, приведена классификация оптимизационных задач.

Главы вторая, третья и четвертая посвящены линейным задачам статической оптимизации. В второй главе изложены задачи и методы линейного программирования, отдельно в третьей – рассмотрены транспортные задачи, а в четвертой – оптимизационные задачи, которые интерпретируются на графах. Для каждой задачи представлен наиболее эффективный метод (алгоритм) решения и дан пример, демонстрирующий технику практического использования этого алгоритма. В пятой главе изложены аналитические и численные методы решения нелинейных задач статической оптимизации при отсутствии и наличии ограничений.

Динамические задачи оптимизации, обычно называемые задачами оптимального управления, рассмотрены в главах с шестой по девятую. В шестой главе дано общее представление о динамических системах непрерывного и дискретного типа, сформулирована классическая задача об оптимальном управлении и динамическом программировании (ДП), изложена сущность ДП и на различных примерах экономического характера показана техника его практического применения. В седьмой главе изложены основы вариационного исчисления, в восьмой – принцип максимума для непрерывных систем, а в девятой – для дискретных систем. В каждой из этих глав большое внимание уделено анализу различных частных задач и примеров, иллюстрирующих методику практического использования расчетных соотношений.

В конце каждой из глав с первой по шестую приведены задачи для самостоятельного решения. В конце девятой главы даны задачи для самостоятельного решения, посвященные методам оптимального динамического управления.

Особой проблемой, для решения которой автору в процессе работы над книгой потребовались значительные усилия, явилось то, что некоторые методы и алгоритмы в оригинальной литературе изложены так, что студентам нематематического, а информационно-экономического профиля разобраться в них довольно трудно. Поэтому необходимо было найти возможности для адаптации соответствующего теоретического материала к реальному уровню подготовки студентов, на которых ориентирована книга.

Кроме того, автор стремился при изложении большого количества существенно отличающихся задач и методов в максимальной степени выдержать единый стиль, характер, систему изложения материала. Хотелось бы надеяться, что это в определенной мере удалось осуществить.

При подготовке учебника был использован материал лекций и практических занятий по дисциплинам «Методы оптимизации», «Теория управления», «Теория оптимального управления в экономических системах» и «Математическая экономика», которые автор преподавал в течение 25 лет во Владимирском государственном университете (ВлГУ). На этих занятиях большая часть теоретического материала и задач для самостоятельного решения прошла апробацию. Электронная версия учебника включена в информационные ресурсы электронной библиотеки ВлГУ.

Несмотря на то что учебник подготовлен для студентов специальности «Прикладная информатика (в экономике)», несомненно, он может оказаться полезен студентам, магистрантам, аспирантам и специалистам других профилей, поскольку оптимизационные задачи возникают всюду. Не случайно говорят, что «в природе нет ничего, в чем нельзя было бы усмотреть смысл какого-либо максимума или минимума».

Он будет благодарен всем тем, кто воспользуется книгой и сообщит свое мнение о ее содержании, возможно, о недостатках или неточностях. Для этого можно воспользоваться e_mail: [email protected] .

Работа над книгой с некоторыми перерывами велась около 10 лет, но она могла затянуться на неопределенный срок, если бы не оперативная и высококвалифицированная помощь в работе над рукописью, которую оказала аспирант И.В. Лагерь. За это автор выражает ей особую благодарность.