Фондовый индекс - составной показатель изменения цен определённой группы ценных бумаг - «индексной корзины» . Как правило, абсолютные значения индексов не важны. Большее значение имеют изменения индекса с течением времени, поскольку они позволяют судить об общем направлении движения рынка, даже в тех случаях, когда цены акций внутри «индексной корзины» изменяются разнонаправлено. В зависимости от выборки показателей, фондовый индекс может отражать поведение какой-то группы ценных бумаг (или других активов) или рынка (сектора рынка) в целом. . Согласно данным агентства Dow Jones & Co. Inc. , на конец 2003 года в мире уже насчитывалось 2315 фондовых индексов. В конце названия фондовых индексов может стоять цифра, отображающая число акционерных компаний, на основании которых рассчитывается индекс: CAC 40 , Nikkei 225 , S&P 500.

Индекс РТС отражает текущую суммарную рыночную капитализацию (выраженную в долларах США) акций некоторого списка эмитентов в относительных единицах. За 100 принята суммарная капитализация этих эмитентов на 1 сентября 1995 года. Таким образом, к примеру, значение индекса, равное 2400 (середина 2008 года) означает, что за почти 13 лет рыночная капитализация (с пересчётом в доллары США) компаний из списка РТС выросла в 24 раза. Каждый рабочий день Индекс РТС рассчитывается в течение торговой сессии при каждом изменении цены инструмента, включённого в список для его расчёта. Первое значение индекса является значением открытия, последнее значение индекса - значением закрытия. Список акций для расчёта индексов пересматривается раз в три месяца. Существуют также индекс РТС-2 (акции «второго эшелона»), RTS Standard (15 «голубых фишек» выраженный в рублях), RTSVX (Индекс волатильности) и 7 отраслевых индексов.

Индекс ММВБ рассчитывается как отношение суммарной рыночной капитализации акций, включенных в базу расчета индекса, к суммарной рыночной капитализации этих акций на начальную дату, умноженное на значение индекса на начальную дату. При расчете рыночной капитализации учитывается цена и количество соответствующих акций, свободно обращающихся на организованном рынке ценных бумаг, которым соответствует доля акционерного капитала эмитента, выражаемая значением коэффициента free-float. Расчет индекса производится в режиме реального времени в рублях, таким образом, значение индекса пересчитывается при совершении каждой сделки на ФБ ММВБ с акциями, включенными в базу расчета индекса. В 2009 году для расчета индекса ежедневно используется более 450 тыс. сделок на сумму свыше 60 млрд руб. , а суммарная капитализация акций, включенных в базу расчета Индекса ММВБ, составляет более 10 трлн руб. , что соответствует 80 % совокупной капитализации эмитентов, акции которых торгуются на бирже. База расчета Индекса ММВБ пересматривается 2 раза в год (25 апреля и 25 октября) на основании ряда критериев, основными из которых являются капитализация акций, ликвидность акций, значение коэффициента free-float и отраслевая принадлежность эмитента акций.

Динамика индекса S&P

На рынках ценных бумаг для определения общей тенденции в изменении курсов акций применяются специальные индикаторы –фондовые индексы. Биржевой (фондовый) индекс является обобщенным показателем изменения цен определённой группы активов (ценных бумаг, товаров или производных финансовых инструментов). В зависимости от выборки показателей, биржевой индекс может отражать поведение какой-то группы активов (ценных бумаг) или рынка (сектора рынка) в целом. Для изучения характера взаимосвязи в изменении фондовых индексов и доходности ценных бумаг строятся рыночные модели, с помощью которых можно оценивать инвестиционные портфели предприятий.

C редневзвешенный капитальный доход по ценным бумагам Прирост фондового индекса за определенный — период это средневзвешенный капитальный, доход по ценным бумагам цены которых. использованы для расчета индекса Пусть m r — средневзвешенный капитальный, доход по группе ценных бумаг входящих в, I индекс 0 — , значение индекса на начало периода I 1 — . значение индекса на конец периода 0 01 I II K

Проблемы использования индекса, Основная проблема связанная с, — использованием индексов насколько точно, — индекс характеризует рыночный портфель, то есть абсолютно все финансовые активы, которые присутствуют на рынке при том что для расчета индекса используется только определенная выборка из всего (, множества ценных бумаг хотя по: некоторым индексам и достаточно большая, SP 500 так при расчете используют цены на 500). акции крупнейших компаний США

Еще несколько проблем. — , Первая доходность государственных ценных бумаг как, . — и любых других подвержена колебаниям Вторая в модели оценки капитальных активов ставка 0 — это еще и, ставка по безрисковым кредитам что еще более усложняет проблему выбора ее значения для. практических расчетов, Таким образом уже здесь необходимо прибегать к. , определенным упрощениям Практически в качестве, безрисковой ставки выбирают как правило ставку () доходности по краткосрочным от трех месяцев до года, (государственным обязательствам учетную ставку либо) , ставку рефинансирования центрального банка либо рассчитанную определенным образом средневзвешенную ставку по кредитам на (: межбанковском рынке наиболее известный пример LIBOR — London Interbank ffered Rate). ставка О

Однофакторная модель Шарпа Пусть за некоторый период времени изучается взаимосвязь между доходностью определенной ценной бумаги – mi и доходностью рынка () рыночным индексом -mr . в том же периоде Изменение рыночного индекса может вызывать соответствующее изменение цены i — ой ценной бумаги, причем такие изменения носят случайный характер и, взаимосвязаны и для их отражения используется рыночная модель в виде (уравнения регрессии характеристической линии ценной бумаги): m i = i + i m r + i

m i = i + i m r + i где m i и m r доходность ценной бумаги i и на рыночный индекс за период времени t ; i — коэффициент смещения линии регрессии, характеризует ожидаемую доходность i -ой ценной бумаги при условии нулевой доходности рыночного индекса; i — коэффициент наклона и является характеристикой риска; i — случайная погрешность.

Бета коэффициент- Бета-коэффициент оценивает изменения в доходности отдельных акций в сопоставлении с динамикой рыночного дохода: если >0, то доходность соответствующих ценных бумаг изменяется в том же направлении, что и рыночная доходность, при 1, 0 считаются агрессивными и более рискованными, чем рынок в целом; для менее рискованных бумаг <1, 0. индекс систематического риска вследствие общих условий рынка. i

По Шарпу Эффективность ценных бумаг удобно отсчитывать от эффективности безрискового вклада m f m i = m f + β i (m r – m f) + α i , m i — m f называется премией за риск. α = 0 – бумаги справедливо оцениваемые; α > 0 – бумаги рынком недооценены; α < 0 – бумаги рынком переоценены. Аналогичные утверждения имеют место и для портфелей.

Отличие линейной модели рынка и САРМ: 1) линейная модель рынка является однофакторной моделью, где в качестве фактора выступает рыночный индекс. В отличие от САРМ она не является равновесной моделью, описывающей процесс формирования курсов ценных бумаг. 2) рыночная модель использует рыночный индекс, (например, S&P 500), в то время как САРМ – рыночный портфель. Рыночный портфель сочетает в себе все обращающиеся на рынке бумаги, а рыночный индекс – только ограниченное их число (например, 500 для индекса S&P 500). Сравнение рыночной модели рынка и модели САРМ

Пример. 5. 1. По данным инвестиционной компании «ФИНАМ» о фактической доходности акций и доходности на индекс РТС (RTSI) за период с января 2008 по май 2009 гг. см. табл. 1, определить ожидаемую доходность, риск и параметры рыночных моделей (альфа и бета коэффициенты) для акций «Газпром» (GAZP), «Сбербанк» (SBER) и «Роснефть» (ROSN). По результатам расчета построить графики зависимостей доходности акций от доходности на индекс РТС.

Для акций GAZP Для акций SBER Для акций ROSN ВЫВОД ИТОГОВ Регрессионная статистика Множественный R 0, 894 Множественный R 0, 898 Множественный R 0, 903 R-квадрат 0, 799 R-квадрат 0, 806 R-квадрат 0, 816 Нормированный R-квадрат 0, 784 Нормированный R-квадрат 0, 792 Нормированный R-квадрат 0, 802 Стандартная ошибка 6, 540 Стандартная ошибка 11, 068 Стандартная ошибка 6, 677 Наблюдения 16 Коэффициенты для GAZP Коэффициенты для SBER Коэффициенты для ROSN Y-пересечение, — 0, 56 Y-пересечение, 0, 72 Y-пересечение, 3, 38 Переменная X 1, 0, 72 Переменная X 1, 23 Переменная X 1, 0,

для акций «Газпрома» m 1 = — 0, 56 + 0, 72 mr , для акций «Сбербанка» m 2 = 0, 72 + 1, 23 mr , для акций «Роснефть» m 3 = 3, 38 + 0, 76 mr .

Некоторые выводы. . Акции Сбербанка агрессивные бумаги т к β = 1, 23; У акций Газпрома β = 0, 72, он практически совпадает коэффициентом бета для акций Роснефти β = 0, 76, их характеристические линии. почти параллельны другу (С ростом доходности фондового рынка либо) индекса рынка РТС ожидаемая доходность всех, акций возрастает причем доходность по акциям, Сбербанка растет более интенсивно чем по. акциям Газпрома и Роснефти (При нулевой доходности фондового рынка mr = 0) 0, 72% ожидается прибыль по акциям Сбербанка и 3, 38%, по акциям Роснефти а акции Газпрома. принесут убыток

Определение доли рыночного и нерыночного риска активов Общий риск ценной бумаги i , измеряемый ее дисперсией i 2 , обычно представляют в виде: двух составляющих рыночный () систематический или недиверсифицируемый (риск market risk)+ собственный () несистематический или диверсифицируемый (риск unique risk). i 2 = i 2 (m r) 2 + 2 , где 2 i m r 2 — обозначает рыночный риск ценной бумаги i , 2 — собственный риск ценной бумаги i , мерой которого является СКО случайной погрешности i в уравнении

Общий риск = Рыночный риск + Собственный риск (систематический) + (несистематический) Таким образом, вариация доходности каждой ценной бумаги состоит из двух слагаемых: «собственной» вариации, не зависящей от рынка, и «рыночной» части вариации, определяемой случайным поведением рынка в целом. При этом отношение i 2 2 m r / 2 характеризует долю риска ценных бумаг вносимую рынком, его обозначают R i 2 и называют коэффициентом детерминации. Бумаги с большими значениями R i 2 могут оказаться предпочтительнее, поскольку их поведение более предсказуемо.

Специфический риск связан с такими явлениями, как изменения в законодательстве, забастовки, удачная или неудачная маркетинговая политика, заключение или потеря важных контрактов и с другими событиями, которые имеют последствия для данной фирмы. Воздействие таких событий на портфель акций можно исключить путем диверсификации портфеля. Рыночный риск обусловлен наличием факторов, которые оказывают влияние на все акции. К таким факторам относятся война, инфляция, спад производства, повышение процентных ставок и др. Поскольку такие факторы действуют на большинство акций в одном направлении, то рыночный и систематический риск не может быть устранен путем диверсификации.

Модель Шарпа n i iim n i iipxx 1 222 2 1 2 minmin p n i iimxm 1 1 1 n i ix

Оптимизация портфеля по Шарпу

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 индекс рынка 10 9 9 10 10 11 11 12 10 8 акция А 10 11 9 12 13 12 14 12 15 13 акция В 23 21 20 22 23 24 25 27 25 20 Пример. Известны доходности двух акций и доходность индекса рынка за 10 месяцев: Определить: 1. Характеристики каждой ценной бумаги: коэффициенты зависимости от индекса, собственный (или несистематический) риск, рыночный риск и долю риска, вносимую рынком. 2. Сформировать портфель минимального риска из двух видов ценных бумаг при условии, что обеспечивается доходность портфеля не менее чем по безрисковым ценным бумагам (5%) с учетом индекса рынка.

дата индекс ОФЗ, % год. индекс РБК RTKM (Ростелеком) EESR (РАО ЕЭС) KMAZ (КАМАЗ) SBER (сбербанк) LKOH (ЛУКОЙЛ) 1 ноя 07 6, 16 195, 93 112, 46 -27, 92 -24, 14 103, 14 551, 36 2 ноя 07 6, 12 -158, 76 -298, 98 501, 65 -230, 55 -397, 67 -268, 26 6 ноя 07 6, 13 228, 40 -435, 60 -97, 05 37, 90 460, 97 1071, 51 7 ноя 07 6, 05 349, 90 -71, 70 -272, 71 -778, 55 17, 11 332, 93 14 янв 08 6, 01 -32, 50 494, 78 211, 67 689, 43 97, 81 -585, 93 15 янв 08 5, 98 310, 83 179, 85 301, 95 2254, 86 376, 25 -134, 32 16 янв 08 5, 94 -1, 68 -261, 76 -980, 08 576, 80 -1331, 03 -1717, 19 17 янв 08 5, 98 -1471, 25 -1087, 70 -289, 08 1254, 74 -440, 19 -854, 21 среднее 6, 14 39, 81 205, 36 59, 83 516, 15 33, 50 -104, 21 SKO общ. риск 0, 09 450, 60 556, 84 382, 06 1101, 37 501, 22 554, 98 корреляция 0, 27 1, 00 0, 51 0, 24 0, 11 0, 44 0, 51 альфа 6, 14 0, 00 180, 31 51, 62 505, 73 14, 05 -129, 20 бета 0, 00 1, 00 0, 63 0, 21 0, 26 0, 49 0, 63 собств. риск 412, 51 359, 44 1088, 74 404, 51 410, 90 рын. риск 144, 34 22, 62 12, 63 96, 71 144, 08 доля рын. риска 100, 00% 25, 92% 1, 15% 19, 30% 25, 96%Динамика доходности акций и облигаций

портфель RTKM (Ростелеком) KMAZ (КАМАЗ) портфель рынок доля 44, 31% 55, 69% 100, 00% ср. доход 205, 36 516, 15 378, 43 39, 81 ср. риск 556, 84 1101, 37 381, 81 450, 60 SMLпортфель RTKMKMAZ

Выведенные Марковицем правила построения границы эффективных портфелей позволяет находить оптимальный (с точки зрения инвестора) портфель для любого количества ценных бумаг в портфеле. Основной сложностью применения метода Марковица является большой объем вычислений, необходимый для определения весов Wi каждой ценной бумаги. Действительно, если портфель объединяет n ценных бумаг, то для построения границы эффективных портфелей необходимо предварительно вычислить n значений ожидаемых (средних арифметических) доходностей E(ri) каждой ценной бумаги, n величин у2i дисперсий всех норм отдачи и n(n-1)/2 выражений попарных ковариаций уi,j ценных бумаг в портфеле.

В 1963 г. американский экономист У. Шарп (William Sharpe) предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как одноиндексная модель Шарпа (Sharpe single-index model).

В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две случайные переменные величины - независимую Х и зависимую Y линейным выражением типа Y = б + в*Х. В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал доходность rm, вычисленную на основе индекса Standart and Poor"s (S&P500). В качестве зависимой переменной берется доходность ri какой-то i-ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S&P500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью (Market Model), а доходность rm - доходностью рыночного портфеля.

Пусть доходность rm принимает случайные значения, и в течение N шагов расчета наблюдались величины rm1, rm2, ... , rmN. При этом доходность ri какой-то i-ой ценной бумаги имела значения ri1, ri2, ... , riN. В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами rm и ri в любой наблюдаемый момент времени в виде:

ri,t = бi + вirm,t + еi,t, где (1)

бi - параметр, постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности i-ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг rm;

вi - параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

rm,t - доходность рыночного портфеля в момент t;

еi,t - случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения ri,t и rm,t порою отклоняются от линейной зависимости.

Особое значение необходимо уделить параметру вi, поскольку он определяет чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности.

В общем случае, если вi>1, то доходность данной ценной бумаги более чувствительная, подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность rm. Соответственно, при вj < 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности rj от средней арифметической (ожидаемой) величины E(r)j, чем рыночная доходность. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом в > 1 классифицируются как более рискованные, чем рынок в целом, а с в < 1 - менее рискованными.

Как показывают исследования, для большинства ценных бумаг в > 0, хотя могут встретиться ценные бумаги и с отрицательной величиной в.

Для нахождения параметров бi и вi по результатам наблюдений используется метод наименьших квадратов (МНК). По этому методу в качестве параметров бi и вi берутся такие значения, которые минимизируют сумму квадратов ошибок е. Если провести необходимые вычисления, то окажется, что параметры бi и вi принимают следующие значения:

бi = E(ri) ? вi*E(rm) (2)

Параметры бi и вi регрессионной модели дают представление об общих тенденциях взаимосвязей между изменениями рыночного показателя rm и нормой отдачи ri. Однако величины бi и вi не позволяют давать однозначный ответ о степени подобной взаимосвязи. На точность регрессионной модели оказывает значительное влияние ошибки еi. Значит, точность регрессионной модели, степень взаимосвязи rm и ri, определяется разбросом случайных ошибок еi, который можно оценить с помощью дисперсии случайной ошибки. Кроме того, точность регрессии можно определить, оценивая, сколь точно регрессионная модель определяет дисперсию ценных бумаг, для которых составляется регрессионная модель.

Дисперсию i-ой ценной бумаги можно представить:

Разделим обе части равенства на величину:

В этом случае первое слагаемое будет показывать, какую долю в общем риске ценной бумаги можно описать с помощью регрессионной модели (ri,t = бi + вirm,t), а второе слагаемое - степень неточности регрессионной модели. Значит, чем ближе величина к единице, тем более точная регрессионная модель.

В данном случае средняя арифметическая величина вычисляется делением на (N-2), поскольку две степени свободы были утеряны при вычислении бi и вi.

Использование рыночной модели Шарпа для построения границы эффективных портфелей.

Одно из главных достоинств модели Шарпа состоит в том, что она позволяет значительно сократить объемы вычислений при определении оптимального портфеля, давая при этом результаты, близко совпадающие с получаемыми по модели Марковица. Поскольку в основу модели Шарпа положена линейная регрессия, то для ее применения необходимо ввести ряд предварительных условий. Если предположить, что инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, то будем считать, что:

• 1) средняя арифметическая (ожидаемая) величина случайных ошибок E(еi)=0 для всех ценных бумаг портфеля, то есть для i = 1, 2, ... , n;
• 2) дисперсия случайных ошибок для каждой ценной бумаги постоянна;
• 3) для каждой конкретной ценной бумаги отсутствует корреляция между наблюдаемыми в течение N лет величинами случайных ошибок;
• 4) отсутствует корреляция между случайными ошибками любых двух ценных бумаг в портфеле;
• 5) отсутствует корреляция между случайными ошибками еi и рыночной доходностью.

Подведем итог: если инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, то использование параметров линейной регрессии бi и вi позволяет выразить с их помощью все начальные элементы - ожидаемую доходность E(ri) каждой ценной бумаги в портфеле, дисперсии и ковариации бi,j норм отдачи этих ценных бумаг, необходимые для построения границы эффективных портфелей. При этом инвестору требуется предварительно вычислить n значений бi, n величин вi, n значений, а также E(rm) и у2m. Следовательно всего потребуется найти: (n+n+n+2) = 3n+2 начальных данных, что существенно меньше объема вычислений для модели Марковица.

Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг:

где Wi - вес каждой ценной бумаги в портфеле.

Подставим в эту формулу выражение для ri:

Для придания этой формуле компактности, Шарп предложил считать рыночный индекс как характеристику условной (n+1)-ой ценной бумаги в портфеле. В таком случае, второе слагаемое уравнения можно представить в виде:

при этом считается, что дисперсия (n+1)-ой ошибки равна дисперсии рыночной доходности. Выражение (23) представляет собой сумму взвешенных величин “беты” (вi) каждой ценной бумаги (где весом служат Wi) и называется портфельной бетой (вn). С учетом сделанных допущений, формулу (9) можно записать так:

а поскольку, согласно введенному начальному условию 1), E(еi) = 0, то окончательно имеем:

Итак, ожидаемую доходность портфеля E(rn) можно представить состоящей из двух частей:

• а) суммы взвешенных параметров бi каждой ценной бумаги - W1б1 + W2б2 + .... + Wnбn, что отражает вклад в E(rn) самих ценных бумаг, и
• б) компоненты, то есть произведения портфельной беты и ожидаемой рыночной доходности, что отражает взаимосвязь рынка с ценными бумагами портфеля.

Дисперсия портфеля в модели Шарпа представляется в виде:

При этом только необходимо иметь в виду, что, то есть (Wn+1)^2=(W1в1 + W2в2 + .... + Wnвn)^2, а. Значит, дисперсию портфеля, содержащего n ценных бумаг, можно представить состоящей из 2-х компонент:

а) средневзвешенных дисперсий ошибок, где весами служат Wi, что отражает долю риска портфеля, связанного с риском самих ценных бумаг (собственный риск);

б) - взвешенной величины дисперсии рыночного показателя, где весом служит квадрат портфельной беты, что отражает долю риска портфеля, определяемого нестабильностью самого рынка (рыночный риск).

В модели Шарпа цель инвестора сводится к следующему:

Необходимо найти минимальное значение дисперсии портфеля:

при следующих начальных условиях:

• 1) выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности ri,t каждой ценной бумаги;
• 2) по рыночному индексу (например, AK&M) вычислить рыночные доходности rm,t для того же промежутка времени;
• 3) определить величины вi:

4) найти параметр бi:

бi = E(ri) - вiE(rm)

• 5) вычислить дисперсии уе 2 i ошибок регрессионной модели;
• 6) подставить эти значения в уравнения

После такой подстановке выяснится, что неизвестными величинами являются веса Wi ценных бумаг. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля E*, можно найти веса ценных бумаг в портфеле, построить границу эффективных портфелей и определить оптимальный портфель.

контрольная работа

2.2 Модель Шарпа

инвестиционный портфель модель управление

В основе модели Шарпа лежит взаимозависимость доходности каждой ценной бумаги с доходностью рынка в целом.

Такая модель построения инвестиционного портфеля как модель У. Шарпа хорошо работает в периоды стабильного роста национальной экономики.

Это замечание, как правило, относится к зарубежным фондовым рынкам, которые характеризуются более монотонной динамикой развития. Использование модели Шарпа для развивающихся рынков, в том числе для таких фондовых рынков как рынка Российской Федерации и других стран СНГ, может привести к непредсказуемым убыткам по портфелю и модельным ошибкам. В первую очередь, это связано с динамикой и особенностями развития этих рынков: для них свойственны импульсивность доходности и нестабильность, сильное влияние внутренней информации, доминирующее влияние сырьевых отраслей на общую динамику развития, несовершенство нормативно-правовой базы.

Основные гипотезы:

· в качестве доходности принимается математическое ожидание доходности;

· имеется безрисковая ставка доходности - это доходность некоторой инвестиции, риск которой всегда минимален по отношению к другим инвестиционными рискам;

· связь отклонений доходности ценной бумаги от безрисковой ставки доходности с отклонениями доходности рынка в целом от безрисковой ставки доходности принимается в форме линейной регрессии;

· риском ценной бумаги считается зависимость изменений доходности ценной бумаги от изменений доходности рынка в целом;

· расчетные будущие значения доходности зависят от данных прошлых периодов.

По модели Шарпа функцией линейной регрессии связывают отклонения доходности рынка с отклонениями доходности ценной бумаги вида:

Отклонение доходности ценной бумаги от безрисковой,

Отклонение доходности рынка от безрисковой,

б, в - регрессионные коэффициенты.

Коэффициенты регрессии - й ценной бумаги.

Коэффициент бi равен нулю при условии, если рынок ценных бумаг пребывает в равновесии.

Для нахождения характеристик портфеля с использованием модели Шарпа прямая задача имеет вид:

Обратная задача приобретает аналогичный вид:

Для того, чтобы на практике применять модель Шарпа в целях оптимизации портфеля, используются следующие ниже формулы и допущения.

Как правило, безрисковую ставку доходности определяют в качестве доходности государственных ценных бумаг, примером может являться облигации внутреннего государственного займа.

Для определения доходности за период рынка ценных бумаг в целом применяются оценки экспертов о рыночной доходности из средств массовой информации, от аналитических компаний и т. п. Также в среде развитого фондового рынка для достижения этих целей принято использовать различные фондовые индексы. Для фондового рынка с не очень большим количеством ценных бумаг принимается среднее значение доходности ценных бумаг, которые составляют рынок, за тот же период:

Доходность рынка ценных бумаг в период;

Доходность - й ценной бумаги за период.

Показатель («бета») является характеристикой степени риска бумаги и показывает, во сколько раз изменение цены бумаги превосходит изменение рынка в целом. Если бета принимает значение больше единицы, то данную бумагу можно отнести к инструментам с повышенным уровнем риска, это связано с тем, что ее цена в среднем движется быстрее рынка. Бета, имеющая значение меньше единицы, показывает, что степень риска данной бумаги относительно низкая, т.к. в течение периода глубины расчета ее цена изменялась медленнее, по сравнению с рынком. Если бета меньше нуля, то это означает, что в среднем движение этой бумаги в течение периода глубины расчета было противоположно движению рынка.

Риск ценной бумаги рассчитывается по формуле:

Риск - й ценной бумаги;

Безрисковая доходность в период;

Рассматриваемое количество периодов времени.

Коэффициент отражает избыточную доходность (положительную или отрицательную) данной ценной бумаги, то есть показывает, насколько данная ценная бумага недооценивается или переоценивается инвесторами.

Избыточная доходность ценной бумаги рассчитывается по формуле:

Помимо этого, модель Шарпа имеет некоторое свойство: возможен случай, когда оцениваемое отклонение доходности ценной бумаги не будет лежать на построенной линии регрессии. Данный вид риска называют остаточным риском. Он определяет уровень отклонений значений доходности ценной бумаги относительно линии регрессии.

Остаточный риск обозначают как и вычисляют как среднее квадратическое отклонение эмпирических точек доходности ценной бумаги от линии регрессии:

Другими словами - риск и остаточный риск определяют показатель риска инвестирования средств в конкретную ценную бумагу.

По Шарпу доходность портфеля является средним взвешенным значением составляющих его показателей доходности ценных бумаг, при этом учитывается - риск. Доходность портфеля вычисляется по формуле:

Безрисковая доходность;

Ожидаемая доходность рынка в целом.

Риск рынка ценных бумаг в целом определяется по формуле:

Анализ управления краткосрочными активами и изучение основных критериев отбора ликвидных ценных бумаг

Модель EOQ строится на следующих предпосылках: 1) Годовой объем реализации и, следовательно...

Детерминанты инвестиционных решений

Модель формирования портфеля ценных бумаг САРМ

Исторически сложилось так, что эконометрические методы часто (чаще, чем следовало бы) основываются на корреляционном и регрессионном анализе. Например...

Оптимальный портфель ценных бумаг

Как следует из модели Марковитца, задавать распределение доходов отдельных ценных бумаг не требуется. Достаточно определить только величины, характеризующие это распределение: математическое ожидание Е1...

Оптимизация инвестиционного портфеля

С 1964 г. появляются новые работы, открывшие следующий этап в развитии инвестиционной теории, связанный с так называемой «моделью оценки капитальных активов» (или САРМ - от английского capital asset pricing model). Учеником Г. Марковица У...

Особенности и роль денег в современной экономике

Самую ликвидную часть денежной массы представляют банкноты и монеты, которые находятся в обращении вне банковской системы, те есть наличность в обращении (С = М0)...

Планирование инвестиций на предприятии. Оценка капитальных активов

В этой модели с помощью сравнительно простого уравнения устанавливается: 1. Связь между эффективностью рыночного портфеля (полагается, что в него входят все ценные бумаги, присутствующие на рынке) и доходностью i-ой ценной бумаги...

Портфельная теория Марковица

Классическая формулировка проблемы выбора портфеля относится к инвестору, который должен выбрать из эффективного множества портфель, представляющий собой оптимальную комбинацию ожидаемой доходности и стандартного отклонения...

Портфельные инвестиции

инвестиционный портфель модель управление В основе модели Шарпа лежит взаимозависимость доходности каждой ценной бумаги с доходностью рынка в целом. Такая модель построения инвестиционного портфеля как модель У...

Рассмотрим математическую постановку задачи оптимизации портфеля ценных бумаг, а именно минимизации риска портфеля при заданном уровне его доходности. Предположим, что инвестор располагает информацией...

Портфельные инвестиции и модели их формирования

Индексная модель У. Шарпа упрощает расчеты за счет того, что в ней рассматривается зависимость между доходностью рынка, представленного индексом, и доходностью какого-либо актива. Построим индексную модель У. Шарпа на основе данных...

Портфельные инвестиции и модели их формирования

Модель САРМ можно применить для оценки ожидаемой доходности уже сформированного портфеля для целей его пересмотра, переформирования. Применим модель САРМ для определения ожидаемой доходности в будущем портфеля...

Проблемы оптимального формирования портфеля ценных бумаг

Одними из основных базовых моделей формирования портфеля ценных бумаг являются модель Марковица. Подход Г. Марковица начинается с предположения, что инвестор в настоящий момент времени имеет конкретную сумму денег для инвестирования...

Проект создания сети автоматических киосков по приёму микроплатежей в пользу поставщиков розничных услуг

электронный коммерция инвестиционный финансовый На основании проведенного исследования рынка построена финансовая модель бизнеса...

Теоретические аспекты формирования оптимальных инвестиционных портфелей с использованием безрисковых кредитов и заемных средств

Как было сказано выше, модель Марковица не дает возможности выбрать оптимальный портфель, а определяет набор эффективных портфелей. Главным недостатком модели Марковица является то, что она требует очень большого количества информации...

Модель Шарпа в отличие от модели Марковица требует меньше информации и вычислений. Шарп пришел к выводу, что доходность каждой отдельной акции строго коррелирует с общей доходностью рынка, поэтому нет необходимости определять ковариацию каждой акции друг с другом, достаточно определить, как они взаимодействуют с рынком.

В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две случайные переменные величины - независимую (Х) и зависимую (У) линейным выражением У = α + β·Х. В модели Шарпа независимой считается ожидаемая доходность на фондовом рынке в целом (доходность рыночного портфеля) Rm, вычисленная на основе индекса компании Standart and Poor’s. В качестве зависимой переменной берется доходность Ri какой-нибудь ценной бумаги. Пусть доходность Rm принимает случайные значения Rm1; Rm2…. Rmn, а доходность i-той ценной бумаги значения Ri1; Ri2…. Rin. Тогда линейная регрессионная модель, представляющая взаимосвязь между доходностью рынка и доходностью по конкретной ценной бумаге будет иметь вид:

Ri = αi + βi Rm + εi,

где Ri – доходность i-той ценной бумаги в определенный момент времени (например, 25 июня 2003 года);

αi - это параметр, показывающий какая часть доходности i-той ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг Rm;

βi – коэффициент, показывающий чувствительность доходности i-той ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

Rm – доходность рыночного портфеля в данный момент времени;

εi - случайная ошибка, связанная с тем, что действительные значения Ri и Rm иногда отклоняются от линейной зависимости. Для упрощения расчетов ее можно принять равной 0.

βi - коэффициент «бета» - измеритель риска вложений, реакция (чувствительность) ожидаемого дохода по ценной бумаге на изменение внешних факторов;

βi = σi , βi = ρi,m · σi ,

где σi - среднеквадратичное отклонение доходности i-той ценной бумаги;

σm - среднеквадратичное отклонение доходности по рынку в целом;

ρim – коэффициент корреляции доходности i-той ценной бумаги и по рынку в целом.

Предполагая, что инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, Шарп вводит следующие предварительные условия:

Среднеарифметическая величина случайных ошибок Еε для всех ценных бумаг портфеля равна 0;

Дисперсия случайных ошибок σε² для каждой ценной бумаги постоянна.

Для каждой ценной бумаги отсутствует корреляция между наблюдаемыми в течение T лет величинами случайных ошибок;

Отсутствует корреляция между случайными ошибками εi и рыночной доходностью;

Отсутствует корреляция между случайными ошибками любых двух ценных бумаг в портфеле.

На основе этих упрощений Шарп, для любых ценных бумаг в портфеле, получает следующие выражения:

Еi = αi + βi Em ,

σi² = βi² · σm² + σεi² ,

σij = βi² βj² · σm² ,

где Еi - ожидаемая среднеарифметическая доходность ценных бумаг i;

Еm - ожидаемая среднеарифметическая доходность рыночного портфеля;

σi² - дисперсия i-той ценной бумаги;

σm² - дисперсия рыночного портфеля;

σεi² - дисперсия случайной ошибки;

σij (covij) - ковариация между величинами доходности ценной бумаги i и ценной бумаги j;

βi и βj – чувствительность доходности i-той и j-той ценной бумаги к изменению рыночной доходности.

Таким образом, для построения границы эффективных портфелей есть все необходимые элементы: Еi; σi²; σij.

Ожидаемая доходность портфеля , состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле:

Еп= ∑ Хi Еi

Дисперсия портфеля в модели Шарпапредставляется в виде:

σn² = ∑ Хi² σεi² ,

σεi² = ∑ (Rit - (αi + βi Rmt)) ² / (n-2)

Вопросы для самопроверки

1. Что такое портфель ценных бумаг?

2. Дайте характеристику различным типам инвестиционных портфелей.

3. Дайте характеристику агрессивному, консервативному и умеренно-агрессивному инвестору.

4. Что понимается под активным и пассивным управлением инвестиционным портфелем?

5. Что такое диверсификация инвестиционного портфеля?

6. Как определить доходность и риск инвестиционного портфеля?

7. Что означает положительная и отрицательная ковариация между величинами доходности по ценным бумагам?

8. Что характеризует коэффициент корреляции?

9. Что такое эффективная граница Марковица?

10. Как рассчитывается доходность ценных бумаг компании и β – коэффициент в модели Шарпа?

Выведенные Марковицем правила построения границы эффективных портфелей позволяют находить оптимальный (с точки зрения инвестора) портфель для любого количества ценных бумаг в портфеле. Основной сложностью применения метода Марковица является большой объем вычислений, необходимый для определения весов Wi каждой ценной бумаги. Действительно, если портфель объединяет п ценных бумаг, то для построения границы эффективных портфелей необходимо предварительно вычислить п значений ожидаемых (средних арифметических) доходностей E (r i) каждой ценной бумаги, п величин дисперсий всех доходностей и п (п – 1)/2 выражений ковариаций σi,j акций в портфеле. При увеличении числа ценных бумаг в портфеле количество необходимых значений ковариаций становится непомерно большим. Например, если инвестор желает сформировать портфель из 30 акций, то ему необходимо вычислить 435 ковариаций, 30 ожидаемых доходностей и 30 дисперсий, т.е. всего около 500 величин! Если количество ценных бумаг удвоить (до 60), то инвестору понадобится уже 1770 значений ковариаций плюс 120 величин E (r i) и σj. А при 100 ценных бумаг в портфеле необходимое количество исходных данных превысит 5000.

В 1963 г. американский экономист У. Шарп (William Sharpe) предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался, в настоящее время известен как одноиндексовая модель Шарпа. Далее приводятся основные этапы построения данной модели.

Общее описание модели

В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа , позволяющий связать две случайные зависимые переменные величины X и Y линейным выражением типа

В модели Шарпа в качестве зависимой переменной Y берется доходность r i,t какой-то i-й акции портфеля, измеренная за выбранные шаги расчета. Независимой переменной X считается величина какого-то рыночного показателя, воздействующего на доходности акций портфеля. Таковым показателем может быть, например, темп роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал доходность рыночного портфеля r т,t вычисленную за те же шаги расчета на основе индекса Standard and Poor"s (S&P500 ). Выражение (3.12) называется уравнением линейной регрессии, а постоянные коэффициенты а и β считаются параметрами линейной регрессии .

В российских условиях доходность r т,t рыночного портфеля можно оценивать с использованием отечественных индексов РЦБ (например, индекса ММВБ или индекса РТС). Если задана длительность холдингового периода и известны значения индекса I в начале I нач и в конце I кон холдингового периода, то доходность рыночного портфеля за этот период находится по формуле

Построение регрессионной модели

Для наглядного изложения содержания модели Шарпа предположим, что портфель формируется из рассмотренных ранее акций фирм А, В и С. Пусть задана длительность будущего холдингового периода (для последующего сравнения модели Шарпа с моделью Марковица будем полагать, что эта длительность совпадает с выбираемой длительностью в модели Марковица). Зададим также N = 10 шагов расчета в прошлом (что совпадает с введенными в прошлой главе начальными условиями для примера по Г. Марковицу). На основании данных об изменениях рыночного индекса (полученных из открытых источников) вычислим доходности r т,t рыночного портфеля за выбранные N шагов расчета. Полученные данные внесем в табл. 3.5, где также приведены доходности r с,t акции С, вычисленные ранее.

Таблица 3.5

Условные доходности рыночного портфеля и акции С

В таком случае для акции С уравнение линейной регрессии (3.14) должно принимать вид

Строго говоря, можно выбирать любые величины параметров αC и βC, понимая, что получаемые из этого выражения теоретические величины r С,t будут отличаться от реально наблюдаемых величин (см. табл. 3.5).

Например, если выбрать αC = 0,1, а βC = 0,5, то теоретическая величина r С,1теор составит

что отличается от наблюдаемого значения r С,1набл= 0,110. Чтобы уровнять теоретические и наблюдаемые величины, необходимо провести коррекцию теоретической величины r С,1теор. Достигается это путем добавления к значению r С,1теор ошибки εС,1, которая составляет εС,1 = -0,0505, поскольку (0,1605 – 0,0505 = 0,110).

Можно убедиться, что и для второго шага расчета

также не совпадает с наблюдаемой величиной εС,2 = 0,320, поэтому требуется корректировать r С,2теор ошибкой εС,2 = + 0,074.

Поскольку величины r m,t и r C,t случайные, то, скорее всего, и остальные теоретические значения r C,t получаемые с использованием уравнения линейной регрессии, будут отличаться от реально наблюдаемых величин r C,t, приведенных в табл. 3.5. В связи с этим величины r C,t теор необходимо корректировать ошибкой ε C,t на каждом шаге расчета. Так как величины r m,t , и r C,t случайные, то и значения ошибки ε C,t также должны представлять собой случайные величины. В итоге уравнение линейной регрессии для акции С должно иметь следующий вид:

где ε C,t – случайная ошибка.

В общем случае если в портфель включено п акций, то для любой г-й акции портфеля уравнение линейной регрессии выглядит следующим образом:

где r i,t – доходность i -й акции портфеля за шаг t; αi – параметр линейной регрессии, называемый коэффициентом "альфа" , показывающий, какая часть доходности i -й акции портфеля не связана с изменениями доходности рыночного портфеля r m,t; βi – параметр линейной регрессии, называемый коэффициентом "бета" , характеризующий чувствительность доходности г-й акции портфеля к изменениям рыночной доходности r m,t; r m,t – доходность рыночного портфеля в момент t; εm,t – случайная ошибка , свидетельствующая о том, что реальные, наблюдаемые значения r i,t отклоняются от теоретических величин r i,tтеор, получаемых с использованием линейной зависимости (3.13).

Уравнение (3.13) является основным в линейном регрессионном анализе и берется за основу в модели Шарпа. В линейном регрессионном анализе полагается, что средняя арифметическая (ожидаемая) величина ошибок наблюдения Ε (ε i,t) = 0, т.е. фактические величины r i,t в среднем равномерно распределяются выше и ниже значений, получаемых при линейной регрессии.