Be minėto straipsnio, norėčiau pridėti dar keletą naudingų skaičiavimo formulių kitokios rūšies proc.
Pradėsiu nuo paprasto, bet ne mažiau naudingo:

1). Procentų skaičiavimo formulė procentais.
Pateikiami du skaičiai: X1 ir X2. Būtina nustatyti, kokia procentinė dalis yra X2 skaičius X2.
Y = X1 / X2 * 100.

2). Skaičiaus procentinio skaičiavimo formulė.
Skaičius yra X2. Būtina apskaičiuoti skaičių X1, kuris yra duotas Y procentas nuo X2.

X1 = X2 * Taip / 100.

3). Formulė, kaip padidinti skaičių tam tikru procentu (suma su PVM).
Skaičius X1 nurodytas. Būtina apskaičiuoti skaičių X2, kuris daugiau skaičių X1 pagal nurodytą procentą Y. Naudodami skaičiaus procentinės dalies apskaičiavimo formulę, gauname:

X2 = X1 * (1 + Y / 100).

4). Pradinės sumos (sumos be PVM) apskaičiavimo formulė.
Pateiktas skaičius X1, lygus kažkokiam pradiniam skaičiui X2 su pridėtu procentu Y. Būtina apskaičiuoti skaičių X2. Kitaip tariant: mes žinome pinigų sumą su PVM, turime apskaičiuoti sumą be PVM. Mes žymime y = Y / 100, tada:

X1 = X2 + y * X2.
arba

X1 = X2 * (1 + y).
tada

X2 = X1 / (1 + y).
5). Formulė skaičiui sumažinti tam tikru procentu.
Skaičius X1 nurodytas. Būtina apskaičiuoti skaičių X2, kuris yra mažesnis už skaičių X1 tam tikru procentu Y. Naudodami skaičiaus procentinės dalies apskaičiavimo formulę, gauname:

X2 = X1 - X1 * Taip / 100.
arba

X2 = X1 * (1 - Taip / 100).

6). Palūkanų skaičiavimas banko depozitas... Paprastų palūkanų apskaičiavimo formulė.
Jei indėlio palūkanos skaičiuojamos vieną kartą pasibaigus indėlio terminui, tai palūkanų suma apskaičiuojama naudojant paprastą palūkanų formulę.

Y = S + (S * Z * d / D) / 100
Yp = (S * Z * d / D) / 100
Kur:
Y - banko indėlio su palūkanomis suma,
Yp - palūkanų (pajamų) suma,
S - pradinė suma (kapitalas),
Z - metinė palūkanų norma,
d - palūkanų, priskaičiuotų už pritrauktą indėlį, dienų skaičius,
D yra kalendorinių metų dienų skaičius (365 arba 366).

7). Palūkanų už banko indėlį apskaičiavimas skaičiuojant palūkanas. Sudėtinių palūkanų apskaičiavimo formulė.
Jei palūkanos už indėlį yra kaupiamos kelis kartus reguliariais intervalais ir įskaitomos į indėlį, indėlio su palūkanomis suma apskaičiuojama naudojant sudėtinių palūkanų formulę.

X = S * (1 + P * d / D / 100) N

Kur:


Y - metinė palūkanų norma,

Skaičiuojant sudėtines palūkanas, lengviau apskaičiuoti bendrą sumą su palūkanomis, o tada apskaičiuoti palūkanų (pajamų) sumą:

Sp = X - S = S * (1 + Y * d / D / 100) N - S
arba

Sp = S * ((1 + Y * d / D / 100) N - 1)

aštuoni). Kita sudėtinių palūkanų formulė.
Jei palūkanų norma pateikiama ne metiniu metodu, o tiesiogiai kaupimo laikotarpiui, sudėtinių palūkanų formulė atrodo taip.

X = S * (1 + Y / 100) N

Kur:
X - indėlio su palūkanomis suma,
S - indėlio suma (kapitalas),
Y - palūkanų norma,
N yra palūkanų kaupimo laikotarpių skaičius.

Daria Nikitina

Skaitymo laikas: 11 minučių

A A

Sudėtinės palūkanosįprasta efektą vadinti tada, kai prie pagrindinės sumos pridedamos pelno palūkanos, o ateityje jos pačios dalyvauja kuriant naują pelną.
Sudėtinių palūkanų formulė- Tai formulė, pagal kurią apskaičiuojama visa suma, atsižvelgiant į kapitalizaciją (palūkanų kaupimas).

Šiame straipsnyje:

Paprastas sudėtinių palūkanų apskaičiavimas

Norėdami geriau suprasti sudėtinių palūkanų skaičiavimą, pažvelkime į pavyzdį.
Įsivaizduokime, kad į banką įdedate 10 000 rublių 10 procentų per metus.
Po metų jūsų banko sąskaita bus suma SUM = 10000 + 10000 * 10% = 11000 rublių.
Jūsų pelnas yra 1000 rublių.
Jūs nusprendėte palikti 11 000 rublių antrus metus banke esant tokiam pačiam 10 proc.
Po 2 metų bankas sukaups 11 000 + 11 000 * 10% = 12 100 rublių.

Pirmųjų metų pelnas (1000 rublių) buvo pridėtas prie pagrindinės sumos (10000 rublių), o antraisiais metais jis jau uždirbo naujas pelnas... Tada trečiaisiais metais antrųjų metų pelnas bus pridėtas prie pagrindinės sumos ir pats sukurs naują pelną. Ir tt

Šis efektas vadinamas sudėtinėmis palūkanomis.

Kai visas pelnas pridedamas prie pagrindinės sumos ir ateityje jis jau pats generuoja naują pelną.

Sudėtinių palūkanų formulė:

SUMA = X * (1 +%) n

kur
SUMA - galutinė suma;
X yra pradinė suma;
% - palūkanų norma, procentai per metus / 100;
n yra laikotarpių, metų (mėnesių, ketvirčių) skaičius.

Sudėtinių palūkanų apskaičiavimas: 1 pavyzdys.
Jūs įdedate į banką 50 000 rublių po 10% per metus 5 metus. Kiek turėsi po 5 metų? Apskaičiuokime pagal sudėtinių palūkanų formulę:

SUM = 50 000 * (1 + 10/100) 5 = 80 525,5 rublių.

Atidarius galima naudoti sudėtines palūkanas terminuotas indėlis banke. Pagal banko sutarties sąlygas palūkanos gali būti apskaičiuojamos, pavyzdžiui, kas ketvirtį arba kas mėnesį.

Sudėtinių palūkanų apskaičiavimas: 2 pavyzdys.
Apskaičiuokime, kokia bus galutinė suma, jei 12 mėnesių padėsite 10 000 rublių po 10% metinių palūkanų.

SUM = 10000 * (1 + 10/100/12) 12 = 11 047,13 rublių.

Pelnas buvo:

PELNAS = 11047,13 - 10000 = 1047,13 rublių

Pelningumas buvo (procentais per metus):

% = 1047,13 / 10000 = 10,47 %

Tai yra, apskaičiuojant palūkanas kas mėnesį, pelningumas pasirodo didesnis nei skaičiuojant palūkanas vieną kartą per visą laikotarpį.

Jei neatsiimsite pelno, tada jis pradės veikti sudėtinės palūkanos.

Sudėtinių palūkanų formulė banko indėliams

Tiesą sakant, sudėtinių palūkanų, susijusių su banko indėliais, formulė yra šiek tiek sudėtingesnė, nei aprašyta aukščiau. Indėlio palūkanų norma (%) apskaičiuojama taip:

% = p * d / m

kur
p- palūkanų norma (procentas per metus / 100) už indėlį,
Pavyzdžiui, jei norma yra 10,5%, tada p = 10,5 / 100 = 0,105;
d- laikotarpis (dienų skaičius), pagal kurį kapitalizuojama (kaupiamos palūkanos),
pavyzdžiui, jei didžiosios raidės rašomos kas mėnesį, tada d = 30 dienų
jei kapitalizacija atliekama kartą per 3 mėnesius, tada d = 90 dienos;
y- kalendorinių metų dienų skaičius (365 arba 366).

Tai yra, galite apskaičiuoti palūkanų normą skirtingiems indėlio laikotarpiams.

Sudėtinių palūkanų formulė banko indėliams atrodo taip:

SUMA = X * (1 + p * d / y) n

Skaičiuojant sudėtines palūkanas, reikia atsižvelgti į tai, kad laikui bėgant pinigų kaupimasis virsta lavina. Tai yra sudėtinių palūkanų apeliacija. Įsivaizduokite mažą kumščio dydžio sniego rutulį, kuris pradeda riedėti snieguotu kalnu. Kol guzas rieda, sniegas prilimpa prie jo iš visų pusių ir didžiulis sniego akmuo skris į koją. Taip pat su sudėtinėmis palūkanomis. Iš pradžių sudėtinių palūkanų padidėjimas yra beveik nepastebimas. Tačiau po kurio laiko ji parodo save visoje savo šlovėje. Tai galima aiškiai matyti žemiau esančiame pavyzdyje.

Sudėtinių palūkanų apskaičiavimas: 3 pavyzdys.
Apsvarstykite 2 variantus:
1. Paprastos palūkanos. Jūs 15 metų investavote 50 000 rublių su 20%. Papildomi įnašai ne. Jūs atsiimate visą pelną.
2. Sudėtinės palūkanos. Jūs 15 metų investavote 50 000 rublių su 20%. Jokių papildomų mokesčių nėra. Kiekvienais metais prie pagrindinės sumos pridedamos palūkanų pajamos.

Ši tema susijusi ir yra privaloma mokytis investuojant, kuriant kapitalą ar tiesiog norint sukaupti reikiamą pinigų sumą. V finansų sferąįprasta skirti paprastųjų ir sudėtinių palūkanų skaičiavimo principą. Pavyzdžiui, į bankininkystė sudėtinės palūkanos suprantamos kaip sąvoka. O investicijose dažnai vartojamas žodis „reinvestavimas“.

Sudėtinės palūkanos vadinamas geometrine pinigų sumos progresija, kai sukauptos pelno palūkanos pridedamos prie bazinės sumos, kitą laikotarpį bazinė suma didėja ir procentas jau sukaupiamas. Dėl šio efekto pelningumas yra didesnis nei esant paprastoms palūkanoms.

Kapitalizavimas arba reinvestavimas- tai sukauptų palūkanų ir bazinės sumos suma per nurodytą laikotarpį. Vėlesniu laikotarpiu bazinė suma keičiama pagal šią palūkanų normą, todėl pasiekiamas laipsniškas ar į laviną panašių lėšų padidėjimas. Skaičiuojant pagal paprastą palūkanų formulę, bazinė suma visada išlieka ta pati.

Visa ši teorija nepasiruošusiam skaitytojui atrodo per daug laiko ir paini. Bet mes jus patikiname, sudėtinių palūkanų formulėje nėra nieko itin sudėtingo ir nėra jokio skirtumo nuo paprastosios. Dabar mes analizuosime keletą užduočių ir viskas sustos į savo vietas.

Paprastų ir sudėtinių palūkanų skaičiavimo pavyzdžiai

Paprasta

Jūs įvedate 1 000 rublių į įprastą 10% metinę indėlio sąskaitą 3 metams. Po 3 metų šaudote 1300 rublių. Taip veikia paprasti palūkanos.

Sudėtinga

Jūs įnešėte 1000 rublių į indėlio sąskaitą, tačiau indėlio charakteristikos rodo „su metine palūkanų kapitalizacija“... Tas pats - 10% per metus, tas pats laikotarpis - 3 metai. Po 3 metų jūs jau atsiimate 1 331 rublį. Dėl sudėtinių palūkanų poveikio gavote 31 rubliu daugiau nei pirmuoju atveju.

Daugiau apie sudėtines palūkanas

Mums nebedomina paprasti procentai, o sudėtingo formulė atrodo taip:

S- suma, kurią atsiimate pabaigoje

B- bazinė suma

Pr- palūkanų norma

n- laikotarpis (gali būti ir metai, ir mėnesiai)

Dabar apskaičiuokime sumas ir procentus, esančius arčiau realybės, kad pajustum skirtumą iki galo.

1 problema

• 100 tūkstančių rublių banko indėlis.
• palūkanų norma 8% per metus
• kadencija 4 metai
• yra metinė palūkanų kapitalizacija

Šiuo atveju yra metinė indėlio palūkanų kapitalizacija. Kai kurie bankai taip pat siūlo mėnesinę palūkanų kapitalizavimo paslaugą. Tai aptariama toliau pateiktoje užduotyje.

2 problema

• 100 tūkstančių rublių banko indėlis.
• palūkanų norma 8% per metus
• laikotarpis 4 metai
• mėnesio kapitalizacija

• galutinė suma (pajamos +%)

Formulėje turite taikyti mėnesio procentą, už tai mes padalijame 8 iš 12 mėnesių. Pasirodo, 0,67% - tai mėnesio procentas. Ir atkreipkite dėmesį, dabar laipsnis yra 48, tai yra mėnesių skaičius per 4 metus. Mes jį pakeičiame pagal formulę:

išvadas

At kas mėnesį kapitalizacija, gautos indėlininko pajamos buvo 1736 rubliai didesnės.

Kad sudėtinės palūkanos veiktų, jums nereikia atsiimti sukauptų palūkanų, tegul jos kapitalizuojamos sąskaitoje. Tada iš indėlio gausite daugiau naudos.

Sudėtinių palūkanų formulė tikro banko indėlio pavyzdyje

Aukščiau mes apžvelgėme supaprastintus pavyzdžius, kaip veikia sudėtinės palūkanos. Tiesą sakant, bankai naudoja šiek tiek sudėtingą formulę.

Palūkanų norma pateikiama kaip

g- norma procentais per metus padalyta iš 100. Jei 8% per metus, tada mes gauname g=0,08
d- dienų skaičius, po kurio palūkanos kapitalizuojamos su baziniu dydžiu
y- dienų skaičius per metus

Formulė yra universali ir leidžia apskaičiuoti skirtingi tipai indėliai. Taigi mūsų pagrindinė formulė tapo šiek tiek sudėtingesnė:

Matematinė sąvoka „geometrinė progresija“ padeda banko indėliui dirbti su kapitalizacija daug efektyviau nei be kapitalizacijos. Žmogaus smegenys ne visada sugeba įsivaizduoti skirtumą, arba iš pradžių jis atrodo nereikšmingas. Tiesą sakant, per ilgą laiką sudėtinės palūkanos pradeda vaidinti didžiulį vaidmenį kuriant kapitalą.

Sudėtinių palūkanų skaičiavimo per ilgą laikotarpį pavyzdys

Paimkime 2 pavyzdžius vienu metu su paprastais ir sudėtiniais procentais, kad skirtumas būtų aiškus. Abiem atvejais pradinė bazinė suma bus 10 tūkstančių rublių. 20 metų - 10% per metus. Stulpeliuose „sudėtinės palūkanos“ palūkanų suma bus pridėta prie bazinės sumos kiekvienais metais.

Kaip matome, per ilgą laikotarpį palūkanų kapitalizacija atrodo labai nuostabi priemonė! Ir kuo ilgesnis investavimo laikotarpis, tuo ryškesnis skirtumas tampa. Tačiau pažvelkime į dar įspūdingesnį pavyzdį.

Kaip sudėtinės palūkanos padės kuriant kapitalą?

Įspūdingiausias sudėtinių palūkanų pavyzdys darbe bus pateiktas žemiau.

Įsivaizduokite, kad turite labai menką bazinę sumą - 1000 rublių. Bet jūs galite sutaupyti 1000 rublių iš savo atlyginimo kiekvieną mėnesį.

Dabar įvertinkime galimybes, kiek procentų suteikia turimų lėšų taupymo ir investavimo lėšų per metus:

• 5% - vyriausybės obligacijos, vadinamosios federalinės paskolos obligacijos. Tai pernelyg supaprastinta, iš tikrųjų suma gali būti didesnė.
• 10% - dosniausias banko indėlis
• 15% - mišrus investicijų portfelis akcijas ir obligacijas
• 20% - tokį procentą per metus gali pateikti biržos akcijų portfelis.

Nenurodykime daugiau formulių, nes mes jau viską išsamiai aprašėme. Dabar paimkime tik galutinius skaičius, kurie sujaukia nepasirengusio žmogaus vaizduotę.

Kaip matome rezultatai įspūdingi, sumos auga kaip sniego gniūžtė. Viską galite patikrinti skaičiuokle ar „Excel“, nėra apgaulės. Tikrai galite tapti milijonieriumi, sutaupę vos 1000 USD per mėnesį.

Ką daryti, jei galite sutaupyti po 10 000 rublių? Dabar dažykite lentelėje nulį iki nulio ir dar kartą nustebinkite rezultatais.

Galite ginčytis, kad tikrai įdomios sumos yra tik 20% per metus. O jūs, sakoma, nežinote, kaip investuoti į akcijas. Tiesą sakant, tai nėra tokia sunki užduotis paprastos strategijos investuoti į akcijas. Jums nereikia galvoti apie tai, kaip pasirinkti akcijas ir jas parduoti ar pirkti kiekvieną dieną ar savaitę. Viskas čia beveik kaip su banko indėliu. Jūs tiesiog sutaupote pinigų ir kiekvieną mėnesį perkate su jais tas pačias akcijas ar fondo vienetus. tai trumpa esmė strategija.

Kodėl saugu investuoti į akcijas? Kodėl akcijos kasmet augs 20%? Jūs gausite išsamią informaciją apie strategiją ir atsakymus į šiuos klausimus mūsų internetiniame seminare apie šį internetinį seminarą arba, tiksliau, jo įrašą.

Pagalbinės formulės

Štai dar pora pagalbinių formulių, kurios gali praversti renkant asmeninę finansinis planas... Jie išreikšti iš tų, kurie jau parašyti aukščiau. Viską apsvarstykime užduočių pavyzdžiais.

1 problema

• turite 60 tūkstančių rublių
• norite juos padidinti iki 250 tūkstančių rublių
• turite 15 metų kadenciją

• kokia palūkanų norma jums reikia investuoti?

Apmokėjimas:

Atsakymas yra 10,03 proc

2 problema

• turite 50 tūkstančių rublių
• norite juos padidinti iki 1 milijono rublių
• esate tikri, kad galite juos investuoti 40% per metus

• kiek laiko tai užtruks po metų?

Apmokėjimas:

Atsakymas: 8,9 metų.

Išvada

Aprašyta paprasto ir sudėtingo palūkanų didinimo kapitalo formulė aktyviai naudojama visame pasaulyje, nesvarbu, ar tai būtų įprastas kaupimas, ar investicija. Profesionalūs finansų patarėjai ir turtingiausi žmonės pasaulis reaguoja vienodai gerai ir rekomenduoja pasinaudoti sudėtinėmis palūkanomis, kad pagerintų savo finansinę padėtį.

Kaip matėme, nebūtina turėti didelė suma pačioje pradžioje pagrindinis dalykas yra reguliariai taupyti pinigus ir mėgautis geromis palūkanomis.

KOMPLEKSŲ PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMAS

II skirsnis. Sudėtinės palūkanos

2.1 Sudėtinės palūkanos

Sudėtinės palūkanos naudojamos ilgalaikėms finansinėms ir kredito operacijoms, jei palūkanos nėra mokamos periodiškai iš karto po jų kaupimo per pastarąjį laikotarpį, bet pridedamos prie skolos sumos. Dažnai vadinamas suskaičiuotų palūkanų pridėjimas prie sumos, kuri buvo jų nustatymo pagrindas

dominančią mitybą.

Sudėtinių palūkanų sudėtinė formulė

Tegul pradinė skolos suma yra P, tada per vienerius metus skolos suma su pridėtinėmis palūkanomis bus P (1 + i), po 2 metų P (1 + i) (1 + i) = P (1 + i) ) 2, po n metų -P (1 + i) n. Taigi mes gauname sudėtinių palūkanų formavimo formulę

kur S yra sukaupta suma, i - metinė norma sudėtinės palūkanos, n - paskolos terminas, (1 + i) n - kaupimo koeficientas.

Atliekant praktinius skaičiavimus, daugiausia naudojami atskiri procentai, t.y. palūkanos, apskaičiuotos už tuos pačius laiko intervalus (metus, pusmetį, ketvirtį ir kt.). Sudėtinis kaupimas yra eksponentinis augimas, kurio pirmasis narys yra P, o vardiklis yra (1 + i).

Atkreipkite dėmesį, kad terminui n<1 наращение по простым процентам дает больший результат, чем по сложным, а приn>1 - atvirkščiai. Tai lengva patikrinti naudojant konkrečius skaitinius pavyzdžius. Didžiausias sumos, sukauptos už paprastąsias palūkanas, perviršis, palyginti su kaupiamosiomis palūkanomis (tokiomis pačiomis palūkanų normomis), pasiekiama laikotarpio viduryje.

Sudėtinių palūkanų kaupimo formulė, kai palūkanų norma laikui bėgant kinta

Tuo atveju, kai sudėtinė palūkanų norma laikui bėgant keičiasi, kaupimo formulė yra tokia

kur i1, i2, ..., ik yra nuoseklios palūkanų normos, galiojančios atitinkamai n1, n2, ..., nk laikotarpiais.

Sutartyje numatyta kintama sudėtinių palūkanų norma, apibrėžta kaip 20% per metus ir 10% marža per pirmuosius dvejus metus, 8% trečiaisiais metais, 5% ketvirtaisiais metais. Nustatykite 4 metų kaupimosi daugiklį.

(1+0,3)2 (1+0,28)(1+0,25)=2,704

KOMPLEKSŲ PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMAS

Dvigubo kiekio formulė

Siekdamas įvertinti savo perspektyvas, kreditorius ar skolininkas gali užduoti klausimą: per kiek metų paskolos suma padidės N kartų pagal tam tikrą palūkanų normą. Paprastai to reikia prognozuojant savo investavimo galimybes ateityje. Atsakymą gauname prilyginę augimo faktorių vertei N:

a) dėl paprasto intereso

b) už sudėtines palūkanas

(1 + icomp.) N = N, iš kur

Ypač dažnai naudojamas N = 2. Tada formulės (21) ir (22) vadinamos dvigubinimo formulėmis ir yra tokios formos:

a) dėl paprasto intereso

b) už sudėtines palūkanas

Jei formulę (23) lengva naudoti apytiksliems skaičiavimams, tada (24) formulėje reikia naudoti skaičiuotuvą. Tačiau esant mažoms palūkanų normoms (tarkime, mažiau nei 10%), vietoj to galima naudoti paprastesnį apytikslį. Tai lengva gauti, jei atsižvelgsime į tai, kad ln 2 0,7 ir ln (1 + i) i. Tada

KOMPLEKSŲ PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMAS

b) Su sudėtinėmis palūkanomis ir tikslia formule:

c) Su sudėtinėmis palūkanomis ir apytiksle formule: n ≈ 0,7 / i = 0,7 / 0,1 = 7 metai.

1) Ta pati paprastųjų ir sudėtinių palūkanų normų vertė lemia visiškai skirtingus rezultatus.

2) Esant mažoms sudėtinių palūkanų normų vertėms, tikslios ir apytikslės formulės duoda beveik tuos pačius rezultatus.

Kaupimas metinių palūkanų su trupmeniniu metų skaičiumi

Turint truputį metų, imamos palūkanos Skirtingi keliai: 1) Pagal sudėtinių palūkanų formulę

Nominalios ir veiksmingos palūkanų normos

Nominali norma... Tegul metinė sudėtinė palūkanų norma yra j, o kaupimo laikotarpių skaičius m. Tada kiekvieną kartą palūkanos apskaičiuojamos j / m norma. Normas j vadinamas nominaliu. Palūkanos pagal nominalią normą kaupiamos pagal formulę:

kur N / τ yra palūkanų kaupimo laikotarpių skaičius (galbūt dalinis), τ yra palūkanų kaupimo laikotarpis,

KOMPLEKSŲ PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMAS

2) Pagal mišrią formulę

kur a yra sveikasis kaupimo laikotarpių skaičius (t. y. a = yra sveikasis skaičius, dalijantis visą paskolos terminą N iš kaupimo laikotarpio τ),

b - likusi trupmeninė kaupimo laikotarpio dalis (b = N / τ -a).

Paskolos suma 20 milijonų rublių. Suteikiama 28 mėnesius. Nominali norma yra 60% per metus. Palūkanos kaupiamos kas ketvirtį. Apskaičiuokite sukauptą sumą trimis atvejais: 1) kai už dalinę dalį imamos sudėtinės palūkanos, 2) kai už dalinę dalį imamos paprastos palūkanos, 3) kai dalinė dalis ignoruojama. Palyginkite rezultatus.

Palūkanos kaupiamos kas ketvirtį. Iš viso yra 3 = 91 3 ketvirčiai.

3) S = 20 (1 + 0,6 / 4) 9 = 70,358 milijono rublių.

Palyginę sukauptas sumas, matome, kad didžiausią vertę ji pasiekia antruoju atveju, t.y. kai skaičiuojamos paprastos palūkanos už trupmeninę dalį.

Efektyvus tarifas parodo, kuri metinė sudėtinė palūkanų norma duoda tokį patį finansinį rezultatą kaip ir m laiko padidėjimas per metus pagal normą j / m.

Jei palūkanos kapitalizuojamos m kartus per metus, kiekvieną kartą naudojant normą j / m, tada pagal apibrėžimą galime užrašyti lygybę atitinkamiems kaupimo koeficientams:

kur i e - efektyvusis rodiklis, o j - nominalus. Taigi mes pastebime, kad santykis tarp faktinių ir nominalių normų yra išreikštas santykiu

Apskaičiuokite faktinę palūkanų normą, jei bankas apskaičiuoja palūkanas kas ketvirtį, remdamasis 10% nominalia norma per metus.

KOMPLEKSŲ PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMAS

Sprendimas i e = (1 + 0,1 / 4) 4 -1 = 0,1038, t.y. 10,38%.

10 pavyzdys.

Nustatykite, kas turėtų būti nominali norma sukauptos ketvirčio palūkanos, kad būtų užtikrinta efektyvi 12% metinė norma.

Sprendimas. j = 4 [(1 + 0,12) 1/4 -1] = 0,11495, t 11,495%.

Apskaita (diskontavimas) taikant sudėtingą palūkanų normą

Čia, kaip ir paprastų palūkanų atveju, bus svarstomos dvi apskaitos rūšys - matematinė ir bankinė.

Matematinė apskaita... Šiuo atveju išspręsta priešinga sudėtinių palūkanų didinimo problema. Užsirašykime originalią statybos formulę

S = P (1 + i) n

ir išspręskite tai P atžvilgiu

P = S (1 + 1 i) n = Svn,

v n = (1 + 1 i) n = (1 + i) - n

apskaitos ar nuolaidos faktorius.

Jei palūkanos skaičiuojamos m kartus per metus, tada gauname

Kiek pelningas yra tam tikras banko indėlis, sprendžiama ne tik pagal palūkanų normą, bet ir pagal palūkanų apskaičiavimo metodą. Bankininkystės praktikoje naudojamos paprastos ir sudėtinės palūkanos.

SU paprastas palūkanas viskas daugiau ar mažiau aišku: palūkanos nuskaičiuojamos vieną kartą pasibaigus indėlio terminui.

V banko sutartys nurodoma metinė palūkanų norma. Kitais laikotarpiais (pavyzdžiui, mėnesiais) turite išversti indėlio terminą į dienas, paprastoms palūkanoms apskaičiuoti naudokite šią formulę:

Fv = Sv * (1 + R * (Td / Ty)), kur

• Fv yra bendra suma;
• Sv - pradinė suma;
• Td - indėlio terminas dienomis;
• Ty yra dienų skaičius per metus.

Sudėtinės palūkanos yra galimybė, kurioje yra palūkanų kapitalizacija, t.y. jų pridėjimas prie indėlio sumos ir vėlesnis pajamų apskaičiavimas ne iš pradinės, o iš sukauptos indėlio sumos. Sudėtinių palūkanų naudojimas yra panašus į situaciją, kai indėlininkas tam tikro laikotarpio pabaigoje iš sąskaitos išima visas lėšas (indėlį ir sukauptas palūkanas) ir tada naujas indėlis už visą gautą sumą.

Šiek tiek daugiau apie laikotarpius. Faktas yra tas, kad didžiosios raidės atsiranda ne nuolat, bet tam tikru dažniu. Paprastai tokie laikotarpiai yra vienodi ir dažniausiai bankai naudoja mėnesį, ketvirtį ar metus.

Todėl apskaičiuojant sudėtines palūkanas naudojama ši formulė:

Fv = Sv * (1 + (R / Ny)) Nd, kur

• Fv yra bendra suma;
• Sv - pradinė suma;
• R yra metinė palūkanų norma;
• Ny - kapitalizacijos laikotarpių skaičius per metus;
• Nd - kapitalizacijos laikotarpių skaičius per visą indėlio laikotarpį.

Aiškumo dėlei apsvarstykite 10 000 rublių užstatą 12 procentų per metus 1 metų laikotarpiui, tačiau palūkanos bus kas mėnesį kapitalizuojamos.
Bendra suma: 10 000 * (1 + 0,12 / 12) 12 = 11 268,25 rublių.
Bendros pajamos: 11 268,25 - 10 000 = 1 268,25 rubliai.
Su indėliu su paprastomis palūkanomis ši suma (tai yra indėlininko pelnas) yra tik 1120 rublių.

Reikėtų pažymėti, kad sutartyje banko depozitas nenaudojama formuluotė „paprastosios palūkanos“ arba „sudėtinės palūkanos“. Šiame dokumente pažymima, kada kaupiamos palūkanos. Banko indėliui su paprastomis palūkanomis naudojama formuluotė „palūkanos skaičiuojamos termino pabaigoje“. Jei naudojama palūkanų kapitalizacija, nurodoma, kad palūkanos kaupiamos kasdien, kas mėnesį, kas ketvirtį ar kasmet.

Kurie indėliai yra pelningesni?

Iš pačios esmės sudėtinės palūkanos iš to išplaukia, kad kuo dažniau jie kaupiami (taikant vienodas palūkanas), tuo įnašas bus pelningesnis. Norėdami tai padaryti, pasinaudokime anksčiau pateikta sudėtinių palūkanų apskaičiavimo formule. Pradiniai duomenys tie patys: suma - 10 000 rublių, norma - 12 procentų per metus.
Su metiniu mokesčiu: 10 000 * (1 + 0,12) 1 = 11 200 rublių.
Tokiu atveju suma sutaps su suma, gauta apskaičiuojant paprastas palūkanas, o tai yra visiškai natūralu.
Su ketvirčio mokesčiu: 10 000 * (1 + 0,12 / 4) 4 = 11 255,09 rublių.
Su mėnesiniu mokesčiu: 10 000 * (1 + 0,12 / 12) 12 = 11 268,25 rublių.
Su dienos mokesčiu: 10 000 * (1 + 0,12 / 365) 365 = 11 274,75 rublių.
Taigi, esant vienodoms palūkanų normoms, indėlis su palūkanų kapitalizacija neabejotinai yra pelningesnis.

Tačiau dažnai būna situacijų, kai reikia nuspręsti, kam teikti pirmenybę: indėliams su paprastomis palūkanomis ir didesnėms palūkanų norma ir indėliai su kapitalizacija ir mažesne palūkanų norma. Čia faktas, kad palūkanos taip pat yra pelningos, pasirodo pelningesnis tik iki tam tikros ribos. Todėl nereikia skubėti. Būtina atidžiai ištirti kiekvieno siūlomo įnašo sąlygas ir atlikti atitinkamus skaičiavimus.

Tarkime, klientas pasirenka vieną iš dviejų galimybių investuoti pinigus 1 metų laikotarpiui: indėlį su paprastomis palūkanomis ir 12 procentų metinę palūkanų normą bei indėlį su sudėtinėmis palūkanomis (ketvirčio kaupimas) ir 10 procentų metinę normą. Pelnas pirmuoju atveju jau buvo apskaičiuotas ir yra 1120 rublių. Antrojo atvejo pelnas:
10 000 * (1 + 0,1 / 4) 4 - 10 000 = 1038 rubliai.
Taigi šiuo atveju pirmenybė teikiama indėliui su paprastomis palūkanomis ir didesne palūkanų norma.

Paprastos ir sudėtinės palūkanos: palūkanų, kaupiamų už banko indėlius, rūšys